2022年指數函數和對數函數復習

1、學習必備歡迎下載一、指數的性質（一）整數指數冪1整數指數冪概念：annaaaa個)(nn010aa10,nnaanna2整數指數冪的運算性質： （1）,mnm naaam nz（2）,nmmnaam nz（3）nnnababnz其中mnmnm naaaaa，1nnnnnnaaa babbb3a的n次方根的概念一般地，如果一個數的n次方等于annn, 1，那么這個數叫做a的n次方根，即：若axn，則x叫做a的n次方根，nnn, 1例如： 27 的 3 次方根3273，27的 3 次方根3273，32 的 5 次方根2325，32的 5 次方根2325說明：若n是奇數，則a的n次方根記作na； 若

2、0a則0na， 若oa則0na；若n是偶數，且0a則a的正的n次方根記作na，a的負的n次方根，記作：na；（例如：8 的平方根22816 的 4 次方根2164）若n是偶數，且0a則na沒意義，即負數沒有偶次方根；nnnn, 10000n；精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載式子na叫根式，n叫根指數，a叫被開方數。nnaa4a的n次方根的性質一般地，若n是奇數，則aann；若n是偶數，則00aaaaaann5例題分析：例 1求下列各式的值：（ 1）338（ 2）2

3、10（ 3）443（ 4）baba2解：略。例 2已知,0bannn, 1，化簡：nnnnbaba解：當n是奇數時，原式ababa2)()(當n是偶數時，原式abaabbaba2)()(|所以，nnnnbaba22anan為奇數為偶數例 3計算：407407解：40740752)25()25(22例 4求值：54925解：54925425254549252）（4526225252154152）（二）分數指數冪1分數指數冪：10510250aaaa12312430aaaa即當根式的被開方數能被根指數整除時，根式可以寫成分數指數冪的形式；如果冪的運算性質（2）nkknaa對分數指數冪也適用，例如：

4、 若0a，則3223233aaa，4554544aaa， 2323aa4545aa即當根式的被開方數不能被根指數整除時，根式也可以寫成分數指數冪的形式。規(guī)定： （1）正數的正分數指數冪的意義是0,1mnmnaaam nnn；（2）正數的負分數指數冪的意義是110,1mnmnmnaam nnnaa2分數指數冪的運算性質：整數指數冪的運算性質對于分數指數冪也同樣適用精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載即10, ,rsrsa aaar sq20 ,srr saaar sq3

5、0 ,0 ,rrraba babrq說明： （1）有理數指數冪的運算性質對無理數指數冪同樣適用；（2） 0 的正分數指數冪等于0，0 的負分數指數冪沒意義。3例題分析：例 1 用分數指數冪的形式表示下列各式ao：2aa，332aa，a a. 解：2aa=11522222aaaa；332aa=211333aaa；a a=1113322224a aaa 例 2計算下列各式的值（式中字母都是正數）（1）211511336622263a ba ba b；（2）83184m n；解（ 1）211511336622263a ba ba b=21111 532623 6263ab=044aba；（2）831

6、84m n=883184mn=2233mm nn例 3計算下列各式：（ 1）3451255（2）2320aaaa解： （1）3451255=231324555=213134245555=5512455=512455 5；（2）232aaa=526562132aaaa a（三）綜合應用例 1化簡：11555xxx.解：11555xxx=15(1525)x=131 5x=3155x.例 2化簡：)()(41412121yxyx.精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載解：11

7、112244()()xyxy111111444444()()()xyxyxy1144xy評述：此題注重了分子、 分母指數間的聯(lián)系，即21241)(xx，由此聯(lián)想到平方差公式的特點，進而使問題得到解決。例 3已知13xx，求下列各式的值： （1）1122xx； （2）3322xx.解： （1）11222()xx1111222222()2()xx xx112xx325，11225xx，又由13xx得0 x，11220 xx，所以11225xx.（2） （法一）3322xx113322)()xx（11111122222222()()() xxxx xx11122()()1xxxx5(31)2 5，（

8、法二）33222()()xx3333222222()()2xxxx332xx而33xx122()(1)xxxx112()()3xxxx23(33)1833222()20 xx，又由130 xx得0 x，33220 xx，所以3322202 5xx. 二、指數函數1指數函數定義：一般地，函數xya（0a且1a）叫做指數函數，其中x是自變量，函數定義域是r2指數函數xya在底數1a及01a這兩種情況下的圖象和性質：1a01a圖象精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載性質（1

9、）定義域：r（2）值域：(0,)（3）過點(0,1)，即0 x時1y（4）在r上是增函數（ 4）在r上是減函數例 1求下列函數的定義域、值域：（1）1218xy（2）11( )2xy（3）3xy（ 4）1(0,1)1xxayaaa解： （1）210 x12x原函數的定義域是1,2x xr x，令121tx則0,ttr8 (,0)tytr t得0,1yy，所以，原函數的值域是0,1y yy（2）11( )02x0 x原函數的定義域是0,，令11( )2xt(0)x則01t，yt在0,1是增函數01y，所以，原函數的值域是0,1（3）原函數的定義域是r，令tx則0t，3ty在,0是增函數，01y，

10、所以，原函數的值域是0,1（4）原函數的定義域是r，由1(0,1)1xxayaaa得11xyay，0 xa101yy，11y，所以，原函數的值域是1,1說明：求復合函數的值域通過換元可轉換為求簡單函數的值域。例 2當1a時，證明函數11xxaya是奇函數。證明：由10 xa得，0 x，故函數定義域0 x x關于原點對稱。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載1()1xxafxa(1)(1)xxxxaaaa11xxaa( )f x()( )fxfx所以，函數11xxaya

11、是奇函數。例 3設a是實數，2( )()21xf xaxr，（1）試證明：對于任意,( )a f x在r為增函數；（2）試確定a的值，使( )f x為奇函數。分析： 此題雖形式較為復雜，但應嚴格按照單調性、奇偶性的定義進行證明。還應要求學生注意不同題型的解答方法。（1）證明：設1212,x xr xx，則12()()f xf x1222()()2121xxaa21222121xx12122(22 )(21)(21)xxxx，由于指數函數2xy在r上是增函數，且12xx，所以1222xx即12220 xx，又由20 x，得1120 x，2120 x，所以，12()()0f xf x即12()()

12、f xf x因為此結論與a取值無關，所以對于a取任意實數，( )f x在r為增函數。評述：上述證明過程中，在對差式正負判斷時，利用了指數函數的值域及單調性。（2）解：若( )f x為奇函數，則()( )fxf x，即22()2121xxaa變形得：2 222(21)2(21) 22121xxxxxxa，解得：1a，所以，當1a時,( )f x為奇函數。三、對數的性質1對數定義：一般地，如果a（10aa且）的b次冪等于n, 就是nab，那么數b叫做 a 為底n 的對數，記作bnalog，a 叫做對數的底數，n 叫做真數。即ban，loganbanb指數式nab底數冪指數精品學習資料 可選擇p d

13、 f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載對數式bnalog對數的底數真數對數說明： 1在指數式中冪n 0，在對數式中，真數n 0 （負數與零沒有對數）2對任意0a且1a, 都有01alog 10a，同樣：log1aa3如果把ban中的b寫成logan， 則有l(wèi)oganan（對數恒等式） 2對數式與指數式的互換例如：24164l o g 1 6221010010log1002124241l og2221 00. 0110log0.012例 1將下列指數式寫成對數式：（1）4525；（2）61264；

14、（ 3）327a；（ 4）15.373m解： （1）5log 6254；（2）21log664；（3）3log 27a；（4）13log 5.37m3介紹兩種特殊的對數：常用對數：以10 作底10logn寫成lg n自然對數：以e作底為無理數，e= 2.71828，logen寫成ln e例 2 （1）計算：9log 27，345log625解：設x9log 27則27xa，2333x, 32x；令x3 45log625，345625x, 44355x, 5x（2）求x 的值：33log4x；2221log3211xxx解：3441327x；22232121200,2xxxxxxx但必須：222

15、2102113210 xxxx，0 x舍去，從而2x（3）求底數：3log 35x，7log 28x解：3535353(3)x533x；77888722x, 2x4對數的運算性質：如果a 0 ， a 1， m 0 ， n 0，那么（1）log ()loglogaaamnmn；（2）loglog- logaaammnn；精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載（3）loglog()naamnm nr例 3計算：（1）lg1421g18lg7lg37；（2）9lg243lg；

16、（3）2. 1lg10lg38lg27lg解： （1）解法一：18lg7lg37lg214lg2lg(27)2(lg 7lg3)lg 7lg(32)lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20；解法二：18lg7lg37lg214lg27lg14lg()lg 7lg183=18)37(714lg2lg10；（2）253lg23lg53lg3lg9lg243lg25；（3）2 .1lg10lg38lg27lg=11332223(lg32lg 2 1)lg(3 )lg 23lg10323 2lg32lg 2 12lg105換底公式：logloglogmamnna( a 0 , a 1 ；

17、0,1mm) 證明：設loganx，則xan，兩邊取以m為底的對數得：loglogxmman，loglogmmxan，從而得：anxmmloglog，annmmalogloglog說明：兩個較為常用的推論：（1）loglog1abba；（2）loglogmnaanbbm（a、0b且均不為1） 證明： （1）1lglglglgloglogbaababba；（2）lglglogloglglgmnnamabnbnbbamam例 4計算：（1）0.21 log35；（2）4492log 3 log 2log32解： （1）原式= 0.251log3log3555151553；（2） 原式= 23454

18、12log452log213log21232例 5已知18log9a，185b，求36log45（用a, b 表示） 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載解：18log9a，a2log1218log1818，18log21a，又185b，18log5b，aba22log15log9log36log45log45log181818181836例 6設1643tzyx，求證：yxz2111證明：1643tzyx，6lglg4lglg3lglgtztytx，yttttxz2

19、1lg24lglg2lglg3lglg6lg11例 7若8log 3p，3log 5q，求lg 5解：8log 3p，)5lg1(32lg33lg33log2ppp，又q3lg5lg5log3，)5lg1(33lg5lgpqq，pqpq35lg)31(pqpq3135lg四、對數函數1對數函數的定義：函數xyalog) 10(aa且叫做對數函數。2對數函數的性質：（ 1）定義域、值域：對數函數xyalog) 10(aa且的定義域為),0(，值域為),(（2）圖象：由于對數函數是指數函數的反函數，所以對數函數的圖象只須由相應的指數函數圖象作關于xy的對稱圖形，即可獲得。同樣：也分1a與10a兩種

20、情況歸納，以xy2log（圖 1）與xy21log（圖 2）為例。1 1 2xy2logyxyx（圖 1）1 1 1( )2xy12logyxyx（圖 2）精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載（3）對數函數性質列表：圖象1a01a性質（1）定義域：(0,)（2）值域：r（3）過點(1,0)，即當1x時，0y（4）在（ 0，+）上是增函數（ 4）在(0,)上是減函數例 1求下列函數的定義域：（1）2logxya；（2）)4(logxya；（3）)9(log2xya分析：

21、此題主要利用對數函數xyalog的定義域(0,)求解。解： （1）由2x0 得0 x，函數2logxya的定義域是0 x x；（2）由04x得4x，函數)4(logxya的定義域是4x x；（3）由 9-02x得-33x，函數)9(log2xya的定義域是33xx例 2比較下列各組數中兩個值的大?。海?）2log 3.4，2log 8.5；（2）0.3log1.8，0.3log2.7；（3）log 5.1a，log 5.9a. 解： （1）對數函數2logyx在(0,)上是增函數，于是2log 3.42log 8.5；（2）對數函數0.3logyx在(0,)上是減函數，于是0.3log1.80

22、.3log2.7；（3）當1a時，對數函數logayx在(0,)上是增函數，于是log 5.1alog 5.9a，當1oa時，對數函數logayx在(0,)上是減函數，于是log 5.1alog 5.9a例 3比較下列比較下列各組數中兩個值的大?。海?）6log 7，7log 6；（2）3log，2log 0.8；（3）0.91.1，1.1log0.9，0.7log0.8；（4）5log 3，6log 3，7log 3解： （1）66log 7log 61，77log 6log 71，6log 77log 6；（2）33loglog 10，22log 0.8log 10，3log2log 0.

23、8(1,0)(1,0)1x1xlogayxlogayx精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載（3）0.901.11.11，1.11.1log0.9log10，0.70.70.70log1log0.8log0.71，0.91.10.7log0.81.1log0.9（4）3330log 5log 6log 7，5log 36log 37log 3例 4已知log4log 4mn，比較m，n的大小。解：log4log 4mn，4411loglogmn，當1m，1n時，得44110loglogmn，44loglognm， 1mn當01m，01n時，得44110loglogmn，44loglognm， 01nm當01m，1n時，得4log0m，40log n，01m，1n， 01mn綜上所述，m，n的大小關系為1mn或 01nm或01