2022年數(shù)學(xué)分析教案(華東師大版)第十五章Fourier級(jí)數(shù)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載第十五章fourier 級(jí)數(shù)教學(xué)目的： 1.明確熟悉三角級(jí)數(shù)的產(chǎn)生及有關(guān)概念； 2.懂得以為周期的函數(shù)的 fourier 級(jí)數(shù)的有關(guān)概念、定義和收斂定理； 3.明確 2l 為周期的函數(shù)的 fourier 級(jí)數(shù)是為周期的函數(shù)的 fourier 級(jí)數(shù)的推廣，并懂得奇、偶函數(shù)的fourier 級(jí)數(shù)和 fourier 級(jí)數(shù)的收斂定理；教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn) ：本章的重點(diǎn)是將一個(gè)函數(shù)綻開(kāi)成fourier 級(jí)數(shù)；難點(diǎn)是 fourier級(jí)數(shù)的收斂性的判別；教學(xué)時(shí)數(shù) ：10 學(xué)時(shí)§ 1fourier 級(jí)數(shù)一三角級(jí)數(shù)與正交函數(shù)系 .1. 背景： 波的分析：頻譜分析 .基頻 . 倍頻. 函數(shù)綻開(kāi)條

2、件的減弱 : 積分綻開(kāi) .中用 descates 坐標(biāo)系建立坐標(biāo)表示向量思想的推廣 :調(diào)和分析簡(jiǎn)介 : 十九世紀(jì)八十歲月法國(guó)工程師 fourier 建立了 fourier 分析理論的基礎(chǔ) .2. 三角級(jí)數(shù)的一般形式 :一般的三角級(jí)數(shù)為.由于,設(shè),得三角級(jí)數(shù)的一般形式3. 三角級(jí)數(shù)的收斂性 :th1如級(jí)數(shù)收斂 , 就級(jí)數(shù)在 r 內(nèi)肯定且一樣收斂 .證用 m 判別法.4. 三角函數(shù)正交系統(tǒng) :（ 1. ） 內(nèi)積和正交 :由 r中的內(nèi)積與正交概念引入 .設(shè)函數(shù)和在區(qū)間上 r可積 .定義內(nèi)積為.當(dāng)時(shí) ,稱函數(shù)和在區(qū)間上正交 .函數(shù)的正交性與區(qū)間有關(guān) .例如函數(shù)和在區(qū)間上并不正交 由于 ,但在區(qū)間卻是正

3、交的 .（2）.正交函數(shù)系統(tǒng):標(biāo)準(zhǔn)正交系 幺正系 ,完全系 .三角函數(shù)系統(tǒng)是區(qū)間上的正交系統(tǒng) .驗(yàn)證如下 :,;,對(duì)且,有和.該系統(tǒng)不是標(biāo)準(zhǔn)正交系 ,由于,.因此 ,三角函數(shù)系統(tǒng)是標(biāo)準(zhǔn)正交系 . （與 r中的坐標(biāo)系比較 ）二.以為周期函數(shù)的 fourier 級(jí)數(shù)：1. 三角級(jí)數(shù)的系數(shù)與其和函數(shù)的關(guān)系：th2如在整個(gè)數(shù)軸上且等式右端的級(jí)數(shù)一樣收斂，就有如下關(guān)系式，證p642. fourier 系數(shù)和 fourier 級(jí)數(shù)：euler fourier 公式： 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上（ r）可積，稱公式，為 euler fourier 公式.稱由 euler fourier 公式得到的和為函數(shù)的 fouri

4、er 系數(shù).并稱以 fourier 系數(shù)和為系數(shù)的三角級(jí)數(shù)為函數(shù)的 fourier 級(jí)數(shù) , 記為例 1,. 求函數(shù)的 fourie r 級(jí)數(shù).解是上的奇函數(shù) ,;.因此,.例2設(shè)函數(shù)滿意條件 稱滿意該條件的函數(shù)為反周期函數(shù)解.問(wèn)這種函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的 fourier.系數(shù)具有什么特性 .而.因此,.時(shí),;同理得.三.收斂定理 :1. 按段光滑函數(shù) :.定義 如的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù) , 就稱函數(shù)在區(qū)間 上光滑.如函數(shù)在區(qū)間上至多有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn) , 且僅在區(qū)間上有限個(gè)點(diǎn)處不連續(xù)且為第一類間斷點(diǎn) ,就稱是區(qū)間上的按段光滑函數(shù) .按段光滑函數(shù)的性質(zhì) :設(shè)函數(shù)在區(qū)間上按段光滑 , 就在區(qū)間上可積;對(duì)

5、,都存在 , 且有, 用 lagrange 中值定理證明在區(qū)間上可積 .2. 收斂定理 :th3設(shè)函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)且在區(qū)間上按段光滑 , 就在,的 fourier 級(jí)數(shù)收斂于在點(diǎn)的左、右極限的算術(shù)平均值, 即,其中和為函數(shù)的 fourier 系數(shù). 證明放到以后進(jìn)行 系如是以為周期的連續(xù)函數(shù) , 在上按段光滑 ,且就的 fourier 級(jí)數(shù)在內(nèi)收斂于.3. 函數(shù)的周期延拓 :四.綻開(kāi)舉例 :例 3把函數(shù)綻開(kāi)為 fourier 級(jí)數(shù).解參閱例 1 ,有例 4綻開(kāi)函數(shù).解;.函數(shù)在上連續(xù)且按段光滑 ,又,因此有. 倘令, 就有,例 5設(shè)求函數(shù)的 fourier 級(jí)數(shù)綻開(kāi)式 .p67 . 例

6、 1例 6把函數(shù)綻開(kāi)成 fourie r 級(jí)數(shù).p68 例 2例 7在區(qū)間內(nèi)把函數(shù)綻開(kāi)成 fourier 級(jí)數(shù).練習(xí) 1（ 2）（ i）解法一 直接綻開(kāi) ;.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)且按段光滑 ,因此有,.由于,該綻開(kāi)式在上成立. 在該綻開(kāi)式中 , 取得,;取,.解法二 間接綻開(kāi) : 對(duì)例 3 中的綻開(kāi)式作積分運(yùn)算 由例 3 ,在區(qū)間內(nèi)有. 對(duì)該式兩端積分 , 由 fourier 級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分 ,有.為求得,上式兩端在上積分, 有,因此 ,.§ 2以為周期的函數(shù)的綻開(kāi)式一.以為周期的函數(shù)的 fourier 級(jí)數(shù):設(shè)函數(shù)以為周期 , 在區(qū)間上 r 可積 .作代換,就函數(shù)以為周期. 由是線性函

7、數(shù) ,在區(qū)間上r 可積 . 函數(shù)的 fourier 系數(shù)為.,仍原為自變量, 留意到, 就有其中,當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上按段光滑時(shí) ,可綻開(kāi)為 fourie r 級(jí)數(shù).註 三角函數(shù)系是區(qū)間上的正交函數(shù)系統(tǒng) .例 1把函數(shù)綻開(kāi)成 fourier 級(jí)數(shù).p72 例 1二.正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) :1. 區(qū)間上偶函數(shù)和奇函數(shù)的 fourier 級(jí)數(shù):2. 奇綻開(kāi)和偶綻開(kāi) :例 2設(shè),.求的 fourier 級(jí)數(shù)綻開(kāi)式 .p74 例 2例 3把定義在上的函數(shù) 其中之一綻開(kāi)成正弦級(jí)數(shù) .例 4把函數(shù)在內(nèi)綻開(kāi)成 :>正弦級(jí)數(shù) ;>余弦級(jí)數(shù) .p76 例 4§ 3收斂定理的證明dini定理設(shè)以為周

8、期的函數(shù)在區(qū)間上按段光滑 , 就在每一點(diǎn),的 fourier 級(jí)數(shù)收斂于在點(diǎn)的左、右極限的算術(shù)平均值,即,其中和為的 fourier 系數(shù).證明思路 :設(shè)對(duì)每個(gè),我們要證明. 即證明.方法是把該極限表達(dá)式化為積分 , 利用 riemann lebesgue 定理證明相應(yīng)積分的極限為零 .施證方案 :1. 寫(xiě)出的簡(jiǎn)縮形式 . 稱這一簡(jiǎn)縮形式為的積分形式 , 或稱為 dirichlet 積分,即.利用該表示式 , 式可化為+,于是把問(wèn)題歸結(jié)為證明,和.這兩式的證明是相同的 , 只證第一式 .2.為證上述第一式 , 先利用三角公式建立所謂 dirichlet 積分, 利用該式把表示為積分,即把表示為

9、 dirichlet 積分.于是又把上述 1 中所指的第一式左端化為.3. 利用所謂 riemann lebesgue 定理證明上述極限為零 . 為此 , 先證明 bessel 不等式 p78 預(yù)備定理 1 , 再建立 riemann lebesgue 定理, 然后把以上最終的式子化為.4. 把上式化為應(yīng)用 riemann lebesgue 定理的形式 , 即令,就.為使最終這一極限等于零 , 由 riemann lebesgue 定理, 只要函數(shù)在區(qū)間上可積. 因此期望存在. 由函數(shù)在區(qū)間上按段光滑,可以驗(yàn)證存在.預(yù)備定理及其推論 :為實(shí)施以上證明方案 ,我們先建立以下預(yù)備定理和其推論.預(yù)備

10、定理 1 bessel不等式 如函數(shù)在區(qū)間上可積, 就有bessel不等式,其中和為函數(shù)的 fourier 系數(shù).證 p78 .推論 1 riemann lebesgue 定理 如函數(shù)在區(qū)間上可積,就有,.證 p79 .推論 2如函數(shù)在區(qū)間上可積, 就有,.證 p79.預(yù)備定理 2如是以為周期的周期函數(shù) , 且在區(qū)間上可積, 就函數(shù)的 fourie r 級(jí)數(shù)部分和有積分表示式.當(dāng)時(shí), 被積函數(shù)中的不定式由極限來(lái)確定.證 p80 81.dirichlet 積分:.證由三角公式,.dini 定理的證明 :p81 82 .附註1. parseval 等式 或稱等式設(shè)可積函數(shù)的 fourie r級(jí)數(shù)在

11、區(qū)間上一樣收斂于, 就成立 parseval 等式.證法一 留意到此時(shí)函數(shù)在區(qū)間可積 ,由 bessel不等式, 有.現(xiàn)證對(duì),有.事實(shí)上,令由一樣收斂于,對(duì)對(duì), 有,因此 ,.即當(dāng)時(shí)有.令,.由的任意性, 有.綜上即得所證 .證法二由一樣收斂于,.而.因此,.由雙逼原理 , 即得所證等式 .證法三利用內(nèi)積的連續(xù)性 可參閱一般泛函書(shū) , 有=.parseval 等式仍可用公式 其中、 與、分別是函數(shù)和的 fourier 系數(shù)（ 參閱吉林高校鄒承祖等編數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義上冊(cè)p427 ）證明；也可用所謂卷積函數(shù)證明 .parseval 等式的意義： 設(shè)在幺正系下函數(shù)的 fourier 系數(shù)為和，可見(jiàn)

12、，；，；同理有;其中和為函數(shù)的通常 fourier 系數(shù).于是 ,parseva l 等式即成為.留意到,就有,這是勾股定理的推廣 , 即在坐標(biāo)系 中的勾股定理 . 因此, 可稱 parseval 等式是無(wú)窮維空間中的勾股定理 . 與三維空間中的勾股定理做比較 .2. fourier 級(jí)數(shù)與三角級(jí)數(shù) : fourier 級(jí)數(shù)與三角級(jí)數(shù)的區(qū)分： fourier 級(jí)數(shù)是三角級(jí)數(shù)，但收斂的三角級(jí)數(shù)卻未必是某個(gè)可積函數(shù)的 fourier 級(jí)數(shù).一個(gè)三角級(jí)數(shù)是 fourier 級(jí)數(shù) 即是某個(gè)可積函數(shù)的 fourier 級(jí)數(shù) 的必要條件為:如三角級(jí)數(shù)為 fourier 級(jí)數(shù), 就數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂. 參閱復(fù)旦高校編數(shù)學(xué)分析下冊(cè) p116 117 .比如正弦級(jí)數(shù)是收斂的三角級(jí)數(shù) 利用 dirichlet 判別法 , 由級(jí)數(shù)發(fā)散, 正弦級(jí)數(shù)不是 fourier 級(jí)數(shù).例 證明:當(dāng)時(shí),三角級(jí)數(shù)在 r 內(nèi)收斂, 但其和函數(shù)在區(qū)間上不是 r 可積的 .證由 dirichlet 判別法,可得該級(jí)數(shù)在內(nèi)收斂.反設(shè)和函數(shù)在區(qū)間在上 r 可積, 就該三角級(jí)數(shù)是函數(shù)的 fourier 級(jí)數(shù) .由于也在上 r 可積 , 就有 bessel不等式.即有上式左端的正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂 .但由, 沖突. 可見(jiàn), 函數(shù)在區(qū)間在上不是 r 可積的 .因此, 本例中的三角級(jí)數(shù)不是 fourier 級(jí)