一階微分方程解法

1、110.2 一階微分方程一階微分方程 一階微分方程的一般形式為 一階方程的初值問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為 00( , , ) 0 xxF x y yyy 根據(jù)方程本身的特點(diǎn)，一階方程又可分為：( , , ) 0F x y y 一階微分方程是最簡(jiǎn)單的方程. 求解的方法主要是采用初等解法, 即把微分方程的求解問(wèn)題化為積分問(wèn)題.2一一. 變量可分離的方程變量可分離的方程 形如 f(y)dy = g(x)dx 的一階方程方程, 稱(chēng)為變量已分離的方程.形如 y= f(x)g(y) 的一階方程方程, 稱(chēng)為變量可分離的方程. 設(shè) g(y) 0, 則方程 可寫(xiě)成變量已分離的方程 ( )( )dyf x dxg y 若函

2、數(shù)f與g連續(xù)，則兩邊分別對(duì) x 與 y 積分, 得 ( )( )dyf x dxcg y就為變量可分離方程的通解. 其中c為任意常數(shù). 3例例2 2 求方程 y= 2xy 的通解.12dyxdxy 解解 分離變量, 得兩邊積分，得于是原方程的通解為2lnlnyxc 2xyce 例例3 3 求方程cos sincos sinxydyyxdx 的特解.滿(mǎn)足初始條件 解解 分離變量, 得 sinsincoscosyxdydxyx 兩邊積分，得lncoslncoslnyxc 于是原方程的通解為coscosycx 04xy 4又將初始條件 故滿(mǎn)足初始條件的特解為04xy 代入通解中, 得 22c 22c

3、oscosyx 例例4 已知需求價(jià)格彈性為 = - -1/Q2, 且當(dāng) Q = 0 時(shí), p = 100 . 試求價(jià)格p與需求Q的函數(shù)關(guān)系 p = f(Q).解解 由需求價(jià)格彈性的定義, 有 21p dQQ dpQ這是變量可分離的方程,移項(xiàng)化簡(jiǎn)，得兩邊積分,得1Q dQdpp 211lnln2Qpc 5即2121Qpc e 又將初始條件Q = 0 時(shí), p = 100代入上式, 得 c 1=100 故需求函數(shù)為212100Qpe 二二. 可化為變量可分離的方程可化為變量可分離的方程1. 齊次方程的一階方程，稱(chēng)為齊次微分方程, 簡(jiǎn)稱(chēng)形如( )yyfx 齊次方程.引入新的變換就可將齊次方程化為變量

4、可分離的方程. ,yuyuxx 即6( )duxuf udx 所以1( )dudxf uux 分離變量, 得 若 u- - f(u)0, 兩端積分, 得 1ln( )dudxcf uux ( )duf uuxce 于是, 得 將變量還原, 便可得原方程的通解.例例5 5 求方程2dyyydxxx 的通解. dyduxudxdx因?yàn)榻饨?令,yuyuxx 即代入原方程, 得 則得dyduxudxdx2duxudx7分離變量, 得 2dudxxu 兩端積分, 得 ln2dudxcxulnuxc于是yux 將代入上式, 并化簡(jiǎn)得方程的通解為2(ln)yxxc 例例6 求方程的通解.(lnln)dyx

5、yyxdx 解解 將方程恒等變形 lndyyydxxx 為 ,yuyuxx 令即則得dyduxudxdx8 lnduxuuudx代入原方程, 得 (ln1)dudxuux 分離變量, 得 兩端積分, 得 ln(ln1)lnlnuxc ln1ucx 即 1cxyxe yux 將代入上式, 并化簡(jiǎn)得方程的通解為9三三. 一階線(xiàn)性微分方程一階線(xiàn)性微分方程 形如 y+ p(x)y = q(x)的方程，稱(chēng)為一階線(xiàn)性微分方程.若 q(x) = 0 , 則稱(chēng)方程 y+ p(x)y = 0 為一階齊次線(xiàn)性微分方程若 q(x) 0 , 則稱(chēng)方程 y+ p(x)y = q(x)為一階非齊次線(xiàn)性微分方程.1.一階齊

6、次線(xiàn)性微分方程的通解 方程 y+ p(x)y = 0 是變量可分離的方程, 其通解為 ( )p x dxyce 其中c為任意常數(shù). 102.一階非齊次線(xiàn)性微分方程的通解的解, 但其中的 c 為 x 的待定函數(shù). 將 y與y代入方程 y+ p(x)y = q(x), 并整理, 得一階非齊次線(xiàn)性微分方程 y+ p(x)y = q(x)是齊次方程的一般情況. 我們可以設(shè)想非齊次線(xiàn)性微分方程有形如( )( )p x dxyc x e ( )( )( )( )( )p x dxp x dxycx ec x ep x因 ( )( )( )p x dxcxq x e 兩端積分, 得( )( )( )p x

7、dxc xq x edxc 11于是, 一階非齊次線(xiàn)性微分方程的通解為 ( )( )( )p x dxp x dxyeq x edxc 注注1 1 此公式是求非齊次線(xiàn)性微分方程的通解公式. 它是由齊次線(xiàn)性方程的通解與非齊次線(xiàn)性方程的一個(gè)特解相加而成的. 這也是線(xiàn)性微分方程解的一個(gè)性質(zhì)解的一個(gè)性質(zhì). 注注2 2 把齊次線(xiàn)性方程通解中的任意常數(shù) c 變易為待定函數(shù)c(x), 使其滿(mǎn)足非齊次線(xiàn)性方程而求出的 c(x), 從而得到非齊次線(xiàn)性方程通解的方法稱(chēng)為 “常數(shù)變易常數(shù)變易法法”. 是求解線(xiàn)性微分方程的一種常用的重要方法.12例例7 7 求方程3(1)2(1)xdyxyexdx 解解 將方程改寫(xiě)為

8、 的通解. 22(1)1xdyyexdxx 先求齊方程的通解 201dyydxx 分離變量, 得 21dydxyx 兩端積分并整理, 得齊方程的通解 2(1)yc x用常數(shù)變易法求非齊次線(xiàn)性方程的通解 2( )(1)yc xx令2( )(1)( )2(1)ycxxc xx兩端求導(dǎo), 得 13( )xc xec故原方程的通解為 y = (ex + c) (x+1)2 將 y與y代入方程, 并整理, 得( )xcxe 兩端積分, 得 例例8 8 求方程 (sin2y + xcoty) dy = dx 的通解及滿(mǎn)足初始條件 y|x=1 = / 2 的特解. 解解 將方程改寫(xiě)為 2cotsindxxy

9、ydy 所以由非齊次線(xiàn)性方程的通解公式, 得( )( )( )p y dyp y dyxeq y edyc 2cotcot sinydyydyeyedyc 14 2lnsinlnsin sinyyey edyc 21sin sinsinyydycy sin cosyyc將初始條件 x = 1, y = /2 代入上式, 得 c = 1故滿(mǎn)足初始條件的特解為 x = siny(1- -cosy)153.貝努里方程 (n0,1)的方程稱(chēng)為貝努里方程. ( )( )ndyp x yq x ydx 這種方程，雖然不是線(xiàn)性的，但是采用變量變換的方法，就可將其化為一階線(xiàn)性方程. 事實(shí)上, 在方程的兩端同除

10、以 , 得 ny 形如 1( )( )nndyyp x yq xdx利用微分的性質(zhì) , 方程也可寫(xiě)成 111( )( )1nndyp x yq xndx 1nzy 令 , 將方程化為線(xiàn)性方程16(1) ( )( )dzn p x zq xdx 求出此方程的通解，并將變量代回 ，便可得到貝努里方程的通解. 1 nzy例例9 9 求方程 y= xy + x3y2 的通解. 解解 將方程改寫(xiě)為 32dyxyx ydx 12,dzzyyzdx 令即 3,dzxzxdx 代入方程得所以由非齊次線(xiàn)性方程的通解公式, 得173xdxxdxzex edx 22322xxex edxc 2222xcex22222(2)xxeexc 1,zy 將代入上式得原方程的通解為22212xycex 18* *例例1010 設(shè)可微函數(shù) f(x) 滿(mǎn)足 322( )( )1( )xf xdxf xx fxx 解解 為了求 f(x) 在等式兩端同時(shí)求導(dǎo), 得 32( )( )( )f xfxx fxx 求 f(x).這是關(guān)于未知函數(shù) f(x)的一階方程，且 f(2)=1 令 y = f(x) ，得 3dxxyxdyy 23,nzx 這是的貝努里方程令代入上式得22dzzydyy 所以