無窮級數(shù)習題課二

1、第第十一十一章章 無窮級數(shù)習題課無窮級數(shù)習題課 (二二)函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)一冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間（收斂域）的求法一冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間（收斂域）的求法求冪級數(shù)的收斂域，通常有三種基本類型，即求冪級數(shù)的收斂域，通常有三種基本類型，即 型、型、 0nnna x 型和缺冪型，還有一種特殊的非冪函數(shù)型。型和缺冪型，還有一種特殊的非冪函數(shù)型。 00()nnnaxx 對于對于 型，通過求型，通過求 ，得半徑，得半徑 ， 0nnna x 1limnnnaa 1r 然后討論然后討論 處的斂散性，從而得收斂域；處的斂散性，從而得收斂域；xr 對于缺冪型，可采用比值法，先求出收斂半徑，再討論對于缺冪

2、型，可采用比值法，先求出收斂半徑，再討論xr 處的斂散性，從而得收斂域。處的斂散性，從而得收斂域。 解題方法流程圖如下。解題方法流程圖如下。對于對于 型，令型，令 , 化為化為 型型, 可得收斂域；可得收斂域；0txx0nnna t 00()nnnaxx 解題方法流程圖解題方法流程圖 求冪級數(shù)收斂域求冪級數(shù)收斂域 判別冪級數(shù)類型判別冪級數(shù)類型 收斂域收斂域 收斂域收斂域 00()nnnaxx令令 0txx 0nnna t 討論討論 處的斂散性處的斂散性xr ， ，其它，其它 20nnna x 210nnna x 0()nnux 討論討論 處的斂散性處的斂散性 xr 1mr 當當 時收斂時收斂當

3、當 時發(fā)散時發(fā)散1|mx 1|mx 1( )lim|( )mnnnuxxux 0nnna y用比值法用比值法 令令 2yx 0nnna x 1limnnnaa 1r 123二、冪級數(shù)和函數(shù)的求法二、冪級數(shù)和函數(shù)的求法求冪級數(shù)的和函數(shù)，最常用的方法是首先對給定的求冪級數(shù)的和函數(shù)，最常用的方法是首先對給定的冪級數(shù)進行恒等變形，然后采用冪級數(shù)進行恒等變形，然后采用“先求導后積分先求導后積分”或或“先先積分后求導積分后求導”等技巧，并利用與形如等技巧，并利用與形如 （或（或 等）等） 0nnx 0!nnnx冪級數(shù)的和函數(shù)，求出其和函數(shù)。冪級數(shù)的和函數(shù)，求出其和函數(shù)。解題方法流程圖如下圖所示。解題方法流

4、程圖如下圖所示。 求求 的和函數(shù)的和函數(shù)0nnna x 0nnna xs x 0nnns xa x 令令noyesyesno能直接求能直接求出和函數(shù)出和函數(shù)恒等變換恒等變換直接求和直接求和逐項積分逐項積分逐項求導逐項求導逐項求導逐項求導逐項積分逐項積分yes 10 xs xsx dx 1s xsx 10nnnsxb x 能直接求出能直接求出和函數(shù)和函數(shù) 1sx 100 xnnnsx dxb x no 0nnna xs x yesno能直接求出能直接求出和函數(shù)和函數(shù) 1sx解題方法流程圖解題方法流程圖三、典型例題三、典型例題 【例【例1】 求冪級數(shù)求冪級數(shù) 的收斂半徑及收斂域。的收斂半徑及收斂域

5、。 1212nnnxn解：解： nnnaa1lim 1222(1)1lim221nnnnn 12r 11(,)22x 當當 時，級數(shù)為時，級數(shù)為 ，該級數(shù)收斂。，該級數(shù)收斂。21 x 1211nn當當 時，級數(shù)為時，級數(shù)為 ，該級數(shù)收斂。，該級數(shù)收斂。21 x 121)1(nnn故此冪級數(shù)的收斂域為故此冪級數(shù)的收斂域為 。 21,21 【例【例2】求冪級數(shù)】求冪級數(shù) 的收斂域。的收斂域。11(2)nnxn 解：令解：令 ，原級數(shù)變?yōu)?，原級?shù)變?yōu)?tx 2nntn11 nnnaa1lim 11lim1lim nnnnnn11r 所以所以 ，即，即 時，冪級數(shù)收斂。時，冪級數(shù)收斂。121 x31

6、x當當 時，級數(shù)為時，級數(shù)為 ，為交錯級數(shù)收斂，為交錯級數(shù)收斂， 1 xnnn)1(11 當當 時，級數(shù)為時，級數(shù)為 ，為，為p-級數(shù)發(fā)散，級數(shù)發(fā)散，3 x11nn 故此冪級數(shù)的收斂域為故此冪級數(shù)的收斂域為 。)3, 1 【例【例3】求冪級數(shù)】求冪級數(shù) 的收斂域。的收斂域。 1124)1(nnnnxn解：缺少偶次冪的項，由比值審斂法解：缺少偶次冪的項，由比值審斂法)()(lim1xuxunnn 2212112414144)1(limxxxnnxnnnnn 當當 ，即，即 時，級數(shù)收斂。時，級數(shù)收斂。1412 x2 x當當 ，即，即 時，級數(shù)發(fā)散。時，級數(shù)發(fā)散。1412 x2 x當當 時，級數(shù)為

7、時，級數(shù)為 ，為交錯級數(shù)收斂。，為交錯級數(shù)收斂。2 x 11122)1(24)1(nnnnnnnn當當 時，級數(shù)為時，級數(shù)為 ，為交錯級數(shù)收斂。，為交錯級數(shù)收斂。2 x 111122)1()2(4)1(nnnnnnnn故此冪級數(shù)的收斂域為故此冪級數(shù)的收斂域為 。 2, 2 【例【例4】求冪級數(shù)】求冪級數(shù) 的和函數(shù)，并求的和函數(shù)，并求 112121122)1(nnnnxn的和。的和。 11121)1(nnn解：記解：記 2112112( )( 1)21nnnns xxn 12111( 1)(2 )21nnnxn 求導得求導得 1221( )2( 1)(2 )nnns xx 2214x )1|2(

8、| x積分得積分得 202( )14xs xdxx 201(2 )arctan21(2 )xdxxx )21|(| x令令 ，則，則 21 x1arctan)21( s21121121( 1)( )21 2nnnnn 111( 1)21nnn 111( 1)214nnn 二、函數(shù)的泰勒級數(shù)二、函數(shù)的泰勒級數(shù)1泰勒級數(shù)定義：泰勒級數(shù)定義：稱為稱為 在點在點 的泰勒級數(shù)。的泰勒級數(shù)。 nnnxxnxf)(!)(000)( )(xf0 x 2麥克勞林級數(shù)定義：麥克勞林級數(shù)定義：稱為稱為 的麥克勞林級數(shù)。的麥克勞林級數(shù)。nnnxnf 0)(!)0()(xf四、將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)四、將函數(shù)展開成泰勒級

9、數(shù)(冪級數(shù)冪級數(shù))直接展開法：直接展開法是通過函數(shù)求在給定點的各階直接展開法：直接展開法是通過函數(shù)求在給定點的各階導數(shù)，寫出泰勒展開式。導數(shù)，寫出泰勒展開式。 間接展開法：間接展開法通常要先對函數(shù)間接展開法：間接展開法通常要先對函數(shù) 進行進行恒等恒等)(xf變形變形，然后利用已知展式（如函數(shù)，然后利用已知展式（如函數(shù) ，11x ,xesin , x(1)mx 的展開式等）或利用和的展開式等）或利用和函數(shù)的性質（求導數(shù)或積分），將函數(shù)展函數(shù)的性質（求導數(shù)或積分），將函數(shù)展開成冪級數(shù)。解題方法流程圖如下圖所示。開成冪級數(shù)。解題方法流程圖如下圖所示。 求求 的冪級數(shù)展開式的冪級數(shù)展開式)(xf關于關

10、于 的冪級數(shù)的冪級數(shù)x對對 求導求導)(xf對對 積分積分)(xf)()(00 xxxfxf令令0yxx)()(yxfyg0將將 展成展成 的的冪級數(shù)冪級數(shù))(ygy)()(0nf 求求( )0(0)!nnnfxn 直接展開法直接展開法間接展開式間接展開式對對 進行恒等變形進行恒等變形)(xf能利用已能利用已知展開式知展開式令令0( )( )xg xf x dx nnnxbxg0)(10nnnxnbxgxf)()(令令( )( )g xfx 0( )nnng xb x 1001nxnnxnbdxxgxf)()(寫出寫出 的的 展開式展開式)(xfyes關于關于 的冪級數(shù)的冪級數(shù))(0 xxnn

11、nxnfxf00!)()()(nono解題方法流程圖解題方法流程圖五、典型例題五、典型例題 【例【例5】將函數(shù)】將函數(shù) 展開成的展開成的 冪級數(shù)，冪級數(shù)，451)(2 xxxf2 x并指出收斂區(qū)間。并指出收斂區(qū)間。 解：對解：對 進行恒等變形：進行恒等變形：)(xf111( )314f xxx 而而 1111(2)xx 0(2) , 21nnxx 1142(2)xx 1011( 1)(2) , 22212nnnnxx 2 12x 故故 00112( )(2)( 1) () 322nnnnnxf xx 101( 1)1(2)32nnnnx 滿足滿足 ，即，即 ，成立區(qū)間為：，成立區(qū)間為： 1|2| x13 x13 x注：函數(shù)展開成冪級數(shù)必須寫出收斂區(qū)間。注：函數(shù)展開成冪級數(shù)必須寫出收斂區(qū)間?！纠纠?】 將函數(shù)將函數(shù) 展開成展開成 的冪級數(shù)。的冪級數(shù)。12( )arctan12xf xx x分析：本題用直接方法展開非常繁瑣，用先積分后求導的分析：本題用直接方法展開非常繁瑣，用先積分后求導的間接方法是很難間接方法是很難 把展開成把展開成 的冪級數(shù)，所以，只能用的冪級數(shù)，所以，只能用)(xfx解：因為解：因為22( )14fxx 而而 222011( 1) 4141(2 )nnnnxxx 1 1(, )2 2x 對對 先求導再積分的間接方法展開成先求導再積分的間接方法