居于馬線性代數(shù)第六章答案

1、第六章二次型將以下 1-3 題的二次型表示成矩陣形式。1.22( , )467f x yxxyy解：2243( , )46737xf x yxxyyxyy2.222( , , )346f x y zxxyyyzz解：222320( , , )346213031xf x y zxxyyyzzxyzyz3.22212341341214232434(,)242264f x xxxxxxx xx xx xx xx x解：12123412343412012013(,)01121322xxf x x xxxxxxxx4. 設n元二次型12(,)nf x xx的矩陣為n階三對角對稱矩陣1111111111a

2、，試寫出二次型（二次齊次多項式）的表示式。解：22221211222311(,)222nnnnnf x xxxx xxx xxxxx。12(,)tnf x xxx ax對一切12(,)tnxx xx恒有12(,)0nf x xx，證明a為n階零矩陣。證明：取(0,1,0)tix( 其中第i個分量為1，其余分量全為零) ，那么有11()0,1,2,nntiiiijijiiijf xx axa x xain。再取(0,1,1,0)tijx( 其中第i和第j個分量為1，其余分量全為零) ，那么有()20,1,2,tijijijijf xxaxai jn。因此，a的2n個元素全為0，即a為n階零矩陣。

3、,a b均為n階對稱矩陣，且對一切x有ttx axx bx，那么ab。證明：由12(,)()tnf x xxxab x，對一切12(,)tnxx xx恒有( )0f x。利用上題結果得0ab。7. 設,ab cd，且它們都是n階實對稱矩陣，以下結論成立嗎？(1) )()acbd(； (2) aoboocod解： (1) 不成立；如1000,0111abcd，現(xiàn)在，ac與bd不合同。(2) 成立。由1122,ttc acb c ccd( 其中12,cc為可逆矩陣 ) ，得11112222tttccaoboc acoccocodoc cc，其中12cc仍然可逆，因此結論成立。8. 用正交變換xqy

4、，將以下二次型化為標準形，并求正交矩陣q：(1) 222123232334fxxxx x解：二次型對應的矩陣為200032023a200032(1)(2)(5)023eaa的三個特點值為1231,2,5。由()0ea x，求得對應11的特點向量為1011由(2)0ea x，求得對應22的特點向量為2100由(5)0ea x，求得對應35的特點向量為3011因123,是別離屬于三個不同特點值的特點向量，故正交。單位化，101121，2100，301121令1230101102211022q，有1125tqaqq aq。(2) 22221234121423342222fxxxxx xx xx xx

5、 x解：二次型對應的矩陣為1101111001111011a222110101(1) 1 (1)11100121(21)0111011110111011ea1,23,412,12由(12)0ea x，求得對應12的特點向量為121221,1001正交化，得1221202,12021再單位化，得12110112,122102pp由(12)0ea x，求得對應12的特點向量為341221,1001單位化，34121121,221001pp令1234111212021211100201qpppp，那么112121212tqaqq aq。4200021000005000004600061a，求正交矩陣

6、q，使得tq aq為對角矩陣。解：利用7(2) 分塊矩陣合同的結論，令102aaaa，其中1024246,(5),2161aaa。對14221a，存在可逆矩陣11221p，使得1111105p ap；對24661a，存在可逆矩陣22332p，使得1222258p a p。不同特點值對應的特點向量已經(jīng)正交，只需單位化。取121223551313,2132551313qq，令121255215511231313321313qqq，那么有05558tq aq。10. 用配方式將以下二次型化為標準形，并寫出所用的坐標變換：(1) 21122343xx xx x解：212311223(,)43f x x

7、xxx xx x221222322122232221223324332443249,2xxxx xxxxx xxxxxx令112223332,3,2,yxxyxxyx則11232233323,3,2,xyyyxyyxy如此，二次型212311223(,)43fx xxxx xx x化為標準形222123123(,)49fx xxyyy，所用的坐標變換為xcy，其中1233012001c。(2) 1213233x xx xx x解：因為二次型中沒有平方項，無法配方，因此先做一個坐標變換，使其顯現(xiàn)平方項。依照12x x，利用平方差公式，令11221233,xyyxyyxy則123121323221

8、21231232212132313232211322322213322322213233(,)3()3()3324()4()(2)3,f x xxx xx xx xyyyyyyyyyyy yy yy yy yyy yyy yyyyyy yyyyyy令11322333,2,zyyzyyzy則11322333,2,yzzyzzyz如此，二次型123121323(,)3f x xxx xx xx x化為標準形222123123(,)3f x xxzzz，所用的變換為1xc y和2yc z，即xcz，其中1110110001c，2101012001c，12113111001cc c。(3) 22212

9、3122331254484xxxx xx xx x解：222123123122331(,)254484f x xxxxxx xx xx x22211213232322222123232323232221232323222123223322212323322254822245482324423232223,33xx xx xxxx xxxxxxx xxxx xxxxxxx xxxxxx xxxxxxxx令112322333,2,3,yxxxyxxyx那么1123223331,32,3,xyyyxyyxy如此，二次型222123123122331(,)254484f x xxxxxx xx xx

10、x轉化為標準形2221231232(,)233f x xxyyy，所用的變換為xcy，其中11132013001c。11. 用初等變換法將以下二次型化為標準形，并求相應的坐標變換。(1) 122331x xx xx x解：1123122331123231102211(,),02211022xf x xxx xx xx xx xxxx，那么初等變換能夠?qū)懗? 21 21212121212111101222211110022221110102221001000101100010011011004100110211ai+- 31311001004001.1112101122001001c - 于是，

11、做坐標變換xcy，其中11121112001c，那么二次型123(,)f xxx化為標準形2221231231(,)4tf x xxyyyyy。(2) 2221231213232242xxxx xx xx x解：122212312312132312323112(,)2242,121211xf x xxxxxx xx xx xx xxxx，那么初等變換能夠?qū)懗?12131 2231 2112102121031211211100110010010001001100031013112010001ai - 13 231313 231000308003.51131013001c -于是，做坐標變換xcy

12、，其中51131013001c，那么二次型123(,)f xxx化為標準形2221231238(,)33tf x xxyyyyy。(3) 2222123412132434546448xxxxx xx xx xx x解：2222123123412132434(,)546448f x xxxxxxx xx xx xx x1212343413203502,20440241xxx xx xxx，那么初等變換能夠?qū)懗?1 331 23221 31320102035020462204426440241024110001300010001000010001000010001ai -+3 1 21221323

13、321322100004620604024113200100001000011000013103040141312021000200100001+ 234424210000101009701713510221500220010000110000100009700703531222151022200100001 -739797439100001000090490009.394122915130229700190001c +于是，做坐標變換xcy，其中394122915130229700190001c，那么二次型123(,)f x xx化為標準形22221234123449(,)99tf x x

14、xxyyyyyy。c為可逆矩陣， 且12(,)tnc acdiag d dd，問：對角矩陣的對角元是不是都是a的特點值？并說明理由。解：對角矩陣的對角元不必然都是a的特點值，當c為正交矩陣時，對角矩陣的對角元必然是a的特點值。13. 設n階實對稱矩陣a的秩為()r rn，試證明：(1) 存在可逆矩陣c， 使得12(,0,0)trc acdiag ddd， 其中0(1,2, )idir。(2) a可表示為r個秩為 1 的對稱矩陣之和。證明： (1) 實對稱矩陣a存在正交矩陣q，使得1tqaqq aq為對角矩陣12(,0,0)rdiag，其中0(1,2, )iir為a的非零特點值。(2) 由(1)

15、 的結論，有11112() ()traqqqq，其中(0,0)iidiag( 第i個元素為i，其余元素全為0，1,2,ir) ，那么11111112()()()tttraqqqqqq12rddd，其中11()(1,2, )ttiiidqqdir是秩為 1的實對稱矩陣， 因為()()1.iir dr14. 設n階實對稱冪等矩陣a(2aa) 的秩為r，試求：(1) 二次型tx ax的一個標準形；(2) 2det()niaaa. 解：(1) 由講義 p240例 4 可知，對n階實對稱冪等矩陣a，存在正交陣p(1tpp) ，使得(1,1,1,0,0)tp apdiag(1 是r重特點值， 0 是nr重

16、特點值 ) 。令xpy，那么221()tttrx axyp ap yyy為二次型tx ax的一個標準形。(2) 由2aa，得kaa(1,2,kn) ，于是，1kaap p，且211111det()det()()()()11(1) .11nriaaainappnppp inppinpppinnnnn階實對稱矩陣a的正負慣性指數(shù)都不為零，證明：存在非零向量12,x x和3x，使得11220,0ttx axx ax和330tx ax。證明：設a的正、負慣性指數(shù)別離為,p rp，那么存在可逆陣c，使得(1,1, 1,1,0,0)tc acdiag，其中 1 的個數(shù)為0p， (-1) 的個數(shù)為0rp。令

17、xcy，那么222211()tttpprx axyc ac yyyyy。取13(1,0,0) ,(0,0,1,0)ttyy( 第r個分量為1，其余分量全數(shù)為0) ，2(1,0,0,1,0,0)ty(第一和第r個分量為1，其余分量全數(shù)為0)，代入(1,2,3)iixcy i，那么得11332210,10,0tttx axx axx ax。16. 設a是奇數(shù)階實對稱矩陣，且det()0a。證明：存在非零的向量0 x，使000tx ax。證明：假設矩陣a的全數(shù) ( 奇數(shù)個 ) 特點值都小于或等于零，那么a的行列式 ( 等于所有特點值的乘積 )也小于或等于零，這與已知的det()0a矛盾。 因此存在特

18、點值( 不妨設 )10。由于a是實對稱矩陣，存在正交陣q，當xqy時，有2211()tttnnx axyq aq yyy。取0(1,0,0)ty，代入000 xqy，那么0010tx ax。或 設特點值10所對應的特點向量為00(0)xx，即010axx，那么000101000tttx axxxx x。17. 把 11 題中的二次型化為標準形，并求變換矩陣c。解： (1) 令112233,1,2,zyzyzy即112233,2,yzyzyz故121yzpz。又由于xcy，因此做坐標變換xcycpzqz，其中11121111111211121001001qcp，二次型123(,)f x xx化為

19、標準形為222123123(,)f x xxzzz。(2) 令112233,3,8,3zyzyzy即112233,1,33,8yzyzyz故11338yzpz。又由于xcy，因此做坐標變換xcycpzqz，其中35 6511113123113601033123001630048qcp，二次型123(,)f x xx化為標準形為222123123(,)f x xxzzz。(3) 令11223344,3,7,3zyzyzyzy即11223344,1,33,7yzyzyzyz故111337yzpz。又由于xcy，因此做坐標變換xcycpzqz，其中33439411122212291521151300

20、267122911370000133393700010007qcp，二次型1234(,)f x xxx化為標準形為222212341234(,)f xxxxzzzz。18. 對 9 題中的矩陣a，求可逆矩陣c，使tc ac成為標準形。解：在第9 題中求出正交矩陣125521551231313321313q，使得05558tq aq。故11055151515512 22 2tq aq，因此，取可逆矩陣115151512 21215512155511523113135321131322125521551,523652263115665cq使01111tc ac。19. 證明節(jié)末尾的結論(i)。證明

21、：即要證“兩個實對稱矩陣,a b合同的充要條件是,a b有相同的正慣性指數(shù)和相同的負慣性指數(shù)” ，第一證必要性。由慣性定理知，對于實對稱矩陣,a b別離存在可逆矩陣,c d，使得1100pptrdddc acd，1100pptreeed bde，其中0,0(1, )iideir。由于ab，故存在可逆矩陣p，使得tp apb，因此11()00ppttttreeed bdd p apdpdapde。因此，存在可逆矩陣c和pd，將a化為對角陣，由慣性定理知pq，故,a b有相同的正慣性指數(shù)和相同的負慣性指數(shù)。充分性：,a b有相同的正慣性指數(shù)和相同的負慣性指數(shù)，假設別離為p和q，故(1,1, 1,

22、1,0,0)adiag，其中1有p個，1有q個，(1,1, 1, 1,0,0)bdiag，其中1有p個，1有q個，由傳遞性知ab。20. 證明節(jié)末尾的結論(ii)。證明：即要證“全部n階實對稱矩陣，按其合同標準形( 不考慮1, 1,0的排列順序 ) 分類，共有(1)(2)2nn類” 。不考慮1, 1,0的排列順序，只考慮其個數(shù)，1和1的個數(shù)不同其合同標準形就不同。假設其中有(0,1, )k kn個1，那么1的個數(shù)能夠為0,1,nk，共有1nk種，故按其合同標準形( 不考慮1, 1,0的排列順序 ) 分類，共有0(1)(2)(1)2nknnnk類。21. 判定以下矩陣是不是是正定矩陣：(1) 2

23、10121012； (2) 211121112； (3) 111122123. 解： (1) 令210121012a，那么a的k階順序余子式ka為1232102120;30;1214012012aaa，依照定理可知a為正定矩陣。(2) 令211121112a，那么a的k階順序余子式ka為1232112120;30;121012112aaa，依照定理可知a不是正定矩陣。(3) 令111122123a，那么a的k階順序余子式ka為1231111110;10;1221012123aaa，依照定理可知a為正定矩陣。22. 判定以下二次型是不是是正定二次型：(1) 2221231213233202210

24、 xxxx xx xx x；(2) 222123122334544xxxx xx x；(3) 22221234122334234248xxxxx xx xx x. 解： (1) 設此二次型對應的矩陣為1111351520a，那么a的k階順序余子式ka為1231111110;20aa，依照定理可知此二次型為正定二次型。(2) 設此二次型對應的矩陣為320242025a，那么a的k階順序余子式ka為1233203230;80;24228024025aaa，依照定理可知此二次型為正定二次型。(3) 設此二次型對應的矩陣為1100122002340044a，那么a的k階順序余

25、子式ka為1231101110;10;1221012023aaa，依照定理可知此二次型不是正定二次型。211niijiijnxx x為標準形， 并說明它是不是正定。在3n的情形下求正交變換的矩陣q。解：二次型對應的矩陣為111221112211122a，由111111222211111112222111111222nia1111221001110,22221002nnn得：1211,22n(1n重) 。由此可得a正定。由于a的每行行和均為12n， 由1()0ia x(其中(1,1)tx) 得112n對應的特點向量為1(1,1)tx。當212(1n重根 ) 時，由2()0ia x的同解方程組12

26、0nxxx，得2對應的1n個線性無關的特點向量：23(1, 1,0,0) ,(1,1, 2,0,0) ,(1,1,)tttnxxxn。1,nxx已經(jīng)為正交向量組，只須單位化。令1(1,2, ),(,)iinixin qx，則q為正交陣，且111(1),)222tq aqdiagn為所求的標準形。24. 對上題中3n時的二次型矩陣a，求正定矩陣b，使得2ab. 解：當3n時，取11132611132612036q，那么121212qaq。因此111222111222111222aqqqqqq。令正定矩陣121212bqq，那么2ba。t，使得二次型正定：(1) 2221231213235422x

27、xtxx xx xx x；(2) 22212312132322xxxtx xx x. 解： (1) 設此二次型所對應的矩陣為52121111at，假設要使二次型為正定二次型，則要求a的k階順序余子式ka均大于零，即1235215250;10;211202111aaatt，由此可得2t。(2) 設此二次型所對應的矩陣為2110103tat，假設要使二次型為正定二次型，那么要求a的k階順序余子式ka均大于零，即2212321220;20;105301103ttaatattt，由此可得5533t。26. 用矩陣的特點值和特點向量的概念及正定二次型的概念，證明正定矩陣的特點值大于零。證明：設tx ax

28、為正定二次型，那么依照正定二次型的概念，關于任意的非零向量x，恒有0tx ax。設x為矩陣a的對應于的特點向量，那么axx，于是，00ttx axx x，因此正定矩陣的特點值大于零。27. 若p是可逆矩陣，用概念證明：tp p是正定矩陣。證明：0 x，因為p可逆，因此，0ypx，且()()0ttttxp p xpxpxy y，因此，矩陣tp p正定。a是正定矩陣，c是實可逆矩陣，證明：tc ac是實對稱矩陣，而且也是正定矩陣。證明：由于()()tttttttc acc acc ac，因此tc ac是實對稱矩陣。由于1111()()tttcc ac cccacca，即存在可逆矩陣1c，使得11(

29、)ttcc ac ca，依照合同的概念知tc ac與a合同，故tc ac與a具有相同的正慣性指數(shù)。由于a是正定矩陣，因此a的正慣性指數(shù)為n，因此tc ac的正慣性指數(shù)也為n，由此可得tc ac為正定矩陣。a是正定矩陣，證明a的伴隨矩陣*a也是正定矩陣。證明：由于a是正定矩陣，因此a的n特點值,1,2,iin均大于零，且0a，而*a的特點值為,1,2,iain，故*a的n特點值均大于零，因此*a也是正定矩陣。,a b均是n階正定矩陣，,k l都是正數(shù)，用概念證明kalb也是正定矩陣。證明：由于,a b均是n階正定矩陣， 因此關于任意的0 x，0,0ttx axx bx。 由于,k l都是正數(shù)，因

30、此()0,()0()0tttxka xxlb xxkalb x，因此，kalb也是正定矩陣。a是實對稱矩陣，證明：當t充分大時，ati是正定矩陣。證明：設a是實對稱矩陣，,1,2,iin是a的n個特點值，那么ati的n個特點值是,1,2,it in，如此， 當max,1,2,itin時，,1,2,it in均大于零，故ati是正定矩陣。n階實對稱矩陣a的特點值為12,n，問：t知足什么條件時，ati為正定矩陣。解：a的n個特點值為12,n，因此ati的n個特點值為12,nttt，那么當12min,nt時，12,nttt均大于零， 現(xiàn)在ati為正定矩陣。41. 證明：因為b正定，因此，存在可逆陣

31、1c，使得11tc bci. 因為1111tttc acc ac，因此，11tc ac為實對稱陣。于是，存在正交陣2c( 注意22tc ci) ，使得211212(,)ttncc ac cdiag, 其中12,n為11tc ac的特點值。令12cc c，那么211212211222(,),tttnttttc accc accdiagc bcc c bc cc ici于是，tc ac和tc bc都成對角形。,a b皆為正定矩陣，且abba，證明ab是正定矩陣。證明：顯然ab是對稱陣。下面證明ab是正定陣由于 a正定，故對稱，因此存在正交陣c，使得1tc acb正定，依照28 題可知tc bc也是

32、正定陣，故存在正交陣d，使得2ttd c bcd，即2tcdb cd (1) 對1tc ac兩邊同時左乘td，右乘 d，可得1tttd c acddd，即1ttcda cddd (2) (1)(2)兩式相乘即得1212tttttcda cdcdb cdddcdab cddd由于1tdd為正定陣，故能夠有歸納法得出12tdd的順序主子式均大于零，由此即可取得 ab是正定陣。()ijn naa是n階正定矩陣，證明：1122nnaa aa。證明：將a分塊為1ntnnaaa，其中121,(,)tnnnnaaa。因為a正定，a的k階順序主子式0(1,2, )kakn，因此， 矩陣1na正定 (11na也

33、正定 ) ，且1na可逆。對分塊矩陣做初等行變換，將矩陣a化為上三角塊陣，即1111111010nnntttnnnnnniaaaaaa。上式兩邊取行列式(上三角塊矩陣的行列式等于對角塊的行列式的乘積) ，得111tnnnnaaaa。因為11na也正定，當0時，有11110,ttnnnnnnaaaa，因此1nnnaaa。同理，在1na中，有11,12nnnnaaa，以此類推，得11,121,1221nnnnnnnnnnnnaaaa aaa aaa，其中11aa，因此1122nnaa aa。()ijbb是n階實可逆矩陣，證明：2222121()niiniibbbb。證明：作()ttijttb bb

34、 ib，由于b可逆，故由合同的概念可知bi，因此b為正定矩陣，且21niikiktb，2ttb bb。又由 44 題結論可得1niiitt，即22221211()nniiiiniiibtbbb。22212312323(,)2332f x xxxxxax x通 過 正 交 變 換xqy可 化 為 標 準 形22212325fyyy，試求參數(shù)a及正交矩陣q。解： 設二次型對應的矩陣為2000303aaa， 依照題設條件可得100020005a，10a，故2200032(9)10203aaaaa。當2a時，200032023a，200032(1)(2)(5)023eaa的三個特點值為1231,2,5

35、。由()0ea x，求得對應11的特點向量為1011由(2)0ea x，求得對應22的特點向量為2100由(5)0ea x，求得對應35的特點向量為3011因123,是別離屬于三個不同特點值的特點向量，故正交。單位化，101121，2100，301121令1230101102211022q，有1125tqaqq aq。當2a時，200032023a，200032(1)(2)(5)023eaa的三個特點值為1231,2,5。由()0ea x，求得對應11的特點向量為1011由(2)0ea x，求得對應22的特點向量為2100由(5)0ea x，求得對應35的特點向量為3011因123,是別離屬于三個不同特點值的特點向量，故正交。單位化，101121，2100，301121令1230101102211022q，有1125tqaqq aq。222123123121323(,)55266f x xxxxcxx xx xx x的秩為 2. (1) 求c； (2) 方程123(,)1f x xx表示何種二次曲面。解：設二次型所對應的矩陣為51315333ac，那么( )2r a，