第二十八章-2821解直角三角形

1、第二十八章第二十八章銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)28.2解直角三角形及其應用解直角三角形及其應用28.2.1 解直角三角形 新知新知1 1 解直角三角形的常見類型及解法解直角三角形的常見類型及解法圖象圖象已知條件已知條件解法步驟解法步驟兩兩邊邊兩直角邊兩直角邊( (如如a a, ,b b) )斜邊和一斜邊和一直角邊直角邊( (如如c c, ,a a) ) 續(xù)表續(xù)表已知條件已知條件解法步驟解法步驟一一邊邊一一角角一直角一直角邊和一邊和一銳角銳角銳角、鄰銳角、鄰邊（如邊（如 A A, ,b b）銳角、對銳角、對邊邊( (如如 A,aA,a) )斜邊和一銳角（如斜邊和一銳角（如c c,A A） 注意：注

2、意： 1. 1. 在遇到解直角三角形的實際問題時，最好是先在遇到解直角三角形的實際問題時，最好是先畫出一個直角三角形的草圖，按題意標明哪些元素是畫出一個直角三角形的草圖，按題意標明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角，再已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角，再確定它的對邊和鄰邊的順序進行計算確定它的對邊和鄰邊的順序進行計算. . 2. 2. 若題中無特殊說明，若題中無特殊說明，“ “解直角三角形解直角三角形” ”即要求出即要求出所有的未知元素，其中已知條件中至少有一個條件為所有的未知元素，其中已知條件中至少有一個條件為邊邊. . 【例【例1 1】（20142014濱州）在

3、濱州）在RtRt ACBACB中，中， C C=90=90，ABAB=10=10，sinsinA A= = ，coscosA A= = ，tantanA=A= ，則，則BCBC的長為的長為（ ） A. 6 A. 6 B. 7.5 B. 7.5 C. 8 C. 8 D. 12.5 D. 12.5 例題精講例題精講 1. 1. 如圖如圖28-2-628-2-6，在直角，在直角 BADBAD中，延長斜邊中，延長斜邊BDBD到點到點C C，使使DCDC= = BDBD，連接，連接ACAC，若，若tantanB B= = ，則，則tantanCADCAD的值（的值（ ） 舉一反三舉一反三D D 2. 2

4、. 如圖如圖28-2-728-2-7，在，在ABCABC中，中， BACBAC=90=90，ABAB= =ACAC，點點D D為邊為邊ACAC的中點，的中點，DEDE BCBC于點于點E E，連接，連接B BD D，則，則tantanDBCDBC的值為（的值為（ ）A A 新知新知2 2 解直角三角形的常見解法解直角三角形的常見解法 解直角三角形問題，關(guān)鍵是正確運用直角三角形解直角三角形問題，關(guān)鍵是正確運用直角三角形中的邊角關(guān)系，同時要注意運用勾股定理、代數(shù)式的中的邊角關(guān)系，同時要注意運用勾股定理、代數(shù)式的變形及方程思想變形及方程思想. .解非直角三角形時，一定要通過作輔解非直角三角形時，一定

5、要通過作輔助線構(gòu)造出直角三角形，將非直角三角形問題轉(zhuǎn)換為助線構(gòu)造出直角三角形，將非直角三角形問題轉(zhuǎn)換為直角三角形問題直角三角形問題. . 注意：注意： 1. 1. 熟練掌握銳角三角函數(shù)的概念，靈活運用特殊熟練掌握銳角三角函數(shù)的概念，靈活運用特殊三角函數(shù)值來解決相關(guān)計算、求直角三角形的邊和角三角函數(shù)值來解決相關(guān)計算、求直角三角形的邊和角等問題，并能根據(jù)實際情況構(gòu)造出直角三角形，從而等問題，并能根據(jù)實際情況構(gòu)造出直角三角形，從而解決問題解決問題. . 2. 2. 解答有關(guān)斜角問題時，能靈活地將其轉(zhuǎn)換為易解答有關(guān)斜角問題時，能靈活地將其轉(zhuǎn)換為易解答的直角三角形問題求解解答的直角三角形問題求解. .

6、【例【例2 2】如圖如圖28-2-828-2-8，已知，已知 AOBAOB=60=60，點，點P P在邊在邊OAOA上，上，OPOP=12=12，點，點M M，N N在邊在邊OBOB上，上，PMPM= =PNPN，若，若MNMN=2=2，則，則OMOM= =（ ） A. 3 A. 3 B. 4 B. 4 C. 5 C. 5 D. 6 D. 6 例題精講例題精講 解析解析 過點過點P P作作PDPD OBOB，交，交OBOB于點于點D D，在直角三角，在直角三角形形PODPOD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出中，利用銳角三角函數(shù)定義求出ODOD的長，再由的長，再由PMPM=P=PN N，利用三線合一

7、得到，利用三線合一得到D D為為MNMN中點，根據(jù)中點，根據(jù)MNMN求出求出MDMD的長，由的長，由ODOD- -MDMD即可求出即可求出OMOM的長的長. . 過過P P作作PDPD OBOB，交，交OBOB于點于點D D，如圖，如圖28-2-928-2-9所示，所示， 在在RtRt OPDOPD中，中，cos60cos60 = = ，OPOP=12=12， ODOD=6=6，PPM M= =PNPN，PDPD MNMN，MNMN=2=2， MDMD= =NDND= = MNMN=1=1， OMOM= =ODOD- -MDMD=6-1=5. =6-1=5. 答案答案 C C 1. 1. 如圖

8、如圖28-2-1028-2-10，在，在RtRt ABCABC中，中， ACBACB=90=90，CDCD ABAB，垂足為點，垂足為點D D，ABAB= =c c， A A= = ，則，則CDCD長為（長為（ ） A. A. c csinsin2 2 B. B. c ccoscos2 2 C.C. c csinsin tantan D. D. c csinsin coscos 舉一反三舉一反三D D 2. 2. 如圖如圖28-2-1128-2-11，在，在ABCABC中，中，ABAB= =ACAC=13=13，BCBC=10=10，點，點D D為為BCBC的中點，的中點，DEDE ABAB于

9、點于點E E，則，則tantanBDEBDE的值等于（的值等于（ ）C C 3. 3. 已知：如圖已知：如圖28-2-1228-2-12，ABCABC中，中，ACAC1010，sinsinC C= ,sin= ,sinB B= = , ,求求ABAB. . 1. 1. 解直角三角形問題，關(guān)鍵是正確運用直角三角解直角三角形問題，關(guān)鍵是正確運用直角三角形中除直角外的五個元素（三條邊和兩個銳角）之間形中除直角外的五個元素（三條邊和兩個銳角）之間的關(guān)系，同時還要注意運用勾股定理，代數(shù)式的變形的關(guān)系，同時還要注意運用勾股定理，代數(shù)式的變形及方法思想及方法思想. . 2. 2. 解非直角三角形時，一定要通

10、過作輔助線構(gòu)造解非直角三角形時，一定要通過作輔助線構(gòu)造出直角三角形，將之轉(zhuǎn)化為直角三角形問題出直角三角形，將之轉(zhuǎn)化為直角三角形問題. . 方法規(guī)律方法規(guī)律 7. (67. (6分分) )如圖如圖KT28-2-4,KT28-2-4,在在ABCABC中中,C C=90=90 ,A A， B B， C C的的對邊分別為對邊分別為a a，b b，c c, ,且且b b= ,= ,A A的平分線的平分線ADAD= ,= ,解這個直角三角形解這個直角三角形. . 8. 8. （6 6分）臺風是一種自然災分）臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍數(shù)十害，它以臺風中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風

11、暴，有極強的千米范圍內(nèi)形成氣旋風暴，有極強的破壞力破壞力. .如圖如圖KT28-2-5KT28-2-5，據(jù)氣象觀測，據(jù)氣象觀測，距沿海某城市距沿海某城市A A的正南方向的正南方向220 km220 kmB B處處有一臺風中心，其中心最大風力為有一臺風中心，其中心最大風力為1212級，每遠離臺風中心級，每遠離臺風中心20 km20 km，風力就，風力就會減弱一級，該臺風中心現(xiàn)正以會減弱一級，該臺風中心現(xiàn)正以15 15 km/hkm/h的速度沿北偏東的速度沿北偏東3030方向往方向往C C移動，移動，且臺風中心風力不變且臺風中心風力不變. .若城市所受風力若城市所受風力達到或超過四級，則稱為受臺風

12、影響達到或超過四級，則稱為受臺風影響. . (1)(1)該城市是否會受到這次臺風的影響該城市是否會受到這次臺風的影響? ?請說明請說明理由理由. . (2)(2)若會受到臺風影響，那么臺風影響該城市的若會受到臺風影響，那么臺風影響該城市的持續(xù)時間有多長持續(xù)時間有多長? ? (3)(3)該城市受到臺風影響的最大風力為幾級該城市受到臺風影響的最大風力為幾級? ? 解：（解：（1 1）該城市受到此次臺風影響，理由如下：）該城市受到此次臺風影響，理由如下： 如答圖如答圖28-2-228-2-2所示，作所示，作ADAD BCBC于點于點D D，在直角三角形，在直角三角形ABDABD中，中，ADAD= =

13、ABABsin30sin30 = = ABAB= = 220=220=110 km110 km，臺風中心與城市，臺風中心與城市A A的最近距離為的最近距離為110 km110 km，城市城市A A恰好受臺風影響時，城市所受風力為恰好受臺風影響時，城市所受風力為4 4級，距級，距離恰好為（離恰好為（12-412-4）20=160 km20=160 km 因為因為160 km160 km110 km110 km，所以該城市受到此次臺，所以該城市受到此次臺風影響風影響 （3 3）當臺風中心位于）當臺風中心位于D D處時，處時，A A市所受這次臺風市所受這次臺風的風力最大，其最大風力為的風力最大，其最

14、大風力為12- 12- 6 6. .5 5（級）（級） 7. (67. (6分分) )如圖如圖KT28-2-11KT28-2-11，建筑物建筑物ABAB后有一座假山，其坡后有一座假山，其坡度為度為i i=1 =1 ，山坡上，山坡上E E點處有點處有一一涼亭，測得假山坡腳涼亭，測得假山坡腳C C與建筑與建筑物水平距離物水平距離BC=BC=25 m25 m，與涼亭距，與涼亭距離離CECE=20 m=20 m，某人從建筑物頂端測得，某人從建筑物頂端測得E E點的俯角為點的俯角為4545，求建筑物求建筑物ABAB的高（注：坡度的高（注：坡度i i是指坡面的鉛直高度與是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）水

15、平寬度的比） 8. (68. (6分分) )如圖如圖KT28-KT28-2-122-12所示，某數(shù)學活動小所示，某數(shù)學活動小組選定測量小河對岸大樹組選定測量小河對岸大樹BCBC的高度，他們在斜坡上的高度，他們在斜坡上D D處測得大樹頂端處測得大樹頂端B B的仰角是的仰角是3030，朝大樹方向下坡走，朝大樹方向下坡走6 6 mm到達坡底到達坡底A A處，在處，在A A處測得大樹頂端處測得大樹頂端B B的仰角是的仰角是4848，若坡角若坡角 FAEFAE=30=30，求大樹的高度，求大樹的高度. .（結(jié)果保留整數(shù)，參（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：考數(shù)據(jù)：sin48sin48 0.740.74，cos48c