2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)推薦課件

1、2021/8/2212.3等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（第二課時(shí)）項(xiàng)和（第二課時(shí)）四川省平武中學(xué)四川省平武中學(xué)2021/8/222等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式: :2)1nnaanS （dnnnaSn2)11 （形式形式1:1:形式形式2:2:2021/8/223 1. 1.將等差數(shù)列前將等差數(shù)列前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式 看作是一個(gè)關(guān)于看作是一個(gè)關(guān)于n n的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的函數(shù)，這個(gè)函數(shù) 有什么特點(diǎn)？有什么特點(diǎn)？2) 1(1dnnnaSn當(dāng)當(dāng)d00時(shí)時(shí),S,Sn n是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)21()22nddSnan 則則 Sn=An2+Bn令令1,22d

2、dABa 2021/8/224例例3 已知數(shù)列已知數(shù)列an中中求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是嗎，他的首項(xiàng)和公差分別是什么？如果是嗎，他的首項(xiàng)和公差分別是什么？212nSnn123111231.;.nnnnnSaaaaaSaaaa分析： 有；11(1)San1(2);nnnSSa n得到得到111(2)(1)nnSSnnSana 2021/8/225例例3 已知數(shù)列已知數(shù)列an中中求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是嗎，他的首項(xiàng)和公差分別是什么？如果是嗎，他的首項(xiàng)和公差分別是

3、什么？212nSnn解：解：22n-122n-111;=(n-1)(1)2211n2()(n-1)(1)22nnnSnnSnSSnnn當(dāng)時(shí)，a122n21113n=1122S當(dāng)時(shí)，a1322又2 1-也滿足（1）式122nan所以首項(xiàng)所以首項(xiàng)為為1.5，公，公差為差為2(1)122n(1)122n(1)2021/8/226例例4 已知數(shù)列已知數(shù)列an：245 , 4, 3, . . . . . . .77的前n項(xiàng)和為 ，求使得 最大的序號(hào)n的值。nSnS等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問(wèn)題項(xiàng)的最值問(wèn)題分析：分析：數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為 ， 公差公差d0 ，顯然，顯然，數(shù)

4、列的前幾項(xiàng)為正數(shù)，到某一項(xiàng)就開(kāi)始為負(fù)，所以數(shù)數(shù)列的前幾項(xiàng)為正數(shù)，到某一項(xiàng)就開(kāi)始為負(fù)，所以數(shù)列的前列的前n項(xiàng)和最大，也就是所有的正數(shù)項(xiàng)相加。項(xiàng)和最大，也就是所有的正數(shù)項(xiàng)相加。 15a 15a 2021/8/227例例4 已知數(shù)列已知數(shù)列an：245 , 4, 3, . . . . . . .77的前n項(xiàng)和為 ，求使得 最大的序號(hào)n的值。nSnS等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問(wèn)題項(xiàng)的最值問(wèn)題思路思路1：數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為 ，15a 254577d 1(1)(1)55()227nn nn nSa ndn25751414nn 25151125()14256n 于是，當(dāng)于是

5、，當(dāng)n取與對(duì)稱(chēng)軸最接近的整數(shù)時(shí)即取取與對(duì)稱(chēng)軸最接近的整數(shù)時(shí)即取7或或8時(shí)，前時(shí)，前n項(xiàng)和最大項(xiàng)和最大2021/8/228例例4 已知數(shù)列已知數(shù)列an：245 , 4, 3, . . . . . . .77的前n項(xiàng)和為 ，求使得 最大的序號(hào)n的值。nSnS等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問(wèn)題項(xiàng)的最值問(wèn)題思路思路2：數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為 ，15a 254577d 15(1)5(1)()754 077naandnn =5400,=0877nnn令 a則， 解 之 的78n=78SS當(dāng)或者 的時(shí)候，有最大2021/8/229練習(xí)練習(xí):已知數(shù)列已知數(shù)列an的通項(xiàng)為的通項(xiàng)為an=

6、26-2n,要使此數(shù)列的前要使此數(shù)列的前n項(xiàng)和最大項(xiàng)和最大,則則n的值為的值為( )A.12 B.13 C.12或或13 D.14C2021/8/2210等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問(wèn)題項(xiàng)的最值問(wèn)題練習(xí)練習(xí).已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中中,a10,d0時(shí)時(shí),數(shù)列前面有若干項(xiàng)為正數(shù)列前面有若干項(xiàng)為正,此時(shí)所有正此時(shí)所有正項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為Sn的最大值的最大值,其其n的值由的值由an0且且an+10求得求得. 當(dāng)當(dāng)a10時(shí)時(shí),數(shù)列前面有若干項(xiàng)為負(fù)數(shù)列前面有若干項(xiàng)為負(fù),此時(shí)所有負(fù)此時(shí)所有負(fù)項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為Sn的最小值的最小值,其其n的值由的值由an 0且且an+1 0求得求得.2021/8/2

7、2122.等差數(shù)列等差數(shù)列an前前n項(xiàng)和的性質(zhì)項(xiàng)和的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也在等差數(shù)列也在等差數(shù)列,公差為公差為在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中中,其前其前n項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為Sn,則有則有性質(zhì)性質(zhì)2:若若Sm=p,Sp=m(mp),則則Sm+p=性質(zhì)性質(zhì)3:若若Sm=Sp (mp),則則 Sp+m=性質(zhì)性質(zhì)4:(1)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n,則則 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1為中為中間兩項(xiàng)間兩項(xiàng)),此時(shí)有此時(shí)有:S偶偶S奇奇= ,SS 奇奇偶偶n2d0nd1nnaa (m+p)2021/8/2213性質(zhì)性質(zhì)4:(1)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)若

8、項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1,則則 S2n-1=(2n 1)an (an為中間項(xiàng)為中間項(xiàng)), 此時(shí)有此時(shí)有:S偶偶S奇奇= ,SS 奇奇偶偶兩等差數(shù)列前兩等差數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系性質(zhì)性質(zhì)6:若數(shù)列若數(shù)列an與與bn都是等差數(shù)列都是等差數(shù)列,且且前前n項(xiàng)的和分別為項(xiàng)的和分別為Sn和和Tn,則則nnab 性質(zhì)性質(zhì)5: 為等差數(shù)列為等差數(shù)列.nSnan1nn 2121nnST 2021/8/2214例例1.設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn,若若S3=9,S6=36,則則a7+a8+a9=( )A.63 B.45 C.36 D.27例例2.在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中中,已知公

9、差已知公差d=1/2,且且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=( )A.85 B.145 C.110 D.90BA3.等差數(shù)列等差數(shù)列an前前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用2021/8/2215例例3.一個(gè)等差數(shù)列的前一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為100,前前100項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為10,則它的前則它的前110項(xiàng)的和項(xiàng)的和為為 .110例例4.兩等差數(shù)列兩等差數(shù)列an 、bn的前的前n項(xiàng)和分項(xiàng)和分別是別是Sn和和Tn,且且71427nnSnTn 求求 和和 . 55abnnab521952n 196463naSSbTT 146823nnanbn 等差數(shù)列等差數(shù)列

10、an前前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用2021/8/2216例例5.一個(gè)等差數(shù)列的前一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為354,其中項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)其中項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的項(xiàng)的和之比為的項(xiàng)的和之比為32:27,則公差為則公差為 .5等差數(shù)列等差數(shù)列an前前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用2021/8/2217例例6.設(shè)等差數(shù)列的前設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn,已知已知a3=12,S120,S13013a1+136d02437d 等差數(shù)列等差數(shù)列an前前n項(xiàng)和的性質(zhì)項(xiàng)和的性質(zhì)2021/8/2218(2) 11(1)2nSnan nd1(122 )(1)2ndn nd25(12)22ddnnSn圖象的對(duì)稱(chēng)軸為圖象的對(duì)稱(chēng)軸為5122nd由由(1)知知2437d 由上得由上得51213622d1362n即即由于由