第四章非平穩(wěn)序列的確定性分析

1、第四章第四章非平穩(wěn)序列的確定性分析非平穩(wěn)序列的確定性分析分析對象：非平穩(wěn)序列分析對象：非平穩(wěn)序列分析方法：確定性時序分析和隨機時序分析分析方法：確定性時序分析和隨機時序分析本章主要介紹：確定性時序分析本章主要介紹：確定性時序分析本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容本章結(jié)構(gòu)本章結(jié)構(gòu)n時間序列的分解時間序列的分解n確定性因素分解確定性因素分解n趨勢分析趨勢分析n季節(jié)效應(yīng)分析季節(jié)效應(yīng)分析n綜合分析綜合分析nX11過程過程4.1 時間序列的分解時間序列的分解nWold分解定理分解定理nCramer分解定理分解定理Wold分解定理（分解定理（1938）tttVxtx對于任何一個對于任何一個離散平穩(wěn)過程離散平穩(wěn)過程

2、，它都可以分解為兩個，它都可以分解為兩個不相關(guān)的平穩(wěn)序列之和，其中一個為不相關(guān)的平穩(wěn)序列之和，其中一個為確定性確定性的，另一個的，另一個為為隨機性隨機性的，不妨記作的，不妨記作tV t0jjtjt其中：其中： 為確定性序列，為確定性序列， 為隨機序列，且為隨機序列，且它們需要滿足如下條件它們需要滿足如下條件020, 1jj ), 0(2WNtstVEst , 0),(（1） （2）（3）確定性序列與隨機序列的定義確定性序列與隨機序列的定義2lim0qqn 確定性序列：確定性序列：若若 ，說明序列的發(fā)展具有很強，說明序列的發(fā)展具有很強的規(guī)律性或確定性，用歷史數(shù)據(jù)可以很好預(yù)測未來的規(guī)律性或確定性，

3、用歷史數(shù)據(jù)可以很好預(yù)測未來)(lim2tqqyVarn 隨機序列：隨機序列：若若 ，說明序列的發(fā)展隨機，說明序列的發(fā)展隨機性很強，過去對于現(xiàn)時值的估計，或預(yù)測效果很差。性很強，過去對于現(xiàn)時值的估計，或預(yù)測效果很差。 tytytqtqttyyy1210t2)(qtVar對任意序列對任意序列 而言，令而言，令 關(guān)于關(guān)于q期之前的序期之前的序列值作線性回歸：列值作線性回歸： 其中其中 為回歸殘差序列，為回歸殘差序列， 。ARMA模型分解模型分解ttBBx)()(確定性平穩(wěn)序列確定性平穩(wěn)序列隨機平穩(wěn)序列隨機平穩(wěn)序列Cramer分解定理（分解定理（1961）n任何一個時間序列任何一個時間序列 都可以分解

4、為兩部分的疊都可以分解為兩部分的疊加：其中一部分是由多項式?jīng)Q定的確定性趨勢成加：其中一部分是由多項式?jīng)Q定的確定性趨勢成分，另一部分是平穩(wěn)的零均值誤差成分，即分，另一部分是平穩(wěn)的零均值誤差成分，即txtttx隨機性影響隨機性影響taB)(確定性影響確定性影響djjjt0對兩個分解定理的理解對兩個分解定理的理解nWold分解定理說明任何平穩(wěn)序列都可以分解為確定性分解定理說明任何平穩(wěn)序列都可以分解為確定性序列和隨機序列之和。它是現(xiàn)代時間序列分析理論的靈序列和隨機序列之和。它是現(xiàn)代時間序列分析理論的靈魂，是魂，是構(gòu)造構(gòu)造ARMA模型擬合平穩(wěn)序列的理論基礎(chǔ)模型擬合平穩(wěn)序列的理論基礎(chǔ)。nCramer 分解

5、定理是分解定理是Wold分解定理的理論推廣，它說分解定理的理論推廣，它說明明任何一個序列的波動都可以視為同時受到了確定性影任何一個序列的波動都可以視為同時受到了確定性影響和隨機性影響的綜合作用響和隨機性影響的綜合作用。平穩(wěn)序列要求這兩方面的。平穩(wěn)序列要求這兩方面的影響都是穩(wěn)定的，而非平穩(wěn)序列產(chǎn)生的機理就在于它所影響都是穩(wěn)定的，而非平穩(wěn)序列產(chǎn)生的機理就在于它所受到的這兩方面的影響受到的這兩方面的影響至少有一方面是不穩(wěn)定至少有一方面是不穩(wěn)定的。的。 4.2確定性因素分解確定性因素分解n在自然界中，在自然界中，由確定性因素導(dǎo)致的非平穩(wěn)，往往顯示出非常明顯由確定性因素導(dǎo)致的非平穩(wěn)，往往顯示出非常明顯的

6、規(guī)律性，如有顯著的趨勢或有固定的變換周期的規(guī)律性，如有顯著的趨勢或有固定的變換周期，這種規(guī)律性比，這種規(guī)律性比較容易提取，而由隨機因素導(dǎo)致的波動則非常難確定和分析。較容易提取，而由隨機因素導(dǎo)致的波動則非常難確定和分析。n傳統(tǒng)的時序方法通常把分析的重點放在確定性信息的提取上，忽傳統(tǒng)的時序方法通常把分析的重點放在確定性信息的提取上，忽視對隨機信息的提取，將序列簡單地假定為：視對隨機信息的提取，將序列簡單地假定為： 式中，式中， 為零均值白噪聲序列。為零均值白噪聲序列。n這種分析方法稱為確定性分析方法。這種分析方法稱為確定性分析方法。tttxtn最常用的確定性分析方法是確定性因素分解方法。最常用的確

7、定性分析方法是確定性因素分解方法。4.2確定性因素分解確定性因素分解n傳統(tǒng)的因素分解傳統(tǒng)的因素分解n長期趨勢：如遞增、遞減等；長期趨勢：如遞增、遞減等；n循環(huán)波動：呈現(xiàn)出從低到高再由高到低的反復(fù)循環(huán)波動；循環(huán)波動：呈現(xiàn)出從低到高再由高到低的反復(fù)循環(huán)波動；n季節(jié)性變化：呈現(xiàn)出和季節(jié)變化相關(guān)的穩(wěn)定的周期波動；季節(jié)性變化：呈現(xiàn)出和季節(jié)變化相關(guān)的穩(wěn)定的周期波動；n隨機波動隨機波動n現(xiàn)在的因素分解現(xiàn)在的因素分解n長期趨勢波動：包括長期趨勢和無固定周期的循環(huán)波動；長期趨勢波動：包括長期趨勢和無固定周期的循環(huán)波動；n季節(jié)性變化：包括所有具有穩(wěn)定周期的循環(huán)波動；季節(jié)性變化：包括所有具有穩(wěn)定周期的循環(huán)波動；n隨

8、機波動：除上述變化外，其他因素的綜合影響。隨機波動：除上述變化外，其他因素的綜合影響。確定性時序分析的目的確定性時序分析的目的n克服其它因素的影響，單純測度出某一克服其它因素的影響，單純測度出某一個確定性因素對序列的影響個確定性因素對序列的影響n推斷出各種確定性因素彼此之間的相互推斷出各種確定性因素彼此之間的相互作用關(guān)系及它們對序列的綜合影響作用關(guān)系及它們對序列的綜合影響4.3趨勢分析趨勢分析n目的目的n有些時間序列有些時間序列具有非常顯著的趨勢，具有非常顯著的趨勢，我們分析我們分析的目的就是要找到序列中的這種趨勢，并利用的目的就是要找到序列中的這種趨勢，并利用這種趨勢對序列的發(fā)展作出合理的預(yù)

9、測這種趨勢對序列的發(fā)展作出合理的預(yù)測 n常用方法常用方法n趨勢擬合法趨勢擬合法n平滑法平滑法趨勢擬合法趨勢擬合法n趨勢擬合法就是把時間作為自變量，相趨勢擬合法就是把時間作為自變量，相應(yīng)的序列觀察值作為因變量，應(yīng)的序列觀察值作為因變量，建立序列建立序列值隨時間變化的回歸模型的方法值隨時間變化的回歸模型的方法 n分類分類n線性擬合線性擬合n非線性擬合（曲線擬合）非線性擬合（曲線擬合）線性擬合線性擬合n使用場合使用場合n長期趨勢呈現(xiàn)出線性特征長期趨勢呈現(xiàn)出線性特征n模型結(jié)構(gòu)模型結(jié)構(gòu))(, 0)(ttttIVarIEIbtax勢。響之后該序列的長期趨就是消除隨機波動的影為隨機波動；式中，btaTItt

10、例例4.1:擬合擬合澳大利亞政府澳大利亞政府19811990年每季度的消費支出序列年每季度的消費支出序列 線性擬合線性擬合n模型模型n參數(shù)估計方法參數(shù)估計方法n最小二乘估計最小二乘估計n參數(shù)估計值參數(shù)估計值2)(, 0)(40,2 , 1,ttttIVarIEtIbtax12.89,69.8498ba線性擬合的線性擬合的SAS過程過程data a;input gov_cons; time=intnx(quarter,1jan1981d,_n_-1);format time year2.; t=_n_;cards;原始數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù);proc gplot; plot gov_cons*time=1

11、;symbol1 c=black v=star i=join;proc autoreg;/*自回歸過程自回歸過程*/ 或者或者 proc reg;/*回歸過程回歸過程*/ model gov_cons=t;output out=out p=forecast;proc gplot data=out;plot gov_cons*time=1 forecast*time=2/overlay haxis=1jan1981d to 1jan1991d by year;symbol2 c=red v=none i=join w=2 l=3; run;線性擬合模型結(jié)果線性擬合模型結(jié)果(autoreg過程過程

12、)線性擬合模型結(jié)果線性擬合模型結(jié)果(reg過程過程)擬合效果圖擬合效果圖非線性擬合非線性擬合n使用場合使用場合n長期趨勢呈現(xiàn)出長期趨勢呈現(xiàn)出非線性特征非線性特征 n參數(shù)估計指導(dǎo)思想?yún)?shù)估計指導(dǎo)思想n能轉(zhuǎn)換成線性模型的都轉(zhuǎn)換成線性模型能轉(zhuǎn)換成線性模型的都轉(zhuǎn)換成線性模型，用，用線性最小二乘法進行參數(shù)估計線性最小二乘法進行參數(shù)估計n實在不能轉(zhuǎn)換成線性的，就用迭代法進行參實在不能轉(zhuǎn)換成線性的，就用迭代法進行參數(shù)估計數(shù)估計 常用非線性模型常用非線性模型模型模型變換變換變換后模型變換后模型參數(shù)估計方法參數(shù)估計方法線性最小二乘估計線性最小二乘估計線性最小二線性最小二乘估計乘估計迭代法迭代法迭代法迭代法迭代法

13、迭代法2ctbtaTtttabT ttbcaTtbcateTttbcaT122tt ttTTlnaalnbbln2ctbtaTttbaTt例例4.2： 對上海證券交易所對上海證券交易所19911991年年1 1月月-2001-2001年年1010月每月末上證指數(shù)序列進行模型擬合月每月末上證指數(shù)序列進行模型擬合 非線性擬合非線性擬合n模型模型n變換變換n參數(shù)估計方法參數(shù)估計方法n線性最小二乘估計線性最小二乘估計n擬合模型口徑擬合模型口徑2ctbtaTt22tt 20952. 02517.502tTtdata a;input index; time=intnx(month,1jan1991d,_n

14、_-1);format time year2.; t=_n_; cards;原始數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù);t2=t*2;proc gplot;plot index*time=1;symbol1 c=black v=none i=join;proc reg;model index=t t2;model index=t2;output out=out p=index_cup;proc gplot data=out;plot index*time=1 index_cup*time=2/overlay;symbol2 c=red v=none i=join w=2 l=3;run;非線性擬合模型非線性擬合模型SA

15、S結(jié)果結(jié)果非線性擬合模型非線性擬合模型SAS結(jié)果結(jié)果擬合效果圖擬合效果圖平滑法平滑法n平滑法是進行趨勢分析和預(yù)測時常用的一種方法。它平滑法是進行趨勢分析和預(yù)測時常用的一種方法。它是利用修勻技術(shù)，削弱短期隨機波動對序列的影響，是利用修勻技術(shù)，削弱短期隨機波動對序列的影響，使序列平滑化，從而顯示出長期趨勢變化的規(guī)律。使序列平滑化，從而顯示出長期趨勢變化的規(guī)律。 n平滑法廣泛應(yīng)用于計量經(jīng)濟、人口研究等諸多領(lǐng)域；平滑法廣泛應(yīng)用于計量經(jīng)濟、人口研究等諸多領(lǐng)域；n常用平滑方法常用平滑方法n移動平均法移動平均法n指數(shù)平滑法指數(shù)平滑法移動平均法移動平均法n基本思想基本思想n假定在一個比較短的時間間隔里，序列的

16、取值假定在一個比較短的時間間隔里，序列的取值是比較穩(wěn)定的，它們之間的差異主要是由隨機是比較穩(wěn)定的，它們之間的差異主要是由隨機波動造成的。波動造成的。根據(jù)這種假定，我們可以用一定根據(jù)這種假定，我們可以用一定時間間隔內(nèi)的平均值作為某一期的估計值。時間間隔內(nèi)的平均值作為某一期的估計值。n分類分類nn期中心移動平均期中心移動平均nn期移動平均期移動平均n期中心移動平均期中心移動平均為偶數(shù)，為奇數(shù)，nxxxxxnnxxxxxnxntnttntntntnttntntt)2121(1)(12121222112112121tx2tx1tx1tx2tx52112ttttttxxxxxx5期中心移動平均期中心移動

17、平均n期移動平均期移動平均tx1tx2tx3tx4tx51234ttttttxxxxxx)(111nttttxxxnx5期移動平均期移動平均移動平均期數(shù)確定的原則移動平均期數(shù)確定的原則n事件的發(fā)展有無周期性事件的發(fā)展有無周期性n以周期長度作為移動平均的間隔長度以周期長度作為移動平均的間隔長度 ，以消除周，以消除周期效應(yīng)的影響期效應(yīng)的影響n對趨勢平滑的要求對趨勢平滑的要求n移動平均的期數(shù)越多，擬合趨勢越平滑移動平均的期數(shù)越多，擬合趨勢越平滑n對趨勢反映近期變化敏感程度的要求對趨勢反映近期變化敏感程度的要求 n移動平均的期數(shù)越少，擬合趨勢越敏感移動平均的期數(shù)越少，擬合趨勢越敏感所以，如果想得到長期

18、趨勢，則用期數(shù)較大的移動平均，如所以，如果想得到長期趨勢，則用期數(shù)較大的移動平均，如果想密切關(guān)注序列的短期趨勢，就用期數(shù)較小的移動平均。果想密切關(guān)注序列的短期趨勢，就用期數(shù)較小的移動平均。移動平均預(yù)測移動平均預(yù)測1),(121lxxxnxnlTlTlTlTniilxilxxilTilTilT, 2 , 1,，式中，在預(yù)測領(lǐng)域，在預(yù)測領(lǐng)域，n期移動平均還是一種常用的預(yù)測方法。期移動平均還是一種常用的預(yù)測方法。假定最后一期的觀察值為假定最后一期的觀察值為 ，那么使用，那么使用n期移動平均方法，期移動平均方法，向前向前l(fā)期的預(yù)測值為：期的預(yù)測值為：Tx例例4.3n某一觀察值序列最后某一觀察值序列最后

19、4期的觀察值為：期的觀察值為：5，5.4，5.8，6.2（1）使用）使用4期移動平均法預(yù)測期移動平均法預(yù)測 。（2）求在二期預(yù)測值）求在二期預(yù)測值 中中 前面的系數(shù)前面的系數(shù)等于多少？等于多少？2Tx2TxTx例例4.3解解75. 544 . 58 . 52 . 66 . 5416 . 542 . 68 . 54 . 5541 ) 1 (21123211TTTTTTTTTTxxxxxxxxxx321212212112161165414141 )2(TTTTTTTTTTTTTTTTxxxxxxxxxxxxxxxxTx165在二期預(yù)測值中在二期預(yù)測值中 前面的系數(shù)等于前面的系數(shù)等于 指數(shù)平滑法指數(shù)

20、平滑法n指數(shù)平滑方法的基本思想指數(shù)平滑方法的基本思想n在實際生活中，我們會發(fā)現(xiàn)對大多數(shù)隨機事件而言，在實際生活中，我們會發(fā)現(xiàn)對大多數(shù)隨機事件而言，一般都是近期的結(jié)果對現(xiàn)在的影響會大些，遠期的一般都是近期的結(jié)果對現(xiàn)在的影響會大些，遠期的結(jié)果對現(xiàn)在的影響會小些。結(jié)果對現(xiàn)在的影響會小些。n為了更好地反映這種影響作用，我們將為了更好地反映這種影響作用，我們將考慮到時間考慮到時間間隔對事件發(fā)展的影響，各期權(quán)重隨時間間隔的增間隔對事件發(fā)展的影響，各期權(quán)重隨時間間隔的增大而呈指數(shù)衰減，這就是指數(shù)平滑法的基本思想。大而呈指數(shù)衰減，這就是指數(shù)平滑法的基本思想。 n分類分類n簡單指數(shù)平滑簡單指數(shù)平滑nHolt兩參數(shù)指數(shù)平滑兩參數(shù)指數(shù)平滑簡單指數(shù)平滑簡單指數(shù)平滑n基本公式基本公式n等價公式等價公式221)1 ()1 (ttttxxxx1)1 (tttxxx10為平滑系數(shù)，式中，32211)1 ()1 ( ttttxxxx又經(jīng)驗確定經(jīng)驗確定n初始值的確定初始值的確定n平滑系數(shù)的確定平滑系數(shù)的確定10 xx 經(jīng)驗表明經(jīng)驗表明 的值的值介于介于0.05至至0.3之間之間，修勻效果比較好。，修勻效果比較好。1、一般對