專(zhuān)題08立體幾何綜合問(wèn)題(專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練)(解析版)

1、專(zhuān)題08立體幾何綜合問(wèn)題(專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練)1 .如圖，菱形 ABCDK / ABC= 60 , AC與 BD相交于點(diǎn) Q AEX平面 ABCD CF/ AE AB= AE= 2.(1)求證：8口，平面ACFE(2)當(dāng)直線FQW平面BED5成的角為45°時(shí)，求異面直線 QF與8西成的角的余弦值大小.【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)因?yàn)樗倪呅?ABCD1菱形，所以 BDL AC因?yàn)锳E1平面 ABCD BD?平面ABCD所以BD± AE因 為AS AE= A,所以BDL平面 ACFE(2)以。為原點(diǎn)，QA QB勺方向?yàn)閤, y軸正方向，過(guò) 。且平行于 CF的直線為z軸(向上為正方向)，建

2、立空 間直角坐標(biāo)系，則B(0, 3, 0),D(0,-3,0),E(1,0,2),F(1,0, a)(a>0), OF=( 1,0,a).設(shè)平n , QB= 0,面EBD勺法向量為n=(x, y, z),則有n - QE= 0,讖x/3y=0，人一,即令 z= 1,則 n=(2,0,1),由x+ 2z= 0,題意得 sin 45° = |cosQF n>|QF，n| = J2 a| 廠=¥.因?yàn)?a>0,所以解得 2=3.所以0口(-1,0,3)|OF|n| 衍.*2BE= (1 ,43, 2),所以 cos OF BE>I-QF BE -1 + 6

3、 _yJ5 | Off | BE 4 54故異面直線 QF與BE所成的角的余弦值為一.4兀2. (2019 河南鄭州模擬)如圖，在 ABC中，/ ABC= , Q為AB邊上一點(diǎn)，且 3QB= 3QC= 2AB,已知PQ，平面 ABC 2DA= 2Ao PQ 且 DA/ PO(1)求證：平面 PBAD_平面 CQD(2)求直線PD與平面BDO成角的正弦值.【答案】見(jiàn)解析兀兀?！窘馕觥?1)證明：因?yàn)?OB= OC又因?yàn)? ABC=,所以/ OCB=彳，所以/ BOC= y,即COL AB又POL平面ABC OC?平面ABC所以POL OC又因?yàn)镻Q AB?平面PAB PO AB= Q所以COL平

4、面PAB即COL平面PBAD又CO?平面COD所以平面 PBADL平面COD(2)以O(shè)C OB OP所在射線分別為x, v, z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè) |OA = 1,則 |PO = |OB = |OC=2, |DA = 1.則 q2,0,0) , B(0,2,0) , P(0,0,2) , 口0 , 1,1),所以 PD一一n , BC= 0,=(0 ,-1,- 1) ,BG= (2, 2,0) ,BD= (0, 3,1).設(shè)平面 BDC勺法向量為 n=(x,y,z),所以n - BD= 0,2x-2y=0,所以令y=1,則x= 1, z= 3,所以n= (1,1,3).設(shè)PD

5、與平面BDCW成的角為8 ,則sin3y+ z=0,PDn9 =I PDI n|1X0+1X (-1) +3X( -1)4。2+( 1)2+( 1)2x,12+ 1+322 2211.即直線PD與平面BDO成角的正弦值為2 22113. (2019 湖北武漢調(diào)考)如圖， 四棱錐S ABCD,AB/ CD BCL CD側(cè)面 SAB為等邊三角形， AB= BC=2, CD= SD= 1.證明：SD!平面SAB(2)求AB與平面SBO成角的正弦值.【答案】見(jiàn)解析【解析】方法 證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz,則 中,0,0) ,A(2,2,0),B(0,2,0),設(shè)S(x,y,z),則x&

6、gt;0,y>0,z>0,且AS= (x-2, y-2, z, ),BS=(x, y-2, z). DS= (x-1, y, z),由 | AS = | BS| ,得/x-2)2+(y-2)2+z2 =2+(y-2)2+z2,得 x=1,由 | DS = 1 得 y2+z2=1,由| BS =2得 y2+z24y+1 = 0,由解得y=1，z=.,所以S1,號(hào),AS=- 1, 2-,2, BS=1, 2,2-DS=0, 2,-2,所以DS-AS= 0,DS-BS= 0,所以 DSL ASDSL BS,又ASn DS= S,所以SDL平面SAB ，、. 二3二之,(2)設(shè)平面SBC的

7、一個(gè)法向量為m (a,b,c),BS=1， 2,亍，CB= (0,2,0), AB= ( -2,0,0),由mr BS= 0,m- CB= 03.3-a #十 學(xué)=0, 得22所以可取m= ( -<3, 0,2),故AB與平面SBC所成的角的正弦2b=0,值為 cos m abm- AB -2X ( -3)'21.7X27 .| m | AB方法二 (1)證明：如下圖，取 AB的中點(diǎn)E,連接DE SE則四邊形BCDEM巨形，所以 DE= CB= 2,所以AD= Q,dE+aE =工工因?yàn)閭?cè)面SAB為等邊三角形，AB= 2,所以 SA= SB= AB= 2,且 SE= 3,又 SD

8、= 1,所以 SA+SD= AD2, S=+ SD= eD,所以 SD1 SA SDL SB 又ASn DS= S,所以SDL平面SAB(2)作S在DE±的射影 G,因?yàn)锳B± SE ABL DE AB,平面SDE所以平面SDEL平面ABCD兩平面的交線 為 DE 所以 SGL平面 ABCD 在 RtDSE中，由 SD- SE= DE- SG得 1*,= 2* SG 所以 SG= 3,作 A在平面SBC±的射影 H,則/ABW AB與平面SBC/f成的角，因?yàn)镃D/ AR AB，平面SDE所以CDL平面SDE 所以 CD_SD,在 RtCDS中，由 CD= SD=

9、 1,求得 SC= 2.在 SBC中，SB= BC= 1, SC= 2,所以 &sbc =；x p2x,卜1 =金，由 V- SBC= VS-ABC得. S»ASBC。AHk 一 ' S»AABC . SG 即1 xx a+-X-X2X2X J2,22233323 2得A+ 2尹，所以sin /AB年霜耳-,故AB與平面SBO成的角的正弦值為 耳-.4. (2019 安徽江南名校聯(lián)考 )如圖，在四棱錐 P ABC用，PDL平面 ABCD AB/ DC ABL AD DC= 6, AD =8, BC= 10, / PAD= 45 , E為 PA的中點(diǎn).(1)求

10、證：DE/平面BPC(2)線段AB上是否存在一點(diǎn) F,滿足CFL DB若存在，試求出二面角F PC- D的余弦值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)證明：取PB的中點(diǎn)M連接EMW CM過(guò)點(diǎn)C作CNL AB垂足為點(diǎn) N因?yàn)镃NL AB DAL AB 所以CM DA又AB/ CD所以四邊形 CDANl平行四邊形，所以 CN= AD= 8, DC= AN= 6,在RtABNO, BN= qBC CN =102- 82 = 6,所以 AB= 12,而 E, M分別為 PA PB的中點(diǎn)，所以 EM/ AB且 EM= 6,又 DC / AB,所以EM/ CD且EM= CD四邊形CDEMb平

11、行四邊形，所以DE/ CM因?yàn)镃M?平面PBC D日平面PBC 所以DE/平面BPC(2)由題意可得 DA DC DP兩兩互相垂直，如圖，以D為原點(diǎn)，DA DC DP分別為x, y, z軸建立空間直.假設(shè)AB上存在一點(diǎn)F使CF! BD設(shè)點(diǎn)F角坐標(biāo)系Dxyz,則A(8,0,0),B(8,12,0),C(0,6,0),F(0,0,8)坐標(biāo)為(8,t, 0),則 CF= (8,t 6,0) ,DB= (8,12,0)，由 CFDB=。得 t=|.又平面 DPC勺法向量為 mr (1,0,0), 3設(shè)平面 FPC的法向量為 n = (x, y, z).又PC= (0,6 , 8) , fC= 8, 1

12、6, 0 .由“ 吟 °, 3>n FO 06y-8z= 0,-.16-8x+ y= 0,33z=4y，2 x=.y, 3一人 一 » r,.n - m不妨令 y=12,有 n= (8,12,9).則 cosn, m = ：-t | n| m8-,1 7陋2+ 122+ 928, y-、一17.又由圖可知，該二面角為銳二面角，故二面角l -一，人、8F PC- D的余弦值為.5. (2017 山東卷)如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的，G是DF的中點(diǎn).(1)設(shè)P是EE上的一點(diǎn)，且 API BE求

13、/ CBP勺大小;(2)當(dāng)AB= 3, AD= 2時(shí)，求二面角 E- AG- C的大小.【答案】見(jiàn)解析【解析】 因?yàn)锳PI BE, ABL BE,AR AP?平面 ABP ABH AP= A,所以 BE1平面 ABP 又BP?平面ABP所以BE! BP, 又/ EB0120 ,因此/ CBe 30 .(2)方法一 取EC的中點(diǎn)H,連接EH GH CH因?yàn)? EBC= 120° ,所以四邊形 BEH菱形, 所以 AE= GE= AC= GC= 32+ 22= 13.取 AG中點(diǎn) M 連接 EM CM EC 則 EML AG CML AG所以/ EMC1所求二面角的平面角.又 AM= 1

14、,所以 EM= CM= 13= 2 .3在BEC43,由于/ EBC= 120° ,由余弦定理得 EC= 22+222X2X2Xcos120° = 12,所以EC= 2 3,因此 EMC1等邊三角形，故所求的角為 60。_，一r，一-3) , AG= (1 , 3, 0) , CG=方法二 以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE BP, BA所在的直線為x, y, z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由2xi - 3zi = 0, 可得.一 一 xi+3yi=0.題意得 A(0,0,3) , E(2,0,0) , Q1 , 3, 3), C(-1, 3, 0),故AE= (2,0 ,m

15、- AE= 0, (2,0,3),設(shè)mi= (xi, yi, Zi)是平面AEG勺一個(gè)法向量.由m AG= 0取zi = 2,可得平面 AEG勺一個(gè)法向量 m= (3, 八3, 2).設(shè)n=(x2, y2, Z2)是平面ACG勺法向量.可得x2 + 3y2 = 0, 2x2+ 3z2= 0.取Z2= 2,可得平面 ACG勺一個(gè)法向量n=(3 , 3, 2).所以cos <m n> =優(yōu)方4由圖可得此二面角為銳二面角，故所求的角為6006. (2017 全國(guó)卷出)如圖，四面體 ABCDK ABB正三角形， ACD直角三角形，/ ABD= / CBD AB =BD(1)證明：平面 AC

16、M面ABC(2)過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AEG巴四面體ABC而成體積相等的兩部分，求二面角D AE- C的余弦值.【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)證明：由題設(shè)可得 AB挈CBD從而AD= CD又AACD直角三角形，所以/ AD住90° .取AC的中點(diǎn)O,連接DO BQ貝U DOL AC DO AO又因?yàn)?ABO正三角形，故 BQ£ AC所以/ DOE二面角D- AC- B的平面角.在 RtMO沖,BO+ AO= Ag,又 AB= BD 所以 bO+ dO- bO+ aO- ag=bD, 故/ BOD= 90。.所以平面ACDL平面ABC(2)由題設(shè)及(1)知，OA OB OD兩兩垂直，以 O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA勺方向?yàn)閤軸正方向，|OA為單位長(zhǎng)度， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則A(1,0,0),B(0, y3 0),C(- 1,0,0),D(0,0,1).由題設(shè)知，11 四面體ABCE勺體積為四面體 ABCD勺體積的2從而E到平面ABC