第三章加權(quán)殘值法

1、第三章加權(quán)殘值法加權(quán)殘值法（Method of weighted Residuals ）宀定解問題的近似求解方法。優(yōu)點(diǎn)：原理統(tǒng)一，簡便，工作量少，計算精度較高。加權(quán)殘值法的發(fā)展： 基本思想在19世紀(jì)初就已提出； 20世紀(jì)20年代，由畢卡（Picone）用來求解微分方程； 克蘭德（Crandall ）將這一方法統(tǒng)一，并定義為加權(quán)殘值法。國內(nèi)： 20世紀(jì)60年代期間，最早由錢令希教授介紹了多種加權(quán)殘值方法并用于分析薄板力學(xué)問 題。 徐次達(dá)教授自60年代開始利用加權(quán)殘值法求解固體力學(xué)問題。3.1加權(quán)殘值法的基本概念設(shè)某一具體的工程定解問題：Lu f=0（在域 V 內(nèi)）（3.1.1）Gu g=0（在邊

2、界 S上）（3.1.2）這里，u為待求的未知函數(shù)，L和G分別為控制方程（在域 V內(nèi)）和邊界條件（在邊界S上）的微分算子。f和g分別是域內(nèi)和邊界上的已知項(xiàng)。一般地，定解問題（3.1.1）、（ 3.1.2）的精確解難以求得，從而求助于近似解，這里我們 假設(shè)一個待求函數(shù) u的試函數(shù)：N = ' Cm（3.1.3）i m其中Ci為待定系數(shù)，Vi為試函數(shù)項(xiàng)。將（3.1.3）代入定解問題的兩個微分方程中，一般不會精確滿足，于是就出現(xiàn)了內(nèi)部殘值（Residuals） Rv和邊界殘值 Rs,即：R/ =Lu J |匚0（3.1.4）Rs =Gu -g =0（3.1.5）為了消除殘值，選取內(nèi)部權(quán)函數(shù)（W

3、eighted function ） WV和邊界權(quán)函數(shù) Ws,使得殘值Rv和Rs分別與相應(yīng)權(quán)函數(shù)的乘積在域內(nèi)和邊界上的積分為零，即：V RVWVdV =°(3.1.6)sRsWsds =0（3.1.7）據(jù)此，我們就可以得到關(guān)于待定系數(shù)Ci （i=1, 2, , N）的代數(shù)方程組，求得了Ci后，即確定了近似解（3.1.3）。按試函數(shù)是否滿足控制方程和邊界條件，將加權(quán)殘值法分為三類，即內(nèi)部法、邊界法和混合法。這三種方法各有自己的優(yōu)點(diǎn)，當(dāng)然也存在不足。（1）在內(nèi)部法中，對于一般比較規(guī)則的邊界，選取滿足邊界條件的試函數(shù)是比較容易的。并且，由于邊界條件已經(jīng)滿足，所以計長工作量較少。但是對于復(fù)雜

4、的邊界，這一方法就很不方便。（2）在邊界法中，由于基本控制方程已經(jīng)滿足，近似計算僅在邊界上進(jìn)行，因而計算工作 量少，精度較高，不足的是，要事先求得不同問題控制方程的泛定解，比較困難。（3）混合法的優(yōu)點(diǎn)在于，對試函數(shù)要求不嚴(yán)，復(fù)雜的邊界條件和復(fù)雜的控制方程都能適應(yīng)， 缺點(diǎn)是計算工作量較大。總之，對于復(fù)雜控制方程，簡單邊界問題，宜采用內(nèi)部法；對簡單控制方程，復(fù)雜邊界， 適合用邊界法；對控制方程和邊界條件都較復(fù)雜的問題，采用混合法較好。這三種方法中， 內(nèi)部法一般應(yīng)用較多。3.2加權(quán)殘值法的基本方法根據(jù)權(quán)函數(shù)的形式分類，主要有以下五種方法：（1）最小二乘法（Least Square Method）最小

5、二乘法的基本思想是選取一個試函數(shù)，使得在域V內(nèi)的殘值平方積分：J（CJ = V R2dv（3.2.1）最小。為使J （CJ最小，取極值條件：-J（Cb=0,（ i=1,2，, N）（ 3.2.2）-Ci即可得到最小二乘法的基本方程：（R云dv=0 ,（i=1 ,2，, N）（3.2.3）可見，最小二乘法就是將權(quán)函數(shù)取作。式（3.2.3）將給出N個代數(shù)方程，用于求如解N個待定系數(shù)Ci（ i=1，2，, N）。這個方法一般計算精度高，但運(yùn)算較為繁瑣。(2) 配點(diǎn)法(Collocation Method )Wi = &x Xj)(3.2.4)就得到了配點(diǎn)法。其中，3函數(shù)又稱單位脈沖函數(shù)，其具

6、有以下性質(zhì)：空(x=Xj)9(xXi)=(3.2.5a)如果選用狄拉克 S函數(shù)(Dirac Delta Function )作為權(quán)函數(shù)，即:0 (xHXi)(x xjdx 二 1(3.2.5b)ooF(x)、(x Xi)dx=F(Xi)(3.2.5c)aqQ、(x - Xi )dx =1(3.2.5d)-oO于是，將權(quán)函數(shù)(3.2.4)代入(3.1.6)中，便可得配點(diǎn)法的基本方程為：v RWdv = v R(x)、(x為)dv = R(xJ =0 , (i=1,2, N)(3.2.6)對于高維問題，例如二維問題的配點(diǎn)法基本方程為：VRWdv=(R(x, y)6(xX. y yjdv =R(x.

7、 yj=0,( i=1 ,2, N)(3.2.7)由殘值R在N個配點(diǎn)Xi (或二維(Xi, yj)處為零。得到 N個代數(shù)方程，從而求得待定系數(shù)(3i (i=1 , 2, , N)。配點(diǎn)法是加權(quán)殘值法中最簡單的一種，只是其計算精度相對差一些。(3) 子域法(Subdomain Method )劃分的子域總數(shù)應(yīng)等于待定系數(shù)Ci的總數(shù)。如果將待求問題的整個區(qū)域V按任意方式劃分為 N個子域Vi (i=1 , 2, N)，并定義此時的權(quán)函數(shù)為：1Wi= ”i 0k.(在 V內(nèi))不在Vj內(nèi))(3.2.8)于是在每個子域 Vi內(nèi)可列出消除殘值的方程為：”RidvR,( i=1,2, N)(3.2.9)Vi這

8、里，N個子域共有N個方程，聯(lián)立求解即得待定系數(shù)Ci (i=1 , 2, N)。需要說明的是，每個子域的試函數(shù)的選取可以相同，也可以不同。若各子域的試函數(shù)互不相同時，則必須考慮各子域間的連接條件。(4) 伽遼金法(Galerkin Method )伽遼金法是俄國工程師伽遼金提出的并以他的名字而命名的方法。伽遼金法中的權(quán)函數(shù)就是試函數(shù)中的基函數(shù)，即：Wi=w,( i=1 2, N)(3210)二 Rvdv =0，(i=1,2，, N)(3.2.11)由殘值方程和試函數(shù)中的每一個基函數(shù)正交這一性質(zhì)，不僅保證了解的收斂性，還使得伽遼金法精度高而計算工作量又不算太大，所以該方法應(yīng)用廣泛。(5) 矩量法(

9、Method of Moment)當(dāng)權(quán)函數(shù)選取為xi( i=0，1，, N 1)時，就得到了矩量法的基本方程為：Rx'dv =0,( i=0,1 , , N 1)(3.2.12)V由上式不難求得待定系數(shù)Ci (i=1 , 2, , N)。至此，我們根據(jù)所選取的權(quán)函數(shù)類型，介紹了五種基本方法。在實(shí)際應(yīng)用中，這五種基本方法可以單獨(dú)使用，也可以相互結(jié)合而產(chǎn)生新的近似方法。3.4加權(quán)殘值法在力學(xué)中的應(yīng)用本節(jié)將給出一些加權(quán)殘值法求解力學(xué)問題的例子，使同學(xué)們能夠熟練掌握應(yīng)用這一方法求解具體力學(xué)問題的過程。例3.4.1:梁的彎曲問題考慮一兩端固定，均布載荷作用下的直梁(圖3.4.1),梁的跨度為L,

10、均布載荷為q,梁的抗彎剛度為EI。71#圖3.4.1均布載荷作用下的固定梁解：梁的撓曲線微分方程為:EId4wdx4_q =0(341)#梁在兩固定端所滿足的邊界條件為:dww x=0 =dx x=0dwx=Ldx(3.4.2a, b)#(343)（前面已經(jīng)介紹過，按照試函數(shù)的類型，可將加權(quán)殘值法分為三類：內(nèi)部法、邊界法和混合法。）1內(nèi)部法選取梁的撓度試函數(shù)為：血=cx2（L _x）2w x _0 = 0dw d 43 I 2 2 (cx 2cLx 亠 cL x ) dx dx= 4cx3 6cLx2 亠 2cL2xdw n dwx-0 =0, x-l =0 dx 一 dx -因此，所選取的梁

11、的撓度試函數(shù)滿足邊界條件（Rv 二Eld4wdx4-q 二 24EIC -q（a）最小二乘法求解最小二乘法相對應(yīng)的殘值方程為:LR主dv= (24EIC -q) 24Eldx=0V記0q24EI從而兩端固定梁的撓度近似解為:- q 22wx （Lx）24EI該解已經(jīng)是材料力學(xué)中的精確解了。（b）配點(diǎn)法求解配點(diǎn)法相對應(yīng)的殘值方程為：3.4.2a, b),從而內(nèi)部殘值表達(dá)式為：(3.4.4)(3.4.5)(3.4.6)73(343)#(343)(347)R( xi)=24EIC q=0xi為任意坐標(biāo)都使得：C =-24EI此結(jié)果與最小二乘法所得結(jié)果完全相同。同理，我們還可以采用子域法，伽遼金法及矩

12、量法，均可獲得同樣的結(jié)果。2、混合法考慮到梁所滿足的撓曲線方程中最高含有四階導(dǎo)數(shù)，而且四階導(dǎo)數(shù)的值為常數(shù)，這里,#(348)我們假設(shè)梁的撓度試函數(shù)為:234w =C0C1xC2x C3xC4x注意到，微分方程以及四個邊界條件可得到5個方程，可以確定出（3.4.8）節(jié)中的5個待定系數(shù) Ci（ i=0，1，2，3, 4）。將（3.4.8）代入到（3.4.1 ）和（3.4.2a, b）中，得:24EIC4 q =0C0 =0(349)C0 +GL +C2L2 +C3L3 +C4L4 =0Ci =023C1 2C2L 3C3L2 4C4L3 =0= C° =G =0, C424EI，C2qL

13、224EIC3qL12EI于是，撓度曲線函數(shù)為: q 22wx （Lx）24EI與前面的方法所得結(jié)果一致。例3.4.2:簡支梁的彎曲問題解：梁的撓曲線微分方程為:EId 4wdx4-q =0(341)#(348)#(348)(3410)邊界條件為:w x=0 =0，W x土 =0于是，把問題化為微分方程（3.4.1）和邊界條件（3410 ）的邊值問題進(jìn)行求解。 首先憑經(jīng)驗(yàn)選取試函數(shù)（Trial Function），以下采用低階近似求解（所謂低階近似，是指試 函數(shù)中只含一個或幾個待定參變量） 。一階近似選取的試函數(shù)為:二階近似選取的試函數(shù)為:nW1 =cs in -L.nx. 3 nw2 =c1

14、 si n ® sin(3411)(3412)w1和w已滿足邊界條件3.4.10），但不滿足控制微分方程（3.4.1），將w1和禮代入#(348)#(348)（3.4.1），得到內(nèi)部殘值Rv :(3.4.13)#&2 =EI n J Rsin n 、.1C2sin*(3414)1最小二乘法(Least Square Method)(1 )一階近似：RV1-dv = f EIC0.丿噸(Elnsin 9X陽 leic 扌 _2q n =o4 qL4求得近似解為： wXsin nX5n ei l梁中點(diǎn)撓度的近似值為:w1 max4 qL =0.01307止Eln ei它的誤差僅為

15、0.386%，最小二乘法的一階近似就已求得相當(dāng)精確的近似解。(2 )二階近似vRV2=0VRv2 :C2.:C1良 dv=0將Rv2代入積分后得:ElU< IU 2 ei n 4空縣 El L 2C1L-2q- =0ElnL2q0nn ei243 n5El求得近似解為：W2 = ： qL isin 1. 3 nsinEl sin L 243 s'' L梁中點(diǎn)撓度的近似值為:W2maxI1吩習(xí)巾013017普(3415)(3416)(3417)(3418)(3419)(3420)(3421)(3422)(3423)其誤差僅為0.027%，近似解的計算精度也提高了。752、配

16、點(diǎn)法(Collocation Method )(1 )一階近似試函數(shù)（3.4.11）中僅含一個待定系數(shù)C，只需選一個配點(diǎn)即可。V處為零，即:求得C為:選取x二丄點(diǎn)為配點(diǎn)。令內(nèi)部殘值在配點(diǎn)2(3424)(3425)77#將C代入（3411）,得問題的近似解為:(3426)1 qL4 . nW1 = -4sin -n4 El L梁中點(diǎn)撓度近似值為:#W1 max 4n精確解為:4. 4q-0.010266 JEIEl44著告0.0130208 qEp，誤差為 21.16%。(3427)#（2 ）二階近似的點(diǎn)，令內(nèi)部殘值 Rv2分別在這兩個配點(diǎn)處為零，即得:試函數(shù)（3.4.12）中含0，C2兩個參變

17、量，應(yīng)選取兩個點(diǎn)為配點(diǎn)，選取:(3428)C1=3+琴卜q2+V2 In 丿 Elc - 1 f- ; q .261(2 +*2) In.丿 El(3.4.29)近似解為:W23 +2'2 f-¥q|. nc 丄1. 3 ndl |!sin十-/ sin2+2 In丿 El - L §1(3+2'2)L _(3.4.30)梁中點(diǎn)撓度的近似值為：#w2max2-2亠 2 nqL461（3心），EI= 0.012366 qLEI其誤差為5%。由此可見，二階近似大大提高了近似解的精度。繼續(xù)增加參變量,高階近似求解，可以求得更精確的近似解。3、子域法(Subdoma

18、in Method)（1 ）一階近似試函數(shù)（3.4.11）中僅含一個參變量，因此有:L“dx-qL = 01 qL42n3Er因此近似解為:2 n3梁中點(diǎn)的撓度近似值為：1理sin衛(wèi)EI LqL4W1maArqL -0.016126 ei2n3 EI(3.4.31)進(jìn)行(3.4.32)(3.4.33)(3.4.34)(3.4.35)誤差為23.85%。（2 ）二階近似由于問題的對稱性，令內(nèi)部殘值在子域出與）,內(nèi)的積分為零。L即得：jR/2dx =4EI+27寸+劃-qL =0LLLLi2 R/2dx2 R/2dx4 R/2dx2 R/2dx0 0-04=2EI3 2 24冗3(2+逅)EI1q

19、L4qL4C227 漢4 n3(2+V2) EI近似解：Un* 22）2）sinF A辛習(xí)(3.4.36)(3.4.37)(3.4.38)792梁中點(diǎn)的撓度近似值為:W2max3 PjqL44n3(2+2/2) El qL4 = 0.013677 El(3439)其誤差為5%，二階近似也大大提高了近似解的精確度。4、伽遼金法(Galerkin Method)(1 )一階近似選取sin nX作為權(quán)函數(shù)，有:Lsin qSin ndx L LL=EIC 上-2q- =0IL八2丿nICLnxQR/1sin l dx(3440)(3441)所求近似解與最小二乘法一階近似結(jié)果相同。(2 )二階近似選取

20、sin f與血節(jié)作為權(quán)函數(shù)，有:I ! R/2sin nXdx =0L 3 no R/2Sindx =0(3442)很顯然，所得結(jié)果與最小二乘法的二階近似結(jié)果相同。5、矩量法(Method Mornert )(1 )一階近似選取“ 1”為權(quán)函數(shù)，所得結(jié)果與子域法完全相同。(2 )二階近似選取1與x2為權(quán)函數(shù)，有LQR/2d2EIL 2Rx'dx =3EIC1 ' 27C? L qL =0L 12n料占+27 l 1 n C1 27(3443)8121 3n_i L4 _ c _ 不同的方法所得的近似解的誤差是不同的，其中以最小二乘法和伽遼金法較好，計算結(jié)果的誤差較?。?計算結(jié)果表明，二階近似計算結(jié)果比一階近似精度高； 通常，隨著試函數(shù)參變量的增加，會給出更好的近似解。但有時并不總是如此。例如, -