極坐標參數(shù)方程典型題

1、1 .已知曲線c的參數(shù)方程為r = 2c0s,曲線g的極坐標方程為pcos（&-） = v2. y = sin&4（1）將曲線c|和c2化為普通方程；（2）設(shè)g和c?的交點分別為a, b,求線段ab的中垂線的參數(shù)方程。2、（2011福建）在直接坐標系xoy中，直線1的方程為x-y+4=0,曲線c的參數(shù)方程為 f =為參數(shù)）。（）已知在極坐標（與直角坐標系xoy取相同的長度單位，且以原點o為極y = sin a點，以x軸正半軸為極軸）中，點p的極坐標為（4,判斷點p與直線1的位置關(guān)系；2（ii）設(shè)點q是曲線c上的一個動點，求它到直線1的距離的最小值.3、（2011全國新課標）在直

2、角坐標系xoy屮，曲線°】的參數(shù)方程為j"* c°sa （g為參數(shù)），m為gy = y2sina上的動點，p點滿足op = 2om，點p的軌跡為曲線g. （i）求°2的方程；（ii）在以0為極點，x軸的止半軸為極軸的極坐標系中，射線&二蘭與©的異于極點的交點為a,與g 3的異于極點的交點為b,求|ab|.y 1 _ 2t'（s為參數(shù)）垂直，則£ =y = -2s4. 若直線厶計-（/為參數(shù)）與直線厶：y = 2 + kt5. 2014-安徽卷以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中x

3、=/+l,取相同的長度單位.己知直線/的參數(shù)方程是(/為參數(shù))，圓c的極坐標方程是p=4cos 0,則ly=t-3直線/被圓c截得的弦長為()a.v14 b. 2v14c.邁 d. 226. 2014-新課標全國卷i選修44：坐標系與參數(shù)方程已知曲線c：召+£=1，直線/：為參數(shù)).(1)寫出曲線c的參數(shù)方程，直線/的普通方程；(2)過曲線c上任意一點p作與/夾角為30°的直線，交/于點求|刑的最大值與最小.7、2014新課標全國卷ii選修44：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xoy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓c的極坐標方程 為p=2cos &quo

4、t;,0,邁 (1) 求c的參數(shù)方程；(2) 設(shè)點d在c上，c在d處的切線與直線/： y=y3x+2垂直，根據(jù)(1)屮你得到的參數(shù)方程，確定 d的坐標8. 將圓x2+y2=l上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線c.寫出c的參數(shù)方程；設(shè)直線l:2x+y-2=0與c的交點為rp?以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過 線段r耳的屮點且與垂直的直線的極坐標方程.極坐標與參數(shù)方程一、基礎(chǔ)知識點梳理(一)極坐標 極坐標系的概念(1) 極坐標系如圖所示ox,在平面內(nèi)取一個定點0,叫做極點，0極點0引一條射線ox，叫做極軸；再選定一個長度單位，一個角度單位(通常取弧度)及其正

5、方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一 個極坐標系.注：極坐標系以角這一平面圖形為幾何背景,而平面直角坐標系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景; 平面直角坐標系內(nèi)的點與坐標能建立一一對應的關(guān)系，而極坐標系則不可但極能標系和平面直角坐標系 都是平面坐標系.(2) 極坐標設(shè)m是平面內(nèi)一點，極點o與點m的距離|0m|叫做點m的極徑，記為q ;以極軸0兀為始邊，射線0m 為終邊的角厶0m叫做點m的極角，記為&.有序數(shù)對(”,&)叫做點m的極坐標，記作一般地，不作特殊說明時，我們認為p>0, &可取任意實數(shù).特別地，當點m在極點時，它的極坐標為(0, 0) (0 er).和直

6、角坐標不同，平面內(nèi)一個點的極坐標 有無數(shù)種表示.如果規(guī)定°>0,05&<2龍，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(p,&)表示；同時,極坐標 (/9,&)表示的點也是唯i確定的.3、極坐標和直角坐標的互化(1)互化背景:把直角坐標系的原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，如圖所示:(2)互化公式:設(shè)m是坐標平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是(x)，極坐標是(p,&) (p>0),于是 極坐標與直角坐標的互化公式如表：點m直角坐標(兀)極坐標(p,&)互化公式j(luò)x = /7cos &9?

7、,2pj =x+yy = psin&tan = (xo)x在一般情況下，由tan &確定角時，可根據(jù)點m所在的象限最小正角4>常見曲線的極坐標方程曲線圖形極坐標方程圓心在極點，半徑為廠的圓ap = r(0<0< 2龍)圓心為(r,0),半徑為廠的圓°(>) vp - 2rcos&(-& v壬)2 2圓心為(r,-),半 2徑為廠的圓(詢p2rsin &(05 & v;r)ox過極點，傾斜角為a的直線5(1)e = a(pw 7?)或& =兀 +7?)(2) & = a(p > 0)和 &am

8、p; =兀 + a(p > 0)過點0,0）,與極軸垂直的直線（la丫/9cos& = q(-彳 < <y)7t過點（q,）,與極2軸平行的直線o(" f) xpsin & = d(0v&v;r)（二）、參數(shù)方程1、參數(shù)方程的概念x = /（/） 一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標忑尹都是某個變數(shù)（的函數(shù),y = g）并且對于（的每一個允許值，由方程組所確定的點m（x）都在這條曲線上，那么方程就叫做這條曲 線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)/叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)，相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間 關(guān)系的方程叫做普通方程.2、

9、參數(shù)方程和普通方程的互化（1）曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式，一般地可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到 普通方程.（2）如果知道變數(shù)工,p中的一個與參數(shù)/的關(guān)系，例如x = /（",把它代入普通方程，求出另一個變數(shù) 與參數(shù)的關(guān)系y=g，那么就是曲線的參數(shù)方程，在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使的取值范圍保持一致.注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一。應用參數(shù)方程解軌跡問題，關(guān)鍵在于適 當?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式也不同。3、圓的參數(shù)圓心為（q"）,半徑為尸的圓的普通方程是（x-a）2+（y 疔=宀x = arcos0、., “它的參數(shù)方程為：,.八（&為參數(shù)）。y = p + rsin &4、橢圓的參數(shù)方程2 2以坐標原點0為中心，焦點在x軸上的橢圓的標準方程為二+ £ = l（o>