一輪復(fù)習(xí)專題數(shù)列中的存在性問題

1、專題：數(shù)列中的存在性問題學(xué)大蘇分教研中心周坤一、單存在性變量解題思路：該類問題往往和恒成立問題伴隨出現(xiàn)（否則就是一個方程有解問題，即零點(diǎn)問題），可以先假設(shè)存在， 列出一個等式， 通過化簡，整理成關(guān)于任意性變量 （一般為 n）的方程，然后 n 的系數(shù)為 0，構(gòu)造方程，進(jìn)而解出存在性變量，最后檢驗。an 的前 n 項和為Sn= 3n25n ，在數(shù)列 bnb164bn 1bn例 1、已知數(shù)列 中， =8，=0，問是否存在常數(shù) c 使得對任意 n ，anlogc bn 恒為常數(shù) M ，若存在求出常數(shù) c 和 M ,若不存在說明理由 .解析：假設(shè)存在常數(shù) c 使得對任意 n ， anlogc bn 恒為

2、常數(shù) M ， Sn = 3n25n ，當(dāng) n =1 時，則 a1 = S1 =8，當(dāng) n 2 時， an = Sn Sn 1 = 3n25n 3( n 1)25(n 1) = 6n 2 ，當(dāng) n =1 適合， an = 6n2 ，又 64bn 1bn =0 ，bn 11 bn = 64 ，1數(shù)列 bn 是首項為 8，公比為 64 的等比數(shù)列， bn =8( 1 )n 1= 296n64，則anlog c bn=6n2logc 29 6n6n 2 (9 6n)log a 2=6(1 loga 2)n2 9log a 2，=又對任意 n ， anlog c bn 恒為常數(shù) M ，6(1loga2)

3、=0，解得 c =2， M = 29log a 2 =11，c =2nan log c bnM =11.二、雙存在型變量022010 a nS ， a a34，S 9nn51331 annan2 bn bn:tb1， b2， bman t( m 3， m N )t m.a5a1334，1 an d.3a29，2a18d，a1，171a1d，d2.4 .3an262n1， Snn .bn2n1212n 1 t .b1 ， b2，bm2b2 b1bm31m212t1 t2m1t38 .m341113tm tt2 3 5.t 2m 7t3m 5t 5m 4 .tb1， b2，bm.153annSnn

4、2bnan(m N * )bnan m.b1 ,b2 , b8mmbnbtb , b ,b (t N *, t 5)1 4 tm.Snn2n2anSnSn 1 2n13n1a1S1 1an2n1 nN *4bn2n113152n 1 mb11 m, b23 m ,b815 mb22b1b8(3)2115mm0m9m 973m1m15mb1 ,b4 , bt (tN * , t5)2b4b1 bt2712t1t 7367m1m2t 1mm512m51,2,3,4,6,9,12,18,36t43,25,19,16,13,11,10,9,8mm9144 2010an0Snnan2S2 n 1bn1a

5、n an 1bnnTn .1anbnnTn2 m,n (1 m n) T1,Tm ,Tn m, n .1anan2S2 n 1(a1a2n 1 )(2 n1)(2 n1)an2an0an2n12bn11 (2 n11)1 (111)anan1)(2n22n2n1Tn1(111111)n23352n 1 2n 12n 16(2) (1)Tnn1T11 ,Tmm,Tnn12n32m12n(m)21 (n)m2nT1, Tm , Tn2m13 2n14m24m1 6n 38m2n32m24m 14m24m16n3nm22m24m 10121616m2mNm1m2n122m2n 12TnT1 ,Tm

6、,Tn16n11m26n36361n4m24 m 162m24m 10121616m22三、三個存在型變量-連續(xù)的“ ” 個方程有正整數(shù)根的問題，我們可以按照處理零點(diǎn)問題的方法（“解方程”或者“畫圖像”）求解。例 5、【揚(yáng)州 2010一?！恳阎獢?shù)列 an apnqn ( p 0,q 0, p q,R,0,n N*).，n求證：數(shù)列 an1pan 為等比數(shù)列；數(shù)列 an 中，是否存在連續(xù)的三項，這三項構(gòu)成等比數(shù)列？試說明理由；設(shè) A ( n,bn ) |bn3nk n , nN * ，其中 k 為常數(shù)，且 kN ，B ( n, cn ) | cn5n , n N* ，求 AB.解： an = p

7、nqn ， an1panpn 1qn 1p( pnqn )qn (qp) ，an 2pan 1q0, q0, pqan 1pan為常數(shù)數(shù)列 an 1pan 為等比數(shù)列 -4 分取數(shù)列 an 的連續(xù)三項 an , an 1, an 2 (n 1, nN) ， an2 1an an 2( pn 1qn 1 )2( pnqn )( pn 2qn 2 )pn qn ( p q)2 ，p 0, q 0, p q,0，pn qn ( p q)20，即an2 1anan 2，數(shù)列 an 中不存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列；-9分當(dāng) k1時， 3nkn3n15n ，此時 B C；當(dāng) k3 時， 3nk n3n3n2

8、 3n 為偶數(shù)；而 5n 為奇數(shù)，此時 BC；當(dāng) k5 時， 3nk n5n，此時 BC；-12分當(dāng) k2 時， 3n2n5n，發(fā)現(xiàn) n1 符合要求，下面證明唯一性（即只有n1 符合要求）。由 3n2n5n( 3)n( 2 )n1得 55，f ( x) ( 3)x( 2)xf (x) ( 3)x( 2) x設(shè)55 ，則55 是 R 上的減函數(shù)， f ( x) 1 的解只有一個從而當(dāng)且僅當(dāng) n( 3)n( 2)n12n5n ，此時 B C(1,5) ；1 時 55，即 3n當(dāng) k 4 時， 3n4n5n ，發(fā)現(xiàn) n2 符合要求，下面同理可證明唯一性（即只有n2 符合要求）。從而當(dāng)且僅當(dāng) n( 3

9、 )n( 4 ) n14n5n ，此時 B C (2,25) ；2 時 55，即 3n綜上，當(dāng) k 1， k3或 k5時，B C；當(dāng) k2時， BC(1,5) ，當(dāng) k4時， BC(2,25)。-16 分四、三個存在型變量-不同的解題思路：這類問題的形式一般是， “是否存在不同的三項 ，恰好成等差數(shù)列（或等比數(shù)列）”，不難看出，三個存在型變量均出現(xiàn)在下標(biāo)，這就等于給定了兩個隱含條件，其一，三個變量均為正整數(shù)，其二，三個變量互不相等。另外，一旦我們主動去分析數(shù)列的單調(diào)性，那么我們就可以不妨設(shè)出這三個變量的一個大小順序。具體的，該類問題可以分成三類。其一，等差中找等比（無理有理找矛盾）例 6、【揚(yáng)

10、州 2010三?！縜n +1,為偶數(shù) ,4nan =212an+1-, n為奇數(shù) , an a +nN* , a R,a已知數(shù)列滿足：22（為常數(shù)），數(shù)列bn中，bna 2 n1 。2求 a1 , a2 , a3 ；bnbnaa1 2a1a1a1a122a211a1a44a3 2a21aa42bna2 2n 12a22 n 1a12bn 1a22 n 2 12a22n 1a12(a22 n1)a12a22 n a 1 2(a22n 11) a 1 2a22n 1a324242bn 1bn 1b1 a3 a bn a19bnan 110ai ,aj , aki j kij k(a i) 2(aj

11、 )( a k)a(ik 2 j )j 2ik12ik 2 j0j 2ik0i=j = kij k14aj 2ikik 2 j0i k2 jijka167annSn a1 12S3932.(1)anannSnSn(2)設(shè) bn n (nN*) ，求證：數(shù)列 bn 中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列a121，(1)解：由已知得3a13d932，d2，故 an2n 1 2， Sn n(n 2)Sn(2)證明：由(1)得bnn n2.假設(shè)數(shù)列 bn中存在三項bp、bq、br(p、q、r互不相等 )成等比數(shù)列，則bq2bp br即(q2)2 (p2)(r2)，(q2pr)(2qpr)20.p，q，r

12、N* ，q2pr0，2qpr0，p r 2 pr，(pr)20，2pr.這與 pr 相矛盾所以數(shù)列 bn 中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列其二，等比中找等差（化簡成整式，通過等式兩邊同除公比的最小次方，進(jìn)而等式兩邊，一邊為公比的倍數(shù)，另一邊不是公比的倍數(shù)，矛盾）；例 8、【無錫市 20XX 年秋學(xué)期高三期末考試】由部分自然數(shù)構(gòu)成如圖的數(shù)表，用aij (ij ) 表示第 i 行第 j 個數(shù)（ i, jN *），使ai1aiii，每行中的其余各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個數(shù)的之和。設(shè)第n(nN * )行中各數(shù)之和為 bn 。（1）求 b6 ；2bnbn 13b bpbqb*nrp, q, rN

13、 pqr1b69422 bn 1a( n 1)1a( n1)2.a(n1)(n 1)n 1(an1an2 ).(an (n1) ann )n 12(an1an2.ann )2= 2bn263bn 12bn2bn12 2(bn2)8bn2b1 2329bn232n1bn3 2n 12.11bnbp , bq , br ( p, q, r N* )pqr b 2bqbp br12n22(32q 12)(3 2 p 12)(3 2r 12)2 2q r2 p r1*14p,q,rN *pqrq r 1 pr 2*b bp , bq ,br( p, q, r N * )n 16920XX anan =

14、23n + 23n1( n N ). anbn =an + pp bnan 2m,n, pN* ,mnp an am an apam an ap.an = 2 +4,n, ana1=4. 43n12 + 34n1 + p(2 + p)(3n1)+4(2 + p)3n+ (2p) bnbn =4=443n 12N )(2+p)3n +1 + ( 2 p) 2 2 +p)3n + (2p)(2 +p)3 n+2 + (2 p) =bn+1 bnbn+2= 0( n0(n N )(4 p2)(2· 3n+1 3n+2 3n ) = 0(4 p2)· 3n·4 = 0,p

15、 = ± 2.7, p = 2,bn = 3n, bn; p = 2 ,bn = 1, bn.,p = ± 2 bn10.am24an24a p24am an apam3m3n1p113an ap2anamap2(24)= 24243n3m13p12113n (23pn3pm1)13p m23n m *m,n, pN* ,mnpp mp n 1 p mn m 13p m3p n 13 3 p n 3p m3n m 13 3n m *3n (2 3p n3 3 p n 1) 3n ( 3p n1) 0 133n m23n m13n m0* anamanapamana p.16

16、102011ana13an 13an, n1,2,2a51n11an1Sn111a1a2anSn100n23m, s, nm, s,nam1,as1, an 112111111an 133anan 13an32110110(nN* )a1an311an4112 (1) n 112 ( 1) n 121an3 3an35111111111n233n 1n 1n11nSna2an2(2n )3a13 3337Snn111009993n100nmax3m n2s,( am1) (an1)(as1)210an3n3n3m1) (3s2n( n21) ( m23s1)32332123m3n2 3s133

17、m3n23mn2 3smn15m, n, s16其三，我們知道，既成等差又成等比的數(shù)列一定是非零的常數(shù)數(shù)列，利用這個性質(zhì)，一旦我們通過分析或者化簡得到三個存在性變量（或者他們經(jīng)過相同變換得到的三個數(shù)）既成等差又成等比，那么即可說明三者相等，而題干說了“互不相等”，從而找出矛盾，說明不存在。例 11、【2012上海一聯(lián)】設(shè)等比數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn ，已知 an 1 2Sn 2(n N* )(1)求數(shù)列 an 的通項公式；(2)在 an 與 an 1之間插入 n 個數(shù)，使這 n2 個數(shù)組成公差為 dn 的等差數(shù)列 (如：在 a1 與 a2之間插入 1 個數(shù)構(gòu)成第一個等差數(shù)列，其公差為

18、d1 ；在 a2 與 a3 之間插入 2 個數(shù)構(gòu)成第二個等差數(shù)列，其公差為d2 ， 以此類推 )，設(shè)第 n 個等差數(shù)列的和是 An . 是否存在一個關(guān)于 n 的多項式 g(n) ，使得 An g(n)dn 對任意 n N *恒成立？若存在， 求出這個多項式；若不存在，請說明理由；(3)對于 (2)中的數(shù)列d1，d2， d3， ，dn， ，這個數(shù)列中是否存在不同的三項 dm，dk，d p (其中正整數(shù) m， k， p 成等差數(shù)列 )成等比數(shù)列，若存在，求出這樣的三項；若不存在，說明理由 .a1 q 2a12解： (1)設(shè)ana1qn 1，由an12Sn2(nN * )知，a q22(aa q) 2， 2 分111a123n1解得 q3 ， an24 分2 3n2 3n 14 3n 1An(2 3n2