全等三角形拓展題尖子生專用

1、全等三角形綜合應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)：1、全等三角形的判定方法：2、角平分線的性質(zhì)與判定：例題講解2016 武漢江漢區(qū)壓軸題（本題12 分）abc是等腰三角形，abac，ad是abc的中線，以ac為邊作等邊ace，be分別與直線ad、ac交于點(diǎn)f、g，連接cf(1) 如圖 1，若abc、ace位于ac異側(cè)，求efc的度數(shù) 試判斷線段ef、df、af之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由(2) 若abc、ace位于ac同側(cè)，試完成備用圖，并直接寫(xiě)出線段ef、df、af之間的數(shù)量關(guān)系解： (1) abae，設(shè)abeaebabac，ad是abc的中線設(shè)badcad又 22 60 180，60afedfc60efc180 6

2、0 60 60 過(guò)點(diǎn)c作chbe于haebaec60，abebad60badhec可證：abdehc（aas）head易證：cfhcfd（aas）fhdfeffhafdf即efaf2df (3) 作圖、證明的過(guò)程一樣afef2df2016 武珞路中學(xué)（本題10 分）已知等邊三角形abc，m為ab上的一點(diǎn)，以cm為邊作等邊cmn，連接bn(1) 求證：ambn(2) 作mhbc于h，連接ah若ahmn，am1，求ch的長(zhǎng)證明 ：(1) acmbcn（sas） (2) 由(1) 知：acmbcncbnmac60mbn60 60 120過(guò)點(diǎn)m作mdbc交ac于damd為等邊三角形amadbn，adm

3、60bmcd，mdc120在bmn和dcm中bmndcm（sas）bmndcmahmnbmnbahdcm在bah和acm中bahacm（asa）bham1bmhcmhbc，mbh60bm2bh2ch22016 武珞路中學(xué)（本題10 分）如圖1，已知等腰abc中，abac，ad為bc邊上的中線，以ab為邊向外作等邊abe，直線ce與直線ad交于點(diǎn)f(1) 若af10，df3，試求ef的長(zhǎng)(2) 若以ab為邊向內(nèi)作等邊abe，其它條件均不改變，請(qǐng)用尺規(guī)作圖補(bǔ)全圖2（保留作圖痕跡），找出ef、af、df三者的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論解：(1) 設(shè)badcad，aecace在ace中， 2602180

4、，60連接bfbfdcfd60bfcf2df6在ec上截取egcf，連接agaegacf（sas）eagcaf，agafgaf60afg為等邊三角形efeggfaffc106 16 (2) 尺規(guī)作圖：先作ab的垂直平分線，再利用半徑得到等邊設(shè)badcad，aceaeccae180 2bae2180260，60badbef在af上截取agef，連接bg可知：abgebf（sas）agef，bgbfbfg為等邊三角形afaggfbfef2dfef武漢二中廣雅中學(xué)2016（本題12 分）在abc中，abac，bac（ 060），以線段bc為邊在abc內(nèi)作等邊dbc(1) 如圖 1，abd_（用含的式

5、子表示）(2) 如圖 2，bce150，abe60，判斷abe的形狀并加以證明(3) 在(2) 的條件下，連接de，若dec45，求的值例 1、（1）在 abc 中， b=c，與abc全等的三角形有一個(gè)角是130，那么abc中與這個(gè)角對(duì)應(yīng)的角是（）a、a b 、b c、c d 、b或c（2）如圖 1，亮亮?xí)系娜切伪荒E污染了一部分，很快他根據(jù)所學(xué)知識(shí)，畫(huà)出了一個(gè)與書(shū)上完全一樣的三角形，那么這兩個(gè)三角形完全一樣的依據(jù)是（）a、sss b 、sas c 、aas d 、asa（3）如圖 2，ad平分 bac ，bf ad于 d，交 ac于 f，de ac ，bad=30 ，則 bde=_例 2

6、、如圖 3，om 平分 aob ，ao=ob，ad與 bc相交于 m 。求證： ac=bd例 3、如圖 4，在 abc中， b=c ，d、e、f分別在 ab 、bc 、ac上，且 bd=ce ，def= b。求證：ed=ef例 4、如圖 5，abc 中，ab=ac ，點(diǎn) d、e、f 分別在 bc 、ab 、ac上，且 bd=cf ，be=cd ，g是 ef的中點(diǎn)。求證：dg ef 例 5、如圖 6，abc=90 ，ab=bc ，d為 ac上一點(diǎn)，分別過(guò) c、a作 bd的垂線，垂足分別為 e、f求證：ef=ce-af 例 6、 如圖 7， p為aob 平分線上一點(diǎn)， pc oa于 c， oap+

7、 obp=180 ，若 oc=4cm 。求 oa+ob 的值。例 7、如圖 8，ad bc ，1=2，3=4，點(diǎn) e在線段 dc上。求證：ad+bc=ab例 8、如圖 9，1=2，p為 bn上一點(diǎn)，且 pd bc于 d，ab+bc=2bd。求證： bpa+ bcp=180 鞏固：1、如圖，點(diǎn) p為aef外一點(diǎn)， pa平分 eaf ，pd ef于 d，de=df ，pb ae于 b。求證：af-ab=be2、如圖，在四邊形abcd 中，ab=ad ，ca平分 bcd ，ae bc于 e，af cd交 cd延長(zhǎng)線于 f求證：be=df 3、如圖， ca=cb ，cd=ce ，acb= dce= ，

8、ad 、be交于點(diǎn) h ，連 ch 。（1）求證： acd bce ；（2）求證： ch平分 ahe ；（3）求 che的度數(shù)（用含 的式子表示）4、如圖（1），在abc中，bac=90 ，ab=ac ，ae是過(guò)點(diǎn) a的一條直線，且點(diǎn)b、c在 ae的異側(cè)， bd ae于 d，ce ae于 e（1）試說(shuō)明： bd=de+ce（2）若直線 ae繞 a點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（ 2）位置時(shí)（ bd ce ），其余條件不變，問(wèn)bd與de 、ce的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果；（3）若直線 ae繞 a點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（ 3）位置時(shí)（ bd ce ），其余條件不變，問(wèn)bd與de 、ce的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果，不需說(shuō)明理由5、

9、如圖，在 abc和ade 中，ab=ac ，ad=ae ，bac= dae=90 （1）當(dāng)點(diǎn) d在 ac上時(shí)，如圖 1，線段 bd 、ce有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？直接寫(xiě)出你猜想的結(jié)論；（2）將圖 1 中的 ade繞點(diǎn) a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（ 0 90），如圖 2，線段 bd 、ce有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由6、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， 點(diǎn) b的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn) a為 y 軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò) b點(diǎn)作bc ab交 x 軸的正半軸于點(diǎn) c。（1）求證： ba=bc ；（2）當(dāng)點(diǎn) a運(yùn)動(dòng)時(shí)， oa+oc 的值是否發(fā)生變化，若不變，求其值；若發(fā)生變化，求變化范圍7、已知四邊形 abcd

10、 中，ab=bc ，abc=120 ，mbn=60 ，mbn 繞 b點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 ad ，dc （或它們的延長(zhǎng)線）于e，f（1）當(dāng) mbn 繞 b點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 ae=cf 時(shí)（如圖 1），求證 ae+cf=ef ；（2）當(dāng)mbn 繞 b點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 ae cf時(shí)，在圖 2 和圖 3 這兩種情況下， 上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段ae ，cf ，ef又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并證明8、已知：如圖，abc 中，abc=45 ，cd ab于 d，be平分 abc ，且 be ac于 e，與 cd相交于點(diǎn) f，h是 bc邊的中點(diǎn)，連接 dh與 be相交于點(diǎn) g （1）

11、求證： bf=ac ；（2）求證： ce=21bf ；（3）若把題目中“ be平分 abc ”改為“ be平分線段 dc ”，其他條件不變，連接hf 求證： hf=ad 9、直線 cd經(jīng)過(guò) bca的頂點(diǎn) c，ca=cb e、f 分別是直線 cd上兩點(diǎn)，且 bec= cfa=（1）若直線 cd經(jīng)過(guò) bca的內(nèi)部，且 e、f 在射線 cd上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問(wèn)題：如圖 1，若 bca=90 ， =90，則 ef_ |be-af| （填“”，“”或“=”號(hào)）；如圖 2，若 0 bca 180，若使中的結(jié)論仍然成立，則與bca應(yīng)滿足的關(guān)系是 _ ；（2）如圖 3，若直線 cd經(jīng)過(guò) bca 的外部， =b

12、ca ，請(qǐng)?zhí)骄?ef、與 be 、af三條線段的數(shù)量關(guān)系，并給予證明第十一講：全等三角形綜合二知識(shí)點(diǎn)：1、全等三角形的判定及性質(zhì)：2、角平分線的性質(zhì)與判定：3、常用輔助線：例題講解例 1、如圖，在 rtabc 中，acb=90 ，cd ab于 d ，ae平分 bac ，交 cd于 k，交bc于 e，f 是 be上一點(diǎn)，且 bf=ce ，求證：fkab 例 2、如圖 1，abc中， bac=90 ，ba=ac ，（1）d為 ac的中點(diǎn)，連 bd ，過(guò) a點(diǎn)作 ae bd于 e點(diǎn)，交 bc于 f點(diǎn)，連 df ，求證：adb= cdf （2）若 d，m為 ac上的三等分點(diǎn)，如圖2，連 bd ，過(guò) a

13、作 ae bd于點(diǎn) e，交 bc于點(diǎn)f，連 mf ，判斷adb與cmf 的大小關(guān)系并證明例 3、如圖，在 abc 中， c=90 ，m為 ab的中點(diǎn)， dm ab ，cd平分acb ，求證：md=am例 4、在 abc 中， acb為銳角，動(dòng)點(diǎn) d（異于點(diǎn) b）在射線 bc上，連接 ad ，以 ad為邊在 ad的右側(cè)作正方形adef ，連接 cf （1）若 ab=ac ，bac=90 那么如圖一， 當(dāng)點(diǎn) d在線段 bc上時(shí)， 線段 cf與 bd之間的位置、大小關(guān)系是 _ （直接寫(xiě)出結(jié)論）如圖二，當(dāng)點(diǎn) d在線段 bc的延長(zhǎng)上時(shí)，中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由（2）若 ab ac ，bac 90

14、點(diǎn) d在線段 bc上，那么當(dāng) acb等于多少度時(shí)？線段cf與 bd之間的位置關(guān)系仍然成立請(qǐng)畫(huà)出相應(yīng)圖形，并說(shuō)明理由例 5、如圖所示， 已知 a，b為直線 l 上兩點(diǎn)，點(diǎn) c為直線 l 上方一動(dòng)點(diǎn)， 連接 ac 、bc ， 分別以 ac 、 bc為直角邊向 abc外作等腰直角 cad 和等腰直角 cbe ， 滿足 cad=cbe=90 ，過(guò)點(diǎn) d作 dd1l 于點(diǎn) d1，過(guò)點(diǎn) e作 ee1l 于點(diǎn) e1（1）如圖，當(dāng)點(diǎn) e恰好在直線 l 上時(shí)，試說(shuō)明 dd1=ab ；（2）在圖中，當(dāng) d，e兩點(diǎn)都在直線 l 的上方時(shí)，試探求三條線段dd1，ee1，ab之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由例 6、如圖 1，

15、已知點(diǎn) a（a，0），點(diǎn) b（0，b），且 a、b 滿足044ba（1）求 a、b兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2） 若點(diǎn) c是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且ocb=45 ， 過(guò)點(diǎn) a作 ad oc 于點(diǎn) f， 求證： fa=fc ；（3）如圖 2，若點(diǎn) d的坐標(biāo)為（ 0，1），過(guò)點(diǎn) a作 ae ad ，且 ae=ad ，連接 be交 x軸于點(diǎn) g ，求 g點(diǎn)的坐標(biāo)鞏固：1、 如圖， 已知 bac=90 ， ad bc于點(diǎn) d， 1=2， ef bc交 ac于點(diǎn) f 試說(shuō)明 ae=cf 2、如圖， abc中，ad平分 bac ，dg bc且平分 bc ，de ab于 e，df ac于 f（1）說(shuō)明 be=cf 的理由；（

16、2）如果 ab=5 ，ac=3 ，求 ae 、be的長(zhǎng)3、如圖， abc中，ac=2ab ，ad平分bac交 bc于 d ，e是 ad上一點(diǎn)，且 ea=ec 。求證：eb ab 4、如圖，在 abc中， acb=90 ，p為 ac上一點(diǎn)， pq ab于 q ，am ab交 bp的延長(zhǎng)線于 m ，mn ac于 n ，aq=mn（1）求證： ap=am ；（2）求證： pc=an 5、如圖， abc內(nèi)， bac=60 ， acb=40 ，p，q分別在 bc ，ca上，并且 ap ，bq分別是 bac ，abc的平分線，求證：bq+aq=ab+bp6、將兩個(gè)全等的直角三角形abc和 dbe 按圖（1

17、）方式擺放，其中 acb= deb=90 ，a=d=30 ，點(diǎn) e落在 ab上，de所在直線交 ac所在直線于點(diǎn) f（1）求證： cf=ef ；（2）若將圖（ 1）中的 dbe 繞點(diǎn) b按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角a，且 0a60，其他條件不變，如圖（ 2）請(qǐng)你直接寫(xiě)出af+ef與 de的大小關(guān)系： af+ef_ de （填“”或“ =”或“”）（3）若將圖（ 1）中dbe的繞點(diǎn) b按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，且60 180，其他條件不變，如圖（ 3）請(qǐng)你寫(xiě)出此時(shí)af 、ef與 de之間的關(guān)系，并加以證明7、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， 點(diǎn) o為坐標(biāo)原點(diǎn)， abc 的三點(diǎn)坐標(biāo)分別為a （0， 5），b（-5 ，0

18、），c （2，0），bd ac于 d且交 y 軸于 e，連接 ce （1）求 abc的面積；（2）求aeoe的值及 ace的面積8、如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)a（4，4），點(diǎn) b、c分別在 x 軸、y 軸的正半軸上，s四邊形 obac=16 （1）coa 的值為 _ ；（2）求 cab的度數(shù)；（3）如圖 2，點(diǎn) m 、n分別是 x 軸正半軸及射線 oa上一點(diǎn)，且 oh mn的延長(zhǎng)線于 h，滿足hon= nmo ，請(qǐng)?zhí)骄績(jī)蓷l線段mn 、oh 之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明9、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)a（2，0），點(diǎn) b（0，3）和點(diǎn) c（）；（1）請(qǐng)寫(xiě)出 ob的長(zhǎng)度： ob=_ ；（2）如圖：若

19、點(diǎn) d在 x 軸上，且點(diǎn) d的坐標(biāo)為（ -3，0），求證： aob cod ；（3）若點(diǎn) d在第二象限，且 aob cod ，則這時(shí)點(diǎn) d的坐標(biāo)是 _ （直接寫(xiě)答案）10、已知，在 abc中，ca=cb ，ca 、cb的垂直平分線的交點(diǎn)o在 ab上，m 、n分別在直線 ac 、bc上， mon=a=45 （1）如圖 1，若點(diǎn) m 、n分別在邊 ac 、bc上，求證： cn+mn=am；（2）如圖 2，若點(diǎn) m在邊 ac上，點(diǎn) n在 bc邊的延長(zhǎng)線上，試猜想cn 、mn 、am 之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論（不要求證明）11、（1）如圖 1，以 abc 的邊 ab 、ac為邊分別向外作正方形a

20、bde 和正方形 acfg ，連接 eg ，試判斷 abc與aeg面積之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由（2）園林小路，曲徑通幽，如圖2 所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石鋪成已知中間的所有正方形的面積之和是a 平方米，內(nèi)圈的所有三角形的面積之和是 b 平方米，這條小路一共占地多少平方米12、如圖，將兩個(gè)全等的直角三角形abd 、ace拼在一起（圖 1）abd不動(dòng)，（1）若將 ace繞點(diǎn) a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接de ，m是 de的中點(diǎn)，連接 mb 、mc （圖 2），證明：mb=mc（2）若將圖 1 中的 ce向上平移， cae不變，連接 de ，m是 de的中點(diǎn)，連接 mb 、mc（圖 3），判

21、斷并直接寫(xiě)出mb 、mc的數(shù)量關(guān)系（3）在（ 2）中，若 cae的大小改變（圖 4），其他條件不變，則（ 2）中的 mb 、mc的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說(shuō)明理由13、如圖， abc中，d是 bc的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) d的直線 mn 交 ac于 n，交 ac的平行線 bm于 m ，pd mn ，交 ab于點(diǎn) p，連接 pm 、pn （1）求證： bm=cn；（2）請(qǐng)你判斷 bp+cn 與 pn的在數(shù)量上有何關(guān)系，并說(shuō)明你的理由14、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，o為坐標(biāo)原點(diǎn) a、b兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a（m ，0）、b（0，n），且0623nnm，點(diǎn) p從 a出發(fā)，以每秒 1 個(gè)單位的速度沿射線ao勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)

22、p運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒（1）求 oa 、ob的長(zhǎng)；（2）連接 pb ，若 pob 的面積不大于 3 且不等于 0，求 t 的范圍；（3）過(guò) p作直線 ab的垂線，垂足為d ，直線 pd與 y 軸交于點(diǎn) e，在點(diǎn) p運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)p，使eop aob ？若存在，請(qǐng)求出 t 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由等腰三角形小結(jié)一、構(gòu)造等腰三角形例 1如圖，在等腰 rtabc中， bac=90 ，ab=ac ， ad=ae ， af be交 bc于 f， fg cd交 ac于 h ，交 be的延長(zhǎng)線于 g (1) 求證： ge=gh；(2) 問(wèn) bg 、af、fg有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論練習(xí)1等

23、邊abc中，點(diǎn) 0 為 ac 、bc兩邊垂直平分線的交點(diǎn)， 點(diǎn) p為 ab上一動(dòng)點(diǎn)，pe ac交 bc于 e，點(diǎn) f 為 ac上一點(diǎn)，且 cf=pe ，連 of 、ef ，求ofe的度數(shù)二、運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)例 2已知 rtabc. 中， ac=bc ，c= 90， d為 ab中點(diǎn)， edf=90 ，edf繞 d點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交ac 、cb （或它們的延長(zhǎng)線）于e、f圖 圖 圖(1) 當(dāng)edf繞 d點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 de ac于 e（如圖）時(shí)，顯然sdef+scef=12sabc. 當(dāng)edf繞 d點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 de和 ac不垂直時(shí)（如圖）， sdef、scef、sabc三者之間的數(shù)量關(guān)系是什么？證

24、明你的結(jié)論；(2) 當(dāng)edf繞 d點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置，請(qǐng)直接寫(xiě)出sdef、scef、sabc之間的數(shù)量關(guān)系是（不必證明）練習(xí)2如圖， abc中，a=90 ab=ac ，d為 ac中點(diǎn)， ae bd于 e，延長(zhǎng) ae交 bc于點(diǎn) f. 求證： adb= cdf. 3 abc中，過(guò) bc邊的中點(diǎn) d作直線交 ab于 e 交 ca的延長(zhǎng)線于 f， 使 ae=af. 求證：be=cf. 三、角平分線與等腰三角形例 3 如圖，ab cd ，be 、ce分別平分 abc 、dcb. 求證： ab+cd=bc. 練習(xí)4如圖， abc 中，a=90 ，ab=ac ，bd平分abc交 ac于 d，ce bd

25、交 bd延長(zhǎng)線于 e (1)求證： ce=12bd ； (2)求aeb的度數(shù)5如圖，在 abc中，m為 bc邊中點(diǎn)， ad為bac的平分線， mf ad交 ad延長(zhǎng)線于f，交 ab于 e求證： be=12(ab-ac)四、構(gòu)造等邊三角形例 4如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中， oa=ob=oc=2，點(diǎn) p從 c點(diǎn)出發(fā)沿 y 軸正方向以1 個(gè)單位秒的速度向上運(yùn)動(dòng)，連接pa 、pb ，d為 ac的中點(diǎn) (1)設(shè)點(diǎn) p運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t 秒，問(wèn)：當(dāng) t 為何值時(shí)， dp與 db垂直且相等； (2)若 pa=ab ，在第一象限內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)q ，連 qa 、qb 、qp ，且pqa=60 ，問(wèn)：當(dāng)q在第一象限內(nèi)

26、運(yùn)動(dòng)時(shí)， apq+ abq的度數(shù)和是否會(huì)發(fā)生改變？若不改變，請(qǐng)說(shuō)明理由并求這個(gè)不變的值. 圖圖練習(xí)6如圖，a （o ，-1 ），a、c關(guān)于 x 軸對(duì)稱，ab=2 ，ef bc ，交 ab的延長(zhǎng)線于 e點(diǎn)，交 y 軸于 f點(diǎn) (1)求aef ；dcbaedfcba (2)如圖，將aef繞 a點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交bc延長(zhǎng)線于 d點(diǎn)，當(dāng) d(m ，2)時(shí)，問(wèn) am+dh大小是否變化并證明圖圖全等三角形中常見(jiàn)輔助線的作法常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種：1)遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”2)遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三

27、角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3)遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4)過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5)截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答一、倍長(zhǎng)中

28、線（線段）造全等例 1、（“希望杯”試題）已知，如圖abc 中，ab=5 ，ac=3 ，則中線 ad的取值范圍是_. 例 2、如圖， abc中，e、f 分別在 ab 、ac上，de df ，d是中點(diǎn)，試比較 be+cf 與ef的大小 . 例 3、如圖， abc中，bd=dc=ac，e是 dc的中點(diǎn)，求證： ad平分 bae. 應(yīng)用：1、（09崇文二模）以abc的兩邊 ab 、ac 為腰分別向外作等腰 rtabd和等腰 rtace，90 ,badcae連接de ，m 、n分別是bc 、de 的中點(diǎn)探究： am 與de 的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖當(dāng)abc為直角三角形時(shí)， am 與de 的位置關(guān)

29、系是，線段am 與de 的數(shù)量關(guān)系是；edcbadcbapqcbaoedcba（2） 將圖中的等腰 rtabd繞點(diǎn)a沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(0ad+ae. 四、借助角平分線造全等例 1、如圖，已知在 abc中，b=60， abc的角平分線 ad,ce相交于點(diǎn) o ，求證： oe=od 例 2、如圖， abc中，ad平分 bac ，dg bc且平分bc ， de ab于 e，df ac于 f. （1）說(shuō)明 be=cf 的理由；（2）如果 ab=a，ac= b ，求ae 、be的長(zhǎng). 應(yīng)用：1、如圖， op是mon 的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以op所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角

30、形的方法，解答下列問(wèn)題：（1）如圖，在abc中，acb 是直角，b=60，ad 、ce分別是 bac 、bca的平分線， ad 、ce相交于點(diǎn) f。請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出fe與 fd之間的數(shù)量關(guān)系；nmefacbafedcba（2）如圖，在abc 中，如果 acb 不是直角，而(1) 中的其它條件不變， 請(qǐng)問(wèn)，你在(1) 中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。五、旋轉(zhuǎn)例 1、正方形 abcd 中，e為 bc上的一點(diǎn)， f 為 cd上的一點(diǎn)， be+df=ef ，求 eaf的度數(shù). 例 2 、d為等腰 rt abc 斜邊 ab的中點(diǎn)， dm dn,dm,dn 分別交bc,ca于點(diǎn) e,f。（1） 當(dāng)mdn 繞點(diǎn) d轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證 de=df 。（2） 若 ab=2 ，求四邊形 decf 的面積。