淺談向量組的極大無(wú)關(guān)組及其應(yīng)用

1、    淺談向量組的極大無(wú)關(guān)組及其應(yīng)用    摘 要：向量組的極大無(wú)關(guān)組是線性代數(shù)中非常重要的概念之一，有著非常廣泛的應(yīng)用。尤其是在求解線性方程組的通解，以及在用正交變換化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角矩陣時(shí)的應(yīng)用。然而，在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)向量組的極大無(wú)關(guān)組時(shí)，感覺十分抽象，學(xué)習(xí)起來有些吃力。尤其是對(duì)于普通高校文科類的學(xué)生以及民辦高校的學(xué)生，對(duì)于向量組的加我工作的概念很模糊，也不知如何去向量組的極大無(wú)關(guān)組。本文主要對(duì)向量組的極大無(wú)關(guān)組及其性質(zhì)和求法，以及應(yīng)用，進(jìn)行梳理，歸納和總結(jié)。為同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)向量組的極大無(wú)關(guān)組時(shí)提供一些思路。關(guān)鍵詞：向量組;極大無(wú)關(guān)組：線性相

2、關(guān);線性無(wú)關(guān)一.向量組的極大無(wú)關(guān)組的定義定義：如果向量組中的部分向量組成的向量組線性無(wú)關(guān)，且向量組中的每個(gè)向量都可以由它們線性表示，則稱為向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。注：所謂向量組的極大線性無(wú)關(guān)組，就是向量組中個(gè)數(shù)最多的線性無(wú)關(guān)的部分組，此外，向量組的極大無(wú)關(guān)組不是唯一的，但是，線性無(wú)關(guān)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組是唯一的，就是自身.而只含有零向量的向量組沒有極大無(wú)關(guān)組。二. 向量組的極大無(wú)關(guān)組的性質(zhì)1.向量組與它的極大無(wú)關(guān)組等價(jià);2.向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià);3.向量組的極大無(wú)關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)相同：4.秩為的向量組中，任意個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組都是向量組的極大無(wú)關(guān)組。三.向量組的極大無(wú)關(guān)組的通常求

3、法1.初等變換法：首先將向量組作為矩陣的列，而后對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換化成行階梯形，則的非零行的個(gè)數(shù)，即為向量組的秩，而與的列向量組的極大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng)的矩陣的列向量組就是所求向量組的極大無(wú)關(guān)組。此方法通常用于“具體”的向量組的情景。2.利用有關(guān)結(jié)論法：就是利用極大無(wú)關(guān)組的性質(zhì)以及有關(guān)結(jié)論，求向量組的極大無(wú)關(guān)組。此方法通常用于求“抽象”的向量組得極大無(wú)關(guān)組得情形。例1：設(shè)向量組，如果，且，求向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。解：因?yàn)?，所以線性相關(guān)，因此，向量組的極大無(wú)關(guān)組不可能同時(shí)含有，從而向量組可能的極大無(wú)關(guān)組只能是，或者是如果線性相關(guān)，則必有，這與已知矛盾，所以線性無(wú)關(guān)，又由于可以被線性表示，所以，可以

4、被線性表示，而中任何一個(gè)向量都可以被其本身向量組線性表示，從而，根據(jù)定義可知向量組就是向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。同理可證：向量組也是向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。3.逐個(gè)選錄法：對(duì)于一個(gè)給定得向量組，首先通過觀察法選定一個(gè)線性無(wú)關(guān)得部分向量組，然后，對(duì)于剩余得向量組采取從左到右得順序，逐個(gè)考察每個(gè)向量，如果出現(xiàn)不能被選錄的線性無(wú)關(guān)的部分向量組線性表示的向量，則添加該向量構(gòu)成一個(gè)新的線性無(wú)關(guān)的部分向量組，以此為基礎(chǔ)，繼續(xù)對(duì)后續(xù)向量進(jìn)行考察，逐個(gè)選錄，最終可求得向量組的極大無(wú)關(guān)組。此方法通常適用于向量組中，向量個(gè)數(shù)較少的情景。例2求向量組的極大無(wú)關(guān)組。解：顯然線性無(wú)關(guān)，而，但是不能被線性表示，從而，線性無(wú)

5、關(guān)。因此， 就是向量組的極大無(wú)關(guān)組。四.向量組的極大無(wú)關(guān)組的應(yīng)用1.向量組的極大無(wú)關(guān)組在向量空間中的應(yīng)用由于向量空間的基，即為向量空間的極大無(wú)關(guān)組，而對(duì)于向量組生成的向量空間，實(shí)質(zhì)上就是向量組的極大無(wú)關(guān)組生成的向量空間，并且向量組的極大無(wú)關(guān)組也稱為該向量組生成的向量空間的基，其秩稱為向量空間的維數(shù)。然而，求向量空間的基，通常有兩種方法，一種是觀察法：即對(duì)于用集合表示的向量空間，可以根據(jù)向量空間的具體形式，觀察其特點(diǎn)，設(shè)法找出向量空間的一組線性無(wú)關(guān)的向量，使得向量空間的任何一個(gè)向量都能被它們線性表示，則它們就是向量空間的一個(gè)基。而另一種是極大無(wú)關(guān)組法：即求出向量組的極大無(wú)關(guān)組，就是向量組生成的向

6、量空間的一個(gè)基。2.向量組的極大無(wú)關(guān)組在求解線性方程組中的應(yīng)用對(duì)于齊次線性方程組的解空間，要求它的通解，通常是先求出齊次線性方程組的基礎(chǔ)解析，由于齊次線性方程組的基礎(chǔ)解析，實(shí)際上就是齊次線性方程組的解空間的極大無(wú)關(guān)組。然而，求齊次線性方程組的解空間的基礎(chǔ)解析（即極大無(wú)關(guān)組），通常也有兩種方法：一種是高斯消元法：即對(duì)于“具體”的齊次線性方程組，可以對(duì)其系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，將其化為行最簡(jiǎn)形，得到齊次線性方程組的解空間的基礎(chǔ)解析（即極大無(wú)關(guān)組）。而另一種是利用有關(guān)結(jié)論法：即對(duì)于“抽象”的齊次線性方程組，首先根據(jù)齊次線性方程組的解空間的維數(shù)（基礎(chǔ)解析所含向量的個(gè)數(shù)）與齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩的關(guān)系，確定，然后，設(shè)法從已知的條件中找出齊次線性方程組的個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，就是所求的齊次線性方程組的解空間的基礎(chǔ)解析。向量組的極大無(wú)關(guān)組還有著非常廣泛的應(yīng)用，比如，向量組的極大無(wú)關(guān)組化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角矩陣中的應(yīng)用，在求解階常系數(shù)微分方程中的應(yīng)用，以及在代數(shù)學(xué)中的應(yīng)用等等。由于篇幅所限，在此，就不累贅了。參考文獻(xiàn)1 李乃華.趙芬霞.趙俊英.李景煥.線性代數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)學(xué)m.北京：高等教育出版社，2012.2 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)（第