等比數(shù)列教師版_數(shù)學(xué)_高中教育_教育專區(qū)

1、等比數(shù)列復(fù)習(xí).二、舉例講解1、利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算.【例1】在等比數(shù)列&中,ai+a2+a3=3, aia2a3=8 ®求通項(xiàng)公式,求解析：設(shè)公比為q,則由已知得-a.v°2、利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題.【例3】等比數(shù)列&中,(1)、已知勺二綸冬二一，求通項(xiàng)公式.(2)、已知出8仙二8,求/a仙的值.w：1(2)s 嗎殆 7 &: d( 2.r二卅323、如何證明所給數(shù)列是否為等比數(shù)列.1 ?11【例4】設(shè)&是等差數(shù)列,仇=()"“，已知勺+婦+仇=一，bg = _ ,求等差數(shù)列的通項(xiàng)為.2 884、利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

2、進(jìn)行計(jì)算.【例5】若數(shù)列鬲成等比數(shù)列，且為0,前n項(xiàng)和為80,其中最大項(xiàng)為54,前2n項(xiàng)之和為6560,求s妒?5、利用a“，&的公式及等比數(shù)列的性質(zhì)解題.【例6】 數(shù)列a,中,ai=l,且anan+i=4n,求前n項(xiàng)和sn.解析：由已知得a偸+】二4"3n+ ian + 2=4，+l 81h0，寧得4/ab a3, a5,a2n-i,；a2, ab a6,a2n,都是公比q=4的等比數(shù)列,ai=l, a2=4.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，iriljr4骨代-4巧39"二g 引 耳）3 3三、經(jīng)典題型練習(xí)41、已知數(shù)列匕滿足3%+色=0衛(wèi)2=-,則匕的前10項(xiàng)和等于()a.-6(

3、l-3,0)b.|(l-3*10)c.3(l-3-10)d.3(l+3'10)【解題指南】由3%+】+% =0求出數(shù)列的公比，再利用等比數(shù)列的求和公式確定數(shù)列的前10項(xiàng)的和.【解析】選c.因?yàn)?色+|+色=0，則也二一丄，乂血二一仝所以數(shù)列色是首項(xiàng)為引=4,公比q = -的等4? 1(- -),(1比數(shù)列故s 1() = f 一二(3-號(hào)1 + -32、等比數(shù)列aj的前n項(xiàng)和為sm已知s3=a2+10aha5=9f則a訐(1a._31b.31c.91d.9【解析】選 c.ttl s3二a2+10ai,得 a1+a2+a3=a2+10a1/yp a3=9alz即 agmai,解得 q=9

4、,又因?yàn)?a5=9,所以 8=9,解得 °i=-3、已知專比數(shù)列?！暗墓葹?q > 記仇=q心-1)+1 +-1)+2 + +。2(-1)十2，n=m(n-l)l(m,mg tv*)，則以下結(jié)論一定正確的是()a.數(shù)列乞?yàn)榈炔顢?shù)列，公差為b數(shù)列乞?yàn)榈缺葦?shù)列，公比為纟加c.數(shù)列仏為等比數(shù)列，公比為/”mq qq加("一 1)+加4、在正項(xiàng)等比數(shù)列?！?屮，a5 = ,。6 +。7 = 3 ,則滿足6z +。2 0” >an的最大正整數(shù)"的值為【解題指南】確定首項(xiàng)與公比,對(duì)式子a1+a2+-+an>aia2-an化簡(jiǎn)，利用單調(diào)性進(jìn)行驗(yàn)證求出最值.【

5、解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的首項(xiàng)為坷,公比為g(q>o),則由他=丄得兔+嗎二冬 +兔孑=l(g+b) = 3,即 q + q'=6,解得q = 2 ,代入a5 = axq = a24 = => aa ,式子+ 6t2 4- +> axa2 -an變?yōu)?2"a (-nn當(dāng)(1一2")1如1)_切 宀加七l2>q”嚴(yán)+,即七廠>護(hù)2 2，化簡(jiǎn)得”-1)>2 2 當(dāng)十<。, "t"h2 -1 1 n日仃"-h"即 0vhv11 時(shí) 2 2<1,當(dāng)>0 即 11 時(shí) 2 21 經(jīng)驗(yàn)證&

6、quot; = 2,3,，12 時(shí)q + a2 cin > a&2a”當(dāng)兀=13吋q + a? an < aaia 故所求最大正整數(shù)n的值為12. d.數(shù)列仏為等比數(shù)列，公比為猝"【解題指南】如何判定一個(gè)數(shù)列是等差或等比數(shù)列，注意一定是作差，或作比，看看是不是常數(shù).【解析】選c.顯然，$不可能是等比數(shù)列；c”是等比數(shù)列；證叨如下：cn °加(打一1)+1 %”(一1)+2 (一 1)+加qmn+m(qyqm25【解析】記第n天植樹(shù)的棵樹(shù)為兀，則數(shù)列%是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,解sn = 2(12，1)>100得26. 1 26、若等比數(shù)列%

7、滿足a2 +0?4=20,。3+。5=40,則公比q二；前門(mén)項(xiàng)和9二.【解題指南】把02 + <74=20, a3+a5=40作比可求出公比,再代回求出首項(xiàng),最后求前n項(xiàng)和?！窘馕觥縬 = 5 * 5 = = 2 ,所以色+他=2q + 8馬=20,所以a、= 2, + tz4 202(1-2”)1-2【答案】22m+1 -27、己知等比數(shù)列&是遞增數(shù)列,sn是aj的前n項(xiàng)和.若ai忌是方程x2-5x+4=0的兩個(gè)根，則s6=【解題指南】利用方程求得alza3的值，結(jié)合等比數(shù)列，求出棊木量(首項(xiàng)和公比),進(jìn)而解決求和問(wèn)題.【解析】因?yàn)榉匠蘹2-5x+4=0的根為vuij等比數(shù)列厲

8、是遞增數(shù)列，所以尸4由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得， a3=aiq2=q2=4 =q=±2.乂因?yàn)榈缺葦?shù)列冇是遞增數(shù)列，故q=2.從而s6 = 空二心=岡1-小二63.-q1-2【答案】638、在等比數(shù)列色中,。2_坷=2,且2色為3坷和念的等差中項(xiàng),求數(shù)列色的首項(xiàng)、公比及前乳項(xiàng)和?！窘忸}指南】木題在求解過(guò)程中，首先需要明確等比數(shù)列中2。2為3絢和的等差中項(xiàng)，然后設(shè)出公比，利川方程 的思想進(jìn)行求解.【解析】設(shè)該數(shù)列的公比為g,由己知可得axq-ax = 2 , 4aq = 3a, + aq2所以q(g_l) = 2,孑-4§ + 3 = 0,解得g二3或g = ,由于qs l) =

9、 2,因此q = l不合題意，應(yīng)舍去.故公比q = 3,首項(xiàng)。=1,3" 1所以數(shù)列的前項(xiàng)和s”二一.29、已知首項(xiàng)為一的等比數(shù)列匕的前門(mén)項(xiàng)和為sn(ne n*),且-2s2,s3,454成等差數(shù)列.(i) 求數(shù)列陽(yáng)的通項(xiàng)公式;1 n(ii) 證明 sn+ <(fie 小).s" 6【解題指南】(i)由-2s2,53,4s4成等差數(shù)列求等比數(shù)列陽(yáng)的公比,然后寫(xiě)出其通項(xiàng)公式;(ii)寫(xiě)出等比數(shù)列的前門(mén)項(xiàng)和為s”，表示s”+丄，分n為奇數(shù)或偶數(shù)討論起授大值，進(jìn)而得出證明.s,.【解析】(i)設(shè)等比數(shù)列©的公比為q ,由-2s2,s3,4s4成等差數(shù)列，所以s3

10、+ 252 = 4s4-s3, 54 - s? =s2-54,可得2偽=一冬，于是g = =土乂q =2,所以等比數(shù)列叩的通項(xiàng)公式為匕=1x(-1) =(-ir，2 h- , n為命數(shù), 2"(2"+1)2+,n為偶數(shù),2"(2" 1)2 2 2(ii)軋 s” + ai 一(一卜 + -2'"l n為奇數(shù)時(shí)，s隨n的增人而減小，所以ss s=.s”" s” 5,6當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，s”+丄隨n的增人而減小，所以s“+丄<52+丄=蘭s”s” -5212故對(duì)于nw n % ,有s” +丄<.s” 610、已知首項(xiàng)為錯(cuò)誤

11、！未找到引用源。的等比數(shù)列巧不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為sn(nen")z> s34-a3/s5+a5zs4+a4成等差數(shù)列.求數(shù)列aj的通項(xiàng)公式.設(shè)tn = sn -丄(庇n*),求數(shù)列的最人項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值.【解題指南】由s3+a3/s5+a5/s4+a4成等差數(shù)列求等比數(shù)列aj的公比，然后寫(xiě)出其通項(xiàng)公式.寫(xiě)出等比數(shù)列巧的前n項(xiàng)和為sn,表示tn = sn -右，分n為奇數(shù)或偶數(shù)討論其最值.【解析】設(shè)等比數(shù)列©的公比為®,由s3 + a3,5s + a5, s4 + a4成等差數(shù)列，所以s5+a5-s3-a3=s4+a4-s5-a5,即4a§二

12、3引 于是q2= = -. 乂佃不是遞減數(shù)列且所以q = -.4 223 17故等比數(shù)列叩的通項(xiàng)公式為a)l=-x(-ri =(-ir*-4.2221 +寺“為奇數(shù)，由得=i-(-r=：1-丄,洶偶數(shù)，2"3 i1325當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，s”隨n的增大而減小，所以1 vs”s&=2,故ovs”丄5&-丄=2蘭=?.2stls,236當(dāng)n為偶數(shù)吋，s“隨n的增大而增大，所以- = 52<s/1<l,0>sm- >s,- =.“4$”" s” s? 4312綜上，對(duì)于叱嚴(yán)，總有-<sh-丄w二所以數(shù)列的最大項(xiàng)的值為2與最小項(xiàng)的值為一i1

13、2 s 661211、設(shè)”是公比為q的等比數(shù)列.(i)推導(dǎo)a的前n項(xiàng)和公式;(ii)設(shè)卩1,證明數(shù)列©+1不是等比數(shù)列.【解題指南】推導(dǎo)數(shù)列色的前n項(xiàng)和公式要注意分情況討論；證明數(shù)列匕”+1不是等比數(shù)列，一般要用反證法. 【解析】(i)分兩種情況討論。 當(dāng)q = l時(shí),數(shù)列?！笆鞘醉?xiàng)為q的常數(shù)數(shù)列,所以s“ =4+e + °| 當(dāng)g 豐 1時(shí)，s“ = d + e + + an- + 色=> qs” = gd| + + qan- +-上而兩式錯(cuò)位相減：(1 - q)sn = q + (a2 一 *1 ) + 3 - *2)+(an qan-)一 qan = 4 一 一 c _e-也 _ ed") ° q-q（廠1）（沖）叫, 綜上,sn =< a(l-qn)l-g '(ii)使用反證法。設(shè)©是公比9工