同底指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象交點(diǎn)個數(shù)

1、同底指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象交點(diǎn)個數(shù)必修一教材第76頁有這樣一個探究：指數(shù)函數(shù)y = ax (a > 0且a ¥ 1)與對數(shù)函數(shù) y = loga x(a>0且a¥1)互為反函數(shù)，那么它們圖象有什么關(guān)系呢?通過探究發(fā)現(xiàn)，我們?nèi)菀字浪鼈兊膱D象關(guān)于直線y=x對稱，那么它們圖象交點(diǎn)有幾個呢？教科書上為何沒有把它們兩者圖象畫在同一坐標(biāo)系下？這是一個探究價值很高的問題，教材這樣處理，主要原因是這兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)個數(shù)不定.下面我們一起來研究下.分a>1和0<a<1兩者情況進(jìn)行討論.1 .當(dāng)a a 1時在幾何畫板中，畫出 y =2x與y = log2x圖象，

2、發(fā)現(xiàn)它們沒有公共點(diǎn)(如圖 1).確實(shí)如此事實(shí)上，由反函數(shù)圖象對稱性知當(dāng)?shù)讛?shù)a (a >1)逐漸變小時，y = ax(a > 1)與y = loga x(a >1)圖象與y = x逐漸接所以研究y = ax(a>i)與y = loga x(a > 1)圖象交點(diǎn)情況即研究 y = ax(a>1)與y = x圖象交點(diǎn)情況.卜面，我們從“臨界狀態(tài)”入手研究，從代數(shù)角度看只需聯(lián)立方程2-2中知識)讓方程只有一個根即可，屬于超越方程，無法用常規(guī)方法解，利用導(dǎo)數(shù)(選修 解法如下：xa = x(ax )=111x ax ln a = 1=xln xx =仁 ln x = 1

3、1二 x =e，彳#ae =e,即a = ee1所以，當(dāng)a=ee時，函數(shù)y =ax與y =loga x圖象與y=x相切.根據(jù)指對數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及以上分析得：當(dāng)aee時，函數(shù)y = ax與y =loga x圖象有0個交點(diǎn)；1當(dāng)2=3,時，函數(shù)y =ax與y = loga x圖象有1個交點(diǎn)；1當(dāng)1 <a cee時，函數(shù)y = ax與y = log a x圖象有2個交點(diǎn).2 .當(dāng) 0 <a <1 時同樣地，我們也在幾何畫板中畫出y1 fi 與 y = log1 x 圖象, '2)2發(fā)現(xiàn)它們有一個交點(diǎn)(如圖4).當(dāng)?shù)讛?shù)a (0 < a < 1)逐漸變小時，我們驚奇

4、地發(fā)現(xiàn)y = ax(0< a <1)與y = loga x(0 < a <1)圖象出現(xiàn)了 3個交點(diǎn)(如圖5).圖5由函數(shù)的單調(diào)性和連續(xù)性知，當(dāng)0 < a <1時，y = ax(0<a<1)與3個.y = loga x(0 < a <1)圖象不可能相切，所以交點(diǎn)情況只有 1個或者同樣地，我們也可以用導(dǎo)數(shù)解出臨界狀態(tài)時的a的值，類似的，我們得到以下結(jié)論:當(dāng) e" <a <1 時,函數(shù)y = ax與y =loga x圖象有1個交點(diǎn);a當(dāng)0 ca <e 時,函數(shù)x .y = a與y = log a x圖象有3個交點(diǎn)

5、.綜上所述，1當(dāng)a >ee時，函數(shù)x .y = a與y = log a x圖象有0個交點(diǎn)；1當(dāng)a =ee或e Wa <1時，函數(shù)y =ax與y = loga x圖象有1個交點(diǎn);1當(dāng)1 <a <ee時，函數(shù)y = ax與y = loga x圖象有2個交點(diǎn)；當(dāng)0 <a <e時，函數(shù)yax與y = loga x圖象有3個交點(diǎn).微練習(xí)：1 .下列命題 若點(diǎn)（m,n）在函數(shù)y= ax圖象上，則點(diǎn)（n,m）在函數(shù)y = logax圖象上 當(dāng)a > 1時，函數(shù)y = loga x的圖象與直線y = x無公共點(diǎn) 若點(diǎn)（m,n）既在函數(shù)y = ax圖象上，也在函數(shù)y =

6、 logaX圖象上，則m = n 當(dāng)0 <a < 1時，函數(shù)y = ax的圖象與直線y = x有且只有一個公共點(diǎn) 其中正確的命題的個數(shù)為（）A. 0個B .1個 C .2個 D .3個2 .已知a >1,則方程ax =| loga x |實(shí)根的個數(shù)為（）A. 1個 B . 2個C . 1個或2個 D .1個或2個或3個3 .已知0 <a <1,則方程a' =|loga x|的實(shí)根的個數(shù)為（）A. 2個B . 3個C. 2個或3個 D .2個或4個【答案】1 .由反函數(shù)圖象對稱性知正確；當(dāng) a>1時，函數(shù)y = loga x的圖象與直線y = x可能

7、有0個或1個或2個交點(diǎn)，所以錯誤；當(dāng) 0 < a < 1時，函數(shù)y = ax與函數(shù)y = loga x交 點(diǎn)有3個時，其中2個不在y=x上，所以錯誤；當(dāng) 0<a<1時，函數(shù)y = ax與直線只 有一個交點(diǎn)，所以正確.故選C.2 .由函數(shù)與方程思想知，方程的根的個數(shù)即函數(shù)y = ax與函數(shù)y =|loga x圖象交點(diǎn)個數(shù)，而y =|loga *是把y =loga x圖象在x軸下方部分作關(guān)于 x軸對稱，又因?yàn)楫?dāng)a>1時，函 數(shù)y = ax與函數(shù)y = loga x圖象交點(diǎn)可能有 0個或1個或2個，所以ax =| loga x |實(shí)根個 數(shù)可能是1個或2個或3個，故選D.3 .