電動(dòng)力學(xué)答案(郭碩鴻+第三版)_chapter1

1、電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈答第一章電磁現(xiàn)3k的荷筑規(guī)誹1根據(jù)算符v的微分性與矢彊性.推導(dǎo)卜列公式：V(4-B)= Bx(Vx4) + (B- V)4 + Ax(y xB)+ (A-V)B 1 r</x(Vx/) = V/l - (4042解：1) V(2B) = Bx(Vxy4) + (B V)24 + Ax(VxB)+(V)E首先，算符V是一個(gè)微分算符比具有對(duì)其后所有表達(dá)式起微分的作用，對(duì)于本題， V將作用于艮和萬(wàn).又V是一個(gè)矢鼠算符，具有欠鼠的所有性質(zhì)“因此，利用公式cx(dxb) = d-(cb)-(c-a)b可得上式，其中右邊前兩項(xiàng)是V作用J：At后兩項(xiàng)是作用丁萬(wàn)2)根據(jù)第一個(gè)公式，令A(yù) =

2、 B可得證。2設(shè)u是空間坐標(biāo)x. y. z的丙數(shù)，證明:Vf(u) = Vudu_dAV = VuduVx A(ii) = Vu x.du證明:1)V(u)=響響營(yíng)趕譽(yù)趕討魯討訥2)V A(u)=鬲衛(wèi))血).辺二似)_ dAx(u)+Fdti 必y(“)du dA (u) dii dA += Vu dt du Qd二 d:du3)V x X(u)=d4(”)£d忘A(u)dAdAd4d4,)耳 + (-K + (- )e.=a- 比，冼& ，&令.亠，込dii dAv dudAx dudA du、_'必、dudA. du、_ dA=(- )e1 + ( _-)

3、ev +(:_-)e. = Vux du du dzdu dzdu dvdu&cdu dr 'duF3設(shè)r = 7（x-x）34-Cv-r ）2 +（2-2）2為源點(diǎn)d到場(chǎng)點(diǎn)X的距離，1的方向規(guī)定為從源點(diǎn)指向場(chǎng)點(diǎn).1）證明卜列結(jié)來，并體會(huì)對(duì)源變數(shù)求微商（與對(duì)場(chǎng)變數(shù)求 && dzOr微商(v = + ev + ?.)的關(guān)系。 dt dr -疋F-V0.(廠 # 0)_Vr = -,vl = -vl一有小有二ON虧（最后一式在人r=0點(diǎn)不成立.見第二章第五節(jié)）。V/-電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈答第一章電磁現(xiàn)3k的荷筑規(guī)誹電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈答第一章電磁現(xiàn)3k的荷筑規(guī)誹2)求V.f,V

4、xf,(V)r,V(a.f),V£0 sin(-r)及 Vx焉 sin(r),其中及岳均為常矢量。證明：,恥7）+ %-）+0（一二）=3Vxf =dX-Xdry-y6ddz=0電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈答第一章電磁現(xiàn)3k的荷筑規(guī)誹電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈答第一章電磁現(xiàn)3k的荷筑規(guī)誹(5V)f = (aJA +a+ 耳）（舟乙+ 軟）（x-x寵 +（，-«/）%+（二一二乂=境+"舜+a： F)t(x x')E + & - ")耳 +(二-二陋9r=a 6 + ayey + azez = aV(J r) = J x (V x r) + (J V)r + r x

5、 (V x n) + (r V) J=(J V)f + f x (V x J) + (f 5) 5=fl + f x (V x J) + (f V)V-£o sin( f) = V(sin( f) - £0 + sin( - f)(V Eo)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈答第一章電磁現(xiàn)攻的薈遍規(guī)誹=cos(fr f)(kex + kyey + kse:)E0 = cos(七 r)k E)VxE0 sin(Ar r) = Vsin( r)xE()+ sin(Ar r)Vx Eo4應(yīng)用高斯定理證明dWxf = dSxf 應(yīng)用斯托克斯（Stokes）定理證明（亦x V0 = dl 0證明：1）由

6、高斯定理W： （魯+魯+字）d7訂耳雄+g聲,+g/QdI-g = jsdS-gr(一 r d e _。 。一 o 。一而Wx妙H(訐-疋0+(討討)"(討-訐)7 訂荻* - 6魯-価+討1 - fjwv又：jsdSxf = js(f:dSv - fvdSz)i + UdS廠 fzdSJj + (厶dS, - fxdsv)k =f(/v -+ (fJ - fjhds, + (/J- fj )ds：若令 Hx=fyk-fs J, Hy =fj-/, Hz = fj- fvi則上式就是：,鮒=瀘目高斯定理.則證畢。2)由斯托克斯公式有:f'dl =jVxf-dS打"#

7、(/皿+厶碼+£九)r-_rQOd dd dL" f dS J(詁工CdSN(詁-詁)dSy + (-fy-fjds：4電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈答第一章電磁現(xiàn)3k的荷筑規(guī)悻#電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈答第一章電磁現(xiàn)3k的荷筑規(guī)悻(亦X丄(譽(yù)嗎-鈴dSJ亍+ (讐雄-讐dS» + (詈ds廠讐dSF冷普心(嚳W新氓畔一atOClg#電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈答第一章電磁現(xiàn)3k的荷筑規(guī)悻#電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈答第一章電磁現(xiàn)3k的荷筑規(guī)悻若令f廣帖f廠Lf廣林則證畢。5已知一個(gè)電荷系統(tǒng)的偶極矩定義為P(t) = jrp(x',t)x'dy利用電荷守恒定律 / +空=0證明b的變化率為: dt證

8、明:¥訂奢"'7巧'如=-y'JxdV = -JV* -(x'J )-(Vx)-; d/ = j(j； - V' xJ)dV-jxdV -dS若 S t S,則# (力)亦=O，G|s= 0) 同理'(喲廠Ju兒(譽(yù)Ajadt6若用足常欠最，證明除R=0點(diǎn)以外，矢：A =mxRm-R的梯度的負(fù)值，即Vx4 = 一 7 (p其屮R為坐標(biāo)原點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離，方向由原點(diǎn)指向場(chǎng)點(diǎn)。 證明：Vx= Vx(- = -Vxn?x(V)= (V ni)V-+(n? -V)vi-V (vi)m-(V-) Vpi?RRrrrr=（帀）記，（心0）F

9、P（p= V（-） = -V/77（vi） = -nixVx（vi）-（vi）x（Vxn7）-（n2.V）vi Rrr rr-（7丄）旳帀=-（帀y）y£廣/. Vx4 = -V1.冇一內(nèi)外半徑分別為幾和耳的空心介質(zhì)球.介質(zhì)的電容率為£使介質(zhì)內(nèi)均勻帶靜止自(1) 空間各點(diǎn)的電場(chǎng)(2) 極化體電荷和極化而電荷分布解：1) -dS = |pfdV,(門1*巾)即：D-472 = (7*3 -Ki)pf由0丄傘釜dg，d):.E =7兒時(shí)，E=Q 一£ £（ -JP=£oZgE= %E =（£_%）E%.必 "一（£_%

10、）丘 一（£_%）（ ?3）訶一（戸一場(chǎng)3少 丿3£ 丿嚴(yán)6 = R“ - P*考堪外球殼時(shí).r=r2, n從介質(zhì)1指向介質(zhì)2 (介質(zhì)指向真空)，P = 06電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈答第一章電磁現(xiàn)3k的荷遍規(guī)誹f3 _f3咲肚（一 ）才“仏考堪到內(nèi)球殼時(shí) r=r?r3_f36 7°)才初十。8. 內(nèi)外半徑分別為口和巾的無窮長(zhǎng)中空導(dǎo)體關(guān)柱.沿軸向流有恒泄均勻H由電流Tf.導(dǎo)體 的磁導(dǎo)率為“，求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流.解：”時(shí),少=0,故H = 3 = 0當(dāng)巾>r>ri 時(shí)，H-dl = 2加 H = 口廠dS =力如-/f)養(yǎng)仞（宀心二曲學(xué)號(hào)1V2r2-7-電動(dòng)力學(xué)

11、習(xí)題珈答第一章電磁現(xiàn)3k的荷遍規(guī)誹-#-電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈答第一章電磁現(xiàn)3k的荷遍規(guī)誹當(dāng)1沁時(shí)，2兀H = It) f 0 ? 一 7f)2r2jM = VxM = Vx(ZM) = Vx(o)H = (A_i)Vx(Jyxr"oAo1 6廠2r2-#-電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈答第一章電磁現(xiàn)3k的荷遍規(guī)誹-#-電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈答第一章電磁現(xiàn)3k的荷遍規(guī)誹aM =斤x（込一同）,（n從介顧指向介質(zhì)2）.2 .2在內(nèi)表面匕弧=瓷7子）|宀=。故 Qm =rixM2 =0,(廠=廠1)在上表面 r=“時(shí)aM = nx (-M)= 斤 x Mr=ri-#-電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈答第一章電磁現(xiàn)攻的荷筑規(guī)悻9. 證明均

12、勻介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度Pp總是等J體口宙電荷密度0/的-（1-¥"咅。證明:Pp = _ R =（£ £（）云=_（£_ 6）V丘=_（£_ 6）#電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈答第一章電磁現(xiàn)攻的荷筑規(guī)悻#電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈答第一章電磁現(xiàn)攻的荷筑規(guī)悻10. 證明兩個(gè)閉合的恒定電流圈Z間的相互作用力人小相等.方向相反（但兩個(gè)電流尤Z間 的相互作用力一般并不服從牛頓第三定律）證明：1）線圈1在線圈2的磁場(chǎng)屮的受力：dFl2 = 1衛(wèi)1 x B2警4何乎）書爲(wèi)）h1212（1）#電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈答第一章電磁現(xiàn)攻的荷筑規(guī)悻2）線圈2在線圈1的磁場(chǎng)中受的力: 同

13、1）可得：錫捫1 （dl2詩(shī)）-即九 dlj#電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈答第一章電磁現(xiàn)攻的荷筑規(guī)悻#電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈答第一章電磁現(xiàn)攻的荷筑規(guī)悻分析表達(dá)式（1）和（2）：（1）式中第一項(xiàng)為#電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈答第一章電磁現(xiàn)攻的荷筑規(guī)悻#電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈答第一章電磁現(xiàn)攻的荷筑規(guī)悻同理對(duì)（2）式中第一項(xiàng) 甘d£（d£ 冷9 = 0h 4r2i忑欝“黑心峠"A L 71211. 平行板電容器內(nèi)仃兩層介質(zhì)，它們的厚度分別為h和H，電容率為®和£?,今再兩板 接上電動(dòng)勢(shì)為E的電池，求（1）電容器兩板上的口由電荷密度血f（2）介質(zhì)分界面上的口山電荷密度血fF上述兩問題的結(jié)果如若

14、介質(zhì)是漏電的，電導(dǎo)率分別為6和”一卅電流達(dá)到恒定時(shí), 何？解：在相同介質(zhì)中電場(chǎng)是均勻的,并且都有相同指向則 Pi£i+/2=E£Im-D2w = 1£1-£2=O（介質(zhì)表面上礙=0）'故：可=才詈屈=又根 iDn-D2n = af,在上極板的交而上，D _ D? =（n從介質(zhì)1指向介質(zhì)2）D?是金屬板，故D2=0即：5 = U =5吋1厶習(xí)+乙®而 CT,? = 0=D；-A =-D；,（D；是下極板金屬，故E=0）:.O f = = -CT /Ji 也+Ml 人若是漏電,并有穩(wěn)定電流時(shí).又/t A + /, A = eJn = J2n

15、 = Jl =丿2,（穩(wěn)定流動(dòng)，電荷不堆積）得：J = Ji = jJ，即：E,亠碎£2 =6 厶巧+耳“6E9電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈昔第一章電磁現(xiàn)3k的荷筑規(guī)誹12. 證明(1) 當(dāng)兩種絕緣介質(zhì)得分界面上不帶面口山電荷時(shí)，電場(chǎng)線的曲折滿足tan 026tan q 勺其中勺和勺分別為兩種介質(zhì)的介電常數(shù)，q和2分別為界面兩側(cè)電場(chǎng)線與法線的夾角。(2) 當(dāng)兩種導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)流有恒定電流時(shí)，分界面上電場(chǎng)線曲折滿足tan 026=9tan q o其中5和”2分別為兩種介質(zhì)的電導(dǎo)率。證明:(1)根據(jù)邊界條件:nx2-百) = 0,即:E2 sin 02 = E. sin 0,由于邊界面上力=0,故：/?(

16、£>->-5 = 0, U|J：cosgj =習(xí)場(chǎng)cosq(2) 根據(jù)：J = aE可得，電場(chǎng)方向與電流密度同方向。由J：電流I是恒定的，故有：匚=丄才COS& COSHj即：。糾=6® 而：x (£3 -£.) = 0 即 E* sin 仇=Ex sin 0x COS 2COS&1故有：M=£l13. 試用邊值關(guān)系證明：在絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界而上，在靜電情況卜，導(dǎo)體外的電場(chǎng)線 總是垂直J：導(dǎo)體表面：在恒定電流的情況I、，導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)線總是平行J：導(dǎo)體表而。證明：(1)導(dǎo)體在靜電條件卜達(dá)到靜電平衡.導(dǎo)體內(nèi)百=0而：/7

17、x(爲(wèi)一瓦)=0(3) 導(dǎo)體中通過恒定電流時(shí),導(dǎo)體表面盯=0導(dǎo)體外豆2=0,即:6=0ifij： n -(D2 - E) = j = 0卩：用 $ =斤 = 0n = 0導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)方向和法線垂直，即平行r導(dǎo)體農(nóng)面。14. 內(nèi)外半徑分別為a和b的無限長(zhǎng)圓柱形電容器單位長(zhǎng)度電荷為召.板間填充電導(dǎo)率為7的非磁性物質(zhì)。(1) 證明在介質(zhì)中任何點(diǎn)傳導(dǎo)電流與位移電流嚴(yán)格抵消，因此內(nèi)部無磁場(chǎng)。(2) 求勺隨時(shí)間的衰減規(guī)律(3) 求與軸相距為r的地方的能磧耗散功率密度(4) 求氏度為1的-段介質(zhì)總的能彊耗散功率，并證明它等J這段的靜電能減少率。(1)證明：由電流連續(xù)性方程:-11-電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈昔第一章電磁現(xiàn)

18、3k的荷筑規(guī)誹-#-電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈昔第一章電磁現(xiàn)3k的荷筑規(guī)誹據(jù)高斯定理pz = V-D. VJ + -=0,即：V.J +V- = 0 dtdt-an _ odAV (J + ) = 0./.J + =0 即傳到電流與位移電流嚴(yán)格抵消o dtdtC)解：由高斯定理得：jb2;rfdl = Ffdl.D=er,E = 2加2兀er一 &D 又 J + =0、J = bE、D=£E dtof+r= 0,F=dt-#-電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈昔第一章電磁現(xiàn)3k的荷筑規(guī)誹-#-電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈昔第一章電磁現(xiàn)3k的荷筑規(guī)誹Mcr-12-電動(dòng)力學(xué)習(xí)題珈答第一章電磁現(xiàn)3K的荷筑規(guī)誹/.= kfe e(3) 解:能宣耗散