2022年數(shù)學(xué)必修1-5課本知識(shí)點(diǎn)

1、必修 1 數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)第一章、集合與函數(shù)概念1.1.1、集合1、 把研究的對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素 ，把一些元素組成的總體叫做集合 。集合三要素：確定性、互異性、無(wú)序性 。2、 只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，就稱(chēng)這兩個(gè)集合相等 。注：證明兩個(gè)集合相等：有限集：元素個(gè)數(shù)相等，對(duì)應(yīng)元素相同。無(wú)限集：代表元素一致，滿(mǎn)足條件一致。3、 常見(jiàn)集合： 正整數(shù)集合 ：*n或n，整數(shù)集合 ：z，有理數(shù)集合 ：q，實(shí)數(shù)集合 ：r. 注：判斷元素與集合關(guān)系(或) ：明確元素的特征及集合的性質(zhì)（關(guān)鍵是判斷集合中所有元素的共同特征，看此元素是否具有此特征。）4、集合的表示方法：列舉法、描述法、venn 圖法、區(qū)間法、自然語(yǔ)言法

2、。1.1.2、集合間的基本關(guān)系1、一般地，對(duì)于兩個(gè)集合a、b，如果集合a 中任意一個(gè)元素都是集合b 中的元素，則稱(chēng)集合 a 是集合 b 的子集 。記作ba. 2、若集合ba，但存在元素bx，且ax，則稱(chēng)集合a 是集合 b 的真子集 . 記作： a b. 3、把不含任何元素的集合叫做空集 .記作：.并規(guī)定：空集合是任何集合的子集。4、如果集合a中含有 n 個(gè)元素，則集合a有n2個(gè)子集，有12n個(gè)真子集。注：求得集合中的參數(shù)后，要把參數(shù)代回檢驗(yàn)，看是否滿(mǎn)足元素的互異性。確定兩集合關(guān)系：、一一列舉觀察（互異性）、集合元素特征法（用不等式、數(shù)軸表示的，注意端點(diǎn)）、數(shù)形結(jié)合法 （數(shù)軸， venn 圖，對(duì)

3、子軸是否為空集進(jìn)行分類(lèi)討論）1.1.3、集合間的基本運(yùn)算1、由所有屬于集合a或集合 b的元素組成的集合，稱(chēng)為集合a與 b的并集 . 記作：ba. 2、由屬于集合a且屬于集合b的所有元素組成的集合，稱(chēng)為a與 b的交集 . 記作：ba. 3、全集、補(bǔ)集|,uc ax xuxu且正難則反，間接化原則注：若aba,則ab；若aba,則ba；若ubaba,(u為全集 )，則bcaacbuu,. 1.2.1、函數(shù)的概念1、 設(shè) a、 b是非空的數(shù)集， 如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f， 使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合 b中都有惟一確定的數(shù)xf和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)baf :為集合 a到集合 b的一個(gè) 函數(shù)

4、，記作：axxfy,. 注：判斷兩個(gè)變量是否具有函數(shù)關(guān)系：看自變量和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否確定；函數(shù)圖像是否是只對(duì)應(yīng)一個(gè)函數(shù)值。2、 一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域. 如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)相等. 3、 區(qū)間：區(qū)間的分類(lèi)：開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間；無(wú)窮區(qū)間：區(qū)間的數(shù)軸表示：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 34 頁(yè) - - - - - - - - -注：區(qū)間是集合；區(qū)間的左端點(diǎn)必須小于右端點(diǎn)；區(qū)間中的元素都是數(shù)軸上的點(diǎn)，可以用數(shù)字表示；任何區(qū)間都可在數(shù)軸上表示出來(lái)；以“” 、

5、“”為區(qū)間的一端時(shí)，這一端必須是小括號(hào)。4、定義域、值域表示方法：不等式法，集合表示法，區(qū)間表示法。1.2.2、函數(shù)的表示法 1、函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法. 2、求函數(shù)定義域：列表法：自變量所有取值；圖象法：橫軸取值范圍；解析式法：函數(shù)有意義分式函數(shù)的分母不為零；偶次根式函數(shù)的被開(kāi)方式的值不小于零；整式的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)；函數(shù) f(x)=x0的定義域?yàn)椋ǎ?）（ 0，+） ；組合函數(shù)的定義域是各個(gè)函數(shù)定義域的交集。實(shí)際問(wèn)題中或幾何問(wèn)題應(yīng)考慮實(shí)際或幾何意義；復(fù)合函數(shù)的定義域：y=f (g(x)，設(shè) y=f (u)、u=g(x)則()?() ?( ),( ),ug xmxxnug

6、 xf uumfg xxn已知( )f x的定義域,a b，復(fù)合函數(shù)( )f g x的定義域應(yīng)由( )ag xb解出求定義域一般是解不等式（組）；含參數(shù)問(wèn)題要分類(lèi)討論；研究函數(shù)必須遵循“定義域優(yōu)先”原則。3、求函數(shù)值域：列表法：表格中實(shí)數(shù)y 的集合；圖象法：圖象在y 軸上的投影所覆蓋的實(shí)數(shù)y 的集合；解析式法：由函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則唯一確定觀察法（直接法） ：利用常見(jiàn)函數(shù)的值域來(lái)求；配方法：轉(zhuǎn)化為),(,)(2nmxcbxaxxf；數(shù)形結(jié)合法：|1|4 |yxx；換元法（代數(shù)換元、三角換元）：yaxbcxd；判別式法：分離常數(shù)法（或反函數(shù)法）：型如),(,nmxdcxbaxy；單調(diào)性法：有

7、界性法：基本不等式法：轉(zhuǎn)化為)0(kxkxy；導(dǎo)數(shù)法。實(shí)際問(wèn)題中由問(wèn)題的實(shí)際意義確定；4、求函數(shù)解析式：直接代入法：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 34 頁(yè) - - - - - - - - -待定系數(shù)法：如一次函數(shù)滿(mǎn)足3(1)2(1)217f xf xx換元法：如2(1)lgfxx觀察法（配湊法） ：如3311()f xxxx方程的思想：如12 ( )( )3f xfxx特殊值法：5、作函數(shù)圖象步驟：確定函數(shù)的定義域；化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；討論函數(shù)的性質(zhì)即單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值（甚至變化趨勢(shì)）；列表 -描點(diǎn)連線(xiàn)，畫(huà)出函數(shù)

8、的圖象。分段函數(shù)：定義：在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)于自變量的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)。分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)。分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，其值域是各段值域的并集。絕對(duì)值函數(shù)去掉絕對(duì)符號(hào)后就是分段函數(shù)。分段函數(shù)中的問(wèn)題一般是求解析式、反函數(shù)、 值域或最值 , 討論奇偶性單調(diào)性等。求解析式時(shí)，求哪段設(shè)哪段。處理方法 : 分段研究。1.3.1、單調(diào)性與最大（?。┲?、單調(diào)性增函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閕，如果對(duì)于定義域i 內(nèi)的某個(gè)區(qū)間d 內(nèi)的任意兩個(gè)自變量 x1， x2，當(dāng) x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間 d 上是增函數(shù)；減函數(shù)：

9、設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閕，如果對(duì)于定義域i 內(nèi)的某個(gè)區(qū)間d 內(nèi)的任意兩個(gè)自變量 x1， x2，當(dāng) x1f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間 d 上是減函數(shù)；單調(diào)區(qū)間：如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間d 叫做 y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。判斷函數(shù)單調(diào)性：定義（作差比較和作商比較）；數(shù)形結(jié)合；熟悉的函數(shù)直接下結(jié)論；導(dǎo)數(shù)法（適用于多項(xiàng)式函數(shù)）；復(fù)合函數(shù)同增異減：設(shè)復(fù)合函數(shù)y= fg(x)，其中 u=g(x) , a 是 y= fg(x)定義域的某個(gè)區(qū)間， b 是映射 g :xu=g(x) 的象集： 、若 u=g(x) 在

10、 a 上是增 （或減） 函數(shù)，y= f(u)在 b 上也是增（或減）函數(shù)，則函數(shù) y= fg( x)在 a 上是增函數(shù)； 、 若 u=g(x) 在 a 上是增（或減）函數(shù)，而y= f(u)在 b 上是減（或增）函數(shù)，則函數(shù)y= fg(x) 在 a 上是減函數(shù)。構(gòu)造法：)()()(yfxfyxf；)()()(yfxfyxf；)()()(yfxfxyf.證明（利用定義）函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間d 上的單調(diào)性的一般步驟： 設(shè)元：任取x1，x2d，且 x1x2；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 34 頁(yè) - - - - - - -

11、- - 作差： f(x1)f(x2)； 變形：通常是因式分解和配方； 定號(hào)：即判斷差f(x1)f(x2)的正負(fù)； 下結(jié)論：即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間d 上的單調(diào)性。作用：比較大小，證明不等式，解不等式注：函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；說(shuō)明單調(diào)性時(shí)必須指明單調(diào)區(qū)間；若)0()(axaxxf，則函數(shù))(xf在, 0(a 上為減函數(shù)， 在),a上為增函數(shù)；必須是對(duì)于區(qū)間d 內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2；當(dāng) x1x2時(shí)，總有f(x1)f(x2)；函數(shù)單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，對(duì)于單獨(dú)的一點(diǎn)，他的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，不存在單調(diào)性問(wèn)題，故閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

12、包括不包括端點(diǎn)都可，但不連續(xù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定不包括不連續(xù)點(diǎn)。若一個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間由多個(gè)組成，各區(qū)間之間應(yīng)用逗號(hào)或者“和”隔開(kāi)，而不是用“并集”符號(hào)連接。在公共定義域內(nèi)：增+增=增；減 +減=減。2、最大（?。┲底畲笾担阂话愕兀O(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閕，如果存在實(shí)數(shù)m 滿(mǎn)足：對(duì)于任意的xi，都有f(x)m；存在x0i，使得 f(x0) = m 。那么，稱(chēng)m 是函數(shù) y=f(x)的最大值。最小值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閕，如果存在實(shí)數(shù)m 滿(mǎn)足：對(duì)于任意的xi，都有 f(x)m；存在x0i，使得 f(x0) = m 。那么，稱(chēng)m 是函數(shù) y=f(x)的最大值。求函數(shù)的最大（?。?/p>

13、值的方法：配方法：利用二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值；圖象法：函數(shù)單調(diào)性：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間 a，b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞減，則函數(shù)y=f(x)在x=b 處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間 a，b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=f(x)在 x=b 處有最小值f(b)；不等式法：求函數(shù)值域：實(shí)際問(wèn)題的實(shí)際背景。注：若函數(shù))(xfy在區(qū)間ba,上是連續(xù)不斷的，在區(qū)間ba,上的最大值和最小值分別為mm ,，若1x，2xba,，則mmxfxf|)()(|21. 定軸動(dòng)區(qū)間；定軸定區(qū)間；動(dòng)軸定區(qū)間；1.3.2、奇偶性1、偶函數(shù)：一般地，若對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的

14、任意x 都有 f(x)=f(x)，則稱(chēng) f(x)為偶函數(shù)。奇函數(shù)：一般地，若對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x 都有 f(x)=f(x)，則稱(chēng) f(x)為奇函數(shù)。2、利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 34 頁(yè) - - - - - - - - -首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；確定 f(x)與 f(x)的關(guān)系；作出相應(yīng)結(jié)論：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則 f(x)是偶函數(shù)；若 f(x) =f(x) 或 f( x) f(x) = 0，則 f(x)是

15、奇函數(shù)。注：函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；具有奇偶性的函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。圖象的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)：奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形，反之亦然；偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱(chēng)圖形，反之亦然；如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性 . 如果函數(shù)同時(shí)具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)（0)(xf） ；奇函數(shù)在其對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在其對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相反；若函數(shù))(xfy為奇函數(shù)，且在0 x處有意義，則必有0)0(f；若函數(shù))(xfy為奇函數(shù)，則0)()(minmaxxfxf，0)(dxxfaa；若函數(shù))(xfy為偶函數(shù)，則

16、|)(|)(xfxf；奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)；設(shè)( )f x，( )g x的定義域分別是12,dd，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶 +偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇第二章、基本初等函數(shù)（）2.1.1、指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算1、定義：一般地，如果axn，那么x叫做a的n次方根。其中nnn, 1. 1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，na的次方根記作na；2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù)a沒(méi)有n次方根，而正數(shù)a有兩個(gè)n次方根且互為相反數(shù)，記作)0(aan。2、性質(zhì)： 1）aann)(；2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，aann；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，aann. 3、我們規(guī)定：mnmnaa1,0*mnnma；01n

17、aann；4、 運(yùn)算性質(zhì)：qsraaaasrsr,0；qsraaarssr, 0；qrbabaabrrr,0,0. 注：同底的兩個(gè)指數(shù)式相等，當(dāng)且僅當(dāng)指數(shù)相等。2.1.2、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、定義：函數(shù))1,0(aaayx且稱(chēng)指數(shù)函數(shù)，1）函數(shù)的定義域?yàn)閞；2）函數(shù)的值域?yàn)?,0(；3）當(dāng)10a時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)1a時(shí)函數(shù)為增函數(shù)。2、函數(shù)圖像：)1,0(aaayx且精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 34 頁(yè) - - - - - - - - -1）指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1） ，且圖象都在第一、二象限；2）指數(shù)函數(shù)都以x

18、軸為漸近線(xiàn)（當(dāng)10a時(shí)，圖象向右無(wú)限接近x軸，當(dāng)1a時(shí)，圖象向左無(wú)限接近x軸） ；3）1a時(shí)，a越大圖像在第一象限內(nèi)越靠近y軸；10a時(shí)，a越小圖像在第二象限內(nèi)越靠近y軸；4）對(duì)于相同的) 1,0(aaa且，函數(shù)xxayay與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。3、作用1）比較大?。ê瘮?shù)單調(diào)性，中間值法）同底的可用單調(diào)性法同指不同底，可用圖像變化規(guī)律來(lái)判斷指底都不同，通過(guò)中間值三個(gè)或三個(gè)以上的，先根據(jù)特殊值0，1 分組，再比較各組數(shù)的大小2）解不等式3）解指數(shù)方程4）解決過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題2.2.1、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算1、對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果)1, 0(aanax,那么x叫做以a為底n的對(duì)數(shù) ,記)1,0(logaa

19、nxa2、對(duì)數(shù)的性質(zhì)：xnnaaxlog；負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)；01loga，1logaa；)0, 1,0(lognaanana；) 1,0(logaanana；) 1,0, 1,0(1loglogbbaaabba；abbalog1log1,0, 1,0bbaa. 3、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：當(dāng)0,0,1,0nmaa時(shí)：nmmnaaalogloglog；nmnmaaalogloglog；mnmanaloglog；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 34 頁(yè) - - - - - - - - -bmnbanamloglog. 4、對(duì)數(shù)換底公式

20、：abbccalogloglog0,1,0, 1,0bccaa. 注：同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)式相等，當(dāng)且僅當(dāng)真數(shù)相等。2.2.2、對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、定義：函數(shù))1, 0(logaaxya且稱(chēng)對(duì)數(shù)函數(shù)，1）函數(shù)的定義域?yàn)?,0(； 2）函數(shù)的值域?yàn)閞；3）當(dāng)10a時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)1a時(shí)函數(shù)為增函數(shù)；4）對(duì)數(shù)函數(shù)xyalog與指數(shù)函數(shù)) 1,0(aaayx且互為反函數(shù)。2、函數(shù)圖像：1,0logaaxya1）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0） ，且圖象都在第一、四象限；2）對(duì)數(shù)函數(shù)都以y軸為漸近線(xiàn)（10a時(shí)，圖象向上無(wú)限接近y軸；1a時(shí)，圖象向下無(wú)限接近y軸） ；3）1a時(shí)，a越大圖像在第一象限內(nèi)越靠近

21、x軸；10a時(shí)，a越小圖像在第四象限內(nèi)越靠近x軸；4）1a時(shí)，若真數(shù)相同，則底數(shù)越大，其值越?。?0a時(shí)，若真數(shù)相同，則底數(shù)越大，其值越小；5）對(duì)于相同的) 1,0(aaa且，函數(shù)xyxyaa1loglog與的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)。3、作用1）求函數(shù)定義域2）比較大?。ê瘮?shù)單調(diào)性，中間值法）同底（常數(shù)）的可用單調(diào)性法同底（字母）按照單調(diào)性分類(lèi)討論同真不同底，可用圖像變化規(guī)律來(lái)判斷或利用換底公式真數(shù)，底數(shù)都不同，通過(guò)中間值0，1，-1 分組，再比較各組數(shù)的大小3）解或證明不等式精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 34 頁(yè) - - -

22、 - - - - - -4）解對(duì)數(shù)方程（按照單調(diào)性去掉對(duì)數(shù)符號(hào)時(shí)，要保證真數(shù)大于0）5）解決過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題6）求單調(diào)區(qū)間7）閉區(qū)間上的最值問(wèn)題4、反函數(shù)1）概念：設(shè)函數(shù))( xfy的定義域?yàn)閍，值域?yàn)閏，由)(xfy求出yx，若對(duì)于c 中的每一個(gè)值y ，在 a 中都有唯一的一個(gè)值和它對(duì)應(yīng)，那么yx叫以 y 為自變量的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)yx叫函數(shù))(xfy的反函數(shù)，記作yfx1，通常情況下，一般用x表示自變量，所以記作xfy1。注：只有從定義域到值域上一一映射所確定的函數(shù)才有反函數(shù)；反函數(shù)的定義域和值域分別為原函數(shù)的值域和定義域；2）求反函數(shù)的步驟（1）解關(guān)于x的方程)(xfy，達(dá)到以y 表示x的目的；

23、（2）把第一步得到的式子中的x換成 y ， y 換成x；（3）求出并說(shuō)明反函數(shù)的定義域（即函數(shù))(xfy的值域）。3）關(guān)于反函數(shù)的性質(zhì)（1）)(xfy和xfy1的圖象關(guān)于直線(xiàn)xy對(duì)稱(chēng)；（2）)(xfy和xfy1在相對(duì)應(yīng)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；（3）)(xfy和yfx1互為反函數(shù)，但對(duì)同一坐標(biāo)系下它們的圖象相同；（4）已知)( xfy，求)(1af，可利用axf)(，從中求出x，即是)(1af；（5）xxff)(1; （6）若點(diǎn)),(bap在)(xfy的圖象上，又在xfy1的圖象上，則),(abp在)(xfy的圖象上；（7）證明)(xfy的圖象關(guān)于直線(xiàn)xy對(duì)稱(chēng)， 只需證)(xfy反函數(shù)和)( x

24、fy相同。2.3、冪函數(shù)1、一般地，函數(shù)xy叫做冪函數(shù)。2、幾種冪函數(shù)的圖象：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 34 頁(yè) - - - - - - - - -1）所有冪函數(shù)在,0上都有定義，并且圖像都過(guò)點(diǎn)1 , 1；2）當(dāng)0時(shí)，冪函數(shù)的圖象還過(guò)0 ,0，并且在區(qū)間,0上都是增函數(shù)；當(dāng)0時(shí)，冪函數(shù)在區(qū)間,0上是減函數(shù)，圖象不過(guò)0,0；在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從原點(diǎn)右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右側(cè)向上無(wú)限逼近y軸；當(dāng)x趨向于時(shí)，圖象在x軸上方向右無(wú)限的逼近x軸。3）當(dāng)1時(shí)，xy在第一象限的圖象右下凹，越大，在第一象限圖象越靠近y軸。當(dāng)1

25、0時(shí)，xy在第一象限的圖象左上凸，越小，在第一象限圖象越靠近x軸。當(dāng)0時(shí)，xy在第一象限圖象左下凹，越小，第一象限圖象越稍靠近x軸，越稍遠(yuǎn)離y軸。4）指數(shù)是偶數(shù)的冪函數(shù)是偶函數(shù)，指數(shù)是奇數(shù)的函數(shù)是奇函數(shù)。第三章、函數(shù)的應(yīng)用3.1.1、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)的零點(diǎn)定義：對(duì)于函數(shù))(dxxfy，把使0)(xf成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù))(dxxfy的零點(diǎn)。2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：方程0 xf有實(shí)根函數(shù)xfy的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)xfy有零點(diǎn) . 3、函數(shù)零點(diǎn)存在性判定定理：如果函數(shù)xfy在區(qū)間ba,上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn)，并且有0bfaf，那么，函數(shù)xfy在區(qū)間ba,內(nèi)有零點(diǎn)，即存在bac,，使

26、得0cf，這個(gè)c也就是方程0 xf的根。4、函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)從“數(shù)”的角度看：即是使0)(xf的實(shí)數(shù)；從“形”的角度看：即是函數(shù))(xf的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若函數(shù))(xf的圖象在0 xx處與x軸相切，則零點(diǎn)0 x通常稱(chēng)為不變號(hào)零點(diǎn)；若函數(shù))(xf的圖象在0 xx處與x軸相交，則零點(diǎn)0 x通常稱(chēng)為變號(hào)零點(diǎn)。5、設(shè)21, xx是實(shí)系數(shù)一元二次方程)0(02acbxax的兩實(shí)根， 則21, xx的分布范圍與一元二次方程系數(shù)之間的關(guān)系如下表所示：根的分布（npm為常數(shù)）圖象滿(mǎn)足條件xyo 1x2xm精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁(yè)，

27、共 34 頁(yè) - - - - - - - - -mxx21（兩根都小于m）0)(,2,0mfmab21xxm（兩根都大于m）0)(,2,0mfmab21xmx(一根大于m， 一根小于m) 0)(mf),(,21nmxx（兩根位于nm,之間）0)(, 0)(,2,0nfmfnabmnxpxm21（兩根分別位于m與p，p與n之間）0)(,0)(,0)(nfpfmf只有一根在nm,之間nabm2,0或者0)()(nfmf6、二次函數(shù))0(2acbxaxy的零點(diǎn)：），方程02cbxax有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；2） ，方程02cbxax有兩相等實(shí)根（二重根） ，

28、二次函數(shù)的圖象與x軸有一xyo 1x2xmxyo 1x2xmmxyo 1x2xnmxyo 1x2xnpxyo mn精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁(yè)，共 34 頁(yè) - - - - - - - - -個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)；），方程02cbxax無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)。注：1、對(duì)于連續(xù)不間斷的函數(shù)，我們只要找到一個(gè)區(qū)間，使得區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)，就可以斷定在此區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，若在此區(qū)間上具有單調(diào)性，則只有一個(gè)零點(diǎn)。2、并不是所有函數(shù)的零點(diǎn)都能用這種方法找到，直觀上講，只有當(dāng)

29、函數(shù)如圖像穿過(guò)x軸時(shí)，這種方法才奏效。3.1.2、用二分法求方程的近似解1、二分法定義：對(duì)于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷，且滿(mǎn)足)(af)(bf0的函數(shù))(xfy，通過(guò)不斷地把函數(shù))(xf的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法。注：用二分法求函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)：二分法的條件)(af)(bf0表明用二分法求函數(shù)的近似零點(diǎn)都是指變號(hào)零點(diǎn)。2、步驟：給定精度，用二分法求函數(shù))(xf的零點(diǎn)近似值的步驟如下：（1）確定區(qū)間a，b，驗(yàn)證)(af)(bf0，給定精度；（2）求區(qū)間a(，)b的中點(diǎn)1x；（3）計(jì)算)(1xf：若)(1xf=0，則1x就是函數(shù)的零點(diǎn)；若)

30、(af)(1xf0，則令b=1x（此時(shí)零點(diǎn)),(10 xax） ；若)(1xf)(bf0，則令a=1x（此時(shí)零點(diǎn)),(10bxx） ；（4）判斷是否達(dá)到精度；即若|ba，則得到零點(diǎn)值a（或b） ；否則重復(fù)步驟24. 注：確定區(qū)間這一步的關(guān)鍵是，使區(qū)間a，b長(zhǎng)度盡量小，)(af，)(bf的值比較容易計(jì)算，且)(af，)(bf異號(hào)，常用列表和畫(huà)圖的方法觀察找到a和b. 3.2.1、幾類(lèi)不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型題型 1：正比例、反比例和一次函數(shù)型題型 2：二次函數(shù)型題型 3：分段函數(shù)型題型 4：指數(shù)型（指數(shù)爆炸） 、對(duì)數(shù)型函數(shù)：記住圖像的形狀題型 5：三角函數(shù)型（物理模型）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f

31、- - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁(yè)，共 34 頁(yè) - - - - - - - - -題型 6：不等式型3.2.2、函數(shù)模型的應(yīng)用舉例1、解決問(wèn)題的常規(guī)方法：先畫(huà)散點(diǎn)圖，再用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)擬合，最后檢驗(yàn). 2、解決實(shí)際問(wèn)題的解題過(guò)程對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象概括：研究實(shí)際問(wèn)題中量與量之間的關(guān)系，確定變量之間的主、被動(dòng)關(guān)系，并用x、y 分別表示問(wèn)題中的變量；建立函數(shù)模型：將變量y 表示為 x 的函數(shù)，在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)，我們建立的函數(shù)模型一般都是函數(shù)的解析式；求解函數(shù)模型： 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)正確選擇函數(shù)知識(shí)求得函數(shù)模型的解；還原為實(shí)際問(wèn)題的解。這些步驟

32、用框圖表示：3、解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題應(yīng)著重培養(yǎng)下面一些能力：（1）閱讀理解、整理數(shù)據(jù)的能力：通過(guò)分析、畫(huà)圖、列表、歸類(lèi)等方法，快速弄清數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)的單位等等；（2）建立函數(shù)模型的能力：關(guān)鍵是正確選擇自變量將問(wèn)題的目標(biāo)表示為這個(gè)變量的函數(shù)，建立函數(shù)的模型的過(guò)程主要是抓住某些量之間的相等關(guān)系列出函數(shù)式，注意不要忘記考察函數(shù)的定義域；（3）求解函數(shù)模型的能力：主要是研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域、最大（?。┲?，計(jì)算函數(shù)的特殊值等，注意發(fā)揮函數(shù)圖象的作用。必修 2 數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)第一章、空間幾何體1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)（1）常見(jiàn)的多面體有：棱柱、棱錐、棱臺(tái)；常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)體有：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球。（2）柱

33、體棱柱：一般的，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。實(shí)際問(wèn)題函數(shù)模型實(shí)際問(wèn)題的解函數(shù)模型的解抽象概括還原說(shuō)明運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁(yè)，共 34 頁(yè) - - - - - - - - -棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，上下底面全等。直棱柱：側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱。正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱。平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體。圓柱：以矩形的一邊所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱；

34、旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線(xiàn)。（3）錐體棱錐：一般的有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。正棱錐：底面是正多邊形并且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面中心的棱錐。正四面體：各個(gè)面都是全等的等邊三角形的四面體叫正四面體。圓錐： 以直角三角形的一條直角邊所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐；旋轉(zhuǎn)軸為圓錐的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)形成的面叫做圓錐的底面；斜邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做圓錐的側(cè)面。（4）臺(tái)體（臺(tái)體問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為錐體問(wèn)題解決）棱臺(tái)：用一個(gè)平行于底面

35、的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)；原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面和上底面；棱臺(tái)也有側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)。圓臺(tái)：用一個(gè)平行于底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)；原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺(tái)的下底面和上底面；圓臺(tái)也有側(cè)面、母線(xiàn)、軸。（5）球：以半圓的直徑所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)為球；半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑。（6）組合體：由柱、錐、臺(tái)、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫組合體。2、空間幾何體的三視圖和直觀圖把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影線(xiàn)交于一點(diǎn)；把在一束平行光線(xiàn)照

36、射下的投影叫平行投影，平行投影的投影線(xiàn)是平行的。三視圖：正側(cè)一樣高，正俯一樣長(zhǎng)，側(cè)俯一樣寬。直觀圖：斜二測(cè)畫(huà)法步驟畫(huà)軸：建直角坐標(biāo)系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的ox，oy，oz建立直角坐標(biāo)系； 畫(huà)斜坐標(biāo)系， 在畫(huà)直觀圖的紙上 （平面上） 畫(huà)出對(duì)應(yīng)的yoxo,zo, 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁(yè)，共 34 頁(yè) - - - - - - - - -使45yox（或135） ，90zox，它們確定的平面表示水平平面；畫(huà)底面： 在已知圖形中平行于x軸的線(xiàn)段， 在直觀圖中畫(huà)成平行于x軸，且長(zhǎng)度保持不變；平行于y軸的線(xiàn)段，仍

37、平行于y軸，且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半；畫(huà)側(cè)棱：平行于z軸的線(xiàn)段，畫(huà)成平行于z 軸，且長(zhǎng)度保持不變；成圖：擦去輔助線(xiàn)，將被遮擋的部分改為虛線(xiàn)。注：根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，若一個(gè)平面圖形的面積為s，它的直觀圖的面積為s，則ss42畫(huà)水平放置的多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，因?yàn)槎噙呅雾旤c(diǎn)的位置一旦確定，依次連結(jié)這些頂點(diǎn)就可畫(huà)出多邊形來(lái)，因此平面多邊形水平放置時(shí)，直觀圖的畫(huà)法可以歸結(jié)為確定點(diǎn)的位置的畫(huà)法。3、空間幾何體的表面積與體積棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積是各展開(kāi)面的面積之和圓柱側(cè)面積；lrs2側(cè)面圓錐側(cè)面積：lrs側(cè)面圓臺(tái)側(cè)面積：lrlrs側(cè)面體積公式：hsv柱體；hsv31錐體；hssssv下下

38、上上臺(tái)體31. 球的表面積和體積：32344rvrs球球，. 注：球心與截面圓（不經(jīng)過(guò)球心的截面圓）的圓心的連線(xiàn)垂直于截面圓；過(guò)截面圓的圓心，垂直于截面圓的直線(xiàn)必過(guò)球心。第二章：點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系一、平面的基本公理及推論1、公理 1：如果一條直線(xiàn)上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在此平面內(nèi)。作用：證明點(diǎn)在平面內(nèi)；證明直線(xiàn)在平面內(nèi)。2、公理 2：過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論 1：經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)有且只有一個(gè)平面。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁(yè)，共 34 頁(yè) - - - - - - - - -推論 2：

39、經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)有且只有一個(gè)平面。推論 3：經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面。作用：確定平面；證明點(diǎn)線(xiàn)共面。3、公理 3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)。推論 1：兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線(xiàn)確定一個(gè)平面。作用：證明兩個(gè)平面相交；證明點(diǎn)在直線(xiàn)上；畫(huà)兩個(gè)平面相交時(shí)畫(huà)交線(xiàn)依據(jù)。4、公理 4(平行公理 )：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行。推論 1：過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行。推論 2：垂直于同一平面的兩條直線(xiàn)平行。作用：證明兩條直線(xiàn)平行。5、定理（等角定理） ：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。推論 1：兩條

40、平行直線(xiàn)和第三條直線(xiàn)所成角相等。二、空間中的位置關(guān)系6、線(xiàn)線(xiàn)位置關(guān)系：平行、相交、異面。異面直線(xiàn)的畫(huà)法：異面直線(xiàn)判定定理：過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)和平面外一點(diǎn)的直線(xiàn)和面內(nèi)不過(guò)此點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)。7、線(xiàn)面位置關(guān)系：直線(xiàn)在平面內(nèi)、直線(xiàn)和平面平行、直線(xiàn)和平面相交。8、面面位置關(guān)系：平行、相交。三、空間中的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)9、線(xiàn)面平行：定義：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面沒(méi)有公共交點(diǎn)，則稱(chēng)這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行。判定定理：平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行。（關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行）推論 1： 平面外兩條平行直線(xiàn)中的一條平行于這個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面。性質(zhì)定理

41、： 一條直線(xiàn)與一平面平行，則過(guò)這條直線(xiàn)的任一平面與此平面的交線(xiàn)與該直線(xiàn)平行。推論 1：若一條直線(xiàn)與兩個(gè)相交平面都平行，則這條直線(xiàn)與這兩個(gè)平面的交線(xiàn)平行。10、面面平行：定義：如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共交點(diǎn)，則稱(chēng)這兩個(gè)平面平行。判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。推論 1：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)，則這兩個(gè)平面平行。推論 2：平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行。推論 3：垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行。性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行。推論 1：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意直線(xiàn)都平行于另一

42、個(gè)平面。推論 2：兩個(gè)平行平面外一條直線(xiàn)，如果該直線(xiàn)平行于第一個(gè)平面，則它也平行于第二個(gè)平面。推論 3：夾在兩個(gè)平行平面間的平行線(xiàn)段相等。推論 4：過(guò)平面外一點(diǎn)只有一個(gè)平面與已知平面平行。ababab精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁(yè)，共 34 頁(yè) - - - - - - - - -11、線(xiàn)面垂直：定義：如果一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)，那么就說(shuō)這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直。判定定理：一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直。推論 1：兩條平行線(xiàn)中的一條和已知平面垂直，則另一條也和這個(gè)平面垂直。推論 2

43、：若一條直線(xiàn)與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面垂直，則該直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面。推論 3：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知平面垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知直線(xiàn)垂直。性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行。推論 1：若一條直線(xiàn)和一個(gè)平面垂直，則這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面的任意一條直線(xiàn)。推論 2：垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面互相平行。12、面面垂直：定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直。判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面垂直（關(guān)鍵是找平面內(nèi)一條直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面） 。推論 1：如果一個(gè)平面和另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)平行，那么這兩個(gè)平面互相垂直。推論 2：

44、如果一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直，則該平面垂直于另一個(gè)平面。性質(zhì)定理：兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面。推論 1：如果兩個(gè)相交平面垂直于第三個(gè)平面，則交線(xiàn)與第三個(gè)平面垂直。（證明時(shí)，在第三個(gè)平面內(nèi)任意取一點(diǎn)向交線(xiàn)作垂線(xiàn)）推論 2：若兩平面垂直， 那么經(jīng)過(guò)一平面內(nèi)一點(diǎn)，垂直于第二個(gè)平面的直線(xiàn)一定在第一個(gè)平面內(nèi)。注：經(jīng)常添加的輔助線(xiàn)是在一個(gè)面內(nèi)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)。四、空間中的位置關(guān)系證明方法1、點(diǎn)共線(xiàn)（公理3）轉(zhuǎn)化為證明“點(diǎn)在直線(xiàn)上”先確定某兩個(gè)點(diǎn)在某兩個(gè)平面的交線(xiàn)上，再證明其余點(diǎn)既在第一個(gè)平面內(nèi)，又在第二個(gè)平面內(nèi)，當(dāng)然在兩個(gè)平面的交線(xiàn)上。證明這些點(diǎn)都是某兩個(gè)平面的公

45、共點(diǎn)，最后得出這些點(diǎn)都在二平面交線(xiàn)上。2、線(xiàn)共點(diǎn)（公理1、3）轉(zhuǎn)化為證明“點(diǎn)在直線(xiàn)上”納入法：三條不共面的線(xiàn)可以確定三個(gè)平面，取其中兩條直線(xiàn)共面且交于一點(diǎn)，此點(diǎn)在另兩個(gè)平面內(nèi)，該點(diǎn)當(dāng)然在兩個(gè)平面的交線(xiàn)即第三條直線(xiàn)上。同一法：三條直線(xiàn)cba,，假設(shè)bcbaba,說(shuō)明ba,為同一點(diǎn)。3、點(diǎn)線(xiàn)共面（公理2）納入法：部分點(diǎn)或直線(xiàn)確定平面，其余點(diǎn)或直線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)。同一法：由這些點(diǎn)或直線(xiàn)取適當(dāng)?shù)牟糠执_定若干個(gè)平面，再一一確定這些平面重合。直接證明：利用公理或推論直接證明。4、證明兩條直線(xiàn)為異面直線(xiàn)反證法：直接假設(shè)a 、b 共面而產(chǎn)生矛盾；假設(shè)a 、b 平行與相交 ,分別產(chǎn)生矛盾。異面直線(xiàn)判定定理。5、求

46、異面直線(xiàn)所成角90,0作（或找）：固定一條平移另一條，或者同時(shí)平移兩條到某個(gè)特殊位置，頂點(diǎn)選在特殊位置上；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁(yè)，共 34 頁(yè) - - - - - - - - -證明：證明作出（或找出）的角即為所求角；求解：利用三角形求解；下結(jié)論。6、求直線(xiàn)和平面所成的角90,0法一：作（或找） ：作出（或?qū)ふ遥┻^(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)與平面垂直的直線(xiàn)，連接垂足和斜足得出射影；證明：證明作出（或找出）的角即為所求角；求解：利用三角形求解；下結(jié)論。法二：等體積法。7、求二面角的平面角180,0作（或找） ： 證明：求解：下結(jié)論。其

47、中二面角的平面角的作法： 1、定義法：角的頂點(diǎn)是否在棱上，角的兩邊是否分別在兩個(gè)平面內(nèi)，這兩邊是否都與棱垂直。 2、垂面法：過(guò)棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面相交產(chǎn)生兩條射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所成角即為二面角的平面角。 3、垂線(xiàn)法：過(guò)二面角的一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)p，向另一個(gè)面作垂線(xiàn)，垂足為a，過(guò) a向棱作垂線(xiàn)，垂足為b，則pba或其補(bǔ)角即為二面角的平面角。8、判斷線(xiàn)線(xiàn)平行利用定義證明共面而且無(wú)公共點(diǎn)（結(jié)合反證法）；利用平行公理4；利用線(xiàn)面平行性質(zhì)定理；利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理；利用面面平行性質(zhì)定理。9、判斷線(xiàn)面平行定義；判定定理；面面平行性質(zhì)推論（2 個(gè)） 。10、判斷面面平行定義（反證

48、法，假設(shè)兩平面不平行，則它們必相交，再導(dǎo)出矛盾）；判定定理及推論（4 個(gè)） ；如果一個(gè)平面內(nèi)的所有直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁(yè)，共 34 頁(yè) - - - - - - - - -11、判斷線(xiàn)線(xiàn)垂直計(jì)算所成角為90; 線(xiàn)面垂直的性質(zhì)。12、判斷線(xiàn)面垂直定義；判定定理及推論（3 個(gè)） ；面面垂直的性質(zhì)定理及推論（2 個(gè)） 。13、判斷面面垂直定義；判定定理及推論（3 個(gè)） 。五、證明空間線(xiàn)面平行或垂直需注意以下幾點(diǎn)由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。立體幾何論

49、證題的解答中，利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線(xiàn)（或面）是解題的常用方法之一。明確何時(shí)應(yīng)用判定定理，何時(shí)應(yīng)用性質(zhì)定理，用定理時(shí)要先申明條件再由定理得出相應(yīng)結(jié)論。開(kāi)放性探索問(wèn)題，注意采用逆向思維的方法分析問(wèn)題。平面圖形的翻折問(wèn)題的分析與解決。要注意摘出平面圖形，便于計(jì)算。第三章：直線(xiàn)與方程一、直線(xiàn)方程1、傾斜角與斜率：1212tanxxyyk，其中21,90 xx. (證明三點(diǎn)共線(xiàn) ) 2、直線(xiàn)方程：點(diǎn)斜式：00 xxkyy；注意提前討論斜率不存在的情況；斜截式：bkxy；注意提前討論斜率不存在的情況；（判斷兩條直線(xiàn)之間的位置關(guān)系）兩點(diǎn)式：121121xxxxyyyy；注意提前討論斜率不存在或者為

50、0 的情況；截距式：)0,0(1babyax， 注意提前討論直線(xiàn)與坐標(biāo)軸平行和過(guò)原點(diǎn)的情況；（作直線(xiàn)，判斷直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的象限，求直線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的面積）線(xiàn)線(xiàn)垂直線(xiàn)面垂直面面垂直精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁(yè)，共 34 頁(yè) - - - - - - - - -一般式：0cbyax（其中ba,不同時(shí)為0） 。二、直線(xiàn)位置關(guān)系與交點(diǎn)坐標(biāo)3、對(duì)于直線(xiàn)：222111:,:bxkylbxkyl有： （注意提前討論斜率不存在的情況）212121/bbkkll；1l和2l相交12kk；1l和2l重合2121bbkk；12121kkll或一條直線(xiàn)的

51、斜率為0，另一條直線(xiàn)的斜率不存在。4、求兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，只需寫(xiě)出這兩條直線(xiàn)的方程，聯(lián)立求解即可。5、對(duì)于直線(xiàn)：0:,0:22221111cybxalcybxal有：1221122121/cbcbbaball；1l和2l相交1221baba；1l和2l重合12211221cbcbbaba；0212121bbaall. 過(guò)直線(xiàn)1l與2l交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程為0)(222111cybxacybxa（解決直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，首先分離參數(shù)，化為過(guò)兩直線(xiàn)交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程的形式）三、距離公式6、兩點(diǎn)間距離公式：若),(111yxp，),(222yxp，則21221221yyxxpp7、點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式： （設(shè))

52、,(00yxp，應(yīng)首先把直線(xiàn)方程化為一般式0cbyax）2200bacbyaxd精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 頁(yè)，共 34 頁(yè) - - - - - - - - -8、兩條平行線(xiàn)之間的距離：（實(shí)質(zhì)是點(diǎn)到直線(xiàn)的距離0:, 0:2211cbyaxlcbyaxl）2221baccd9、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題“點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)”的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)),(11yxp關(guān)于),(00yxm的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)p的坐標(biāo)是)2,2(1010yyxxp；點(diǎn)),(11yxp關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是),(11yxp. “點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)”的對(duì)稱(chēng)求點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)設(shè)),(00yxp，)0(0:22bacb

53、yaxl,若p關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)q的坐標(biāo)為),(yx，則l是pq的垂直平分線(xiàn)，即lpq且pq的中點(diǎn)在l上，解方程組0221)(0000cyybxxabaxxyy可得q點(diǎn)的坐標(biāo)。幾種特殊位置的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)),(bapx軸),(bay軸),(baxy),(abxy),(ab)0(mmx),2(bam精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁(yè)，共 34 頁(yè) - - - - - - - - -“直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)”的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)一定是和已知直線(xiàn)平行直線(xiàn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得直線(xiàn)0cbyax關(guān)于點(diǎn)),(00yxp的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)方程是0)2()

54、2(00cyybxxa，即0)22(00cbyaxbyax. “直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)”的對(duì)稱(chēng)若直線(xiàn)ba,關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，則若ba,相交，則l是ba,交角的平分線(xiàn)(距離，夾角 ) ；若點(diǎn)a在直線(xiàn)a上，則關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)b一定在直線(xiàn)b上，這時(shí)lab，并且ab的中點(diǎn)d在l上（中垂線(xiàn)） ；a以l為軸旋轉(zhuǎn)180，一定與b重合。幾種特殊位置的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)（曲線(xiàn)）對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)（曲線(xiàn)）x軸0)(cybaxy軸0)(cbyxa)0(nny)2,(bna0cyx),(cacb0cyx),(cacb精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 頁(yè)，共 34 頁(yè) - - -

55、 - - - - - -直線(xiàn)0cbyax原點(diǎn)0)()(cybxaxy0cbxayxy0)()(cxbyaax0)2(cbyxaaby0)2(cybbax曲線(xiàn)0),(yxfx軸0),(yxfy軸0),(yxf原點(diǎn)0),(yxfxy0),(xyfxy0),(xyfax0),2(yxafby0)2,(ybxf0cyx0),(cxcyf0cyx0),(cxcyf10、解析法（坐標(biāo)法）解決問(wèn)題的基本步驟：建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)的量；進(jìn)行有關(guān)的代數(shù)運(yùn)算；把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。第四章：圓與方程1、圓的方程：標(biāo)準(zhǔn)方程：222rbyax一般方程：022feydxyx. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d

56、 f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 頁(yè)，共 34 頁(yè) - - - - - - - - -2、兩圓位置關(guān)系：21ood外離：rrd；外切：rrd；相交：rrdrr；內(nèi)切：rrd；內(nèi)含：rrd. 3、空間中兩點(diǎn)間距離公式：21221221221zzyyxxpp必修 3 數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)第一章：算法1、算法三種語(yǔ)言：自然語(yǔ)言、流程圖、程序語(yǔ)言；2、算法的三種基本結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)3、流程圖中的圖框：起止框、輸入輸出框、處理框、判斷框、流程線(xiàn)等規(guī)范表示方法；4、循環(huán)結(jié)構(gòu)中常見(jiàn)的兩種結(jié)構(gòu)：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)、直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - -

57、 - - - - - - - - - - - 第 23 頁(yè)，共 34 頁(yè) - - - - - - - - -5、基本算法語(yǔ)句：賦值語(yǔ)句： “ =” （有時(shí)也用“” ）輸入輸出語(yǔ)句： “input ” “print ”條件語(yǔ)句：if then else end if 循環(huán)語(yǔ)句：“do”語(yǔ)句do until end “while ”語(yǔ)句while wend 算法案例：輾轉(zhuǎn)相除法同余思想第二章：統(tǒng)計(jì)1、抽樣方法：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（總體個(gè)數(shù)較少）系統(tǒng)抽樣（總體個(gè)數(shù)較多）分層抽樣（總體中差異明顯）注意：在 n 個(gè)個(gè)體的總體中抽取出n 個(gè)個(gè)體組成樣本， 每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)（概率）均為nn。2、總體分布的估計(jì)

58、：一表二圖：頻率分布表數(shù)據(jù)詳實(shí)頻率分布直方圖分布直觀頻率分布折線(xiàn)圖便于觀察總體分布趨勢(shì)注：總體分布的密度曲線(xiàn)與橫軸圍成的面積為1。莖葉圖：莖葉圖適用于數(shù)據(jù)較少的情況，從中便于看出數(shù)據(jù)的分布，以及中位數(shù)、眾位數(shù)等。個(gè)位數(shù)為葉，十位數(shù)為莖，右側(cè)數(shù)據(jù)按照從小到大書(shū)寫(xiě)，相同的藥重復(fù)寫(xiě)。3、總體特征數(shù)的估計(jì)：平均數(shù)：nxxxxxn321；取值為nxxx,21的頻率分別為nppp,21，則其平均數(shù)為nnpxpxpx2211；注意：頻率分布表計(jì)算平均數(shù)要取組中值。方差與標(biāo)準(zhǔn)差：一組樣本數(shù)據(jù)nxxx,21精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 頁(yè)，共

59、34 頁(yè) - - - - - - - - -方差：212)(1niixxns；標(biāo)準(zhǔn)差：21)(1niixxns注：方差與標(biāo)準(zhǔn)差越小，說(shuō)明樣本數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。平均數(shù)反映數(shù)據(jù)總體水平；方差與標(biāo)準(zhǔn)差反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定水平。線(xiàn)性回歸方程變量之間的兩類(lèi)關(guān)系：函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系；制作散點(diǎn)圖，判斷線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系線(xiàn)性回歸方程：abxy（最小二乘法）1221niiiniix ynx ybxnxaybx注意：線(xiàn)性回歸直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)),(yx。第三章：概率1、隨機(jī)事件及其概率：事件：試驗(yàn)的每一種可能的結(jié)果，用大寫(xiě)英文字母表示；必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的特點(diǎn)；隨機(jī)事件a 的概率：1)(0,)(apnmap；2、古典概型：基

60、本事件：一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果；古典概型的特點(diǎn)：所有的基本事件只有有限個(gè)；每個(gè)基本事件都是等可能發(fā)生。古典概型概率計(jì)算公式：一次試驗(yàn)的等可能基本事件共有n 個(gè)，事件a 包含了其中的m 個(gè)基本事件，則事件a 發(fā)生的概率nmap)(。3、幾何概型：幾何概型的特點(diǎn)：所有的基本事件是無(wú)限個(gè)；每個(gè)基本事件都是等可能發(fā)生。幾何概型概率計(jì)算公式：的測(cè)度的測(cè)度ddap)(；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 頁(yè)，共 34 頁(yè) - - - - - - - - -其中測(cè)度根據(jù)題目確定，一般為線(xiàn)段、角度、面積、體積等。4、互斥事件：不能同時(shí)發(fā)