2022年數(shù)學(xué)-北師大九年級數(shù)學(xué)下冊知識點匯總

1、知識點大全圖 1 北師大版初中數(shù)學(xué)定理知識點匯總 九年級 (下冊 ) 第一章直角三角形邊的關(guān)系一 . 正切：定義：在rtabc中，銳角a的對邊與鄰邊的比叫做a的正切，記作 tana ，即的鄰邊的對邊aaatan; tana 是一個完整的符號，它表示a的正切，記號里習(xí)慣省去角的符號“”；tana 沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中a的對邊與鄰邊的比；tana 不表示“ tan ”乘以“ a”；初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中，a是銳角的正切；tana 的值越大，梯子越陡，a越大；a 越大，梯子越陡，tana 的值越大。二 . 正弦：定義：在rtabc中，銳角a的對邊與斜邊的比叫做a的正弦，

2、記作sina ，即斜邊的對邊aasin; 三 . 余弦：定義：在rtabc中，銳角a的鄰邊與斜邊的比叫做a的余弦，記作cosa，即斜邊的鄰邊aacos; 余切：定義：在rtabc中，銳角a的鄰邊與對邊的比叫做a的余切，記作cota ，即的對邊的鄰邊aaacot; 一個銳角的正弦、余弦、正切、余切分別等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。（通常我們稱正弦、余弦互為余函數(shù)。同樣，也稱正切、余切互為余函數(shù)，可以概括為：一個銳角的三角函數(shù)等于它的余角的余函數(shù)）用等式表達(dá)：若a為銳角，則)90cos(sinaa；)90sin(cosaa)90cot(tanaa；)90tan(cotaa當(dāng)從低處觀測高處的

3、目標(biāo)時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角當(dāng)從高處觀測低處的目標(biāo)時，視線與水平線所成的銳角稱為俯角利用特殊角的三角函數(shù)值表，可以看出，(1) 當(dāng)角度在 0 90間變化時，正弦值、正切值隨著角度的增大( 或減小 ) 而增大 ( 或減小 ) ；余弦值、余切值隨著角度的增大( 或減小 ) 而減小 ( 或增大 ) 。(2)0 sin 1， 0cos1。同角的三角函數(shù)間的關(guān)系：倒數(shù)關(guān)系： tg ctg =1。在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和二個銳角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。在 abc中， c為直角， a、 b、 c所對的邊分別為a、 b

4、、c，則有 (1) 三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2；(2) 兩銳角的關(guān)系：a b=90；0o30 o45 o60 o90 osin 0 2122231 cos1 2322210 tan 0 331 3cot 31 330 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -知識點大全圖 3 圖 4 (3) 邊與角之間的關(guān)系：;cot,tan,cos,sinababaacbacaa;cot,tan,cos,sinbababbcabcbb(4) 面積公式 :chcab2121s(hc 為 c邊上的高 )

5、; (5) 直角三角形的內(nèi)切圓半徑2cbar (6) 直角三角形的外接圓半徑cr21解直角三角形的幾種基本類型列表如下：解直角三角形的幾種基本類型列表如下： 如圖 2，坡面與水平面的夾角叫做坡角 ( 或叫做坡比) 。用字母i 表示，即alhitan從某點的指北方向按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方位角。如圖 3，oa 、ob 、oc的方位角分別為45、135、225。指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90的水平角，叫做方向角。如圖 4，oa 、ob 、oc 、od的方向角分別是；北偏東 30，南偏東45( 東南方向 ) 、南偏西為60，北偏西60。第二章二次函數(shù)二次函數(shù)的概念：形如)0(

6、2，aa、 b、cbxaxy是常數(shù)的函數(shù)，叫做x 的二次函數(shù)。自變量的取值范圍是全體實數(shù)。)0(2aaxy是二次函數(shù)的特例，此時常數(shù)b=c=0. 在寫二次函數(shù)的關(guān)系式時，一定要尋找兩個變量之間的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量的取值范圍。二次函數(shù)yax2的圖象是一條頂點在原點關(guān)于y 軸對稱的曲線，這條曲線叫做拋物線。描述拋物線常從開口方向、對稱性、y 隨 x 的變化情況、拋物線的最高（或最低）點、拋物線與x 軸的交點等方面來描述。函數(shù)的定義域是全體實數(shù)；拋物線的頂點在(0 ，0) ，對稱軸是y 軸( 或稱直線x0) 。當(dāng) a 0 時，拋物線開口向上，并且向上方無限伸展。當(dāng)a 0 時

7、，拋物線開口向下，并且向下方無限伸展。圖 2 h i=h:l l a b c 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -知識點大全函數(shù)的增減性：a、當(dāng) a0 時.,0;,0增大而增大隨時增大而減小隨時xyxxyx b、當(dāng) a0 時.,0;,0增大而減小隨時增大而增大隨時xyxxyx當(dāng) a越大，拋物線開口越??；當(dāng)a越小，拋物線的開口越大。最大值或最小值：當(dāng)a0，且 x0 時函數(shù)有最小值，最小值是0；當(dāng) a 0，且 x0 時函數(shù)有最大值，最大值是0二次函數(shù)caxy2的圖象是一條頂點在y 軸上且與

8、y 軸對稱的拋物線二次函數(shù)cbxaxy2的圖象是以為abx2對稱軸，頂點在（ab2，abac442）的拋物線。 （開口方向和大小由 a 來決定）|a| 的越大，拋物線的開口程度越小，越靠近對稱軸y 軸， y 隨 x 增長（或下降）速度越快；|a| 的越小，拋物線的開口程度越大，越遠(yuǎn)離對稱軸y 軸， y 隨 x 增長（或下降）速度越慢。二次函數(shù)caxy2的圖象中， a 的符號決定拋物線的開口方向，|a| 決定拋物線的開口程度大小，c 決定拋物線的頂點位置，即拋物線位置的高低。二次函數(shù)cbxaxy2的圖象與y ax2的圖象的關(guān)系：cbxaxy2的圖象可以由yax2的圖象平移得到，其步驟如下：將cb

9、xaxy2配方成khxay2)(的形式；（其中h=ab2，k=abac442）；把拋物線2axy向右（ h0）或向左（ h0）或向下（ k0，則當(dāng) xab2時， y 隨 x 的增大而增大。若 a0，則當(dāng) xab2時， y 隨 x 的增大而減小。最值：若a0，則當(dāng) x=ab2時，abacy442最??；若 a0 拋物線與x 軸有 2 個交點；acb42=0 拋物線與x 軸有 1 個交點；acb420 拋物線與x 軸有 0 個交點（無交點）；當(dāng)acb420時，設(shè)拋物線與x 軸的兩個交點為a 、b，則這兩個點之間的距離：2122121224)()(|1xxxxxxxxab化簡后即為：)04(|4|22

10、acbaacbab - 這就是拋物線與x 軸的兩交點之間的距離公式。第三章圓一. 車輪為什么做成圓形1. 圓的定義：描述性定義：在一個平面內(nèi)，線段oa繞它固定的一個端點o旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點a隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圓形叫做圓；固定的端點o叫做圓心；線段 oa叫做半徑；以點 o為圓心的圓，記作o，讀作“圓o ”集合性定義：圓是平面內(nèi)到定點距離等于定長的點的集合。其中定點叫做圓心，定長叫做圓的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做定圓。對圓的定義的理解：圓是一條封閉曲線，不是圓面；圓由兩個條件唯一確定：一是圓心（即定點），二是半徑（即定長）。2. 點與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征：如果

11、圓的半徑為r ，點到圓心的距離為d，則點在圓上 d=r; 點在圓內(nèi) dr; 點在圓外 dr. 其中點在圓上的數(shù)量特征是重點，它可用來證明若干個點共圓，方法就是證明這幾個點與一個定點、的距離相等。二. 圓的對稱性 : 1. 與圓相關(guān)的概念：弦和直徑：弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑?；?、半圓、優(yōu)弧、劣弧：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -知識點大全弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號 “”表示， 以 cd為端點的弧記為 “” ，讀作“圓弧 cd

12、”或“弧cd ” 。半圓：直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧。劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧。 ( 為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個字母表示。) 弓形：弦及所對的弧組成的圖形叫做弓形。同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓。等圓：能夠完全重合的兩個圓叫做等圓，半徑相等的兩個圓是等圓。等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角. 弦心距 :從圓心到弦的距離叫做弦心距. 2. 圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。3. 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論：平分弦（不是直

13、徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。說明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說，如果具備：過圓心；垂直于弦；平分弦；平分弦所對的優(yōu)弧；平分弦所對的劣弧。上述五個條件中的任何兩個條件都可推出其他三個結(jié)論。4. 定理：在同圓或等圓中, 相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。推論 : 在同圓或等圓中, 如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等, 那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等. 三. 圓周角和圓心角的關(guān)系: 1. 1 的弧的概念: 把頂點在圓心的周角等分成360 份時 , 每一份的角都是1的圓心角 , 相應(yīng)的整個圓也被等分成360 份,

14、 每一份同樣的弧叫1弧 . 2. 圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等. 這里指的是角度數(shù)與弧的度數(shù)相等, 而不是角與弧相等. 即不能寫成aob= ,這是錯誤的 . 3. 圓周角的定義: 頂點在圓上 , 并且兩邊都與圓相交的角, 叫做圓周角 . 4. 圓周角定理 : 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半. 推論 1: 同弧或等弧所對的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對的弧也相等；推論 2: 半圓或直徑所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑；四 . 確定圓的條件: 1. 理解確定一個圓必須的具備兩個條件: 圓心和半徑 , 圓心決定圓的位置, 半徑?jīng)Q定圓的大小. 經(jīng)過一點

15、可以作無數(shù)個圓, 經(jīng)過兩點也可以作無數(shù)個圓, 其圓心在這個兩點線段的垂直平分線上. 2. 經(jīng)過三點作圓要分兩種情況: (1) 經(jīng)過同一直線上的三點不能作圓. (2) 經(jīng)過不在同一直線上的三點, 能且僅能作一個圓. 定理 : 不在同一直線上的三個點確定一個圓. 3. 三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念: (1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形: 經(jīng)過一個三角形三個頂點的圓叫做這個三角形的外接圓, 這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形 . (2) 三角形的外心 : 三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心. (3) 三角形的外心的性質(zhì): 三角形外心到三頂點的距離相等. 五. 直線與圓的位置關(guān)系

16、1. 直線和圓相交、相切相離的定義: (1) 相交 : 直線與圓有兩個公共點時, 叫做直線和圓相交, 這時直線叫做圓的割線. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -知識點大全(2) 相切 : 直線和圓有惟一公共點時, 叫做直線和圓相切, 這時直線叫做圓的切線, 惟一的公共點做切點. (3) 相離 : 直線和圓沒有公共點時, 叫做直線和圓相離. 2. 直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征: 設(shè) o的半徑為r ，圓心 o到直線的距離為d； dr 直線 l 和 o相交 . d=r 直線 l 和 o相切

17、 . dr 直線 l 和 o相離 . 3. 切線的總判定定理: 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這個條半徑的直線是圓的切線. 4. 切線的性質(zhì)定理: 圓的切線垂直于過切點的半徑. 推論 1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點. 推論 2 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心. 分析性質(zhì)定理及兩個推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系,可得如下結(jié)論: 如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個, 就可推出第三個. 垂直于切線; 過切點 ; 過圓心 . 5. 三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念. 和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓, 內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心, 這個三角形叫做圓的外切三角形. 6. 三

18、角形內(nèi)心的性質(zhì): (1) 三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等. (2) 過三角形頂點和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角. 由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線: 連接內(nèi)心和三角形的頂點, 該線平分三角形的這個內(nèi)角. 六. 圓和圓的位置關(guān)系. 1. 外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含( 包括同心圓 )這五種位置關(guān)系的定義. (1) 外離 : 兩個圓沒有公共點, 并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時, 叫做這兩個圓外離. (2) 外切 : 兩個圓有惟一的公共點, 并且除了這個公共點以外, 每個圓上的點都在另一個圓的外部時, 叫做這兩個圓外切. 這個惟一的公共點叫做切點. (3) 相交 : 兩個圓有兩個公共點, 此時叫做這個

19、兩個圓相交. (4) 內(nèi)切 : 兩個圓有惟一的公共點, 并且除了這個公共點以外, 一個圓上的都在另一個圓的內(nèi)部時, 叫做這兩個圓內(nèi)切.這個惟一的公共點叫做切點. (5) 內(nèi)含 : 兩個圓沒有公共點, 并且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時, 叫做這兩個圓內(nèi)含. 兩圓同心是兩圓內(nèi)的一個特例 . 2. 兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定: (1) 兩圓外離 dr+r (2) 兩圓外切 d=r+r (3) 兩圓相交 r-rdr+r (rr) (4) 兩圓內(nèi)切 d=r-r (rr) (5) 兩圓內(nèi)含 dr) 3. 相切兩圓的性質(zhì): 如果兩個圓相切, 那么切點一定在連心線上. 4. 相交兩圓的性質(zhì): 相交兩圓的連心

20、線垂直平分公共弦. 七. 弧長及扇形的面積1. 圓周長公式 : 圓周長 c=2r (r 表示圓的半徑) 2. 弧長公式 : 弧長180rnl (r 表示圓的半徑 , n表示弧所對的圓心角的度數(shù)) 3. 扇形定義 : 一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -知識點大全圖 5 obcacbaocbao4. 弓形定義 : 由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形. 弓形弧的中點到弦的距離叫做弓形高. 5. 圓的面積公式. 圓的面積2rs (r

21、表示圓的半徑) 6. 扇形的面積公式: 扇形的面積3602rns扇形 (r 表示圓的半徑, n表示弧所對的圓心角的度數(shù)) 弓形的面積公式:( 如圖 5) (1) 當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時, 三角形扇形弓形sss(2) 當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時, 三角形扇形弓形sss(3) 當(dāng)弓形所含的弧是半圓時, 扇形弓形srs221八. 圓錐的有關(guān)概念: 1. 圓錐可以看作是一個直角三角形繞著直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形, 另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的底面 , 斜邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的側(cè)面. 2. 圓錐的側(cè)面展開圖與側(cè)面積計算: 圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形, 這個扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線長、弧

22、長是圓錐底面圓的周長、圓心是圓錐的頂點. 如果設(shè)圓錐底面半徑為r, 側(cè)面母線長 ( 扇形半徑 )是 l, 底面圓周長 ( 扇形弧長 ) 為 c, 那么它的側(cè)面積是: rlrlcls22121側(cè))(2lrrrrlsss底面?zhèn)缺砭?. 與圓有關(guān)的輔助線1. 如圓中有弦的條件, 常作弦心距 , 或過弦的一端作半徑為輔助線. 2. 如圓中有直徑的條件, 可作出直徑上的圓周角. 3. 如一個圓有切線的條件, 常作過切點的半徑( 或直徑 ) 為輔助線 . 4. 若條件交代了某點是切點時, 連結(jié)圓心和切點是最常用的輔助線. 十 . 圓內(nèi)接四邊形若四邊形的四個頂點都在同一個圓上, 這個四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形,

23、 這個圓叫做這個四邊形的外接圓. 圓內(nèi)接四邊形的特征: 圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ); 圓內(nèi)接四邊形任意一個外角等于它的內(nèi)錯角. 十一 . 北師版數(shù)學(xué)未出理的有關(guān)圓的性質(zhì)定理1. 切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。如圖 6， pa ，pb分別切 o于 a、b pa=pb ，po平分 apb 2弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。推論：如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等。如圖 7，cd切 o于 c，則， acd= b 3和圓有關(guān)的比例線段：相交弦定理：圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點分成的兩條線段長的積相等；推論：如果弦與直

24、徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。_ 圖_ p_ o_ b_ a_ o_ c_ d_ a_ b_ 圖 7精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -知識點大全如圖 8， ap ?pb=cp ?pd 如圖 9，若 cd ab于 p，ab為 o直徑，則cp2=ap ?pb 4切割線定理切割線定理，從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項；推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。如圖 10， pt切 o于 t， pa是割線，點a、b是它與 o的交點，則pt2=pa ?pb pa 、pc是 o的兩條割線，則pd ?pc=pb ?pa 5兩圓連心線的性質(zhì)如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，或者說，連心線過切點。如果兩圓相交，那么連心線垂直平分兩圓的公共弦。如圖 11， o1與 o2交于 a、b兩點，則連心線o1o2ab且 ac=bc 。6兩圓的公切線兩圓的兩條外公切線的長及兩條內(nèi)公切線的長相等。如圖 12，ab