初中數(shù)學(xué)知識點整理表格版

1、初中數(shù)學(xué)教材知識梳理系統(tǒng)復(fù)習(xí)第一單元數(shù)與式第1講實數(shù)知識點一：實數(shù)的概念及分類關(guān)鍵點撥及對應(yīng)舉例Z實數(shù)（1）按定義分（2）按正、負性分r正有理%有理數(shù)0,有限小數(shù)或正實數(shù)負有理數(shù)J無限循環(huán)小數(shù)實數(shù)J 0實數(shù)I正無理數(shù)I負實數(shù)I無理數(shù)彳'無限不循環(huán)小數(shù)I負無理數(shù)J（1）（L既不屬于正數(shù)，也不屬于負數(shù).（2）無理數(shù)的幾種常見形式判斷：含IT的式 子：構(gòu)遺型：3.010010001-（毎兩個 1之問多個0就是一個無限不循環(huán)小數(shù)： 開方開不盡的數(shù)：如八三角函數(shù)型： 如 sin60° , tan250 （3）失分點督示：開得盡方的含根號的數(shù)屬于 有理數(shù)，如=2, =-3,它們梆屬于有理

2、數(shù).知識點二:實數(shù)的相關(guān)概念2.數(shù)軸（I）三要素：原點、正方向、單位長度<2）特征：實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)；數(shù)軸右邊的點表示 的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大例：數(shù)軸上-2.5表示的點到原點的距離是2. 5.3.相反數(shù)（1）概念：只有符號不同的兩個數(shù)（2）代數(shù)意義：a、b互為相反數(shù)U> a÷b=O（3）幾何意義：數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個點到原點的距 離相等a的相反數(shù)為-a,特別的0的絕對值是0.例：3的相反數(shù)是衛(wèi)，-1的相反數(shù)是丄.4.絕對值（1）幾何意義：數(shù)軸上表示的點到原點的距離（2）運算性質(zhì)：aI= f a （a0） ；a-bla-b（ab）L -a（a<0）

3、ba（a<b）（3）非負性：a 0t 若 a ÷b2=0t 則 3二b=g.（1）若 X =a （a0）,則 X= ±a.（2）對絕對值等于它本身的數(shù)是非負 數(shù).例：5的絕對值是呂-21=2；絕對值等 于 3 的是±3； II-I=Z1.5倒數(shù)（1）概念：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)的倒數(shù)為IZa（a0）（2）代數(shù)意義：ab=l<X>a,b互為倒數(shù)例：-2的倒數(shù)是-1/2 ；倒數(shù)等于它本身的數(shù) 有±1.知識點三:科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)6.科學(xué)記數(shù)法（1）形式：a×10n,其中IWIalV10, n為整數(shù)（2）確定n的方法：對于數(shù)位較多

4、的大數(shù)，n等于原數(shù)的整數(shù)為 減去1；對于小數(shù)，寫成a×10n, la<10, n等于原數(shù)中左 起至第一個非零數(shù)字前所有零的個數(shù)（含小數(shù)點前面的一個）例：21000用科學(xué)記數(shù)法表示為2. 1X10 ；19萬用科學(xué)記數(shù)法表示為1.9X10 ：0. Ooo7用科學(xué)記數(shù)法表示為7X107.近似數(shù)（1）定義：一個與實際數(shù)值很接近的數(shù).（2）精確度：由四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪 一位.例：3. 14159精確到百分位是3. 14；精確 到 0. OOl 是 3. 142.知識點四:實數(shù)的大小比較8.實數(shù)的 大小比較(1) 數(shù)軸比較法：數(shù)軸上的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.(

5、2) 性質(zhì)比較法：正數(shù)>0>負數(shù)；兩個負數(shù)比較大小，絕對值 大的反而±.(3) 作差比較法：a-b>O<a>b; a-b=0<X>a=b; a-b<O<X>a<b.(4) 平方法：a>b0OOa2>b2例：把1, -2.0, -2.3按從大到小的順序 排列結(jié)果為 1>0二一2二一23 .知識點五:實數(shù)的運算9.常 見 運 算乘方幾個相同因數(shù)的積；負數(shù)的偶(奇)次方為正(負)例：(1) 計算：1-2-6= -7 ； (一2)冬4 _；3 J 3 ； Tro= I ；(2) 64的平方根是±8

6、,算術(shù)平方根 是8 ,立方根是4 .失分點警示：類似“的算術(shù)平方根”計 算錯誤.例：相互對比填一填：16的 算術(shù)平方根是4 ,的算術(shù)平方根 是 2零次幕a 1 (a0)負指數(shù)暮a"p=lap (a0t P 為整數(shù))平方根、 算術(shù)平方根若x*a (a>0),則x=±J其中J了是算術(shù)平方根.立方根若 x'p,則 X=>a10.混合運算先乘方、開方，再乘除，最后加減；同級運算，從左 向右進行；如有括號，先做括號的運算，按小括號、 中括號、大括號一次進行.計算時，可以結(jié)合運算律， 使問題簡單化第2講整式與因式分解知識點一：代數(shù)式及相關(guān)概念關(guān)鍵點撥及對應(yīng)舉例厶代數(shù)

7、式(1) 代數(shù)式：用運算符號(加.減、乘.除、乘方、開方)把數(shù)或表示數(shù)的圭 魚連接而成的式子，單獨的一個數(shù)或一個宇母也是代數(shù)式.(2) 求代數(shù)式的值：用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，計算得出的結(jié)果，叫做 求代數(shù)式的值求代數(shù)式的值常運用整體代入法計算. 例：a-b=3,則 3b-3a=-9.2整式(單 項式、 多項 式)(1) 單項式：表示數(shù)字與字母積的代數(shù)式，單獨的一個數(shù)或一個字母也叫單項 式其中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，所有字母的指數(shù)翌叫做華項式的 次數(shù).(2) 多項式：幾個單項式的和多項式中的每一項叫做多項式的項，次數(shù)最高 的項的次數(shù)叫做多項式的次數(shù).(3) 整式：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式

8、.(4) 同類項：所含字母相同并且相同字母的卷數(shù)也相同的項叫做同類項所有 的常數(shù)項都是同類項.例：(1) F 列式子：-2"；3a-5b:x/2 ； 2/x；7；7i+8x弧 2017.其中 屬于單項式的是®：多項式是 ©:同類項是和働(2) 多項式7m -1 lmr+l是穴次三項式, 常數(shù)項是_J-知識點二：整式的運算3整式的加 減運 算(1合并同類項法則：同類項的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變(2) 去括號法則：若括號外是“ + 則括號里的各項都不變號：若括號外是“一”， 則括號里的各項都變號(3) 整式的加減運算法則：先去括號，再合并同類

9、項.失分警示：去括號時，如果括號外面是符 號，一定要變號，且與括號每一項相乘， 不要有漏項.例:-2(3a-2b-1) = -6a+ 4b+2.么幕運算法則(1) 同底數(shù)毎的乘法：hh=亡：(2) 舉的乘方：積的乘方：(ab)=i/ /7；(4)同底數(shù)毎的除法：÷a=(a0)其中m,n 都在整數(shù)(1) 計算時，注意觀察，善于運用它們的 逆運算解決問題例:巳知2m+n=2,則3 ×2n×2n=6.(2) 在解決霜的運算時，有時需要先化成 同底數(shù)例：2 4n=2.5整式的乘 除運 算(1) 單項式X單項式：系數(shù)和同底數(shù)探分別相乘；只有一個字母的照抄.(2) 單項式X多

10、項式：m(a÷b) - ma+mb.多項式 X 多項式：(m+n) (a+b) =ma÷mb+na÷nb.(4) 單項式÷單項式：將系數(shù)、同底數(shù)毎分別相除.(5) 多項式÷單項式：多項式的每一項除以單項式；商相加.失分警示：計算多項式乘以多項式時，注 意不能漏乘，不能丟項，不能出現(xiàn)變號縉.例:(2a-1) (b+2) =2ab+4a-b-2.(6)乘法公式平方差公式：(a+)(曰一方)=ef-lf注意乘法公式的逆向運用及其變形公式的 運用完全平方公式：(a±)2=r? r2<,i÷ !).變形公式：a2+b2=(a&#

11、177;b)2+ 2ab.ab- (a÷b)2- (a2÷b2) /26.混合 運算注意計算順序，應(yīng)先算乘除，后算加減；若為化簡求值，一般步驟為：化簡、 代入替換、計算.例：(a-l)2-(a÷3) (a-3)-10= -2a 知識點五：因式分解7.因式 分解(1) 定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式.(2) 傅用方法：提公因式法：腦+肋+加?=也(”+ b+ C).公式法：at)= (a+b)(一);a +2ab+ If =(刃±6)(3) -般步賤：若有公因式，必先提公因式；提公因式后，看是否能用公式 法分解：檢查各因式能否繼續(xù)分解(1) 因式

12、分解要分解到最后結(jié)果不能再分 解為止，相同因式寫成幕的形式：(2) 因式分解與整式的乘法互為逆運算第3講分式知識點一：分式的相關(guān)概念關(guān)鍵點撥及對應(yīng)舉例1.分式的概念A(yù)(1) 分式：形如二(兒是整式，且中含有字母，i90)B的式子(2) 最簡分式：分子和分母沒有公因式的分式.在判斷某個式子是否為分式時，應(yīng)注意：(1)判 斷化簡之問的式子；(2) 是常數(shù)，不是字母. 例：下列分式：;；;2x+2,其中是Jr-I分式是最簡分式.2.分式的意義A(1) 無意義的條件：當/RO時,分式石無意義；DA(2) 有意義的條件：當少O時，分式一有意義； BA(3) 值為零的條件：當上0,吐0時，分式=0.B失分

13、點警示：在解決分式的值為0,求值 的問題時，一定要注意所求得的值滿足分 母不為0.例：當V 1的值為O時，則X-Ix-13.基本性質(zhì)(1 )基本性質(zhì)：=(C0).B BC B+C(2)由基本性質(zhì)可推理出變號法則為： A_A_(_A)A_A_ AB -BBBB-B由分式的基本性質(zhì)可將分式進行化簡： 例：化簡：v71= v1.-+2x + l a-+1知識點三:分式的運算4.分式的約分和 通分(1) 約分(可化簡分式)：把分式的分子和分母中的公因式約去，卄amabm bi(2) 通分(可化為同分母)：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把異分母的分式通分的關(guān)鍵步驟是找出分式的最 簡公分母，然后根據(jù)分式的性質(zhì)通分.

14、例：分式，1和Z1 X的最簡公分母f+XA(X-I)分式化為同分母的分式，即b d be he為 a (x2 -1).5分式的加減法同分母：分母不變,分子相加減即£±-：C CC（2）異分母：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.即扌±予=d+bcbd 1X.例：+= Lx1 I-X11IaH a + “一I Cr -16.分式的乘除法(1): 7=除法：J£ =理；b d 竺Il Jbe(3)乘方：IfLf = S為正整數(shù))"丿hn2 a b1 2 1例：冇-=牙；=空；Ib a 2 X Xy(-)J=-7.分式的混合運算（1）僅含有乘除運算：首

15、先觀察分子、分母能否分解因式，若能，就要先 分解后約分.（2）含有括號的運算：注意運算順序和運算律的合理應(yīng)用一般先算乘方， 再算乘除，最后算加絨，若有括號，先算括號里面的.失分點警示：分式化簡求值問題，要先將分式化 簡到最簡分式或猿式的形式，再代入求值代入 數(shù)值時注意要使原分式有意義有時也需運用到 整體代入.第4講二次根式知識點一：二次根式關(guān)鍍點撥及對應(yīng)舉例1.有關(guān)概念（1）二次根式的概念：形如Eeo）的式子.（2）二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于咸等于0.（3）最筒二次根式：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整 式（分母中不含根號）；被開方數(shù)中不含能開得盡方 的因數(shù)或因式失分點警示：當判斷分式.

16、二次根式組成的復(fù) 合代數(shù)式有意義的條件時，注意確保各部分幫 有意義，即分母不為Ot被開方數(shù)大于等于O 等例：若代數(shù)式 F有意義,則X的取值 圍是x>l.2.二次根式的性質(zhì)（1）雙重非負性： 被開方數(shù)是非負數(shù)，即 二次根式的值是非負數(shù)，即需$0.注意：初中階段學(xué)過的非負數(shù)有：絕對值、偶襦、算式平 方根、二次根式.利用二次根式的雙重非負性解題：（1）值非負：當多個非負數(shù)的和為O時，可得 各個非負數(shù)均為O-如J + 1 + J/?-1 =0, 則 a=-l b=L（2）被開方數(shù)非負：當互為相反數(shù)的兩個數(shù)同時出現(xiàn)在二次根式的被開方數(shù)下時，可得 這一對相反數(shù)的數(shù)均為0.如已知 b=辰亍 +.則 a

17、=l, b0.(2) 兩個重要性質(zhì):(J)2=a(O);P=b = <Ct "響； Ld(6/ < 0)(3) 積的算術(shù)平方根：麻=五心20, b>0)；(4) 商的算術(shù)平方根：Jl=手 鼻0, b>°)例：計算：3.142 =3. 14； J(-2)2 =2； 姐=；=2 ；需=書=|知識點二:二次根式的運算二次根式的加減法先將各根式化為最簡二次根式，再合并被開方數(shù)相同的二次 根式.例：計算：2-8 + 32 =32彳二次根式的乘除法(1) 乘法：ya (a0, bM0)；(2) 除法：爺20, QO).注意：將運算結(jié)果化為最簡二次根式. 例：計算

18、：Jyf5.二次根式的混合運算運算順序與實數(shù)的運算順序相同，先算乘方，再算乘除，最 后算加減，有括號的先算括號里面的(或先去括號).運算時，注意觀察，有時運用乘法公式 會使運算簡便.例：計算：(+1)( 2 -D=第二單元 方程(組)與不等式(組)第5講一次方程(組)知識點一：方程及其相關(guān)概念關(guān)鍵點撥及對應(yīng)舉例1.等式的基本性質(zhì)(1) 性質(zhì)等式兩邊加或減同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果 仍是等式即若8=b則3±C=b±C(2) 性質(zhì)2：等式兩邊同乘(或除)同一個數(shù)(除數(shù)不能為0),所得結(jié)果仍是等式即若Z=b,則3c=bc. - = -(c0)C C(3) 性質(zhì)3：(對稱性)若

19、滬b,則b=3.(4) 性質(zhì)4：(傳遞性)若a=b,b=c,則a=c失分點警示：在等式的兩邊同除以一 個數(shù)時，這個數(shù)必須不為0.例：判斷正誤.(1) 若 a=b,則 ac=bc.(X)(2) 若 ac=bc,則 a=b. (J)2.關(guān)于方程的基本概念(1) 一元一次方程：只含有二個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1, 且等式兩邊都是整式的方程(2) 二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次 數(shù)都是1的整式方程(3) 二元一次方程組：含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的 一組方程.(4) 二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個方程的公共 解.在運用一元一次方程的定義解題時，注意一次項系數(shù)

20、不等于0.例：若(a-2) Xb-Il+ = 0是關(guān)于X的 一元一次方程，則a的值為g.知識點二:解一元一次方程和二元一次方程組3解一元一次方程的步驟(1) 去分母：方程兩邊同乘分母的最小公倍數(shù)，不要漏乘常數(shù)項；(2) 去括號：括號外若為負號，去括號后括號各項均要變號；(3) 移項：移項要變號；(4) 合并同類項：把方程化成ax=-b(a0);失分點警示：方程去分母時，應(yīng)該將 分子用括號括起來，然后再去括號， 防止出現(xiàn)變號錯誤.(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以系數(shù)a,得到方程的解X=-ba.4.二元一次 方程組的解法思路：消元，將二元一次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程.已知方程組，求相關(guān)代數(shù)式的值時，

21、 需注意觀察，有時不需解出方程組， 利用整體思想解決解方程組.例： 已知f-y=9則x-y的值為x_y二4.-2v=3T方法：(1) 代入消元法:從一個方程中求出某一個未知數(shù)的表達式，再 把“它”代入另一個方程，進行求解；(2) 加減消元法：把兩個方程的兩邊分別相加或相減消去一個 未知數(shù)的方法.知識點三:一次方程(組)的實際應(yīng)用5.列方程(組) 解應(yīng)用題的 一般步驟(1) 審題：審清題意，分清題中的已知量、未知量；(2) 設(shè)未知數(shù)；(3) 列方程(組)：找出等量關(guān)系，列方程(組)；(4) 解方程(組)；(5) 檢驗：檢驗所解答案是否正確或是否滿足符合題意；(6) 作答：規(guī)作答，注意單位名稱.(

22、1) 設(shè)未知數(shù)時，一般求什么設(shè)什么，但 有時為了方便，也可問接設(shè)未知數(shù).如題目 中涉及到比值，可以設(shè)每一份為x(2) 列方程(組)時，注意抓住題目中的 關(guān)鍍詞語，如共是.等于、大(多)多少、 小(少)多少、幾倍、幾分之幾等.6.常見題型及關(guān)系式(1) 利潤問題：售價=標價X折扣，銷售額二售價X銷量，利潤=售價-進價，利潤率=利潤/進價×100%.(2) 利息問題：利息=本金X利率X期數(shù)，本息和=本金+利息.(3) 工程問題：工作量二工作效率X工作時間.(4) 行程問題：路程=速度X時間. 相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程；追及問題：a.同地不同時出發(fā)：前者走的路程=追者走的路

23、程；b.同時不同地出發(fā)：前者走的路 程+兩地間距離二追者走的路程.第6講一元二次方程知識點一：一元二次方程及其解法關(guān)鍵點撥及對應(yīng)舉例1. 一元二次方程的相關(guān)概念(1) 定義：只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程.(2) 般形式：5x+%÷c=0(a0),其中ax bx、C分別叫做二次項、 一次項、常數(shù)項，a, b、C分別稱為二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù) 項.例：方程OXa+2 = 0是關(guān)于X的 一元二次方程，則方程的根為二2. -元二次方程 的解法(1)直接開平方法：形如(丹田P="SMO)的方程，可直接開平方求解.(2 )因式分解法：可化為 Sm)(亦/7)=

24、0的方程，用因式分解法求 解.(3 )公式法：一元二次方程 d +的求根公式為尸"±松-牝c(莎“0).Ia(4)配方法：當一元二次方程的二次項系數(shù)為1, 一次項系數(shù)為偶數(shù)時， 也可以考慮用配方法.解一元二次方程時，注意觀 察，先特殊后一般，即先考 慮能否用克接開平方法和因 式分解法，不能用這兩種方法 解時，再用公式法.例：把方程x2+6x+3=0變形為 (x+h)2=k 的形式后,h=23,k=6.知識點二:一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系3根的判別式(1) 當=b2-4ac>0時，原方程有兩個不相等的實數(shù)根.(2) 當 = b2-4ac時，原方程有兩個相等的

25、實數(shù)根.例：方程x2+2x-l =0的判別式等于8,故該方程有兩個不相等的實數(shù)根；方程x2+2x + 3 = 0的判(3)當=b2-4ac<0時，原方程沒有實數(shù)根.別式等于二故該方程沒有實數(shù) 根."4.根與系數(shù)的關(guān) 系(1) 基本關(guān)系：若關(guān)于X的一元二次方程aZ+AH-C=O(a0)有兩個根分 別為Xi、X2,則i+A5=-b/a. XlX2=c<.注意運用根與系數(shù)關(guān)系的前提條 件是4M0.(2) 解題策略：已知一元二次方程，求關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值時， 先把所求代數(shù)式變形為含有xl÷x2, X兇的式子，再運用根與系數(shù)的關(guān) 系求解.與一元二次方程兩根相關(guān)代數(shù)式

26、的 常見變形：(xl+l) (x2+l)=XiX2+ (x+x2)+1 x2÷x = (x÷xi)2-2xx2 1 丄 1 _片+兀等.X1 X2xx2失分點警示在運用根與系數(shù)關(guān)系解題時，注意前提條件時 -b2-4ac0.知識點三:一元二次方程的應(yīng)用4.列元 二次方 程解應(yīng) 用題(1)解題步驟：審題；設(shè)未知數(shù)；列一元二次方程；解一元 二次方程；檢驗根是否有意義；作答.運用一元二次方程解決實際 問題時，方程一般有兩個實數(shù) 根，則必須要根據(jù)題意檢驗根 是否有意義.(2)應(yīng)用模型：一元二次方程經(jīng)常在增長率問題、面積問題等方面應(yīng)用 平均增長率(降低率)問題：公式：b=3(l

27、7;x)nt 3表示基數(shù)，X表 示平均增長率(降低率)，m表示變化的次數(shù)，表示變化"次后的量； 利潤問題：利潤=售價-成本；利潤率=利潤/成本×100%; 傳播、比賽問題： 面積問題：a.直接利用相應(yīng)圖形的面積公式列方程；b.將不規(guī)則圖形 通過割補或平移形成規(guī)則圖形，運用面積之間的關(guān)系列方程.第7講分式方程知識點一分式方程及其解法關(guān)鍵點撥及對應(yīng)舉例1.定義分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.例：在下列方程中，x2 + l=0 ； x+y-4;1 x,其中是分式方程的x 1是.2.解分式方程方程兩邊同乘以 最簡公分母基本思路：分式方程J 整式方程約去分母例：將方程1 + 2

28、-2轉(zhuǎn)化為整式方程可x-l I-X得：l-2=2(-l)解法步驟：(1) 去分母，將分式方程化為整式方程；(2) 解所得的整式方程；(3) 檢驗：把所求得的X的值代入最簡公分母中，若 最簡公分母為0,則應(yīng)舍去3.增根使分式方程中的分母為O的根即為增根.例：若分式方程1 -0有増根，則増根為x 1L知識點二:分式方程的應(yīng)用4.列分式方程 解應(yīng)用題的 一般步驟（1）審題；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）列分式方程；（4）解分式 方程；（5）檢驗：（6）作答.在檢驗這一步中，既要檢驗所求未知數(shù)的值是 不是所列分式方程的解，又要檢驗所求未知數(shù) 的值是不是符合題目的實際意義.第8講 一元一次不等式（組）知識點一：

29、不等式及其基本性質(zhì)關(guān)鍵點撥及對應(yīng)舉例1.不等式的相關(guān) 概念（1）不等式：用不等號（>,<, W或H）表示不等關(guān)系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知數(shù)的取值圍.例：''a與b的差不大于1”用 不等式表示為a b 1.2.不等式 的基本 性質(zhì)性質(zhì) 1:若 a>b,則 ±c>b±c;性質(zhì) 2：若 a>b,c>O,則 act>bc9 >； C C性質(zhì) 3：若 a>b,c<O,則 ac<bc9 < C C牢記不等式性質(zhì)3,注意變號. 如：在不

30、等式一2x>4中，若將 不等戎兩邊同時除以一2,可得 x<2.知識點二:一元一次不等式3.定義用不等號連接，含有一個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)項的次數(shù)都是1的， 左右兩邊為整式的式子叫做一元一次不等式.例：若wxr+2+3>0是關(guān)于X的一元一次不等式，則Oi的值為-L4.解法（I）步驟：去分母；去括號；移項；合并同類項；系數(shù)化為1.失分點警示系數(shù)化為1時，注意系數(shù)的正負 性，若系數(shù)是負數(shù)，則不等式改 變方向.(2)解集在數(shù)軸上表示：11 A 1i > J> _>OOaOa0Uxax>axax<a知識點三:一元一次不等式組的定義及其解法5.定義由幾個含

31、有同一個未知數(shù)的一元一次不等式合在一起，就組成一個一元 一次不等式組.（1）在表示解集時，表示含有，要用實心圓 點表示；"V”，">”表示 不包含要用空心圓點表示.（2）已知不等式（組）的解集 情況，求字母系數(shù)時，一般先 視字母系數(shù)為常數(shù)，再逆用不&解法先分別求出各個不等式的解集，再求出各個解集的公共部分7.不等式組解集假設(shè)a<b解集數(shù)軸表示口訣pxbXPb大大取大1 :ab的類型'xa xbI_J_.ab小小取小等式（組）解集的定義，反推 出含字母的方程，最后求出字 母的值.如：已知不等式（a-l） x<l-a 的解集是x>-l,則

32、a的取值 圍是a<Lx>a .x b<2%Z?CIh大小，小大中間找X U xh無解a b大大，小小取不了知識點四:列不等式解決簡單的實際問題8.列不等式解應(yīng) 用題（1）一般步驟：審題；設(shè)未知數(shù)；找出不等式關(guān)系；列不等式；解不 等式；驗檢是否有意義.（2）應(yīng)用不等式解決問題的情況：a. 關(guān)鍵詞：含有“至少“最多（W）"、"不低于（） "不 高于（W）”、"不大（小）于"、“超過（>）”、"不足（V）”等；b. 隱含不等關(guān)系：如"更省錢”、“更劃算”等方案決策問題，一般 還需根據(jù)整數(shù)解，得出最佳方案注意

33、：列不等式解決實際問題中，設(shè)未 知數(shù)時，不應(yīng)帶"至少”、“最多” 等字眼，與方程中設(shè)未知數(shù)一 致.第9講平面直角坐標系與函數(shù)知識點一：平面直角坐標系關(guān)鍵點撥及對應(yīng)舉例1.相關(guān)概念（1）定義：在平面有公共原點且互相垂直的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標系（2）幾何意義：坐標平面任意一點J/與有序?qū)崝?shù)對（兒力的關(guān)系定一一對應(yīng).點的坐標先讀橫坐標（X抽）， 再讀縱坐標（y軸）2點的坐標特征（1 ）各象限點的坐標的符號待征（如圖所示）：點P（x,y）在第L象限«x>0, y>0:第一軟限:點 P（xy）在第二象限<=»x<Ot y>0：（ +） I點

34、 P （xy）在第二象處QXS0, y V0；一3 -2 -1 o點P（xy）在第四象限»x>0, y0.仁號弩；（2）坐標軸上點的坐標待征：T在橫軸上<=>F=0:在縱軸上QX=O:原點<=>x=0t y=0.（3）各象限角平分線上點的坐標 第一、三象限角平分線上的點的橫、縱坐標相等: 第二、四象限角平分線上的點的橫、縱坐標互為相反數(shù)（4）點P（8、的對稱點的坐標特征：關(guān)于X軸對稱的點A的坐標為一恥關(guān)于y軸對稱的點/關(guān)于原點對稱的點A的坐標為（一糾一勿（5）點J（x.y）平移的坐標特征：向右年移個平位向上平私M （x.y） Mi（x+a.y）向左平茯個

35、單位If ZI . 向F平莎b個甲佼門M（X÷a y+b）-第一軟限 -（+ + >I I I f123'第PJ限 -（+一）卞的坐標為（一禺）:（1）坐標軸上的點不屬于任 何象限.（2）平面直角坐標系中圖形 的平移，圖形上所有點的 坐標變化悄況相同.（3）平面直角坐標系中求圖 形面積時，先觀察所求圖形 是否為規(guī)則圖形，若是，再 進一步尋找求這個圖形面枳 的因素，若找不到，就要借 助割補法，割補法的主要秘 訣是過點向X軸、y軸作垂 篡，從而將其割補成可以直 接計算面積的圖形來解決.3.坐標點的距離問題（1點M（a.b）到X軸，y軸的距離：到X軸的距離為丨引：）到y(tǒng)軸的距

36、離為|引（2）平行于X軸，y軸直線上的兩點問的距篠：點JK（XI.0）t2.0）之問的距離為Xi-Xi .點MCs y）, M（兒，y）問的距離為Iati-AiI :點!（0, P） ,M（0,戶）問的距離為1力一如,點JXC“ p）, M（兒嚴）問的距離為.平行于X軸的直線上的點縱 坐標平行于y軸的直 線上的點的橫坐標相等.知識點二：函數(shù)4函數(shù)的相關(guān)概念（1）常量、變量：在一個變化過程中，數(shù)值始終不變的量叫做常量，數(shù)值發(fā)生變化的量 叫做變量.（2）函數(shù)：在一個變化過程中，有兩個變量X和幾 對于才的每一個值，y都有唯一確 定的值與其對應(yīng)，那么就稱X是自變量，y是X的函數(shù)函數(shù)的表示方法有：列表法

37、、 圖像法.解析法（3）函數(shù)自變量的取值圍：一般原則為：整式為全體實數(shù)：分式的分母不為室：二次根 式的被開方數(shù)為非負瓠使實際問題有意義.失分點督示函數(shù)解析式，同時有幾個代 數(shù)式，函數(shù)自變呈的取值圍 應(yīng)是各個代數(shù)式中自變量的 公共部分.例：函數(shù) y=T+3中自變量的取值圍x-5是 x-3 且 xH5.5函數(shù)的圖象（1）分析實際問題判斷函數(shù)圖象的方法： 找起點：結(jié)合題干中所給自變量及因變量的取值圍對應(yīng)到圖象中找對應(yīng)點： 找特殊點：即交點或轉(zhuǎn)折點，說明圖象在此點處將發(fā)生變化； 判斷圖象趨勢：判斷出函數(shù)的增減性，圖象的傾斜方向.（2）以幾何圖形（動點）為背景判斷函數(shù)圖象的方法：設(shè)時問為t（或線段長為X

38、）,找因變量與t（或X）之問存在的函數(shù)關(guān)系，用含t（或X） 的式子表示，再找相應(yīng)的函數(shù)圖象要注意是否需要分類討論自變量的取值國.讀取函數(shù)圖象増減性的技 巧：當函數(shù)圖象從左到右 呈“上升"（“下降"）狀態(tài)時， 函數(shù)y隨X的増大而增大（減 ?。?；函數(shù)值變化越龍，圖 象越陡心肖；當函數(shù)y值始 終是同一個常數(shù)，那么在這 個區(qū)問上的函數(shù)圖象是一條 平行于X軸的線段.第10講一次函數(shù)知識點一:一次函數(shù)的概念及其圖象、性質(zhì)關(guān)鍍點撥與對應(yīng)舉例Z 次函數(shù)的相關(guān)槪念（1）概念：一般來說，形如y=kx-b（k0）的函數(shù)叫做一次函數(shù)特別地，當方= 0時，稱為正比例函數(shù).（2）圖象形狀：一次函敏、y

39、=kx+b是一條經(jīng)過點（0也）和（-bk0）的直線待別 地，正比例函數(shù)y=心的圖象是一條恒經(jīng)過點（09）的直線.例：當R=L時，函數(shù)y=kx+k -1是正比例函數(shù)2. 一次函數(shù)的性質(zhì)k9 b 符號K>0, b>0K>0, b<0K>0, b=0KOt>0k<Q9 b<0JKOt b=Q（1）一次函數(shù)y=kx÷b中，k確定 了傾斜方向和傾料程度，b確定了 與y抽交點的位置.（2）比較兩個一次函數(shù)函數(shù)值的 大小：性質(zhì)法，借助函數(shù)的圖象， 也可以運用數(shù)值代入法.例：巳知函數(shù)嚴一2x+b.函數(shù)值 y隨X的増大而減小（填“增大" 或“絨

40、小”）大致r *4yL經(jīng)過.工 >J四 “> 、 %四 >四二、四圖象 性質(zhì)y隨X的増大而增大y隨X的增大而城小3次函數(shù)與坐標軸交 點坐標（1）交點坐標：求一次函數(shù)與X軸的交點，只需令y=Q解出X即可；求與y軸的交點 只需令xp求出y即可故一次函 y=kx+b（kQ）的圖象與X軸的交點是 （#，0）,與y軸的交點是（0, IJ）:（2）正比例函數(shù)y=kx（kQ）的圖象恒過點（0, 0）.例：次函數(shù)y=x+2與X軸交點的 坐標是（-20人與y軸交點的坐 標是（0,2）知識點二:確定一次函數(shù)的表達式4確定一次函數(shù)表達式的條件（1）常用方法：待定系數(shù)法，其一般步驟為： 設(shè)：設(shè)函數(shù)表

41、達式為y=x+>UO）: 代：將已知點的坐標代入函數(shù)表達式，解方程或方程組： 解：求出A與。的值，得到函數(shù)表達式.（2）常見類型：巳知兩點確定表達式；巳知兩對函數(shù)對應(yīng)值確定表達式；平移轉(zhuǎn)化型：如巳知函數(shù)是由y=2x平移所得到的，且經(jīng)過點（OJ）.則可設(shè)要 求函數(shù)的解析式為y=2x÷b,再把點（0.1的坐標代入即可.（1）確定一次函數(shù)的表達式需要 兩組條件，而確定正比例函數(shù)的 表達式，只需一組條件即可.（2）只要給出一次函數(shù)與y軸交點 坐標即可得出b的值b值為其縱 坐標，可快速解題.如：巳知一次 函數(shù)經(jīng)過點（0.2）,則可知b二2.5. 一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律：一次函數(shù)圖象平移前

42、后k不變，或兩條直線可以通過平移得到，則可知它們 的k值相同.若向上平移h單位，則b值増大h：若向下平移h單位，則b值減小h.例：將一次函數(shù)y =-2x+4的圖象 向下平移Z個單位長度所得圖 象的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x÷2知識點三:一次函數(shù)與方程（組人不等式的關(guān)系5次函數(shù)與方程一元一次方程kx+b二0的根就是一次函數(shù)y=kx+b （k、b是常數(shù)，k0）的圖象與X 軸交點的橫坐標.例：（1）巳知關(guān)于X的方程ax÷b-0 的解為x=l則函數(shù)y=ax+b與X 軸的交點坐標為（l0）.（2）一次函數(shù)y=-3x+12中，當X >4時，y的值為負數(shù).7次函數(shù)與方程組二元一次方程組

43、J y_kix+b射解O兩個一次函數(shù)y二kx+b和y=k2x÷b圖象的交點 坐標IMIy=K2X+b8. 一次函數(shù)與不等式（1）函數(shù)y=kx÷b的函數(shù)值y>0時，自變量X的取值國就是不等式kx+b>0的解 巢（2）函數(shù)y=kx÷b的函數(shù)值y<0時，自變童X的取值團就是不等式kx÷b<0的解 巢知識點四:一次函數(shù)的實際應(yīng)用9. _般步麋（1）設(shè)出實際問題中的變量；（2）建立一次函數(shù)關(guān)系式：（3）利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)關(guān)系式；（4）確定自變量的取值圍：（5）利用一次函數(shù)的性質(zhì)求相應(yīng)的值，對所求的值進行檢驗，是否符合實際意義：（6）

44、做答.一次函數(shù)本身并沒有最值，但 在實際問題中，自變量的取值 往往有一定的限制，其圖象為 射線或線段涉及最值問題的 一般思路：確定函數(shù)表達式一 確定函數(shù)增減性一根據(jù)自變 量的取值國確定最值.10.常見題型（1）求一次函數(shù)的解析式.（2）利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決方案問題.第11講 反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)知識點一：反比例函數(shù)的概念及其圖象.性質(zhì)關(guān)鍵點撥與對應(yīng)舉例1.反比例函數(shù)的概念（1）定義：形如y=-（0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，k叫做比例系數(shù)，自變量 的取值圍是韭莖的一切實數(shù)（2）形式：反比例函數(shù)有以下三種基本形式：（）y=-.ykx-1；xy=k.（其中 k 為常數(shù)，且 kH0）例：函數(shù)y=3x

45、b ,當m=2時,則該函 數(shù)是反比例函數(shù).Z反比例函£的符號圖象經(jīng)過象限y變化的情況（1）判浙點是否在反比例函數(shù)圖象上 的方法：把點的橫、縱坐標代入看是數(shù)的圖象 和性質(zhì)A>0圖象經(jīng)過第一、三象限（x、y同號）毎個象限，函數(shù)y的值隨丫 的増大而減小否滿足其解析式：把點的橫.縱坐標 相乘，判斷其乘枳是否等于k.失分點警示（2）反比例函數(shù)值大小的比較時，首 先要判斷自變量的取值是否同號，即是 否在同一個象限，若不在則不能運用性 質(zhì)進行比較，可以畫出草圖，直觀地判 斷.KO圖象經(jīng)過第 二、四象限（x、y異號）每個象限，函數(shù)y的值隨X 的瓚大而増大.3.反比例函數(shù)的圖象 特征（1）由兩條

46、曲線組成，叫做雙曲線；（2）圖象的兩個分支都無限接近X軸和y軸，但都不會與X軸和y軸相交：（3）圖象是中心對稱圖形，原點為對稱中心；也是軸對稱圖形，2條對稱軸分別是平面直角坐標系一、三象限和二、四象限的角平分線例：若（a, b）在反比例函y = -的圖.V象上，則（一蘇-b）該函數(shù)圖象 上.（填“在不在J4.待定系數(shù)法只需要知道雙曲線上任意一點坐標，設(shè)函數(shù)解析式，代入求出反比例函數(shù)系數(shù)&即可例：巳知反比例函數(shù)圖象過點（一3, -1）,則它的解析式是y=3x.5.系數(shù)k的幾何意義6.與一次函數(shù)的綜合（1）意義：從反比例函數(shù)y=-（A0）圖象上任意一點向X軸和y軸作垂線, X垂線與坐標軸所

47、國成的矩形面積為M 以該點、一個垂足和原點為頂點的三 角形的面積為l2k.（2）常見的面枳類型：）OeCXwsoc= I k I5" I k I (OA=AC)（1）確定交點坐標：【方法一】巳知一個交點坐標為（ab）.則根據(jù)中心對稱 性，可得另一個交點坐標為（-a.-b）【方法二】聯(lián)立兩個函數(shù)解析式，利 用方程思想求解.（2）確定函數(shù)解析式：利用待定系數(shù)法，先確定交點坐標，再分別代入兩個函 數(shù)解析式中求解（3）在同一坐標系中判斷函數(shù)圖象：充分利用函數(shù)圖象與各字母系數(shù)的關(guān)系， 可釆用假設(shè)法，分k>0和k<0兩種情況討論，看哪個選項符合要求即可. 也可逐一選項判斷、排除.（4

48、）比較函數(shù)值的大?。褐饕ㄟ^觀察圖象圖象在上方的值大，圖象在下方 的值小，結(jié)合交點坐標，確定出解集的國知識點三：反比例函數(shù)的實際應(yīng)用（1題意找出自變量與因變量之問的乘枳關(guān)系；（2設(shè)出函數(shù)表達式：（3）依題意求解函數(shù)表達式：（4）根據(jù)反比例函數(shù)的表達式或性質(zhì)解決相關(guān)問題.第12講二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)失分點警示巳知相關(guān)面積，求及比例函數(shù)的表達 式，注意若函數(shù)圖象在第二、四象限， 則 k<0.例：巳知反比例函數(shù)圖象上任一點作坐 標軸的垂線所圍成矩形為3,則該反比 33例函數(shù)解析式為：y = -y = -XX涉及與面積有關(guān)的問題時，要善于把 點的橫.縱坐標轉(zhuǎn)化為圖形的邊長，對 于不好直接求 的面

49、積往往可 分割轉(zhuǎn)化為較 好求的三角形面枳：也要注意系數(shù)k的幾何意義. 例：如圖所示，三個陰彩部分的面積按 從小到大的順序排列為：Szsmc=SmAS知識點二:反比例系數(shù)的幾何意義及與一次函數(shù)的綜合知識點一：二次函數(shù)的概念及解析式關(guān)鍵點撥與對應(yīng)舉例Z 次函數(shù)的定義形如y=d +加+c (。，方，C是常數(shù)，a0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù).例：如果函數(shù)尸Q-I)F是二 次函數(shù)，那么8的取值國是 a0.2解析式(1) 三種解析式：一般式：y=a2+bx+c;頂點式：y=a(-h)2+k(aO), 其中二次函數(shù)的頂點坐標是(h.k);交點式:y=a(-1) (-2),其中Xi, x2 為拋物線與X軸交點的橫

50、坐底(2) 待定系數(shù)法：巧設(shè)二次函數(shù)的解析式；根據(jù)已知條件，得到關(guān)于待定系 數(shù)的方程(組)；解方程(組)，求出待定系數(shù)的值，從而求出函數(shù)的解析 式.若巳知條件是圖象上的三個 點或三對對應(yīng)函數(shù)值，可設(shè)一 般式：若巳知頂點坐標或?qū)ΨQ 軸方程與最值，可設(shè)頂點式： 若巳知拋物線與X軸的兩個交 點坐標，可設(shè)交點式.知識點二:二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)3二次函數(shù)的圖象 和性質(zhì)圖象/=SrFTc( > 0)ZK /。*=v2+fev+< ( < 0)(1) 比較二次函數(shù)函數(shù)值大 小的方法：直接代入求值 法；性質(zhì)法：當自變量在對 稱軸同側(cè)時，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì) 判斷：當自變量在對稱軸異側(cè) 時，可先利用

51、函數(shù)的對稱性轉(zhuǎn) 化到同側(cè)，再利用性質(zhì)比校： 圖象法：畫出草圖，描點后 比較函數(shù)值大小.失分點菁示(2) 在自變量限定圍求二次 函數(shù)的最值時，首先考.慮對稱 軸是否在取值國，而不能盲目 根據(jù)公式求解.例：當0WxW5時，拋物線 y=+2x+7的最小值為7_.開口向上向:E對稱 軸bX=一2“頂點 坐標r b 4uc b1 Ia 4“)增減 性當心丄時隨才的增大而增大;2當Xjb時隨X的增大而減小.Ia當x>時，y隨X的増大而關(guān)!?。?a當< 時丿隨X的增大帀增大.Iu最值bb1X=y<=:2“，4dhAaC-I)Iy”=J 2“，Aa3.系數(shù)b、Ca決定拋物線的開口方向及開口大

52、小當&>0時，拋物線開口向上； 當HVo時，拋物線開口向下.某些特殊形式代數(shù)式的符號： a±b+c即為X二±1時，y 的值：4a±2b+c即為X-土Z時，y的值.2屮b的符號，需判浙對稱 軸-b2a與L的大小若對稱 軸在直線x=l的左邊，則-b2a >U再根據(jù)a的符號即可得 出結(jié)果2a-b的符號，需判 斷對稱軸與丄的大小.a. b決定對稱抽(x=-b2a) 的位置當厶同號，-b2s<0,對稱軸在y軸左邊； 當b=0時， -b2a=0,對稱軸為y軸：當b異號,-b2a>0,對稱軸在y軸右邊C決定拋物線與y軸的交 點的位置當c>0

53、時，拋物線與y軸的交點在正半軸上： 當C=O時，拋物線經(jīng)過原點：當CVo時，拋仙線與y軸的交點在負半軸上.If -4ac決定拋物線與X軸的交點個數(shù)t)-ac>0時，拋物線與X軸有2個交點；F4$C=O時，牠物線與X軸有1個交點； tf-ac<0時，拋物線與X軸沒有交點知識點三:二次函數(shù)的平移4.平移與解析式的關(guān) 系向左g°）或向右Q黑“_叫2向上（E或向下（XO）,卩亠 的圖象和納個單位P的圖象'平馳個單位A的圖象注意：二次函數(shù)的平移實質(zhì)是頂點坐標的平移，因此只要找出原函數(shù)頂 點的平移方式即可確定平移后的函數(shù)解析式失分點警示:拋物線平移規(guī)律是“上加下減， 左加右減

54、”，左右平移易弄反. 例：將拋揚線y=x'沿X軸向右平 移2個單位后所得拋物線的.解析 式是尸（-2） 2.知識點四:二次函數(shù)與一元二次方程以及不等式5.二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)7W+c（50）的圖象與X軸交點的橫坐標是一元二次方 程 a2÷bx÷c=0 的根.當ZI=-4c>0,兩個不相等的實數(shù)根；當 =-AaC=O9兩個相等的實數(shù)根；當=if-4ac<09無實根例：已經(jīng)二次函數(shù) y=x-3x+m（m為常數(shù)）的圖象 與X軸的一個交點為（1,0）, 則關(guān)于X的一元二次方程 x'-3x+m二O的兩個實數(shù)根為 2il6.二次函數(shù)與不等式拋物線y= a-bx+c =O在X軸上方的部分點的縱坐標都為正，所對應(yīng) 的X的所有值就是不等式3+c>0的解集；在X軸下方的部分點的 縱坐標均為負，所對應(yīng)的X的值就是不等式3÷+c<0的解集.第13講二次函數(shù)的應(yīng)用知識點一：二次函數(shù)的應(yīng)用關(guān)鍵點撥實物拋物線一般步驟題目中-mmU匚 建立的原則：所建立的坐標系要使求出的二次 函數(shù)表達式比較簡單；使已知點所在的位置適 當（如在X軸，y軸、原點、拋物線上等），方便 求二次函數(shù)、表達式和