函數(shù)問題的題型與方法

1、個(gè)性化教案函數(shù)問題的題型與方法適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級(jí)高三適用區(qū)域山西課時(shí)時(shí)長（分鐘）90知識(shí)點(diǎn)1了解映射的概念，理解函數(shù)的概念。2了解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的方法，并能利用函數(shù)的性質(zhì)簡化函數(shù)圖象的繪制過程。3了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系，會(huì)求一些簡單函數(shù)的反函數(shù)。4理解分?jǐn)?shù)指數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。學(xué)習(xí)目標(biāo)1理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。2能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實(shí)際問題。學(xué)習(xí)重點(diǎn)1靈活運(yùn)用函數(shù)概念、性質(zhì)和不等式等知識(shí)以及

2、分類討論等方法，解函數(shù)綜合題。2應(yīng)用函數(shù)知識(shí)及思想方法，解決函數(shù)的最值問題、探索性問題與應(yīng)用性問題，提高分析問題和解決問題的能力。學(xué)習(xí)難點(diǎn)應(yīng)用函數(shù)知識(shí)及思想方法，解決函數(shù)的最值問題、探索性問題與應(yīng)用性問題，提高分析問題和解決問題的能力學(xué)習(xí)過程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)函數(shù)概念的復(fù)習(xí)當(dāng)然應(yīng)該從函數(shù)的定義開始函數(shù)有二種定義，一是變量觀點(diǎn)下的定義，一是映射觀點(diǎn)下的定義復(fù)習(xí)中不能僅滿足對(duì)這兩種定義的背誦，而應(yīng)在判斷是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，兩個(gè)函數(shù)關(guān)系是否相同等問題中得到深化，更應(yīng)在有關(guān)反函數(shù)問題中正確運(yùn)用具體要求是：1深化對(duì)函數(shù)概念的理解，明確函數(shù)三要素的作用，并能以此為指導(dǎo)正確理解函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系2系統(tǒng)歸納求函數(shù)定

3、義域、值域、解析式、反函數(shù)的基本方法在熟練有關(guān)技能的同時(shí)，注意對(duì)換元、待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用3通過對(duì)分段定義函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，抽象函數(shù)等的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)，進(jìn)一步樹立運(yùn)動(dòng)變化，相互聯(lián)系、制約的函數(shù)思想，為函數(shù)思想的廣泛運(yùn)用打好基礎(chǔ)本部分內(nèi)容的重點(diǎn)是不僅從認(rèn)識(shí)上，而且從處理函數(shù)問題的指導(dǎo)上達(dá)到從三要素總體上把握函數(shù)概念的要求，對(duì)確定函數(shù)三要素的常用方法有個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，對(duì)于給出解析式的函數(shù)，會(huì)求其反函數(shù)本部分的難點(diǎn)首先在于克服“函數(shù)就是解析式”的片面認(rèn)識(shí)，真正明確不僅函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，而且其定義域都包含著對(duì)函數(shù)關(guān)系的制約作用，并真正以此作為處理問題的指導(dǎo)其次在于確定函數(shù)三要素、求

4、反函數(shù)等課題的綜合性，不僅要用到解方程，解不等式等知識(shí)，還要用到換元思想、方程思想等與函數(shù)有關(guān)概念的結(jié)合函數(shù)的概念是復(fù)習(xí)函數(shù)全部內(nèi)容和建立函數(shù)思想的基礎(chǔ)，不能僅滿足會(huì)背誦定義，會(huì)做一些有關(guān)題目，要從聯(lián)系、應(yīng)用的角度求得理解上的深度，還要對(duì)確定函數(shù)三要素的類型、方法作好系統(tǒng)梳理，這樣才能進(jìn)一步為綜合運(yùn)用打好基礎(chǔ)復(fù)習(xí)的重點(diǎn)是求得對(duì)這些問題的系統(tǒng)認(rèn)識(shí)，而不是急于做過難的綜合題二、知識(shí)講解考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)1 深化對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)從概念看，這里應(yīng)判斷對(duì)于給出函數(shù)值域內(nèi)的任意值，依據(jù)相應(yīng)的對(duì)應(yīng)法則，是否在其定義域內(nèi)都只有惟一確定的值與之對(duì)應(yīng)，因此可作出給定函數(shù)的圖象，用數(shù)形結(jié)合法作判斷，這是常用方法，請(qǐng)讀者自

5、己一試?yán)?下列函數(shù)中，不存在反函數(shù)的是（ ） 分析：處理本題有多種思路分別求所給各函數(shù)的反函數(shù)，看是否存在是不好的，因?yàn)檫^程太繁瑣此題作為選擇題還可采用估算的方法對(duì)于D，y=3是其值域內(nèi)一個(gè)值，但若y=3，則可能x=2(21)，也可能x=-1(-1-1)依據(jù)概念，則易得出D中函數(shù)不存在反函數(shù)于是決定本題選D說明：不論采取什么思路，理解和運(yùn)用函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系是這里解決問題的關(guān)鍵由于函數(shù)三要素在函數(shù)概念中的重要地位，那么掌握確定函數(shù)三要素的基本方法當(dāng)然成了函數(shù)概念復(fù)習(xí)中的重要課題考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)2求函數(shù)定義域的基本類型和常用方法 由給定函數(shù)解析式求其定義域這類問題的代表，實(shí)際上是求使給定式有意義的

6、x的取值范圍它依賴于對(duì)各種式的認(rèn)識(shí)與解不等式技能的熟練這里的最高層次要求是給出的解析式還含有其他字例2已知函數(shù)定義域?yàn)?0，2)，求下列函數(shù)的定義域：分析：x的函數(shù)f(x)是由u=x與f(u)這兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，其中x是自變量，u是中間變量由于f(x)，f(u)是同一個(gè)函數(shù)，故(1)為已知0u2，即0x2求x的取值范圍解：(1)由0x2， 得 說明：本例(1)是求函數(shù)定義域的第二種類型，即不給出f(x)的解析式，由f(x)的定義域求函數(shù)fg(x)的定義域關(guān)鍵在于理解復(fù)合函數(shù)的意義，用好換元法(2)是二種類型的綜合求函數(shù)定義域的第三種類型是一些數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系，求其定

7、義域，后面還會(huì)涉及到考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)3求函數(shù)值域的基本類型和常用方法函數(shù)的值域是由其對(duì)應(yīng)法則和定義域共同決定的其類型依解析式的特點(diǎn)分可分三類：(1)求常見函數(shù)值域；(2)求由常見函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域；(3)求由常見函數(shù)作某些“運(yùn)算”而得函數(shù)的值域 三、例題精析題型一1對(duì)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的理解例1下面四個(gè)結(jié)論：偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；奇函數(shù)的圖象一定通過原點(diǎn)；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(xR)，其中正確命題的個(gè)數(shù)是 （ ）A1 B2 C3 D4分析：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，但不一定相交，因此正確，錯(cuò)誤奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但不一定經(jīng)過原

8、點(diǎn)，因此不正確若y=f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，由定義可得f(x)=0，但不一定xR，如例1中的(3)，故錯(cuò)誤，選A說明：既奇又偶函數(shù)的充要條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且函數(shù)值恒為零題型二 2復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)復(fù)合函數(shù)y=fg(x)是由函數(shù)u=g(x)和y=f(u)構(gòu)成的，因變量y通過中間變量u與自變量x建立起函數(shù)關(guān)系，函數(shù)u=g(x)的值域是y=f(u)定義域的子集復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)由構(gòu)成它的函數(shù)性質(zhì)所決定，具備如下規(guī)律：(1)單調(diào)性規(guī)律如果函數(shù)u=g(x)在區(qū)間m，n上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)y=f(u)在區(qū)間g(m)，g(n) (或g(n)，g(m)上也是單調(diào)函數(shù)，那么若u=g(x)，y=f(u)增減

9、性相同，則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)為增函數(shù)；若u=g(x)，y= f(u)增減性不同，則y=fg(x)為減函數(shù)(2)奇偶性規(guī)律若函數(shù)g(x)，f(x)，fg(x)的定義域都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，則u=g(x)，y=f(u)都是奇函數(shù)時(shí)，y=fg(x)是奇函數(shù)；u=g(x)，y=f(u)都是偶函數(shù)，或者一奇一偶時(shí)，y= fg(x)是偶函數(shù)例2若y=log(2-ax)在0，1上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是（ ）A(0，1) B(1，2) C(0，2) D2，+)分析：本題存在多種解法，但不管哪種方法，都必須保證：使log(2-ax)有意義，即a0且a1，2-ax0使log(2-ax)在0，1上是x的減

10、函數(shù)由于所給函數(shù)可分解為y=logu，u=2-ax，其中u=2-ax在a0時(shí)為減函數(shù)，所以必須a1；0，1必須是y=log(2-ax)定義域的子集解法一：因?yàn)閒(x)在0，1上是x的減函數(shù)，所以f(0)f(1)，即log2log(2-a)解法二：由對(duì)數(shù)概念顯然有a0且a1，因此u=2-ax在0，1上是減函數(shù)，y= logu應(yīng)為增函數(shù)，得a1，排除A，C，再令故排除D，選B題型三 3函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合運(yùn)用例3甲、乙兩地相距Skm，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c kmh，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(kmh)的平方成正比，比例系數(shù)

11、為b；固定部分為a元(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(kmh)的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛分析：(1)難度不大，抓住關(guān)系式：全程運(yùn)輸成本=單位時(shí)間運(yùn)輸成本×全程運(yùn)輸時(shí)間，而全程運(yùn)輸時(shí)間=(全程距離)÷(平均速度)就可以解決故所求函數(shù)及其定義域?yàn)榈捎陬}設(shè)條件限制汽車行駛速度不超過ckmh，所以(2)的解決需要論函數(shù)的增減性來解決由于vv0，v-v0，并且又S0，所以即則當(dāng)v=c時(shí)，y取最小值四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1對(duì)函數(shù)作代換x=g(t)，則總不改變f(x)值域的代換是 ( )ABCg(t)=(t1)2Dg(t)=

12、cost解析:不改變f(x)值域，即不能縮小原函數(shù)定義域。選項(xiàng)B，C，D均縮小了的定義域，故選A。2方程f(x,y)=0的曲線如圖所示，那么方程f(2x,y)=0的曲線是 ( )解析: 先作出f(x,y)=0關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)的圖象，即為函數(shù)f(-x,y)=0的圖象，又f(2x,y)=0即為，即由f(-x,y)=0向右平移2個(gè)單位。故選C?！眷柟獭?已知命題p：函數(shù)的值域?yàn)镽，命題q：函數(shù) 是減函數(shù)。若p或q為真命題，p且q為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是Aa1Ba<2C1<a<2Da1或a2解析:命題p為真時(shí)，即真數(shù)部分能夠取到大于零的所有實(shí)數(shù)，故二次函數(shù)的判別式，從而；命題q

13、為真時(shí)，。 若p或q為真命題，p且q為假命題，故p和q中只有一個(gè)是真命題，一個(gè)是假命題。若p為真，q為假時(shí)，無解；若p為假，q為真時(shí)，結(jié)果為1<a<2，故選C.4.方程lgxx3的解所在的區(qū)間為 （ ）A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+)解析:圖像法解方程，也可代入各區(qū)間的一個(gè)數(shù)（特值法或代入法），選C；5.如果函數(shù)f(x)xbxc對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，都有f(2t)f(2t)，那么（ ）A. f(2)<f(1)<f(4) B. f(1)<f(2)<f(4) C. f(2)<f(4)<f(1) D. f(4)<f

14、(2)<f(1)解析:函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為2，結(jié)合其單調(diào)性，選A；【拔高】6.已知函數(shù)yf(x)有反函數(shù)，則方程f(x)a (a是常數(shù)) （ ）A.有且僅有一個(gè)實(shí)根 B.至多一個(gè)實(shí)根 C.至少一個(gè)實(shí)根 D.不同于以上結(jié)論解析:從反面考慮，注意應(yīng)用特例，選B；7.已知sincos，(，)，則tan的值是 （ ）A. B. C. D. 解析:設(shè)tanx (x>0），則，解出x2，再用萬能公式，選A；五、課程小結(jié)1在應(yīng)用中深化基礎(chǔ)知識(shí)在復(fù)習(xí)中基礎(chǔ)知識(shí)經(jīng)歷一個(gè)由分散到系統(tǒng)，由單一到綜合的發(fā)展過程這個(gè)過程不是一次完成的，而是螺旋式上升的因此要在應(yīng)用深化基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，使基礎(chǔ)知識(shí)向深度和廣度

15、發(fā)展2以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體突出數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想方法是觀念性的東西，是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂，同時(shí)它又離不開具體的數(shù)學(xué)知識(shí)函數(shù)內(nèi)容最重要的數(shù)學(xué)思想是函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合的思想此外還應(yīng)注意在解題中運(yùn)用的分類討論、換元等思想方法解較綜合的數(shù)學(xué)問題要進(jìn)行一系列等價(jià)轉(zhuǎn)化或非等價(jià)轉(zhuǎn)化因此本課題也十分重視轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想六、課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S，且SS (pq，p、qN)，則S_。解析:利用是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè)SSm，x，則（,p）、(,q)、(x，p+q)在同一直線上，由兩點(diǎn)斜率相等解得x0，則答案：0；2.關(guān)于x的方程sinxcosxa0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_。解析:設(shè)cos

16、xt，t-1,1，則att1,1，所以答案：,1；【鞏固】3.正六棱錐的體積為48,側(cè)面與底面所成的角為45°，則此棱錐的側(cè)面積為_。解析:設(shè)高h(yuǎn)，由體積解出h2，答案：24；4. 建造一個(gè)容積為8m，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為120元和80元，則水池的最低造價(jià)為_。解析:設(shè)長x，則寬，造價(jià)y4×1204x×80×801760，答案：1760。5已知函數(shù)滿足：，則 。解析:運(yùn)用條件知：=2，且=16【拔高】6已知為正整數(shù)，方程的兩實(shí)根為，且，則的最小值為_。解析依題意可知，從而可知，所以有，又為正整數(shù)，取，則，所以，從而，所以，又，所以，因此有最小值為。下面可證時(shí)，從而，所以, 又,所以,所以,綜上可得:的最小值為11。7設(shè)函數(shù)f(x)=lg(ax+2x+1)(1)若f(x)