高等數(shù)學(xué)：1-3函數(shù)的極限

1、1小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)自變量趨向有限值時函數(shù)的極限自變量趨向有限值時函數(shù)的極限第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限2一、一、設(shè)對充分大的設(shè)對充分大的x,函數(shù)函數(shù) 處處有定義處處有定義.)(xf如果隨著如果隨著x的的無限增大無限增大,)(xf相應(yīng)的函數(shù)相應(yīng)的函數(shù) 就就無限接近無限接近某一常數(shù)某一常數(shù) A. 由此可引入自變量趨由此可引入自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限概念向無窮大時函數(shù)的極限概念.以下分別用記號以下分別用記號xx x表示表示, x 無限增大的過程無限增大的過程.x 趨向于負(fù)無窮趨向于負(fù)無窮x

2、趨向于無窮趨向于無窮函數(shù)的極限函數(shù)的極限 x趨向于正無窮趨向于正無窮,x| x自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限3 Axf)(Xx 用數(shù)學(xué)語言刻劃用數(shù)學(xué)語言刻劃;)(任意小任意小Axf .的過程的過程 x表示表示表示表示無限增大無限增大.1. 定義定義定義定義1 1.|)(上有定義上有定義在在設(shè)設(shè)axxf )(X , 0 , 0 X,|時時使得當(dāng)使得當(dāng)Xx 恒有恒有 |)(|Axf,)(Axfx有極限有極限時函數(shù)時函數(shù)則稱則稱 ,)(limAxfx 記作記作).()( xAxf或或若若, 0 , 0 X無限接近、無限接近、aX 函數(shù)的極限函數(shù)的極限4如果在如果在x的某種趨

3、向下的某種趨向下,并不無限接近并不無限接近一個常數(shù)一個常數(shù), 則稱則稱:)(limxf在在x的該種趨向下的該種趨向下例例 當(dāng)當(dāng)|x|無限增大時無限增大時,sin x2x都不無限接近一個常數(shù)都不無限接近一個常數(shù),因此因此,sinlimxx 2lim xx 都不存在都不存在.函數(shù)的極限函數(shù)的極限不存在不存在.)(xf注：5 X X,時時或或當(dāng)當(dāng)XxXx A2. lim( )xf xA ,|時時當(dāng)當(dāng)Xx 有有 |)(|Axf, 0 , 0 X AxfA)()(xfy 函數(shù)函數(shù),為中心線為中心線以直線以直線Ay .2 的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為 函數(shù)的極限函數(shù)的極限)(xfy 圖形圖形完全落在完

4、全落在:xyO的幾何意義的幾何意義6xxysin 例例0sinlim xxx證明證明證證, 0 ,1 X取取,|時時當(dāng)當(dāng)Xx 0sinxx. 0sinlim xxx故故要使要使,0sin xx成立成立.xxxxsin0sin ,|1x 只要只要 |1x有有,1| x即即 解不等式解不等式| x解出解出函數(shù)的極限函數(shù)的極限xyO,)(limCxfx 如果如果Cy 的圖形的的圖形的水平水平漸近線漸近線.結(jié)論結(jié)論則直線則直線)(xfy 是函數(shù)是函數(shù)7:)1(情形情形x, 0 :)2(情形情形xAxf )(limAxf )(lim3. 另兩種情形另兩種情形, 0 X,時時使當(dāng)使當(dāng)Xx |)(|Axf恒

5、有恒有, 0 , 0 X,時時使當(dāng)使當(dāng)Xx .)(上有定義上有定義在在設(shè)設(shè)axxf |)(|Axf恒有恒有.)(上有定義上有定義在在設(shè)設(shè)axxf x x函數(shù)的極限函數(shù)的極限8解解 顯然有顯然有,2arctanlim xx,2arctanlim xx可見可見xxarctanlim和和xxarctanlim雖然都存在雖然都存在,但它們不相等但它們不相等.xxarctanlim 故故不存在不存在.例例 討論極限討論極限 是否存在是否存在?xxarctanlim Axfx )(lim函數(shù)的極限函數(shù)的極限且且Axfx )(limAxfx )(lim9. 111lim22 xxx例例 試證試證證證, 0

6、注意注意有有12111222 xxx,22x 為了使為了使,11122 xx只要使只要使,22 x,2 x即即,2 X取取,時時當(dāng)當(dāng)Xx 有有 2222111xxx. 111lim22 xxxx解出解出函數(shù)的極限函數(shù)的極限,0時時當(dāng)當(dāng) x10 Axf)( 00 xx 0 x 0 x.0程度程度接近接近體現(xiàn)體現(xiàn)xx 用數(shù)學(xué)語言刻劃用數(shù)學(xué)語言刻劃,0 xx 無限接近無限接近)(xf函數(shù)函數(shù)于確定值于確定值A(chǔ).;)(任意小任意小表示表示Axf .0的過程的過程表示表示xx 00 xx ),(0 xU函數(shù)的極限函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限xO0 x 11,

7、 0 若若)( , 0 若若1.1.定義定義定義定義2 2設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)有有定義定義., 0 ,00時時使當(dāng)使當(dāng) xx Axf)(,)(0Axfxx有有極極限限時時函函數(shù)數(shù)則則稱稱 ,)(lim0Axfxx 記作記作).()(0 xxAxf或或, 0 函數(shù)的極限函數(shù)的極限恒有恒有)(xf在點在點x0某去心鄰域內(nèi)某去心鄰域內(nèi)12注注(1) 定義中的定義中的00 xx 當(dāng)當(dāng),0時時xx f (x)有沒有極限與有沒有極限與f (x)在點在點x0 是否有定義并無關(guān)系是否有定義并無關(guān)系.(2) 定義中定義中 標(biāo)志標(biāo)志x接近接近x0的程度的程度, 也將越小也將越小. (3) 不要求最大的不要求最大的 , ,

8、0 xx 表示表示 它與它與一般地說一般地說, 越小越小, 只要求只要求 存在即可存在即可.有關(guān)有關(guān).函數(shù)的極限函數(shù)的極限13, 0 AyA必存在必存在x0的去心鄰域的去心鄰域,00 xx對于此鄰域內(nèi)的對于此鄰域內(nèi)的 x,對應(yīng)的函數(shù)圖形位于這一帶形區(qū)域內(nèi)對應(yīng)的函數(shù)圖形位于這一帶形區(qū)域內(nèi).的幾何意義的幾何意義Axfxx )(lim. 20函數(shù)的極限函數(shù)的極限作出帶形區(qū)域作出帶形區(qū)域, 0 ,00 xx當(dāng)當(dāng) Axf)(, 0 xyO)(xfy A A0 x 0 x 0 xA14一般說來一般說來,)(lim0Axfxx 論證論證應(yīng)從不等式應(yīng)從不等式 Axf)(出發(fā)出發(fā), 推導(dǎo)出應(yīng)小于怎樣的正數(shù)推導(dǎo)出

9、應(yīng)小于怎樣的正數(shù),這個正數(shù)就是要找的與這個正數(shù)就是要找的與 相對應(yīng)的相對應(yīng)的 , 這個推導(dǎo)常常是困難的這個推導(dǎo)常常是困難的. 但是但是, 注意到我們不需要找最大的注意到我們不需要找最大的, 所以所以Axf )(適當(dāng)放大些適當(dāng)放大些,的式子的式子,變成易于解出變成易于解出0 xx . 找到一個需要的找到一個需要的 找到找到就證明完畢就證明完畢.可把可把函數(shù)的極限函數(shù)的極限15例例).( ,lim0為常數(shù)為常數(shù)證明證明CCCxx 證證Axf )(CC , , 0 0 .lim0CCxx , 0 取取,00時時當(dāng)當(dāng) xx例例.lim00 xxxx 證明證明證證,)(0 xxAxf , 0 , 取取,

10、00時時當(dāng)當(dāng) xx0)(xxAxf , .lim00 xxxx 任任函數(shù)的極限函數(shù)的極限16例例. 211lim21 xxx證明證明證證211)(2 xxAxf, 0 , 只只要要取取,10時時當(dāng)當(dāng) x函數(shù)在點函數(shù)在點1 x,)( Axf,2112 xx有有. 211lim21 xxx函數(shù)的極限函數(shù)的極限處沒有定義處沒有定義.1 x要使要使17311lim.2(1)4xxx 證證11( )2(1) 4xf xAx , 0 min1,3 , 取取03,x 當(dāng)當(dāng)時時3|3|4|1|1|xxxx ,)( Axf11,2(1)4xx 有有函數(shù)的極限函數(shù)的極限要使要使不妨限制不妨限制|3| 1,x 則則

11、311lim.2(1)4xxx |3|0,取正數(shù)取正數(shù),2A ,)(lim0Axfxx 由由, 0 則則,00 xx使使當(dāng)當(dāng),2)(AAxf 即即2)(2AAxfAA . 0)( xf);0)(0)(,),(0 xfxfxU或或有有內(nèi)內(nèi)則在則在),0)(0)(),()2(0 xfxfxU或或內(nèi)有內(nèi)有若在若在).0(0 AA或或則必有則必有23A2A有有自己證自己證函數(shù)的極限函數(shù)的極限),0(0 AA或或且且30),0()(lim0 AAxfxx若若只要取只要取,2A 便可得更強(qiáng)的結(jié)論便可得更強(qiáng)的結(jié)論:證證 (1),2)(Axf 已證已證也即也即2)(Axf (2)自己證自己證.定理定理3 (1

12、)的證明中的證明中,),(0內(nèi)內(nèi)使在使在 xU.2| )(|Axf 有有不論不論, 0 則則函數(shù)的極限函數(shù)的極限, 00 AA或或定理定理 3 ,0時時 A,0時時 A31),0)(0)(),()2(0 xfxfxU或或內(nèi)有內(nèi)有若在若在 ).0(0 AA或或則必有則必有證證, 0)( xf設(shè)設(shè) 假設(shè)上述論斷不成立假設(shè)上述論斷不成立, 0 A即設(shè)即設(shè)那末由那末由(1)就有就有),(0 xU在該鄰域內(nèi)在該鄰域內(nèi), 0)( xf這與這與. 0 A所以所以類似可證類似可證 的情形的情形.0)( xf假設(shè)假設(shè)矛盾矛盾,函數(shù)的極限函數(shù)的極限若定理若定理3(2)3(2)中的條件改為中的條件改為, 0)( x

13、f必有必有?0 A不能不能! ! 20lim xx如如 是否是否0定理定理3 332定理定理4(4(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系) )函數(shù)的極限函數(shù)的極限如果極限如果極限存在存在,nx為函數(shù)為函數(shù))(xf的定義域內(nèi)任一收斂于的定義域內(nèi)任一收斂于x0的數(shù)列的數(shù)列,那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列且滿足且滿足:0 xxn ),( Nn)(nxf必收斂必收斂,且且證證 設(shè)設(shè)則則, 0 , 0 ,|00時時當(dāng)當(dāng) xx.|)(| Axf有有故對故對, 0 , 0N,時時當(dāng)當(dāng)Nn 有有.|0 xxn,時時當(dāng)當(dāng)Nn ,|00 xxn有有.|)(| Axfn即即0limxxnn )

14、(lim0 xfxx).(lim)(lim0 xfxfxxnn ,)(lim0Axfxx )(limnnxfA33注注 以上定理也適用于其它極限過程以上定理也適用于其它極限過程)(limxfx 等等(包括單側(cè)極限包括單側(cè)極限),其結(jié)論只其結(jié)論只需根椐其極限過程需根椐其極限過程,的自變量范圍的自變量范圍.改動使不等式成立改動使不等式成立和和函數(shù)的極限函數(shù)的極限34xy1sin 例例.1sinlim0不存在不存在證明證明xx證證 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且,221nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且函數(shù)的極限函數(shù)的極限35 nxnnnsinlim1sinlim

15、而而, 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 函數(shù)的極限函數(shù)的極限361. 函數(shù)極限的函數(shù)極限的 或或X 定義定義;2. 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)局部保號性局部保號性;函數(shù)的極限函數(shù)的極限四、小結(jié)四、小結(jié)唯一性唯一性; 局部有界性局部有界性;函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系;3. 函數(shù)的左右極限判定極限的存在性函數(shù)的左右極限判定極限的存在性. .函數(shù)極限的統(tǒng)一定義函數(shù)極限的統(tǒng)一定義.)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有從此時刻以后從此時刻以后時刻時刻37思考題思考題( A) 先給定先給定 后唯一確定后唯一確定 ; 極限定義中極限定義中 與與 的關(guān)系是的關(guān)系是( ). ( C) 先確定先確定 后給定后給定 ; (D) 與與 無關(guān)無關(guān). B(1)( B) 先確定先確定 后確定后確定 ,