數(shù)學(xué)北京理工大學(xué)工科數(shù)學(xué)分析定積分應(yīng)用PPT課件

1、一.一.定積分的元素法定積分的元素法回顧回顧曲邊梯形求面積的問題曲邊梯形求面積的問題 badxxfA)(曲曲 邊邊 梯梯 形形 由由 連連 續(xù)續(xù) 曲曲 線線)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成。ab xyo)(xfy 分割分割近似代替近似代替求和求和取極限取極限第1頁/共65頁面積表示為定積分的步驟如下面積表示為定積分的步驟如下:iiixfA )( ,1iiixx ni 11). , ;iiia bnxnnAAA 把把區(qū)區(qū)間間分分成成個(gè)個(gè)長長度度為為的的小小區(qū)區(qū)間間，相相應(yīng)應(yīng)的的曲曲邊邊梯梯形形被被分分成成個(gè)個(gè)小小窄窄曲曲邊邊梯梯形形，第第個(gè)個(gè)窄窄小

2、小曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積為為，則則的近似值的近似值計(jì)算計(jì)算iA ).2.)().31iniixfAA 的近似值，的近似值，求和，得求和，得第2頁/共65頁ab xyo)(xfy 4). 4). 求極限，得求極限，得A A的精確值的精確值iinixfA )(lim10 badxxf)(提示提示 若用若用A 表示任一小區(qū)間表示任一小區(qū)間,xxx 上的窄曲邊梯形的面積，上的窄曲邊梯形的面積，則則 AA，并取，并取dxxfA)( ，于是于是 dxxfA)( dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面積元素面積元素第3頁/共65頁特點(diǎn)：特點(diǎn)：1.所求量具有代數(shù)可加性，即大區(qū)間上對(duì)應(yīng)所

3、求量具有代數(shù)可加性，即大區(qū)間上對(duì)應(yīng) 的量等于個(gè)小區(qū)間上對(duì)應(yīng)的量的和，如面積、的量等于個(gè)小區(qū)間上對(duì)應(yīng)的量的和，如面積、 質(zhì)量、功、體積等；質(zhì)量、功、體積等；2. 所求量在區(qū)間上分布不均勻所求量在區(qū)間上分布不均勻。第4頁/共65頁元素法元素法(微元法微元法)的一般步驟：的一般步驟：;,)1bax變化區(qū)間變化區(qū)間積分變量，并確定它的積分變量，并確定它的為為選取一個(gè)變量如選取一個(gè)變量如根據(jù)問題的具體情況，根據(jù)問題的具體情況，2) , ,. , ( )( )( ).a bnx xdxUUa bxf xdxf x dxUdUdUf x dx 設(shè)設(shè)法法把把區(qū)區(qū)間間分分成成個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間，取取其其中中任任一

4、一小小區(qū)區(qū)間間并并記記為為求求出出相相應(yīng)應(yīng)于于這這小小區(qū)區(qū)間間的的部部分分量量的的近近似似值值 若若能能近近似似地地表表示示為為上上的的一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在處處的的值值與與的的乘乘積積，就就把把稱稱為為量量的的元元素素且且記記作作，即即第5頁/共65頁這個(gè)方法通常叫做這個(gè)方法通常叫做 微元法或元素法微元法或元素法應(yīng)用方向應(yīng)用方向：幾何：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；幾何：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；物理：功；水壓力；引力和平均值等物理：功；水壓力；引力和平均值等的積分表達(dá)式。的積分表達(dá)式。所求量所求量即為即為上作定積分，得上作定積分，得區(qū)間區(qū)間為被積表達(dá)式，在為被積表

5、達(dá)式，在的元素的元素以所求量以所求量UdxxfUbadxxfUba,)(,)()3 第6頁/共65頁二二. . 定積分的幾何應(yīng)用定積分的幾何應(yīng)用 平面圖形的面積；平面圖形的面積； 立體體積；立體體積； 曲線弧長。曲線弧長。第7頁/共65頁1. 平面圖形的面積平面圖形的面積1). 直角坐標(biāo)下的面積公式直角坐標(biāo)下的面積公式xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfA)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfxfA)()(12xxxx x 第8頁/共65頁)(yx )(yx dcxy0圍成，則面積圍成，則面積與直線與直線平面圖形由曲線平

6、面圖形由曲線)(,)(),(dcdycyyxyx dcdyyyA)()( 第9頁/共65頁解解: 兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn))1 , 1()0 , 0(面積元素面積元素dxxxdA)(2 1 , 0, xx 作積分變量作積分變量選選dxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx ;1.22形的面積形的面積圍成的圖圍成的圖和和計(jì)算由兩條拋物線計(jì)算由兩條拋物線例例xyxy 第10頁/共65頁解：解：兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).4 , 8(),2, 2( 422xyxy4, 2 yy 作作積積分分變變量量，選選dyyydA 242.1842 dAAxy22 xy22 4 xy成的圖

7、形的面積；成的圖形的面積；所圍所圍和直線和直線計(jì)算由曲線計(jì)算由曲線例例422.2 xyxy第11頁/共65頁 8220)4(2)2(2dxxxdxxxA822822/3202/3)4(213223222 xxx18 x若若選選為為積積分分變變量量，則則第12頁/共65頁2). 2). 參數(shù)方程的面積公式參數(shù)方程的面積公式若所給曲線方程為若所給曲線方程為.,)()( ttyytxx.)(| )(| dttxtyA所圍圖形的面積為所圍圖形的面積為與直線與直線軸軸，的增加而增加，則由的增加而增加，則由隨隨連續(xù)，連續(xù)，在在，bxaxxtyytxxttxtxtytxbxax ,)(),()(,)()()

8、(,)(,)( 第13頁/共65頁解：解：橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程 tbytaxsincos由對(duì)稱性知總面積等于由對(duì)稱性知總面積等于4 4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab .13.2222的面積的面積求橢圓求橢圓例例 byax第14頁/共65頁；軸所圍平面圖形的面積軸所圍平面圖形的面積的一拱與的一拱與求由擺線求由擺線例例xatayttax)0)(cos1(, )sin(. 4 )cos1(tadA 解解:ttad)cos1( ttad)cos1(2022 ttad2sin42042 )2(tu 令令uua

9、dsin8042 224408(sincos)dauuu 23 a 20Axyoa2第15頁/共65頁21nnnIIn2200sincosnnnIxdxxdx；()!()!()!.()!21222222121mnmmmnmm， 2/044sin xdxI22413 163 第16頁/共65頁,0)(, ,)( C設(shè)設(shè)求由曲線求由曲線)( r及及 ,射線射線圍成的曲邊扇形的面積圍成的曲邊扇形的面積 .)( r x d在區(qū)間在區(qū)間, 上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間d, 則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為 d)(21d2 A所求曲邊扇形的面積為所求曲邊扇形的面積為

10、 d)(212 A 3). 3). 極坐標(biāo)下的面積公式極坐標(biāo)下的面積公式第17頁/共65頁解：解：由對(duì)稱性知總面積由對(duì)稱性知總面積=4=4倍第倍第一象限部分面積一象限部分面積14AA daA2cos214402 .2a xy 1A1A 2cos22a ;2cos5.22的面積的面積所圍成平面圖形所圍成平面圖形求雙紐線求雙紐線例例 a 第18頁/共65頁解：解： dadA22)cos1(21 利用對(duì)稱性知利用對(duì)稱性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0 d).0()cos1(6. aar的面積的面積所圍平面圖形所圍平

11、面圖形求心型線求心型線例例 第19頁/共65頁6 4 解：解：圖形關(guān)于圖形關(guān)于y y軸對(duì)稱，由軸對(duì)稱，由 2cossin22rr216 r，交點(diǎn)坐標(biāo)為交點(diǎn)坐標(biāo)為求得兩曲線在第一象限求得兩曲線在第一象限 圍成；圍成；與射線與射線圖形由圖形由6sin2 r.62cos2圍成圍成與射線與射線圖形由圖形由 r分的面積；分的面積；的公共部的公共部與雙紐線與雙紐線求園求園例例 2cossin27.2 rr第20頁/共65頁故所求面積為：故所求面積為：2cos21)sin2(21 24/6/6/02 ddA 4/6/6/022cossin2 dd2316 第21頁/共65頁Oxy解：解：和第三象限，由對(duì)稱性

12、和第三象限，由對(duì)稱性位于第一位于第一雙紐線的兩個(gè)分支分別雙紐線的兩個(gè)分支分別 dA202212 202sin4 d. 42cos220 .2sin48.2所圍圖形的面積所圍圖形的面積求雙紐線求雙紐線例例 第22頁/共65頁xy解：解：所圍圖形如圖所示，對(duì)稱性所圍圖形如圖所示，對(duì)稱性 dA 0222)sin1(212121 022)sinsin21(2 d. 245 .sin119.面積面積所圍公共部分的所圍公共部分的與心形線與心形線求園求園例例 第23頁/共65頁小結(jié)小結(jié)求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式下、求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積極坐標(biāo)系下平面圖形的面積. .（

13、注意恰當(dāng)?shù)模ㄗ⒁馇‘?dāng)?shù)倪x擇積分變量選擇積分變量有助于簡化有助于簡化積分運(yùn)算）積分運(yùn)算）hw：p316 1(2,4,6,9),2(2),3(2),4(2),6.第24頁/共65頁設(shè)所給立體垂直于設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在在則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間d,xxx 的體積元素為的體積元素為xxAVd)(d 因此所求立體體積為因此所求立體體積為xxAVbad)( xabxxxd)(xA上連續(xù)上連續(xù),2.2.立體體積立體體積1). 已知平行截面面積的立體體積已知平行截面面積的立體體積第25頁/共65頁解解:取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為22

14、2Ryx 垂直于垂直于x軸的截面為直角三角形軸的截面為直角三角形截面面積截面面積,tan21)(2222 xRxRxA 立體體積立體體積dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R RR xyo xRR x立體的體積；立體的體積；所得所得，計(jì)算這平面截圓柱體，計(jì)算這平面截圓柱體并于底面交成角并于底面交成角的圓柱體的底園中心，的圓柱體的底園中心，一平面經(jīng)過半徑為一平面經(jīng)過半徑為例例 R1.第26頁/共65頁 hRxoxA(x)A(x)yh xRhV = RRxxAd )(. RRxxRhd hRdcos22022 hR . . .Ry. 例例2. 求以半徑為求以半徑為R的圓為底，平行且

15、等于底圓直徑的的圓為底，平行且等于底圓直徑的 線段為頂，高為線段為頂，高為h的正劈錐體的體積。的正劈錐體的體積。y第27頁/共65頁2). 2). 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺(tái)圓臺(tái)旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸第28頁/共65頁xyoabxyoab)(xfy 當(dāng)考慮連續(xù)曲線段當(dāng)考慮連續(xù)曲線段2)(xf 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí)軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有有軸軸繞繞 xbxaxfy)()( xd baV當(dāng)考慮連續(xù)曲線段當(dāng)考慮連續(xù)曲線段)()(dycyx 繞

16、繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí)軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有有2)(y yd dcVxxoy)(yxcdy第29頁/共65頁xf(x)ab 曲邊梯形：曲邊梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 繞繞 x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 求旋轉(zhuǎn)體體積求旋轉(zhuǎn)體體積第30頁/共65頁xf(x)abx.111111111 )(xA)( 2xf baxxf)d( 曲邊梯形：曲邊梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)V = 求旋轉(zhuǎn)體體積求旋轉(zhuǎn)體體積第31頁/共65頁x=g(y)yx0cd曲邊梯形：曲邊梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 繞繞 y軸軸 求旋轉(zhuǎn)體體積求旋轉(zhuǎn)體體積

17、第32頁/共65頁x=g(y)yx0cd曲邊梯形：曲邊梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 繞繞 y軸軸. 求旋轉(zhuǎn)體體積求旋轉(zhuǎn)體體積第33頁/共65頁x=g(y)yx0cd dcyyAVd)( )(yAy dcyygVd)(.)( 2yg. 求旋轉(zhuǎn)體體積求旋轉(zhuǎn)體體積.曲邊梯形：曲邊梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 繞繞 y軸軸第34頁/共65頁abf (x)yx0 求旋轉(zhuǎn)體體積求旋轉(zhuǎn)體體積 曲邊梯形曲邊梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 繞繞 y 軸軸xdx第35頁/共65頁xabyx0)(2xxf內(nèi)表面積內(nèi)表面積.dx. 求旋轉(zhuǎn)體體積求旋轉(zhuǎn)體體積 曲邊梯

18、形曲邊梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 繞繞 y 軸軸dV=2 x f (x)dxf (x)第36頁/共65頁byx0a. 求旋轉(zhuǎn)體體積求旋轉(zhuǎn)體體積 曲邊梯形曲邊梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 繞繞 y 軸軸dV=2 x f (x)dxf (x)第37頁/共65頁byx0a. 求旋轉(zhuǎn)體體積求旋轉(zhuǎn)體體積 曲邊梯形曲邊梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 繞繞 y 軸軸dV=2 x f (x)dxf (x)第38頁/共65頁0y0 xbxadx. 求旋轉(zhuǎn)體體積求旋轉(zhuǎn)體體積 曲邊梯形曲邊梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 繞繞 y 軸軸dV

19、=2 x f (x)dxf (x)第39頁/共65頁f (x)Yx0bdx0yz. baxxxfVd)(a.曲邊梯形曲邊梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 繞繞 y 軸軸 求旋轉(zhuǎn)體體積求旋轉(zhuǎn)體體積 dV=2 x f (x)dx第40頁/共65頁積；積；軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體所圍圖形繞所圍圖形繞與與求拋物線求拋物線例例yxyxy 2. 1解：解：，與與兩曲線交點(diǎn)為兩曲線交點(diǎn)為)1 , 1()0 , 0() 1 , 1(2xy 2yx yx0ydyy 所求旋轉(zhuǎn)體體積應(yīng)為所求旋轉(zhuǎn)體體積應(yīng)為兩個(gè)曲邊梯形繞兩個(gè)曲邊梯形繞y y 軸軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積之差

20、，故之差，故 1022102)()(dyydyyV dyyy 104)( 103 第41頁/共65頁；旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為軸旋轉(zhuǎn)所成軸旋轉(zhuǎn)所成繞繞證明由橢圓證明由橢圓例例22222341. 2abVxbyax 證明：證明：上半橢圓方程為：上半橢圓方程為：22xaaby aadxyV2 dxxaabaa)(2222 234ab ).(343為球半徑為球半徑時(shí)，為球體體積時(shí)，為球體體積特別地，特別地，aaVba 第42頁/共65頁另法另法 利用橢圓參數(shù)方程利用橢圓參數(shù)方程 tbytaxsincos則則xyVad202 ttabdsin232 22 ab 32 234ab 1 02 第43頁

21、/共65頁軸所得旋轉(zhuǎn)體的體積。軸所得旋轉(zhuǎn)體的體積。繞繞所圍圖形所圍圖形求星形線求星形線例例xttaytax)20(sincos. 333 xy0aa 解：解： 由對(duì)稱性，有：由對(duì)稱性，有： adxyV022 02/223sincos3)sin(2 tdttata 2/0973)sin(sin6 dttta310532a 3516753642sin207 dxx 29512897538642sin209 dxx 第44頁/共65頁心形線方程還可寫為：心形線方程還可寫為：)0(323232 aayx332322)(yax Vdyxaa 2 dyyaaa 33232)( 第45頁/共65頁該圓錐體的

22、體積。該圓錐體的體積。，試求，試求，高為，高為設(shè)一正園錐體的半徑為設(shè)一正園錐體的半徑為例例hr. 4),(rhhxxdxx ry0解：解：, 0,hxxhry dxxhrdV2)( , 0dxxxh 上任取一小區(qū)間上任取一小區(qū)間在在 hdxxhrV02)( .),(),0 ,(),0 , 0(軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體形繞形繞為頂點(diǎn)的平面三角為頂點(diǎn)的平面三角該錐體可以看作是以點(diǎn)該錐體可以看作是以點(diǎn)xrhh三角形的斜邊方程為：三角形的斜邊方程為： hdxxhr0222 32hr 第46頁/共65頁),(rhhyxdyy ry0yrhh 或或dyyrhhydV)(2 軸而得軸而得看作是一

23、窄曲邊梯形繞看作是一窄曲邊梯形繞 x rdyyrhhyV0)(2 rrdyyrhydy02022 32hr ，故體積元為：，故體積元為：為高的矩形薄片的體積為高的矩形薄片的體積為寬為寬為長，為長，可以近似地等于以可以近似地等于以dyyrhhy,)(2 第47頁/共65頁體積；體積；旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的繞直線繞直線圖形圖形所確定，求所確定，求與與由由設(shè)平面圖形設(shè)平面圖形例例225.22 xAxyxyxA21xy0ydyy ) 1 , 1 (解：解：，與與園園與與直直線線的的交交點(diǎn)點(diǎn)為為)1 , 1()0 , 0(轉(zhuǎn)體的體積微元為轉(zhuǎn)體的體積微元為旋轉(zhuǎn)一周所得旋旋轉(zhuǎn)一周所得旋圖形

24、繞圖形繞相應(yīng)的平面相應(yīng)的平面小區(qū)間小區(qū)間上取上取在在為積分變量為積分變量選選2,1 , 0. xdyyyydyxxdV)2()2(2221 dyyy)2()11(222 dyyy)1(1(222 .,11221yxyx 其中其中第48頁/共65頁積分得積分得: :dyyyV 1022)1(12 dyydyy 102102)1(212 tysin 令令 102202)1(2cos2dyydtt 3222 第49頁/共65頁解解:4 , 0 y體積元素為體積元素為dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQM;3046.2旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體

25、的體積旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積繞直線繞直線所圍成的圖形所圍成的圖形及及求由曲線求由曲線例例 xyxy, y取積分變量為取積分變量為第50頁/共65頁軸所圍圖軸所圍圖及及表示表示xtxxfytV)0(, )()( 例例7 7. 設(shè))(xfy 在在 x0 時(shí)為連續(xù)的非負(fù)函數(shù)時(shí)為連續(xù)的非負(fù)函數(shù), 且且 ,0)0( f形繞直線形繞直線 xt 旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積 ,證明證明:. )(2)(tftV 證證:x)(xfxoytxxd 利用柱殼法利用柱殼法xxfxtVd)()(2d 則則xxfxttVtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)

26、(0 )(2tft)(2tft)(2)(tftV 故故p317 8,9(1,4,6),10(2)p317 8,9(1,4,6),10(2)。第51頁/共65頁ox12yBC3A例例2. 2. 求曲線求曲線132 xy與與 x 軸圍成的封閉圖形軸圍成的封閉圖形繞直線繞直線 y3 旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.(94 考研考研)解解: 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性 , y10 x,22 x21 x,42x 故旋轉(zhuǎn)體體積為故旋轉(zhuǎn)體體積為 V432 xxd)2(321022 xxd)1(2361022 xxd) 1(22122xxd)1(22022 15448 在第一象限在第一象限 xxd)4(322

27、122 第52頁/共65頁Dec. 14 Fri. Dec. 14 Fri. Review Review 直角坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方程. 1一一. . 平面圖形面積平面圖形面積;)()()(),(,)()(圍成圍成圖形由圖形由xgxfxgyxfybxaxdxxgxfAba ;)()()(),(,)()(圍成圍成圖形由圖形由yyyxyxdycydxyyAdc 第53頁/共65頁參數(shù)方程下的面積公式參數(shù)方程下的面積公式. 2若所給曲線方程為若所給曲線方程為.,)()( ttyytxx.| )()(| dttxtyA圍圖形的面積為圍圖形的面積為所所軸與直線軸與直線，則由則由連續(xù)，連續(xù)，在在，bxaxxt

28、yytxxtxtytxbxax ,)(),(,)()()(,)(,)( 第54頁/共65頁,0)(, ,)( C設(shè)設(shè)由曲線由曲線)( r及及 ,射線射線圍成的曲邊扇形的面積圍成的曲邊扇形的面積 . d)(212 A3. 3. 極坐標(biāo)下的面積公式極坐標(biāo)下的面積公式第55頁/共65頁積積已知截面面積立體的體已知截面面積立體的體. 1二二. . 立體體積立體體積2. 2. 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積圍成的立體的體積為圍成的立體的體積為軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周繞繞連續(xù)曲線段連續(xù)曲線段xbxaxfy)()( badxxfV2)( badxxAVbaxAxAx.)(,)()(為為上連續(xù)，所求立體體積上連續(xù)，所求立體體積在在，軸的截面面積為軸的截面面積為設(shè)所給立體垂直于設(shè)所給立體垂直于第56頁/共65頁圍成的立體體積為圍成的立體體積為軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周繞繞連續(xù)曲線段連續(xù)曲線段ydycyx)()( dyyVdc 2)( . baxxxfVd)(形繞軸旋轉(zhuǎn)形繞軸旋轉(zhuǎn)曲邊梯曲邊梯0,),( ybxaxxfy第57頁/共65頁3. 3. 曲線的弧曲線的弧長長xoy0MA nMB 1M2M1 nM設(shè)設(shè)A、B是是曲曲線線弧弧上上的的兩兩個(gè)個(gè)端端點(diǎn)點(diǎn)，在在弧弧上上插插入入分分點(diǎn)點(diǎn)BMMMMMAnni ,110并依次連接相鄰分點(diǎn)得一