第五章測(cè)量誤差知識(shí)

1、誤差理論的應(yīng)用誤差理論的應(yīng)用 第五章測(cè)量誤差知識(shí)課堂練習(xí)題第五章測(cè)量誤差知識(shí)課堂練習(xí)題 第五章測(cè)量誤差知識(shí)課堂練習(xí)題答案第五章測(cè)量誤差知識(shí)課堂練習(xí)題答案 結(jié)束結(jié)束 測(cè)量實(shí)踐中可以發(fā)現(xiàn)，測(cè)量結(jié)果不可避免的存在誤差，比如：1、對(duì)同一量多次觀測(cè)，其觀測(cè)值不相同。2、 觀測(cè)值之和不等于理論值： 三角形 +180 閉合水準(zhǔn) h0一、一、 等精度觀測(cè)：觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)。 不等精度觀測(cè)：觀測(cè)條件不相同的各次觀測(cè)。1. 儀器誤差2. 觀測(cè)誤差3. 外界條件的影響觀測(cè)條件粗差：因讀錯(cuò)、記錯(cuò)、測(cè)錯(cuò)造成的錯(cuò)誤。二、二、 在相同的觀測(cè)條件下，無(wú)論在個(gè)體和群體上，呈現(xiàn)出以下特性： 誤差的絕對(duì)值為一常量，或按一定的

2、規(guī)律變化； 誤差的正負(fù)號(hào)保持不變，或按一定的規(guī)律變化； 誤差的絕對(duì)值隨著單一觀測(cè)值的倍數(shù)而積累。 1、系統(tǒng)誤差 誤差的大小、符號(hào)相同或按 一定的規(guī)律變化。 鋼尺尺長(zhǎng)、溫度、傾斜改正 水準(zhǔn)儀 i角 經(jīng)緯儀 c角、i角 注意：系統(tǒng)誤差具有累積性，對(duì)測(cè)量成果影響較大。 1）校正儀器； （2）觀測(cè)值加改正數(shù)； （3）采用一定的觀測(cè)方法加以抵消或削弱。 在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某個(gè)固定量作一系列的觀測(cè)，如果觀測(cè)結(jié)果的差異在正負(fù)號(hào)及數(shù)值上，都沒有表現(xiàn)出一致的傾向， 即沒有任何規(guī)律性，這類誤差稱為偶然誤差。 2、偶然誤差 偶然誤差的特性偶然誤差的特性180lxl真誤差觀測(cè)值與理論值之差觀測(cè)值與理論值之差正態(tài)分

3、布曲線正態(tài)分布曲線四個(gè)特性：四個(gè)特性：有界性，趨向性，對(duì)稱性，抵償性有界性，趨向性，對(duì)稱性，抵償性。 0limlim21nnnnn -21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21 -24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24x= y誤差分布頻率直方圖誤差分布頻率直方圖 絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等， 可相互抵消； 同一量的等精度觀測(cè)，其偶然誤差的算術(shù)平 均值，隨著觀測(cè)次數(shù)的增加而趨近于零， 即： 0limnn在一定的條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超 過(guò)一定的限度;（有界性）絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī) 會(huì)要多；（密集性、區(qū)間性）（抵償性）1、粗差：舍棄

4、含有粗差的觀測(cè)值，并重新進(jìn)行觀測(cè)。2、系統(tǒng)誤差：按其產(chǎn)生的原因和規(guī)律加以改正、抵 消和削弱。3、偶然誤差：根據(jù)誤差特性合理的處理觀測(cè)數(shù)據(jù) 減少其影響。返回精度：又稱精密度，指在對(duì)某量進(jìn)行多 次觀測(cè)中，各觀測(cè)值之間的離散程度。評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn) 中誤差 容許誤差 相對(duì)誤差 一、一、 中誤差中誤差 定義 在相同條件下，對(duì)某量（真值為X）進(jìn)行n次獨(dú)立觀測(cè)，觀測(cè)值l1， l2，ln，偶然誤差（真誤差）1，2，n，則中誤差m的定義為：nmxliin,.2232221式中式中 式中：例：試根據(jù)下表數(shù)據(jù)，分別計(jì)算各組觀測(cè)值的中誤差。 解：第一組觀測(cè)值的中誤差：解：第一組觀測(cè)值的中誤差：第二組觀測(cè)值的中誤差：第二

5、組觀測(cè)值的中誤差： ，說(shuō)明第一組的精度高于第二組的精度。，說(shuō)明第一組的精度高于第二組的精度。說(shuō)明：中誤差越小，觀測(cè)精度越說(shuō)明：中誤差越小，觀測(cè)精度越高高5 . 210) 4(2) 1() 2(34) 3(12022222222221 m2 . 310) 1() 3(017) 1(0) 6(2) 1(22222222222 m21mm 定義 由偶然誤差的特性可知，在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值。這個(gè)限值就是容許（極限）誤差。二、容許誤差（極限誤差）二、容許誤差（極限誤差） 測(cè)量中通常取2倍或3倍中誤差作為偶然誤差的容許誤差； 即容=2m 或容=3m 。極限誤差的作用：極限

6、誤差的作用：區(qū)別誤差和錯(cuò)誤的界限。區(qū)別誤差和錯(cuò)誤的界限。 超出超出317317；超出；超出2 24545；超出；超出3 333。 n偶然誤差的絕對(duì)值大于中誤差9的有14個(gè)，占總數(shù)的35%，絕對(duì)值大于兩倍中誤差18 的只有一個(gè)，占總數(shù)的2.5%，而絕對(duì)值大于三倍中誤差的沒有出現(xiàn)。中誤差、真誤差和容許誤差均是絕對(duì)誤差。中誤差、真誤差和容許誤差均是絕對(duì)誤差。 相對(duì)誤差K 是中誤差的絕對(duì)值 m 與相應(yīng)觀測(cè)值 D 之比，通常以分母為1的分式 來(lái)表示，稱其為相對(duì)（中）誤差。即:mDDmK1三、三、 相對(duì)誤差相對(duì)誤差 :角度、高差的誤差用m表示， 量距誤差用K表示。 返往平均DDDK1例 已知：D1=100

7、m, m1=0.01m，D2=200m, m2=0.01m，求： K1, K2解：20000120001. 010000110001. 0222111DmKDmK返回 概念 誤差傳播定律：闡述觀測(cè)值的中誤差與觀測(cè)值 函數(shù)中誤差的關(guān)系的定律。 函數(shù)形式倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù) 常見函數(shù)形式常見函數(shù)形式 一、倍數(shù)函數(shù)形式一、倍數(shù)函數(shù)形式 倍數(shù)函數(shù)形式：倍數(shù)函數(shù)形式：函數(shù)真誤差：函數(shù)真誤差： (i=1,2, n)(i=1,2, n)上式平方有：上式平方有：(i=1,2, n)(i=1,2, n)上式求和除以：上式求和除以：由中誤差定義可知：由中誤差定義可知： 將將代入代入式有：式有：kxZ

8、iixkZ222)()(iixkZnZmiz22)(nxknZii222)()(nxmix22)(xzxzkmmmkm222 mdD38500mmmdD1 . 0500 量得某圓形建筑物得直徑D=34.50m,其中誤差 ,求建筑物得園周長(zhǎng)及其中誤差。解：圓周長(zhǎng))(03. 038.10803. 0)01. 0(1416. 338.10850.341416. 3mPmmmDPDP=結(jié)果可寫成中誤差mmD01. 0 例題例題2 2： (i=1,2, n)(i=1,2, n)yxZiiiyxZiiiiiyxyxZ2222nyxnynxnZiiiii2222, 0limnyx222yxzmmm 假設(shè)假設(shè)

9、nxxxxZ 32122322212xnxxxzmmmmm xnxxxmmmmm 321nmmmnmzz22 例題例題3 3：某測(cè)站測(cè)得后視讀數(shù)某測(cè)站測(cè)得后視讀數(shù)4.3984.398，前視讀數(shù)，前視讀數(shù)3.2553.255，3 3，求和，求和。解：解：4.3984.3983.2553.2551.1431.143（）2 2 （）2 2 （）2 23 32 23 32 21818mmmh2318所以， 4322llllDmmmD1045差及其中誤差。兩點(diǎn)間的高求中誤差得高差到從中誤差得高差進(jìn)行到水準(zhǔn)測(cè)量從CAmmCBmmmhmhhBCBChABAB,009. 0,747. 5,012. 0,476

10、.15 B,A)(015. 0223.21015. 0223.21747. 5476.15009. 0012. 02222mmmhmmmhhhAChBChABhACBCABAC+=+=+=+=+=+=解： 例題例題5 5：3.用長(zhǎng)30m得鋼尺丈量了10個(gè)尺段，若每尺段的中誤差為5mm，求全長(zhǎng)D及其中誤差。)(016.030016105.30010301021mDmmnmmDmDlDlll=+=但解：全長(zhǎng) 例題例題6 6： 1 11 12 22 2n nn n1 11 11 12 2n nxzxzkmmmkm22222322212xnxxxzmmmmm 222323222221212nnzmkm

11、kmkmkm 設(shè)非線性函數(shù)的一般式為：式中： 為獨(dú)立觀測(cè)值； 為獨(dú)立觀測(cè)值的中誤差。 求函數(shù)的全微分，并用“”替代“d”，得),(321nxxxxfz ixnmmmm,321 nxnxxZxfxfxf )()()(2121 式中： 是函數(shù)F對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù)，當(dāng)函數(shù)式與觀測(cè)值確定后，它們均為常數(shù)，因此上式是線性函數(shù)，其中誤差為：ixf), 2 , 1(ni 22222221212)()()(nnZmxfmxfmxfm ix2222222121)()()(nnZmxfmxfmxfm 誤差傳播定律的一般形式誤差傳播定律的一般形式 例已知：測(cè)量斜邊D=50.000.05m，測(cè)得傾角=15000030求：水

12、平距離D解：1.函數(shù)式 2.全微分 3.求中誤差 dDDddD)sin()(cos cosDD2222203)15sin50(05.0)15(cos)sin()(cos mDmmDD)(048.0mmD 1.列出觀測(cè)值函數(shù)的表達(dá)式： 2.對(duì)函數(shù)式全微分，得出函數(shù)的真誤差與觀測(cè)值真誤差之間的關(guān)系式： 式中， 是用觀測(cè)值代入求得的值。 ),(21nxxxfZ nxnxxZdxfdxfdxfd)()()(2121 )(ixf 求觀測(cè)值函數(shù)中誤差的步驟：五、五、 運(yùn)用誤差傳播定律的步驟運(yùn)用誤差傳播定律的步驟 3、根據(jù)誤差傳播率計(jì)算觀測(cè)值函數(shù)中誤差： 注意：在誤差傳播定律的推導(dǎo)過(guò)程中，要求觀 測(cè)值必須是

13、獨(dú)立觀測(cè)值。 22222221212)()()(nnZmxfmxfmxfm 函數(shù)名稱函數(shù)名稱函數(shù)式函數(shù)式函數(shù)的中誤差函數(shù)的中誤差倍數(shù)函數(shù)倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)一般函數(shù)nxxxz21nnxkxkxkz2211),(21nxxxfZ kxz xzkmm22221nzmmmm2222222121nnzmkmkmkm2222222121)()()(nnZmxfmxfmxfm 返回 設(shè)在相同的觀測(cè)條件下對(duì)未知量觀測(cè)了n次，觀測(cè)值為l1、l2ln，中誤差為m1、 m2 mn，則其算術(shù)平均值（最或然值、似真值）L 為： nlnlllxn 21一、一、 求最或是值（求最或是值（算術(shù)平

14、均值算術(shù)平均值）L L 設(shè)未知量的真值為x，可寫出觀測(cè)值的真誤差公式為 （i=1i=1，2 2，n n）將上式相加得 或故 nxlllnn )(2121nxl xnln推導(dǎo)過(guò)程：xlii 由偶然誤差第四特性知道，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增多時(shí)， 即 （算術(shù)平均值） 說(shuō)明，n n趨近無(wú)窮大時(shí)，算術(shù)平均值即為真值。趨近無(wú)窮大時(shí)，算術(shù)平均值即為真值。 0limnn Lnlxn, 例題例題1： 對(duì)某段距離用同等精度丈量了6次，結(jié)果列于下表，求這段距離的最或然值，觀測(cè)值的中誤差及最或然值的中誤差。解：LixLixiixLxLLLiiLLLxvLxnnLnLnLxLL)()(000000=+=+=+=+=+=又則令

15、 例1（續(xù)）次序觀測(cè)值(m)v(mm)vv(mm2)1346.53515+4162346.54828-9813346.5200+193614346.54626-7495346.55030-111216346.53717+24v=-2vv=632mxmmnmMmLxnvvmnxLx005.0539.3466 .462 .11539.346019.0520.3461663211961160=+=+=)(116 mmL520.3460L取116L 因?yàn)?式中，1n為常數(shù)。由于各獨(dú)立觀測(cè)值的精度相同，設(shè)其中誤差均為m。 設(shè)平均值的中誤差為mL，則有 nlnlnlnnlL11121 2222222122

16、1111mnmnmnmnmnL 二、二、 算術(shù)平均值中誤差算術(shù)平均值中誤差mL nmmL 由此可知，算術(shù)平均值的中誤差為觀測(cè)值的中誤差的 倍。 n1故，故，算術(shù)平均值的中誤差為： 三、精度評(píng)定 第一公式 第二公式（白塞爾公式白塞爾公式）這是觀測(cè)值的中誤差條件：觀測(cè)值真值已知條件：觀測(cè)值真值未知， 算術(shù)平均值L已知nm1nVVm其中 觀測(cè)值改正數(shù)，iViilLV 證明證明：1nVVnmiilLVxlii（i=1，2，3，n）兩式相加，有xLViiiiv即解解：（i=1，2，3，n）設(shè) 則 xL 將上列等式兩端各自平方，并求其和，則 22nVVV將將 代入上式，則代入上式，則 2nvv 0lLnv

17、故故 222nnnnQPn 2222)(12433221222212（PQ）又因又因 nnxlxnlxL 由于 為偶然誤差，它們的非自乘積 仍具有偶然誤差的性質(zhì)，根據(jù)偶然誤差的特性，即n ,21QP0limnQPn21)1(mnVVnVVnnnVV 例題：設(shè)用經(jīng)緯儀測(cè)量某個(gè)角6測(cè)回，觀測(cè)之列于 表中。試求觀測(cè)值的中誤差及算術(shù)平均值中誤差。算術(shù)平均值L中誤差是：1 . 1) 16( 634) 1( nnVVnmmL返回 誤差理論的應(yīng)用誤差理論的應(yīng)用LmmkmLLmlmLlmlLmmlLnnlLlnmmmhhhhhhhhn2,1,21=+=中站站站站站的中誤差為每公里往返測(cè)高差中數(shù)中誤差。是每公里

18、水準(zhǔn)測(cè)量高差即時(shí)，當(dāng)則令則即全長(zhǎng)設(shè)每站距離均為，則均為設(shè)每一站高差的中誤差一、水準(zhǔn)測(cè)量的精度二、鐵路線路水準(zhǔn)的限差：二、鐵路線路水準(zhǔn)的限差：mmLmFmmLmmLmmLLmmLmmmmmfhhLfhkmLkm302152)(25 . 725 . 7.5 . 7=容許高差閉合差為的中誤差即閉合差公里往返高差之差中誤差為公里單程水準(zhǔn)測(cè)量高差則平均值的中誤差不大于要求每公里往返測(cè)高差鐵路線路水準(zhǔn)測(cè)量中，單單單單誤差理論的應(yīng)用誤差理論的應(yīng)用三、兩半測(cè)回角值之差的限差：三、兩半測(cè)回角值之差的限差：034327122122122626,6=故鐵路線路測(cè)量規(guī)定為誤差，則有若取兩倍中誤差為容許誤差為：兩半測(cè)回

19、角值之差的中故半測(cè)回角的中誤差為一測(cè)回角的中誤差為一測(cè)回方向中誤差為對(duì)于半半方方mmmmmmmmJ誤差理論的應(yīng)用誤差理論的應(yīng)用兩測(cè)回角值之差的限差：兩測(cè)回角值之差的限差：03,422:21226266=為兩測(cè)回角值之差的限差對(duì)于定差，故鐵路線路測(cè)量規(guī)考慮到還有一些其他誤誤差，則容許誤差若取兩倍中誤差為容許差為：兩測(cè)回角值之差的中誤一測(cè)回角的中誤差為DJmmm誤差理論的應(yīng)用誤差理論的應(yīng)用四、鋼尺量距的精度：四、鋼尺量距的精度：差是單位長(zhǎng)度的偶然中誤，則令DmlmDlmlDmnmmnlDDD=誤差理論的應(yīng)用誤差理論的應(yīng)用返回第五章測(cè)量誤差知識(shí)課堂練習(xí)題一、填空題：85.測(cè)量誤差是由于_、_、_三方

20、面的原因產(chǎn)生的。86.直線丈量的精度是用_來(lái)衡量的。87.相同的觀測(cè)條件下,一測(cè)站高差的中誤差為_。88.衡量觀測(cè)值精度的指標(biāo)是_、_和_。89.對(duì)某目標(biāo)進(jìn)行n次等精度觀測(cè),某算術(shù)平均值的中誤差是觀測(cè)值中誤差的_倍。返回第五章測(cè)量誤差知識(shí)課堂練習(xí)題90.在等精度觀測(cè)中,對(duì)某一角度重復(fù)觀測(cè)多次,觀測(cè)值之間互有差異,其觀測(cè)精度是_的。91.在同等條件下，對(duì)某一角度重復(fù)觀測(cè)次，觀測(cè)值為、其誤差均為，則該量的算術(shù)平均值及其中誤差分別為和_。92.在觀測(cè)條件不變的情況下,為了提高測(cè)量的精度,其唯一方法是_。93.當(dāng)測(cè)量誤差大小與觀測(cè)值大小有關(guān)時(shí),衡量測(cè)量精度一般用_來(lái)表示。返回第五章測(cè)量誤差知識(shí)課堂練習(xí)

21、題94.測(cè)量誤差大于_時(shí),被認(rèn)為是錯(cuò)誤,必須重測(cè)。95.用經(jīng)緯儀對(duì)某角觀測(cè)四次,由觀測(cè)結(jié)果算得觀測(cè)值中誤差為20,則該角的算術(shù)平均值中誤差為_96.某線段長(zhǎng)度為300m,相對(duì)誤差為1/1500,則該線段中誤差為_。97.有一N邊多邊形,觀測(cè)了N-1個(gè)角度,其中誤差均為10,則第N個(gè)角度的中誤差是_。返回第五章測(cè)量誤差知識(shí)課堂練習(xí)題二、選擇題：45.在等精度觀測(cè)的條件下，正方形一條邊a的觀測(cè)中誤差為m，則正方形的周長(zhǎng)（=4a）中的誤差為（）.m； .2m； .4m46.丈量某長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為=200.004m，寬為b=150.00m，它們的丈量精度（ ）相同；.不同；.不能進(jìn)行比較47.衡量一組觀測(cè)

22、值的精度的指標(biāo)是（）.中誤差；.允許誤差；.算術(shù)平均值中誤差48.在距離丈量中，衡量其丈量精度的標(biāo)準(zhǔn)是（ ）.相對(duì)誤差；.中誤差； .往返誤差返回第五章測(cè)量誤差知識(shí)課堂練習(xí)題49.下列誤差中（）為偶然誤差.照準(zhǔn)誤差和估讀誤差；.橫軸誤差和指標(biāo)差；.水準(zhǔn)管軸不平行與視準(zhǔn)軸的誤差50.若一個(gè)測(cè)站高差的中誤差為m站，單程為個(gè)測(cè)站的支水準(zhǔn)路線往返測(cè)高差平均值的中誤差為（）.nm站；. . 51.在相同的觀條件下，對(duì)某一目標(biāo)進(jìn)行個(gè)測(cè)站的支水準(zhǔn)路線往返測(cè)高差平均值的中誤差為（）.； .； . mn站2/mn站nm/）（1/nm）（1/nnm返回第五章測(cè)量誤差知識(shí)課堂練習(xí)題52.對(duì)三角形進(jìn)行次等精度觀測(cè)，其真誤差（閉合差）為：+4；-3；+1；-2