2022年數(shù)列公式匯總

1、1 人教版數(shù)學(xué)必修五第二章數(shù)列重難點(diǎn)解析第二章課文目錄21 數(shù)列的概念與簡單表示法22 等差數(shù)列23 等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和24 等比數(shù)列25 等比數(shù)列前n項(xiàng)和【重點(diǎn)】1、數(shù)列及其有關(guān)概念，通項(xiàng)公式及其應(yīng)用。2、根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)。3、等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)的理解與應(yīng)用。4、等差數(shù)列n 項(xiàng)和公式的理解、推導(dǎo)及應(yīng)用，熟練掌握等差數(shù)列的求和公式。5、等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，等比中項(xiàng)的理解與應(yīng)用。6、等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式推導(dǎo)，進(jìn)一步熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n 項(xiàng)和公式【難點(diǎn)】1、根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)觀察、歸納數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。2、理

2、解遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系。3、等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活應(yīng)用等差數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問題。4、靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n 項(xiàng)公式解決一些簡單的有關(guān)問題。5、靈活應(yīng)用求和公式解決問題，靈活應(yīng)用定義式及通項(xiàng)公式解決相關(guān)問題。6、靈活應(yīng)用等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)解決一些相關(guān)問題。一、 數(shù)列的概念與簡單表示法 數(shù)列的定義 ：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列 . 注意 ：數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn). 數(shù)列的項(xiàng) ：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng). 各項(xiàng)依次叫做這

3、個(gè)數(shù)列的第1 項(xiàng)（或首項(xiàng)） ，第2 項(xiàng)，第n 項(xiàng)， . 數(shù)列的一般形式：,321naaaa，或簡記為na，其中na是數(shù)列的第n 項(xiàng) 數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列na的第 n 項(xiàng)na與 n 之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. 注意 ：并不是所有數(shù)列都能寫出其通項(xiàng)公式，如上述數(shù)列；一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)是不唯一的，如數(shù)列：1， 0， 1， 0， 1，0，它的通項(xiàng)公式可以是2)1(11nna，也可以是|21cos|nan. 數(shù)列通項(xiàng)公式的作用：求數(shù)列中任意一項(xiàng)；檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項(xiàng). 數(shù)列的通項(xiàng)公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第項(xiàng)，又是這個(gè)數(shù)列中所有各項(xiàng)的一般

4、表示通項(xiàng)公式反映了一個(gè)數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系，給了數(shù)列的通項(xiàng)公式，這個(gè)數(shù)列便確定了，代入項(xiàng)數(shù)就可求出數(shù)列的每一項(xiàng)5. 數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：數(shù)列可以看成以正整數(shù)集n*（或它的有限子集1，2，3， n ）為定義域的函數(shù)( )naf n，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對應(yīng)的一列函數(shù)值。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -2 反過來，對于函數(shù)y=f(x

5、), 如果f(i)（i=1 、2、3、4）有意義，那么我們可以得到一個(gè)數(shù)列f(1) 、f(2) 、 f(3) 、 f(4) ，f(n) ，6數(shù)列的分類：1）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)數(shù)的多少分：有窮數(shù)列 ：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列. 例如數(shù)列 1，2，3， 4，5，6。是 有窮數(shù)列無窮數(shù)列 ：項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列. 例如數(shù)列 1，2，3， 4，5，6是 無窮數(shù)列2）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的大小分：遞增數(shù)列：從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。遞減數(shù)列：從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。常數(shù)數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列。擺動(dòng)數(shù)列：從第2 項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列7數(shù)列的表示方法（1）通項(xiàng)公式法如

6、果數(shù)列na的第 n 項(xiàng)與序號之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。如數(shù)列的通項(xiàng)公式為；的通項(xiàng)公式為；的通項(xiàng)公式為；（2）圖象法啟發(fā)學(xué)生仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形具體方法是以項(xiàng)數(shù)為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)為縱坐標(biāo)，即以為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中做出點(diǎn)（以前面提到的數(shù)列為例，做出一個(gè)數(shù)列的圖象） ，所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點(diǎn)，因?yàn)闄M坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在軸的右側(cè)，而點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于數(shù)列的項(xiàng)數(shù)從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢（3）遞推公式法如果已知數(shù)列na的第 1 項(xiàng)（或前幾項(xiàng)） ，且任一項(xiàng)na與它的前一項(xiàng)1na（或前 n 項(xiàng)）間的關(guān)系可

7、以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。如下數(shù)字排列的一個(gè)數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89 遞推公式為：)83(,5,32121naaaaannn4、列表法簡記為典型例題：例 1：根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1) 3, 5, 9, 17, 33,； (2) 32, 154, 356, 638, 9910, ； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ；(5) 2, 6, 12, 20, 30, 42, . 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f -

8、 - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -3 解： (1) na 2n1； (2) na) 12)(12(2nnn； (3) na2)1(1n；(4) 將數(shù)列變形為10, 2 1, 3 0, 4 1, 5 0, 6 1, 7 0, 8 1, , na；(5) 將數(shù)列變形為12, 23, 3 4, 45, 5 6, ，na例 2：設(shè)數(shù)列na滿足11111(1).nnaana寫出這

9、個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)。解：二、等差數(shù)列1等差數(shù)列 ：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示）。公差d 一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得，而不能用前項(xiàng)減后項(xiàng)來求；對于數(shù)列 na, 若na1na=d ( 與 n 無關(guān)的數(shù)或字母)，n2，nn，則此數(shù)列是等差數(shù)列，d 為公差。2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：dnaan)1(1【或nadmnam)(】等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間關(guān)系而得若一等差數(shù)列na的首項(xiàng)是1a，公差是d，則據(jù)其定義可得：daa12即：daa12daa23即：dadaa2123daa34即：dadaa3

10、134由此歸納等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：dnaan)1(1已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項(xiàng)1a和公差 d，便可求得其通項(xiàng)na。由上述關(guān)系還可得：dmaam)1(1即：dmaam)1(1則：nadna)1(1=dmnadndmamm)()1()1(即等差數(shù)列的第二通項(xiàng)公式nadmnam)( d=nmaanm3有幾種方法可以計(jì)算公差d d=na1na d =11naan d =mnaamn4結(jié)論：（性質(zhì)） 在等差數(shù)列中，若m+n=p+q ，則，qpnmaaaa即m+n=p+q qpnmaaaa (m, n, p, q n ) 但通常由qpnmaaaa推不出 m+n=p+q ，nmnmaaa典型例

11、題：例 1：求等差數(shù)列8，5，2的第 20 項(xiàng)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -4 -401 是不是等差數(shù)列-5 ，-9 ，-13 的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？解：例 3：求等差數(shù)列3，7，11，的第4 項(xiàng)與第 10 項(xiàng). 例 5：100 是不是等差數(shù)列2，9，16，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說明理由. 例 6：20 是不是等差數(shù)列

12、0， 321， 7，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說明理由. 例 8：在等差數(shù)列 na 中，若1a+6a=9, 4a=7, 求3a , 9a . 三、等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和1等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1：2)(1nnaans證明：nnnaaaaas13211221aaaaasnnnn +：)()()()(223121nnnnnnaaaaaaaas23121nnnaaaaaa)(21nnaans由此得：2)(1nnaans從而我們可以驗(yàn)證高斯十歲時(shí)計(jì)算上述問題的正確性2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2：2)1(1dnnnasn用上述公式要求ns必須具備三個(gè)條件：naan,1但dnaan)1(1代入公式

13、1 即得：2)1(1dnnnasn此公式要求ns必須已知三個(gè)條件：dan,1（有時(shí)比較有用）對等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 2：2) 1(1dnnnasn可化成式子：n)2da(n2ds12n，當(dāng) d0，是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -5 3 由ns的定義可知，當(dāng)n=1 時(shí)，1s=1a；當(dāng) n2 時(shí)，na=ns-1n

14、s，即na=)2() 1(11nssnsnn. 4 對等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題有兩種方法: （1） 利用na: 當(dāng)na0，d0，前 n項(xiàng)和有最大值可由na0，且1na0，求得 n的值當(dāng)na0，前 n項(xiàng)和有最小值可由na0，且1na0，求得 n的值（2） 利用ns：由n)2da(n2ds12n利用二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)n 的值典型例題：例 2：等差數(shù)列 10， 6， 2，2，前9 項(xiàng)的和多少？解：例 3：等差數(shù)列前10 項(xiàng)的和為140，其中，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的各項(xiàng)的和為125，求其第 6 項(xiàng)解例 6：已知等差數(shù)列an中， s3=21，s6=64，求數(shù)列 |an| 的前 n 項(xiàng)和 tn例 7： 在等差

15、數(shù)列 an 中，已知a6a9a12a1534，求前 20 項(xiàng)之和例 8：已知等差數(shù)列an 的公差是正數(shù)，且a3a7=12，a4 a6=4，求它的前20 項(xiàng)的和 s20的值例 9：等差數(shù)列 an、bn 的前 n 項(xiàng)和分別為sn和 tn，若stnnabnn231100100，則等于 a1bcd23199299200301精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 11 頁 - - - - -

16、- - - -6 分析ns =n(a + a )nn1n該題是將與發(fā)生聯(lián)系，可用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式把前 項(xiàng)和的值與項(xiàng)的值進(jìn)行聯(lián)系abstnnnn1001002312例 10： 解答下列各題：(1) 已知：等差數(shù)列an中 a23， a6 17，求 a9；(2) 在 19 與 89 中間插入幾個(gè)數(shù)，使它們與這兩個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，并且此數(shù)列各項(xiàng)之和為 1350，求這幾個(gè)數(shù)；(3) 已知：等差數(shù)列an中， a4a6a15a1750，求 s20；(4) 已知：等差數(shù)列an中， an=333n，求 sn的最大值四、等比數(shù)列1等比數(shù)列 ：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)

17、，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列 .這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q 表示（ q 0） ，即：1nnaa=q（q0）1 “從第二項(xiàng)起”與“前一項(xiàng)”之比為常數(shù)(q) na成等比數(shù)列nnaa1=q（nn,q0）2隱含：任一項(xiàng)00qan且“na0”是數(shù)列na成等比數(shù)列的必要非充分條件3 q= 1 時(shí)， an為常數(shù)。2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式1:)0(111qaqaann由等比數(shù)列的定義，有：qaa12；21123)(qaqqaqaa；312134)(qaqqaqaa； )0(1111qaqaqaannn3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2:)0(11qaqaammn4既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列5

18、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -7 等比數(shù)列na的通項(xiàng)公式)0(111qaqaann, 它的圖象是分布在曲線1xayqq（q0）上的一些孤立的點(diǎn)。當(dāng)10a，q 1 時(shí)，等比數(shù)列na是遞增數(shù)列；當(dāng)10a，01q，等比數(shù)列na是遞增數(shù)列；當(dāng)10a，01q時(shí)，等比數(shù)列na是遞減數(shù)列；當(dāng)10a，q 1 時(shí)，等比數(shù)列n

19、a是遞減數(shù)列；當(dāng)0q時(shí)，等比數(shù)列na是擺動(dòng)數(shù)列；當(dāng)1q時(shí)，等比數(shù)列na是常數(shù)列。6等比中項(xiàng)：如果在 a 與 b 中間插入一個(gè)數(shù)g， 使 a,g，b 成等比數(shù)列， 那么稱這個(gè)數(shù)g 為 a 與 b 的等比中項(xiàng) . 即g=ab（a,b 同號）如果在 a 與 b 中間插入一個(gè)數(shù)g，使 a,g，b 成等比數(shù)列，則abgabggbag2，反之，若g2=ab,則gbag，即 a,g,b 成等比數(shù)列 a,g,b 成等比數(shù)列g(shù)2=ab（ab0）7等比數(shù)列的性質(zhì)：若 m+n=p+k ，則kpnmaaaa在等比數(shù)列中，m+n=p+q ，kpnmaaaa,有什么關(guān)系呢？由定義得：11n11nmmqaaqaa11k11

20、kppqaaqaa221nmnmqaaa，221kpkpqaaa則kpnmaaaa8判斷等比數(shù)列的方法：定義法，中項(xiàng)法，通項(xiàng)公式法9 等比數(shù)列的增減性： 當(dāng) q1, 1a0 或 0q1, 1a1, 1a0,或 0q0時(shí), na是遞減數(shù)列 ;當(dāng) q=1 時(shí), na是常數(shù)列 ;當(dāng) q0，則 lga1,lga2,lga3成等差 注 （1）lgnnaa成等比成等差（2）nanaa成等差成等比典型例題：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - -

21、- - - - - - - - 第 9 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -10 例 1：求和：. 解：等差數(shù)列等比數(shù)列定義一般地 ,如果一個(gè)數(shù)列從第2 項(xiàng)起， 每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列這個(gè)常數(shù)叫公差一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等比數(shù)列這個(gè)常數(shù)叫公比遞推關(guān)系121nnaaaa（*nn）1nnaad（*nn）11nnnnaaaa（*2,nnn）121nnaaaa（*nn）1nnaqa（*0,qnn）11nnnnaaaa（*2,nnn）通項(xiàng)公式1(1)naand（*nn）napnq（*,p qnn為常數(shù)）11nnqaa（*nn）nnqpa（*,0,0,p qqpnn是常數(shù)）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d