清華大學(xué)微積分偏導(dǎo)數(shù)和全微分

1、10.2 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)10.2.1 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的定義 ( , ).zf x y則稱為函數(shù)則稱為函數(shù)( , )f x y在點在點 00(,)xy關(guān)于變量關(guān)于變量x 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù)若極限若極限00000(,)(,)limxf xx yf xyx 存在，存在，對于對于 n 元函數(shù)元函數(shù)1( ,),nyf xx若極限若極限000000(,)(,),(,),xxyxyfzfxyxx等等. 記作記作:111101(,)( ,)limnnxf xxxf xxx存在存在,則稱為則稱為11111(,)(,)1,( ,),nnxnxxxxfyfxxx

2、x等等. 記記作作 通常記作通常記作 11( ,)nfxx更方便更方便. 1( ,)nf xx1( ,)nxx對變量對變量 1x的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù). 在點在點例例1：對變量對變量x求導(dǎo)求導(dǎo)解：解：將將y看作常數(shù)看作常數(shù),ux在計算在計算時時,sin().yuxxy二元函數(shù)二元函數(shù)1sin()cos().yyuyxxyxxyx同理有同理有(ln )sin()cos().yyuxxxyxxyysin(),yuxxy例例2:解：解：esin()ecos();x zx zuxyxyxecos();x zuxyyesin().x zuxyzesin().x zuxy三元函數(shù)三元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 連

3、續(xù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù): Very Important!21,0,( , )0,yxxf x y其它.例例3： ( ,0)(0,0)0(0,0),xydf xffdx20lim( ,)1,xf x x0lim( , )0.xf x x無極限，無極限，不連續(xù)！不連續(xù)！ 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在存在. 連續(xù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 例例4：22( , )f x yxy初等函數(shù)，初等函數(shù)，連續(xù)連續(xù).00( ,0)(0,0)|limlimxxf xfxxx不存在！不存在！ 而而 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 設(shè)設(shè)v是單位向量是單位向量, 存在存在,000()()limtf xtvf xt若若0 x點沿點沿

4、v的方向?qū)?shù)，的方向?qū)?shù)， 則稱為則稱為f 在在記作記作.fv方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系 0,1,0,ie 設(shè)設(shè) 是是n的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,方向的方向?qū)?shù)就是偏導(dǎo)數(shù)方向的方向?qū)?shù)就是偏導(dǎo)數(shù). 0 x點沿這點沿這n個個f 在在10.2.2 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)22fx2()ffx yxy 2()ffy xyx 定理：定理： 若在某點其兩個二若在某點其兩個二一般來說一般來說, 高階混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序高階混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序有關(guān)有關(guān)！什么情況下什么情況下, 混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無關(guān)無關(guān)呢？呢？ 對于對于n元函數(shù)元函數(shù)( ),f x階混合偏導(dǎo)函

5、數(shù)階混合偏導(dǎo)函數(shù) 2ijfx x ，2jifxx 都都連續(xù)連續(xù), 證明證明: 記記(只對二元函數(shù)證明只對二元函數(shù)證明)2fx y 2.fy x 不一定等于不一定等于 即即則相等則相等.( ,)( , )( ).f x ykf x yxk則則( ,)( , ).xxxfx ykfx yk(,)(, )()( )()xxfxh ykfxh yxhxwxhhk同理：同理：23(,).yxwfxh yk令令0,kh有，有， ( , )( , ).xyyxfx yfx y(,)(, )( ,)( , ),f xh ykf xh yf x ykf x ywhk11(,),(0,1).xyfxh yk 例例

6、2222,( , )(0,0),( , )0,( , )(0,0).xyxyx yf x yxyx y222222224,( , )(0,0),( , )()0,( , )(0,0).xxyxyyxyx yfx yxyxyx y(0,0)1.xyf(0, ).xfyy 222222224,( , )(0,0),( , )()0,( , )(0,0).yxyx yxxyx yfx yxyxyx y(0,0)1.yxf( ,0).yfxx10.3 多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分10.3.1 微分的概念微分的概念一元函數(shù)微分的概念：一元函數(shù)微分的概念：()( )x( x).f xxf xao 多元函數(shù)

7、的可微與微分多元函數(shù)的可微與微分 若存在常向量若存在常向量A使得使得()( )(|),f xxf xAxox (*) 則稱函數(shù)則稱函數(shù)( )f x在點在點x可微可微, Ax稱為微分稱為微分. 定理：定理：( )f x在在0 x可微可微, (*)成立成立, 則則( )f x連續(xù)連續(xù). 若若且且fv.A v 特別地特別地, ( )f x在點在點0 x的各偏導(dǎo)數(shù)都存的各偏導(dǎo)數(shù)都存記記1( ,),nAaa則則 ( ) (1, ).iiiifafxainx在在,證明：證明：()( )(|).f xtvf xA tvo tv （ ）()( )()( ).f xtvf xA tvo tA vtt 11212

8、11(, , )( , , )(|).nnf xx xxf x xxAxox （,0, ,0）()( )(|).f xxf xAxox 0 x 時,()( ).f xxf x 10.3.2 函數(shù)可微的充分條件函數(shù)可微的充分條件定理定理證明：證明： 111(,)( ,)nnnf xhxhf xx，若函數(shù)若函數(shù) f 各偏導(dǎo)函數(shù)各偏導(dǎo)函數(shù)在某點都連續(xù)在某點都連續(xù),則在該點可微則在該點可微.可微可微):(偏導(dǎo)連續(xù)偏導(dǎo)連續(xù)1122122(,)( ,)nnnnf xh xhxhf x xhxh1212( ,)( ,)nnnf x xxhf x xx11 1111(,)( ,)nnnnnnnffxhxh h

9、xxh hxx1111 11( ,)( ,)nnnnnnffxx hxx hhhxx122111(,)(,)( ,)().nnnnxxffhhohhxx 一元函數(shù)微分：一元函數(shù)微分：()( )x( x),f xxf xao 多元函數(shù)微分：多元函數(shù)微分： ()( )(|),f xxf xAxox 式中式中a稱為導(dǎo)數(shù)稱為導(dǎo)數(shù). A稱為稱為梯度梯度,式中式中由上面定理知由上面定理知,函數(shù)沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大函數(shù)沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大.例例5:lnxzuzy求求:du解解:1,uxz1,uyy21.uxzzz 2111().xdudxdydzzyzz.gradf記作記作例例6：22( , )4f

10、 x yxy切向量的方向?qū)?shù)切向量的方向?qū)?shù). 求求f 在在 (1,2) 沿沿 22yx的的 解：解：22,yx4 .yx 在在 (1,2) 切向量切向量)4 , 1 (單位化單位化14(,).1717v (2 ,8 )(2,16).gradfxy26466().171717fgradf vv 梯度與微分的梯度與微分的幾何意義幾何意義 0000(,)(,)zf xygradfxxyy表示平面表示平面.0000(,)(,)zf xygradfxxyy表示平面表示平面, 記作記作2200( , )()() .zf x yoxxyy稱為曲面稱為曲面( , )zf x y在點在點00(,)xy的的切平

11、面切平面！ 梯度與微分的梯度與微分的幾何意義幾何意義 例例7：1)22.zxy2 ,zxx2 .zyy在在(1,1)處切平面處切平面 22(1)2(1).zxy2)2222.xyzR,zxxz .zyyz 0000000()()(),xyzzxxyyyz 即即 000000()()()0.x xxyyyzzz切平面切平面在在000(,)xyz)0 , 0(),( ,0)0 , 0(),( ,),(22yxyxyxxyyxf例例8研究該函數(shù)在原點是否存在偏導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在原點是否存在偏導(dǎo)數(shù), ,是否可微是否可微. .解解，因為0)0 ,(,0), 0(xfyf所以所以.00)0 ,(lim0)0

12、 , 0(xxfxfx.00), 0(lim0)0 , 0(yxfyfy下面證明該函數(shù)在原點不可微下面證明該函數(shù)在原點不可微. .則則 f (x,y) 在在 (0,0) 的的微分是微分是若該函數(shù)在原點可微若該函數(shù)在原點可微, ,yfxffyx)0, 0()0, 0()0 , 0(d000yx根據(jù)微分定義，根據(jù)微分定義，時當(dāng)0, 0yx. )(o)0 , 0(d2222yxfyxxyf. )(o22yx 但是容易證明但是容易證明: :，時當(dāng)0, 0yx.12222不趨向于零yxxyyx事實上，事實上，時并且當(dāng)yxyx, 0, 0因此根據(jù)微分定義推出該函數(shù)在原點不可微因此根據(jù)微分定義推出該函數(shù)在原

13、點不可微 .2121222222xxyxxyyx例例90,00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf考察該函數(shù)在原點是否可微，偏導(dǎo)數(shù)是否連續(xù)考察該函數(shù)在原點是否可微，偏導(dǎo)數(shù)是否連續(xù). .1. .證明函數(shù)在原點可微證明函數(shù)在原點可微. .0)0, 0()0, 0(yxff計算得到計算得到22221()sin.fxyxy 并并且且容易看出：容易看出：,.xxyy 在原點自變量的改變量是在原點自變量的改變量是所以所以.01sinlim222200yxyxyx1sin)(1lim22222200yxyxyxyx，時當(dāng)0, 0yx. )(od0d022yxyxf，可微在這說明)0 ,

14、 0(),(yxf并且并且.0)0 , 0(df，時當(dāng))0 , 0(),(yx221sin2),(yxxyxfx2.證明該函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在原點不連續(xù)證明該函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在原點不連續(xù). .1sin)(),(2222yxyxyxf.1cos21sin2222222yxyxxyxx)(21cos)(2222222yxxyxyx,)0 , 0(),(時軸趨向于沿當(dāng)xyx),(yxfx.1cos21sin2222222yxyxxyxx221cos21sin2xxxx沒有極限沒有極限. .，不存在所以),(lim00yxfxyx從而從而.)0 , 0(),(不連續(xù)在yxfx.)0 , 0(),(不連續(xù)在yxf

15、y同樣的方法可以證明：同樣的方法可以證明：10.3.4 二元函數(shù)的原函數(shù)問題二元函數(shù)的原函數(shù)問題設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 連續(xù)連續(xù),( , ), ( , )u x y v x y問問( , )( , )u x y dxv x y dy是否某個函數(shù)是否某個函數(shù) 的微分？的微分？( , )zf x y(全微分全微分)若是若是, 則稱則稱 是是 的一個的一個原函數(shù)原函數(shù).( , )f x y( , )( , )u x y dxv x y dy“必要條件必要條件”:若若 有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), ( , ), ( , )u x y v x y且且( , )( , )u x y dxv x y dy有原函數(shù)有原函數(shù), 則則.uvyx證明證明:.uzzvyyxxyx二階混合二階混合偏導(dǎo)連續(xù)偏導(dǎo)連續(xù)時必相等時必相等22(2)(21)xyydxxxydy例例10 求求 的原函數(shù)的原函數(shù).解解:2( )( , )(2)f x yxyydxC y22( ).x yxyC y從而有從而有2 ( , )2( ).yfx yxxyC y因為因為2 ( , )(21),yfx yxxy所以所以( )1,C y ( ).C yyC即即22( , ).f x yx yxyyC數(shù)學(xué)名家介紹 (二) 泰勒(Taylor, Brook, 1665.8.18-1731.12.29) 英國數(shù)學(xué)家.生于埃德蒙頓，卒