江西省臨川區(qū)第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷(含解析)

1、江西省臨川區(qū)第一中學(xué)2015-2016 學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷（含解析）一、選擇題（本題共12 小題，每題5 分，共 60 分，每小題只有一項(xiàng)是正確的）1,a b為非零實(shí)數(shù)，且ab，則下列命題成立的是（） a 22ab b2211aba b c22a bab dbaab【答案】 b 【解析】試題分析：令2,1ab可排除 a、c，令2,1ab，可排除d，故選 b. 考點(diǎn)：不等式的性質(zhì). 2若不等式28210axax的解集是| 71xx，那么a的值是（） a 1 b2 c3 d4 【答案】 c 【解析】試題分析：因?yàn)椴坏仁?8210axax的解集是| 71xx，所以7, 1是方程28210ax

2、ax的兩根，所以217( 1)a，即3a，故選 c. 考點(diǎn)： 1. 不等式與方程的關(guān)系；2. 二次方程根與系數(shù)關(guān)系. 3 已知abc中，內(nèi)角,a b c的對邊分別為, ,a b c， 若222abcbc，2bc， 則abc的面積為（） a 12 b 1 c3 d32【答案】 d 考點(diǎn)： 1. 余弦定理； 2. 三角形面積 . 4已知數(shù)列na中，13a，111nnaa（*nn） ，能使3na的n可以等于（） a 14 b15 c16 d17【答案】 c 考點(diǎn)： 1. 數(shù)列的遞推公式；2. 數(shù)列的周期性. 5 在三角形abc中， 角,a b c的對邊分別為, ,a b c， 且滿足745abc，

3、則sin 2sinsinabc（） a 1114 b127 c1445 d1124【答案】 c 【解析】試題分析：設(shè)745abck，則7 ,4 ,5ak bk ck，又222222sin 22sincos21416254914sinsinsinsin24524545aaaabcakkkkbcbcbcbckkkk，故選 c. 考點(diǎn)：正弦定理與余弦定理. 6在abc中，角,a b c的對邊分別為, ,a b c，若222()tan3acbbac，則角b的值為（） a b或 c d或【答案】 b 【解析】試題分析： 因?yàn)?22()tan3acbbac，所以2costan3acbbac，即3sin2b

4、，所以3b或23b，故選 b. 考點(diǎn)： 1. 余弦定理； 2. 同角三角函數(shù)關(guān)系. 7. 數(shù)列na滿足112a，且對于任意nn都滿足131nnnaaa，則數(shù)列1nnaa的前n項(xiàng)和為（） a b c d2(32)nn【答案】 d 考點(diǎn)： 1. 等差數(shù)列的性質(zhì)；2. 數(shù)列的遞推公式；3. 裂項(xiàng)相消法求和. 【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)、數(shù)列的遞推公式、裂項(xiàng)相消法求和，中檔題；由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)通常是通過累和法、累積法、倒數(shù)法、構(gòu)造新數(shù)列等方法求解的，如本題在求通項(xiàng)公式時(shí)采用的就是倒數(shù)法解的. 8已知數(shù)列na的通項(xiàng)公式為327nan，記數(shù)列na的前n項(xiàng)和為ns，則使0ns成立的n的最

5、大值為（） a 4 b 5 c6 d8 【答案】 c 【解析】試題分析：123433333,1,3,32 175227237247aaaa,5312 57a6332 675a,7332 777a, ，所以使0ns成立的n的最大值為6，故選 c. 考點(diǎn)： 1. 數(shù)列的通項(xiàng)公式；2. 數(shù)列與不等式. 9在平面直角坐標(biāo)系中，若( ,)p x y滿足44021005220 xyxyxy，則2xy的最大值是（） a 2 b8 c14 d16 【答案】 c 【解析】試題分析： 在直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域如下圖所示，由圖可知， 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)2zxy經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)(2,6)c時(shí)有最大值，所以max222614x

6、y，故選 c. 考點(diǎn)：線性規(guī)劃. 10 設(shè)0,0,(1, 2),( , 1),(,0)abab acb， 若,a b c三點(diǎn)共線，則21ab的最小值是（） a 3+2 b4 c6 d9【答案】 d 考點(diǎn)： 1. 基本不等式；2. 斜率公式 . 11. 若na是正項(xiàng)遞增等比數(shù)列，nt表示其前n項(xiàng)之積， 且919tt，則當(dāng)nt取最小值時(shí)，n的值為（） a9 b14 c19 d24【答案】 b 【解析】試題分析： 因?yàn)?19tt， 所以1011191a aa， 即14151a a， 又?jǐn)?shù)列na是遞增的等比數(shù)列，所以14151,1aa，所以當(dāng)nt取最小值時(shí)，n的值為14，故選 b. 考點(diǎn)：等比數(shù)列的定

7、義與性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義與性質(zhì); 中檔題 ; 等比數(shù)列的性質(zhì)是高考考查的熱點(diǎn)問題, 解決等比數(shù)列問題一是用基本量法, 即用首項(xiàng)與公比表示題中條件, 列出方程求出首項(xiàng)與公比 ; 二是利用等比數(shù)列相關(guān)性質(zhì)求解, 如本題就是利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解的. 12不等式22230 xaxyy對于任意1,2x及1,3y恒成立， 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（） a 2 2a b2 6a c5a d92a【答案】 b 考點(diǎn)： 1. 基本不等式 ;2. 等價(jià)轉(zhuǎn)換思想 . 【名師點(diǎn)睛】本題考查等價(jià)轉(zhuǎn)換思想在不等式中的應(yīng)用與基本不等式，中檔題；利用等價(jià)轉(zhuǎn)換分離參數(shù)，即利用不等式的性質(zhì)將所求的參數(shù)放在

8、不等式式的一邊，其它變量放在不等式的另一邊，然后利用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)求另一邊的最大值或最小值是解決不不等式恒成立的一種常用方法. 二、填空題（本題共4 小題，每小題5 分，共 20 分）13函數(shù)9( ) (1)22f xxxx的最小值是 _【答案】 3 21【解析】試題分析：因?yàn)?x，所以10 x，999( )112113 21222(1)2(1)f xxxxxxx， 當(dāng)且僅當(dāng)912(1)xx，即3 212x時(shí)取等號，所以min( )3 21f x. 考點(diǎn)：基本不等式. 14如圖，在abc 中， d 為邊 bc 上一點(diǎn)，12bddc ， 若1ab，2ac，則ad bd的最大值為 _【答案

9、】22考點(diǎn)： 1. 三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)；2. 余弦定理； 3. 基本不等式 . 15. 已知ns為數(shù)列na的前n項(xiàng)和，1=1a,2=(1)nnsna，若存在唯一的正整數(shù)n使得不等式2220nnatat成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為_.【答案】1( 2, 1,1)2【解析】試題分析：由2(1)nnsna得，當(dāng)2n時(shí)有112nnsna，所以11222(1)nnnnnassnana，即1(1)nnnana，11nnanan，又11a，所以121211nnnnnnaaaaanaaaa，所以2220nnatat等價(jià)于2220ntnt，設(shè)22( )2f nntnt，由于2(0)20ft，所以由題意有2222

10、(1)120(2)2220fttftt，解之得21t或112t，所以應(yīng)填1( 2, 1,1)2. 考點(diǎn)： 1.na與ns的關(guān)系； 2. 累積法求數(shù)列通項(xiàng)公式；3. 函數(shù)、數(shù)列與不等式. 【易錯(cuò)點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列中na與ns的關(guān)系、累積法求數(shù)列通項(xiàng)公式、函數(shù)、數(shù)列與不等式的綜合問題， 中檔題； 本題中求解的問題是存在唯一的正整數(shù)n使不等式成立， 即能成立問題，在解題很容易當(dāng)成對一切正整數(shù)n不等式成立，成為恒成立問題而導(dǎo)致錯(cuò)誤或無法求解. 16. 記數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為sn，若不等式222122nnsaman對任意等差數(shù)列an 及任意正整數(shù)n都成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為 _【答案】110考點(diǎn)：

11、1. 等差數(shù)列的定義與性質(zhì)；2. 二次函數(shù) . 【名師點(diǎn)睛】本考考查等差數(shù)列的定義與性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，難題；分離參數(shù)法是解不等式恒成立的常用方法，本題首先分離參數(shù)反問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的的最小值問題是解題的關(guān)鍵，但在本題的中難點(diǎn)是二次函數(shù)的變量為1naa，而不是一個(gè)具體的字母作為變量的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的整體代換的思想. 三、解答題（本題共六小題，共計(jì)70 分）17 （本題 10 分）已知函數(shù)2( )3f xxxa（1）當(dāng)2a時(shí)，求不等式( )2f x的解集（2）若對任意的1,)x，( )0f x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】 (1)|41x xx或;(2)|4a a【解析】試題分析： (

12、1)當(dāng)2a時(shí)，2( )32f xxx，所以( )2f x可化為2340 xx，解之即可；(2) 對 任 意 的1,)x，( )0f x恒 成 立23axx在1,)x恒 成 立 ， 設(shè)2( )3 ,1g xxx x, 則max( )ag x即可，求出函數(shù)( )g x的最大值即可. 試題解析：（1）當(dāng)2a時(shí)，不等式( )2f x可化為2340 xx解得|41x xx或5 分考點(diǎn)： 1. 二次不等式的解法；2. 函數(shù)與不等式 . 18 （本題 12 分）設(shè)abc的內(nèi)角,a b c的對邊分別為, ,a b c, ()().abc abcac（）求b; （）若31sinsin4ac，求角 c【答案】（1

13、）0120b（2）015c或045c. 【解析】試題分析： (1) 由()()abcabcac得222acbac， 結(jié)合余弦定理可求出b;(2)由三角形內(nèi)角和定理可知060ac， 由3cos()cos()2sinsin2acacac可求出030ac或030ac，解之即可 . 試題解析：（1）因?yàn)?)()abc abcac，所以222acbac，由余弦定理得2221cos22acbbac4 分因此0120b6 分（2）由（ 1）知060ac，所以cos()coscossinsinacacaccoscossinsin2sinsinacacaccos()2sinsinacac1313224210 分

14、故030ac或030ac，因此015c或045c12 分考點(diǎn)： 1. 余弦定理； 2. 三角恒等變換 . 19. （ 本 題12分 ） 在abc中 ， 角,a b c的 對 邊 分 別 為, ,a b c， 且22()(23)abcbc，2sinsincos2cab（1）求角 b的大?。唬?）若等差數(shù)列na的公差不為零， 且ba2cos1=1，且248,aaa成等比數(shù)列， 求14nna a的前n項(xiàng)和ns【答案】（1）6b; （2）,1nnsnnn. 解得2,3c6b 6 分（2）設(shè)na的公差為d，由已知得112cosaa，且2428aa a2111(3 )()(7 )adadad又0d, 2d

15、2nan9 分14111(1)1nna an nnn1111111(1)()()()223341nsnn1111nnn 12 分考點(diǎn)： 1. 余弦定理； 2. 三角恒等變換；3. 等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)；3. 裂項(xiàng)相消法求和. 20. （本題 12 分） 首屆世界低碳經(jīng)濟(jì)大會(huì)在南昌召開，本屆大會(huì)以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題某單位在國家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品已知該單位每月的處理量最少為400 噸，最多為600 噸，月處理成本y( 元 ) 與月處理量x( 噸) 之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為21200800002yxx，且每處理一噸二氧

16、化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100 元(1) 該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？(2) 該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損？【答案】（1）400（2）至少補(bǔ)貼40000元【解析】（2）設(shè)該單位每月獲利s元，則21100300800002sxyxx 8 分且21(300)350002sx，又因?yàn)?00,600 x所以max40000s所以該單位不獲利，每月需要國家至少補(bǔ)貼40000 元才不會(huì)虧本。12 分考點(diǎn)： 1. 函數(shù)建模問題；2. 基本不等式； 3. 二次函數(shù) . 【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)建模問題、基

17、本不等式、二次函數(shù)，中檔題；函數(shù)建模解決實(shí)際問題的一般步驟為：1. 審題，即深刻理解題意，分清條件和結(jié)論，理順其中的數(shù)量關(guān)系，把握其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)；2. 建模，即由題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；3. 解模，即應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和方法解決轉(zhuǎn)化出的數(shù)學(xué)問題；4. 還原，即回到題目本身，檢驗(yàn)結(jié)果的實(shí)際意義，給出結(jié)論. 21 （本題 12 分）abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，且2 cos +2bc ca（1）求角b的大??；（2）若bd為ac邊上的中線，1cos7a，1292bd，求abc的面積【答案】（1）3b（2）10 3【解析】（2）在abd中，由余弦定理得

18、222129()( )2cos222bbcca，221291447bcbc，8 分在abc中，由正弦定理得sinsincbcb，由已知得4 3sin7asinsin()cabsincoscos sinabab5 314，10 分57cb，由解得75bc，1sin10 32abcsbca12 分考點(diǎn)： 1. 正弦定理與余弦定理；2. 三角形內(nèi)角和定理與面積公式. 【名師點(diǎn)睛】本題考查正弦定理與余弦定理、三角形內(nèi)角和定理與面積公式，中檔題；運(yùn)用正弦定理與余弦定理解三角形時(shí)，要分清條件和目標(biāo)，若已知兩邊及夾角，則用余弦定理；若已知兩角和一邊，則用正弦定理. 在已知三角形兩邊及一邊的對角解三角形時(shí)，首先必須判斷是否有解，是一解還是兩解，注意“大邊對大