《定積分的應(yīng)用》ppt課件

1、4 4 定積分的運(yùn)用定積分的運(yùn)用一一. .微元法微元法二二. .幾何運(yùn)用幾何運(yùn)用 The Application of Definite Integralsl 用定積分處理實(shí)踐問題，應(yīng)先明確l 兩個(gè)問題：第一，定積分能處理哪類問題？第一，定積分能處理哪類問題？(共性共性)第二，用定積分處理這類問題方法的關(guān)第二，用定積分處理這類問題方法的關(guān)鍵是什么？鍵是什么？一、微元法一、微元法第一個(gè)問題：用定積分所處理問題的共性：第一個(gè)問題：用定積分所處理問題的共性： to integrate.2. 這個(gè)在這個(gè)在a,b上分布的整體量等于其一切上分布的整體量等于其一切1. 都是求在都是求在a,b非均勻分布的一個(gè)

2、整體量，非均勻分布的一個(gè)整體量， 如：面積、體積、曲線弧長(zhǎng)；作功、引如：面積、體積、曲線弧長(zhǎng)；作功、引 力、總本錢、總利潤(rùn)等等；力、總本錢、總利潤(rùn)等等；子區(qū)間部分量的總和子區(qū)間部分量的總和(可和可和)，詳細(xì)地講：，詳細(xì)地講：)()()(aFbFdxxfba )(1,1xFnkxxkk )()()(kkkxoxxFxF 因因)()(xFddxxf babaxdFdxxf)()(亦即亦即)(1xFnkk 記作記作設(shè)設(shè)F(x)可微可微第二個(gè)問題：用定積分處理問題的關(guān)鍵第二個(gè)問題：用定積分處理問題的關(guān)鍵 在找出整體量的微元：在找出整體量的微元：).(xFd微元法處理問題的步驟微元法處理問題的步驟1.

3、寫出實(shí)踐問題整體改動(dòng)量的微元表達(dá)式：寫出實(shí)踐問題整體改動(dòng)量的微元表達(dá)式：)()()()(xFxfdxxfxFd 通通常常2. 用定積分求出整體改動(dòng)量：用定積分求出整體改動(dòng)量：.)()()()( babadxxfxdFaFbF二、定積分的幾何運(yùn)用二、定積分的幾何運(yùn)用1. 1. 平面圖形的面積平面圖形的面積AreaAreal用微元法求面積用微元法求面積 dxxgxfAd)()( baAdA badxxgxf)()(例例 1 求由求由和和xy21 xy 82所圍圖形的所圍圖形的面積面積.(如圖如圖)思索思索:求面積前需求做那些預(yù)備任務(wù)求面積前需求做那些預(yù)備任務(wù)?841dA2dA解解 從圖中可以明顯看

4、出所求面積分為兩部從圖中可以明顯看出所求面積分為兩部,21RR 和和兩塊面積的微元分別為：兩塊面積的微元分別為：分分: dxxgxfdA)()(1 dxxgxfdA)()(2 dxxx)8(21 dxxx)8(8 8482dxx84232)8(3241 xx 3128163164dxxxA82148 4823)8(322x 8034 36 l 用微元法求面積 dyygyfAd)()( dcAdA dcdyygyf)()(dA求面積前需求做的預(yù)備任務(wù)有求面積前需求做的預(yù)備任務(wù)有:(1) 最好能作出草圖最好能作出草圖,弄清邊境曲線的方程弄清邊境曲線的方程; (2) 根據(jù)所選方法確定積分變量及總量微

5、元根據(jù)所選方法確定積分變量及總量微元;(3) 確定積分區(qū)間確定積分區(qū)間,為此常需求求出邊境曲線為此常需求求出邊境曲線 交點(diǎn)的坐標(biāo)交點(diǎn)的坐標(biāo). (如圖如圖) 例例 2 再求由再求由和和xy21 xy 82所圍圖形的所圍圖形的面積面積.(如圖如圖)42)0, 8( 解解 dxygyfdA)()( dyyyA28242 4223318 yyy 163643243816dyyy2)8(2 36 那種方法好那種方法好？-1-0.50.51-1-0.50.51ydx tytx33sincos例例3 求星形線所圍面積，求星形線所圍面積， 它的參數(shù)方程為：它的參數(shù)方程為：)20(sincos33 ttytx)

6、1(3232 yx直角坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方程解解 由對(duì)稱性只需求出由對(duì)稱性只需求出(1/4 )面積即可。面積即可。ydxdA )cos(sin33tdt 104ydxA 0233cossin4 tdt 0223)sin(cos3sin4 tdttt 2024)sin1 (sin12 tdtt2246135241312 83 例例4 用微元法推導(dǎo)由極坐標(biāo)給出的曲線用微元法推導(dǎo)由極坐標(biāo)給出的曲線C：)()( rr)0(),cos1( aar 線線l用微元法先推導(dǎo)用微元法先推導(dǎo)l 極坐標(biāo)系下求面積極坐標(biāo)系下求面積l 的表達(dá)式的表達(dá)式or d )( rdA)( rr d所圍的面積所圍的面積,并求心臟并求

7、心臟所圍圖形的面積所圍圖形的面積.)()(21半半徑徑弧弧長(zhǎng)長(zhǎng) dA)()(21 rdr drdAA)(212 解解 心臟線的對(duì)稱心臟線的對(duì)稱 性是明顯的，因性是明顯的，因 此此1234-2-112)cos1(2 y drA)(21202 da 022)cos1( da 0222)2cos2(tdta 2/042cos24 2/ t令令2223224138aa 例例5 求雙紐線：求雙紐線： 2sin42 所圍封鎖所圍封鎖圖形的面積。圖形的面積。解解(當(dāng)他不會(huì)作封鎖曲線的圖形時(shí)，如何經(jīng)過當(dāng)他不會(huì)作封鎖曲線的圖形時(shí)，如何經(jīng)過 分析求出面積？分析求出面積？) drdAA)(212 分析分析 運(yùn)用公式：運(yùn)用公式： 解這個(gè)問題的難點(diǎn)在確定積分限。解這個(gè)問題的難點(diǎn)在確定積分限。, 02sin42 ,2 X對(duì)對(duì)于于,又又是是周周期期函函數(shù)數(shù)留意到留意到 每?jī)蓚€(gè)零點(diǎn)曲線封鎖一次每?jī)蓚€(gè)零點(diǎn)曲線封鎖一次. 變化過程中，變化過程中，或或 32220 ，或或 2320 由于周期性的變化由于周期性的變化,他會(huì)發(fā)現(xiàn)封鎖圖形將重他會(huì)發(fā)現(xiàn)封鎖圖形將重對(duì)對(duì)稱稱，因因?yàn)闉榧醇从钟株P(guān)關(guān)于于)4( xy復(fù)出如今第一、三象限復(fù)出如今第一、三象限,且圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)且圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，稱，故有故有進(jìn)而得進(jìn)而得面面積積，就就得得到到上上積積分分至至因因此此只只要要在在41,40 dA240214 全全面面積積 402si