高二數(shù)學(xué)學(xué)案(選修2-3)第三章

1、高二數(shù)學(xué)學(xué)案（選修2-3） 第三章 審稿人：高二數(shù)學(xué)組 3.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)：1. 能知道用回歸分析處理兩個(gè)變量之間的不確定關(guān)系的統(tǒng)計(jì)方法2. 會(huì)利用散點(diǎn)圖分析兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系.會(huì)利用殘差及來(lái)刻畫(huà)線(xiàn)性回歸模型的擬合效果3. 能記住建立回歸模型的方法和步驟；能知道如何利用線(xiàn)性回歸模型求非線(xiàn)性回歸模型學(xué)習(xí)重點(diǎn)：建立變量之間的線(xiàn)性回歸方程，能根據(jù)散點(diǎn)圖初步判斷兩個(gè)變量之間是否具有線(xiàn)性關(guān)系學(xué)習(xí)難點(diǎn)：1.會(huì)求線(xiàn)性回歸方程 2.掌握建立回歸模型的步驟，會(huì)選擇回歸模型，特別是非線(xiàn)性回歸模型學(xué)習(xí)過(guò)程：一、知識(shí)探究1.回歸分析（1）函數(shù)關(guān)系是一種 關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種 關(guān)系（

2、2）回歸分析是對(duì)具有 關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法（3）對(duì)于一組具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為： = ， 其中 ， 稱(chēng)為樣本點(diǎn)的中心（4）相關(guān)系數(shù)：衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線(xiàn)性關(guān)系的強(qiáng)弱計(jì)算公式： = 注：時(shí)，表明兩個(gè)變量 相關(guān)；時(shí)，表明兩個(gè)變量 相關(guān)越接近于 ，表明兩個(gè)變量線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng)越接近于 ，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系2.線(xiàn)性回歸模型在線(xiàn)性回歸模型（其中為模型的未知參數(shù)）中，稱(chēng)為 ，自變量稱(chēng)為 ，因變量稱(chēng)為 探究： 產(chǎn)生隨機(jī)誤差的原因 線(xiàn)性回歸模型與一次函數(shù)的不同3.殘差(1)定義:在回歸分析中，對(duì)應(yīng)于樣本點(diǎn)的隨機(jī)誤差的估計(jì)值 稱(chēng)為

3、相應(yīng)于點(diǎn)的 (2)殘差圖：以 為橫坐標(biāo)， 為縱坐標(biāo)作出的圖形稱(chēng)為殘差圖.注：殘差圖是用來(lái)刻畫(huà)回歸效果的，判斷依據(jù)是殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適，帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型擬合精度越高，回歸方程預(yù)報(bào)精度越高(3)殘差分析：在研究?jī)蓚€(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù) 來(lái)粗略判斷它們是否線(xiàn)性相關(guān)，是否可以用線(xiàn)性回歸模型來(lái)擬合數(shù)據(jù).然后，通過(guò)殘差 來(lái)判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在 ，這方面的分析工作稱(chēng)為殘差分析4.相關(guān)指數(shù)相關(guān)指數(shù)可以用來(lái)刻畫(huà)回歸的效果，其計(jì)算公式是= 在線(xiàn)性回歸模型中，越大，意味著殘差平方和越小，即模型的擬合效果 ，越小，意味著殘差平方和越大，即模型

4、的擬合效果 注：在含有一個(gè)解釋變量的線(xiàn)性回歸模型中，恰好等于相關(guān)系數(shù)的平方5.非線(xiàn)性回歸方程當(dāng)回歸方程不是形如時(shí)，稱(chēng)之為 ，非線(xiàn)性回歸方程也可以 （1）將冪函數(shù)型函數(shù)（為常數(shù)，均取正值）化為線(xiàn)性函數(shù)： 將兩邊取常用對(duì)數(shù)，則有 ，令代入上式得 （其中是常數(shù)），其圖象是一條直線(xiàn)（2）將指數(shù)型函數(shù)（為常數(shù)，且）化為線(xiàn)性函數(shù)： 將兩邊取常用對(duì)數(shù)，則有 ，令代入上式得 （其中是常數(shù)），其圖象是一條直線(xiàn)6.建立回歸模型的基本步驟：（1）確立研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是 ，那個(gè)變量是 （2）畫(huà)好確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的 ，觀(guān)察它們之間的關(guān)系（如是否存在線(xiàn)性關(guān)系等）（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類(lèi)型（4）按一定規(guī)

5、則（如最小二乘法）估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（如個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等等），若存在差異，則檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等注：有關(guān)回歸方程需要注意下列問(wèn)題 回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體 我們所建立的回歸方程一般都有時(shí)間性 樣本取值的范圍會(huì)影響回歸方程的適用范圍 不能期望回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是預(yù)報(bào)變量的精確值二、理論遷移 例1：（1）如果記錄了的幾組數(shù)據(jù)分別為則關(guān)于的線(xiàn)性回歸直線(xiàn)必過(guò)點(diǎn)（ ）A. B. C. D. （2）下列四個(gè)命題中正確是（ ） 在線(xiàn)性回歸模型中，預(yù)報(bào)真實(shí)值的隨機(jī)誤差，它是一個(gè)觀(guān)測(cè)的量； 殘差平方和越小的模型

6、，擬合的效果越好； 用來(lái)刻畫(huà)回歸方程，越小，擬合的效果越好； 在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適，若帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸?，說(shuō)明擬合精度越高回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高.A B C D（3）在兩個(gè)變量與的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同模型.它們的相關(guān)指數(shù)如下，其中擬合效果最好的模型是（ ） A模型1的相關(guān)指數(shù)為0.98B模型2的相關(guān)指數(shù)為0.80C模型3的相關(guān)指數(shù)為0.50D模型4的相關(guān)指數(shù)為0.25題型一 求線(xiàn)性回歸方程例2：某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)缦卤恚篈BCDE數(shù)學(xué)成績(jī)(x)8876736663物理成績(jī)(y)7865716461(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖(2)求物理

7、成績(jī)y對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)x的回歸直線(xiàn)方程(3)一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)是96，試預(yù)測(cè)他的物理成績(jī)題型二 線(xiàn)性回歸分析例3：為研究重量x(單位：克)對(duì)彈簧長(zhǎng)度y(單位：厘米)的影響，對(duì)不同重量的6個(gè)物體進(jìn)行測(cè)量，數(shù)據(jù)如下表所示：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散點(diǎn)圖并求線(xiàn)性回歸方程(2)求出R2(3)進(jìn)行殘差分析例4：已知某種商品的價(jià)格x(元)與需求量y(件)之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：x1416182022y1210753求y對(duì)x的回歸直線(xiàn)方程，并說(shuō)明回歸模型擬合效果的好壞題型三 非線(xiàn)性回歸分析例5：收集到的一組數(shù)據(jù)下表為：x21232527293235y7

8、11212466115325(1)作出與的散點(diǎn)圖，并猜測(cè)與之間的關(guān)系(2)建立與的關(guān)系，預(yù)報(bào)回歸模型并計(jì)算殘差(3)利用所得模型，預(yù)報(bào)時(shí)的值三、課后小結(jié)1.求線(xiàn)性回歸方程的步驟，了解線(xiàn)性回歸模型與一次函數(shù)的不同2.初步了解如何評(píng)價(jià)兩個(gè)不同模型擬合效果的好壞3.用回歸方程探究非線(xiàn)性回歸問(wèn)題的方法、步驟3.2 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能用等高條形圖反映兩個(gè)分類(lèi)變量之間是否有關(guān)系2.能夠根據(jù)條件列出列聯(lián)表并會(huì)由公式求3.能知道獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和方法學(xué)習(xí)重點(diǎn)：能夠根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表及求學(xué)習(xí)難點(diǎn)：獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和方法學(xué)習(xí)過(guò)程：一、知識(shí)探究1.分類(lèi)變量與列聯(lián)表（1）

9、分類(lèi)變量：變量的不同“值”表示 ，這樣的變量稱(chēng)為 （2）列聯(lián)表： 定義： ，稱(chēng)為列聯(lián)表 2×2列聯(lián)表一般地,假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量X和Y,它們的可能取值分別為_(kāi)和_,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱(chēng)為2×2列聯(lián)表)為:總計(jì)總計(jì)注：越小，說(shuō)明 ；越大，說(shuō)明 （3）等高條形圖 等高條形圖與表格相比，更能直觀(guān)地反映出兩個(gè)分類(lèi)變量間是否 ，常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的 觀(guān)察等高條形圖發(fā)現(xiàn) 和 相差很大，就判斷兩個(gè)分類(lèi)變量之間有關(guān)系4.獨(dú)立性檢驗(yàn)（1）定義：利用隨機(jī)變量來(lái)判斷“ ”的方法，稱(chēng)為獨(dú)立性檢驗(yàn)（2）公式：= ，其中 為樣本容量（3）獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想 要判斷“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”，首先

10、假設(shè)結(jié)論不成立，即： 成立.在該假設(shè)下構(gòu)造的隨機(jī)變量應(yīng)該 .如果由觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的的觀(guān)測(cè)值很大，則斷言 ，即認(rèn)為“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”；如果觀(guān)測(cè)值 ，則說(shuō)明在樣本數(shù)據(jù)中沒(méi)有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)拒絕注：反證法原理與獨(dú)立性檢驗(yàn)原理的比較:反證法原理 在假設(shè)下，如果推出一個(gè)_,證明了不成立.獨(dú)立性檢驗(yàn)原理在假設(shè)下,如果出現(xiàn)一個(gè)與相矛盾的 ,就推斷不成立,且該推斷犯錯(cuò)誤的概率 .（4）獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：第一步：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表第二步：根據(jù)公式計(jì)算觀(guān)測(cè)值第三步：比較與臨界值的大小關(guān)系作出統(tǒng)計(jì)推斷（5）獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表P()0.500.400.250.150.100.050.0250

11、.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828例如：（1），則有 _ 的把握認(rèn)為“與”有關(guān)系（2），則有 _ 的把握認(rèn)為“與”有關(guān)系（3），則有 _ 的把握認(rèn)為“與”有關(guān)系（4），則認(rèn)為沒(méi)有充分的證據(jù)顯示“與”有關(guān)系，但也不能作出結(jié)論“成立”，即不能認(rèn)為“與”沒(méi)有關(guān)系探究:在運(yùn)算時(shí),在判斷變量是否有關(guān)系時(shí),若觀(guān)測(cè)值,則和.哪種說(shuō)法是正確的?三、理論遷移 例1：關(guān)于分類(lèi)變量與的隨機(jī)變量觀(guān)測(cè)值，下列說(shuō)法正確的是（ ）A的值越大，“與有關(guān)系”可信程度越小B的值越小，“與有關(guān)系”可信程度越小C的值越接近于0，“與無(wú)關(guān)”

12、程度越小D的值越大，“與無(wú)關(guān)”程度越大例2：為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：理科文科男1310女720已知，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到，則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性約為 例3：某校對(duì)學(xué)生課外活動(dòng)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果整理成下表： 體育文娛總計(jì)男生212344女生62935總計(jì)275279試用你所學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行分析，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下，認(rèn)為“喜歡體育還是文娛與性別有關(guān)系”？例4：為研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是否有關(guān)，對(duì)某年級(jí)學(xué)生作調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)： 成績(jī)優(yōu)秀成績(jī)較差總計(jì)興趣濃厚的

13、643094 興趣不濃厚的227395總計(jì)86103189判斷學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)好壞與對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是否有關(guān)？例5：為了探究學(xué)生選報(bào)文、理科是否與對(duì)外語(yǔ)的興趣有關(guān)，某同學(xué)調(diào)查了361名高二在校學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如下：理科對(duì)外語(yǔ)有興趣的有138人，無(wú)興趣的有98人，文科對(duì)外語(yǔ)有興趣的有73人，無(wú)興趣的有52人試分析學(xué)生選報(bào)文、理科與對(duì)外語(yǔ)的興趣是否有關(guān)？例6：某企業(yè)有兩個(gè)分廠(chǎng)生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位：mm)的值落在(29.94,30.06)的零件為優(yōu)質(zhì)品從兩個(gè)分廠(chǎng)生產(chǎn)的零件中各抽出500件，量其內(nèi)徑尺寸，結(jié)果如下表：甲廠(chǎng)分組29.86，29.90)29.90，29.94)29.94，29.9

14、8)29.98，30.02)30.02，30.06)30.06，30.10)30.10，30.14)頻數(shù)12638618292614乙廠(chǎng)分組29.86，29.90)29.90，29.94)29.94，29.98)29.98，30.02)30.02，30.06)30.06，30.10)30.10，30.14)頻數(shù)297185159766218(1)試分別估計(jì)兩個(gè)分廠(chǎng)生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表，并問(wèn)是否有99%的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠(chǎng)生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異” 甲廠(chǎng)乙廠(chǎng)總計(jì)優(yōu)質(zhì)品   非優(yōu)質(zhì)品   總計(jì)   P(K2