等差、等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、等差、等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI) JINGBIAN一、任意數(shù)列的通項(xiàng)“”與前“項(xiàng)和s“的關(guān)系：色=9is” - S,I （“ > 2）一 箸差數(shù)壽|匸、等差數(shù)列及等差中項(xiàng)定義“”一畑=、為=%；% °2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:“”=5+（九-1）、an =ak +（n-k）d當(dāng)"0時(shí)，“”是關(guān)于n的一次式；當(dāng)=0時(shí)，綣是一個(gè)常數(shù)。3、等差數(shù)列的前”項(xiàng)和公式：= 嚴(yán)）S,嚴(yán)巴匸氏/2 24、等差數(shù)列仏”中，若 m + n = p + q > 貝9 am + an = ap-aq5、等差數(shù)列仏”的公差為d,則任意連續(xù)川

2、項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列S,八S2,”-S,”、 S'jSg、仍為等差數(shù)列。6、 Sn = An2 + Bn, d = 2A9= A + B7、在等差數(shù)列“”中，有關(guān)S”的最值問題利用S“（工0時(shí)，S”是關(guān)于"的二次函數(shù)）進(jìn)行配方（注意”應(yīng)取正整數(shù)）三、等比數(shù)列1>等比數(shù)列及等比中項(xiàng)定義：心 c 2一 =q、=c”+ian-2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：=叩"5=%"3、等比數(shù)列的前”項(xiàng)和公式：當(dāng)4 = 1時(shí)，S,嚴(yán)叫當(dāng)9工1 時(shí)，» = 5（1一廠）=l_q-q4、等比數(shù)列中，若m + n = p + q ,則am -an =ap-ag5、等比數(shù)列S”

3、的公比為q,且恥0,則任意連續(xù)?項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列S,”、Sg-Sm、 S齊-Sz仍為等比數(shù)列6、sn =Aqn+B,貝|JA + B = O四、求數(shù)列£的最大的方法:a”«n+l五、求數(shù)列"”的最小項(xiàng)的方法：5 §如例：己知數(shù)列“”的通項(xiàng)公式為：“”=-2朋+25-3,求數(shù)列“”的最大項(xiàng)。例：己知數(shù)列心的通項(xiàng)公式為：g = 9罟“，求數(shù)列的最大項(xiàng)。§ = 1數(shù)列求和方法總結(jié)1、公式法(1)等差數(shù)列s,嚴(yán)晉i + 心)2(2)等比數(shù)列12 + 22 +32 +.+ /72(1) 1 1 1n(n + l) n n + yjn + + yii= l

4、n + - Vn;n(n + l)(2n + l)6(4) l3 + 23 +33 +. + n3例仁 求1 + 4 + 7 + (3x + l)的值例2、求 + "+/ x"的值例3、求 12+22+32 +-+W2 的值2、分組求和法類型：數(shù)列S的通項(xiàng)公式形如an=bn±Cn9而是等差數(shù)列，G是等比數(shù)列。 例4：計(jì)算丄+ 3丄+ 5丄的值b(2”l)丄2482"練習(xí):已知數(shù)列仏的通項(xiàng)an = 2n-2n3 ,求前5項(xiàng)和£ 練習(xí)：求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn：,1 , 1 11, 1 + -, 1+- + -2243裂項(xiàng)相消法 常見裂項(xiàng)技巧:1 )；

5、(2/?-1)(277 + 1) = 2 ' 2n-1 2n +11 1 1 1 114-71VS)+x/3 2 2/z Vh + X«-W*練習(xí)求s” =丄+丄+丄+1的值.1x3 3x55x7（2n-l）x ？ + 1）4. 倒序相加法特點(diǎn)：ax +一=a2 + q一2 =他+勺一3 =例 5. sin21° +sin2 2° +sin2 3° + + sin 88°+sin2 89%例 6、1、已知 f(x) =,2v + >/2設(shè) s” = /()+/()+/()+/() 求 s” n n nn5、錯(cuò)位相減法常應(yīng)用于形如6

6、 .加的數(shù)列求和，其中如為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列.例 7、S“ =2 + 5x2 + 8x22+ (3料1)2心練習(xí)：=2 + 5x丄+ 8x（丄）?+ （3”1）（丄）" 2 2 2（2）1+!+!+!；1 + 2 1 + 2 + 31 + 2 + 3 + + ” （3）4 + 7x4 + 10x4'+ （3 + l）4"T練習(xí)：數(shù)列儀的前九項(xiàng)和為么產(chǎn)1,如產(chǎn)2S+1 (n>l)(1) 求數(shù)列"”的通項(xiàng)公式"”(2) 等差數(shù)列仇的各項(xiàng)為正數(shù)，且方2=5, 乂 at+blf a2+b2f a3+b3成等比數(shù)列，求b”(3) 求數(shù)列%&qu

7、ot;的前項(xiàng)和7；數(shù)列通項(xiàng)公式方法總結(jié)1、公式法等差數(shù)列的通項(xiàng)公式: an = 6/| + (n _ 1) a” = am + (/? 一 m)d等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:aH = 5廠2、累加法類型：an+l - an = f(n)(n e N)例 1、% = an + 2n + b ax = 1,求州例 2、= "“ + 3" -2,= 1,求心例 3、“卄=an + 3W, a = 1,求3、累乘法類型:虹=/(,)( e A)例 4、+|=2"% =3,求a”A? +1練習(xí)：a =1,色+ =an,求色n4、利用S“求心S弄=1fl，=k-5_1,H>2例

8、4： Sn = 3" +1,求”練習(xí)：S” =扣” - 1)("N*)J(4) 、數(shù)列勺的前n項(xiàng)和為Sn，且q=l, «,I+1 =Sn,/? = 1,2,3求偽,偽4的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式.5、取倒數(shù)Pan例5、終"求例6、已知數(shù)列呦中，01=1, an+i+3on+ian-an=0/求數(shù)列仙的通項(xiàng)公式.6、取對(duì)數(shù)類型:«n+1 = A<例 7、 =4：，“1 =2,求a”7、構(gòu)造法主要用于形如an.i=can+d的已知遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式。 例 8 > ai=3fani=2an+3,求 an練習(xí)：產(chǎn)掃+*, “1 = 1,利(

9、2必+i = 6an +9, aj = 1,求心練習(xí)：心，"總求色力+1 =勺+1 = 2an +2，4 = 1，求°” "“+1=如+3"二“嚴(yán)1,求(5) 、數(shù)列心中舛是它的前畀和，并且滿足 »+i =如“+2(/1 wN»),d =1設(shè)化=略廠迥，求證仇是等比數(shù)列； 設(shè)c” =扌，求證數(shù)列c”是等差數(shù)列.(6) 、己知數(shù)列勺的首項(xiàng)幻=3,通項(xiàng)叫與 前“項(xiàng)和片之間滿足如=片_( 2 2) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式.8、特征根法形如務(wù)嚴(yán)皿十砂淇中p,q為常數(shù))型例9、£+1 = 5 +%一 "1 = 1皿2 = 2,求例

10、10、Un+1 = % 一1，幻=2 = 2,求色方法總結(jié)：若方程有兩個(gè)根“宀，貝！K=4斗+血；若方程只有一個(gè)根小，則知=（4+加）瑞練習(xí)、叫+1=加“+&<“-1，“1=1，“2=2，求4”練習(xí)、=%-9勺_1“ =1皿2 = 2,求厲設(shè)p, q為實(shí)數(shù)，a, 0是方程x2 -px + q = 0的兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列旺滿足x, =/? , x2 = p2-qf兀=以一1 一舛2（72 = 34，）（1）證明：a + /3 = p , a/3 = q ；（2）求數(shù)列"的通項(xiàng)公式；（3）若p = , q = - 求兀的前"項(xiàng)和S”若計(jì)例1 已知數(shù)列a滿足q = 1,

11、 an = ax + 2a2+3色 + + (一 I)%.】(77 > 2),貝lj% =an =再 + 2a = + + (n l)q一】(n > 2)勺-i = a + 2ai + + (n - 2) J 5 A 3) 一 = (n 一 1)% (n > 3)- = n(n > 3) %1 , /? = 1Ix2x3xxn【例2】已知數(shù)列、bn滿足a.=l,色=3,孕= 2gN)bn=alt+-aljObn(1) 求數(shù)列W”的通項(xiàng)公式；(2) 求數(shù)列仏的通項(xiàng)公式；(3) 數(shù)列cn滿足 cn = log 2(a“ +1) (n e yV ) >_p. c111求

12、 S” =+ +。c© C3C5q«-iqM+1【解】(1).如L = 2(*NJ,又勺=a，一q = 3-1 = 2 o所以破列仇是首項(xiàng)4=2,公比q = 2的等比數(shù)列。 故仇二侏r、2”。(2) an+i-an=2'l(neNan = (d” - an_) + (q,T - ®_2)+ + 2 一 絢)+ 1 _on=2心 +2心+ 2 + 1 二一 =2n-lo1-2(3) cn = fog2(an +I) = k)g2(2" -1 +1) = log2 2H =n,.1_1 J 1 _ )c2m-ic2»+i (2n-l)(2n

13、 + l) 2 2/7-1 2n + l 1 1 1Sn 111g C3C5【例10帥數(shù)洌帆中,4 = 3,%1- 2® = 0,數(shù)列仇中, =( + 4 )P (/g S ).2/? 12/7 +1(L)1亦數(shù)列呵丄通碩公式;(II込求鍥列+1札逋頤公式以及前”項(xiàng)的和.【解】(1) *.* an+l 2an = 0= 2(n > 1),又 q = 3,【例2】已知數(shù)列仏的前”項(xiàng)和為S”，若冷且an + 2S S”t = 0(m > 2)(I) 求證丄是等差數(shù)列，并求出©的表達(dá)式；(II) 若 bn =2(-n)an(n>2),求證 b； +Z? + +

14、/?； <1 .(I)證明：V Sn=a +a2+- + an當(dāng) f i 2 時(shí),cin Sn Sa-i 又 a4-25w5n-i=0 S“-Sh+2SQt=0(心 2), 若 Sn = 0,則 an = 0,di = 0與di =丄矛盾！2£¥0, SiH0_J_ + 2 = oW±-=21S? S弋是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列由知數(shù)列宙是等差數(shù)列 = 2 + 02- 1)-2 = 277 即=丄當(dāng)心2時(shí)=Sn -又當(dāng)加=1時(shí),S = G=2(II)證明:2n_I2/72(“ 一 1) 2n(n - 1)(H = 1)2ci = <“ 1S >

15、; 2)2( 一 1)27由(II)知饑=2(1 -町1= -(/! > 2)2/1(1 - n) n b； + b； 1- b = 7 H + -3"22 32 n21 1 1<+1x2 2x3 (n -1)/:門 1、 JI、/11、=(1一 朮 + £-了)+ +(7一) 223n -1 n=I < 1n例2已知點(diǎn)(1丄)是函數(shù)/'(x) = aa > 0,且a工1)的 圖象上一點(diǎn).等比數(shù)列a的前項(xiàng)和為e)-c,數(shù) 列他(® > 0)的首項(xiàng)為C,且前“項(xiàng)和S”滿足S -S”“ =妊+際(心).(1)求數(shù)列勺和仇的通項(xiàng)公式

16、;若數(shù)列丄的前項(xiàng)和為G問滿足7； > b扎'般的最小正整數(shù)是多少?【解】(1)1o5 =.f(l)-c = §-c ,&2(2)-c-y-c=->7偽=/-c-/(2)-c = -._4又?jǐn)?shù)列成等比數(shù)列，6/,=- = = - = l-C，所以C = ；ci. L 33 S廠（何-禹7）（何+尺卜陽尺（心）又:Js“_ = 1；數(shù)列妊構(gòu)成一個(gè)首相為1公差為1的等差數(shù)列,=l+(?7-l)xl=7? , sn =n2當(dāng) /?>2， bn = Sn - 5n_, = n1 -(7i -1)2 = 2n -1 ;/. bn = 2n-l(n e );(2)

17、T =1111咆叢b&b扎、1 1 1 1而 + 茹 + 麗 + +(2h_1)x(2/2 + 1)11、1( V1<1 1( 1 1 )1+ 一+ 一+12< 3>2<3 5>2<5 7)2 V 2/7 -12/7 +1 丿1(1 n1-22/t + l)2/z +1山丁H1000 徂 1000由盜=>得n >,12/? + 120099滿足7； >型2的最小正整數(shù)為112. "2009【變式2】等比數(shù)列%的前項(xiàng)和為S”，已知對(duì)任意的n e N+ ,點(diǎn)（n,均在函數(shù)y = bx+r（b> 0且bHl,b,r均為常數(shù)

18、）的圖像上。（1）求廠的值；（2）當(dāng)b=2時(shí)，記仇=匕乜（nwAT）,求數(shù)列$的前斤項(xiàng)和7；。 仇因?yàn)閷?duì)任意的n w M,點(diǎn)（»,為）,均在函數(shù)y = bx + r的圖像上，當(dāng) =1時(shí),卩=§ = b +廠,當(dāng) n X 2 日寸，陽二 S“一 S“t = bn + r-曠 + r） = bn - b' =（b- 1）“心,又因?yàn)?#169;為等比數(shù)列，所以r = -l,公比為b,所以 a>l =（b-(2)當(dāng)時(shí)，仔(Z)宀2=爪筈k罟需/? + 173 4貝 |J T =+ H7 4h n 22 2- 242,+|1 -234n/? +1I + + + + +

19、2 "2324252/,+,2,+2I口卄 ZH1 -21111n + 相減，得人=尹+尹+尹+歹+時(shí)_刁莎丄C 1 _ 12, %'2"-" +1 _ 31 n + n+12"+2-4 2_丄2/,+24 2_2m、i f 31 n + 13 + 3所以人=廠歹一尹=廠尹。【變式訓(xùn)練】已知數(shù)列和滿足：S“=la“(gN+),其中S”為數(shù)列為的前九項(xiàng)和.(1)試求偽的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列仇滿足:bn=-(nN+)，試求仏的前斤項(xiàng)和公式幾 CLn解析：= 1-如Si +1 = 1 一 a” 1.一得= 一務(wù)$1十禺.'。屮1禺©

20、 - NJ.又當(dāng) n = 1 U'h G = 1 -= y.4-(2)由得 bfl=-=n(nN+). UhAL? = 1 X2 + 2 X 22 + 3 X 23HnX2 A27；z=1 X22+2X23+3X24HnX2n+i一得一Tn=2+22 + 23H2"比 X2"+i1-2【例1設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列如和兒滿足： 給、仇、d曲成等差數(shù)列，5、如、仇+1成等比數(shù)列, 且 ai = l, b=2 , Q2 = 3 ,求通項(xiàng)巾” bn .【解】依題意得：2幾+1 =如+如2"2卄1 = Z小丁如、九為正數(shù)，由得 6+1= J2Q+ ,d”+2 = J&

21、#187;>”+2， 代入并同除以應(yīng)；得：2陽二揚(yáng)+ J石 廟為等差數(shù)列.T "，八仇為正數(shù)，由得 al1+l = J$Q+ ,%2 =血+仇+2 ， 代入并同除以応得：2応丁 +応, 城為等差數(shù)列.,9V b = 2化=3 , a = blb2則/?=-,2- 廟= d + （"_l）諂-血）=¥（" + 1）,.仇=（"；»，.當(dāng)心2時(shí)，"際=響，又如二1, 當(dāng)"二1時(shí)成立， °a =“ 2【例3】已知點(diǎn)幾仏九）（/2 EN+）都在直線門j=2x+2上P1為直 線/與兀軸的交點(diǎn)，數(shù)列仏成等差數(shù)列

22、，公差為1（1）求數(shù)列仏,®的通項(xiàng)公式；（2）若加）=W偽鷲f，問是否存在"N+，使得f（k+5）=久為偶數(shù)）為仗）一2成立；若存在，求出k的值，若不存在，說明理由。（3）求證：+ + <|-（F&2/WN+）昭朋 P&(1) 0)溝二一1, bx =0, =-1+1=0, ：巧=2, _片=2,an =+(/?-l)4=-l+n-l=n-2 , bn bx +(n1)-2 = 2h2(2)若氐為奇數(shù)， 則 f(k)= ak=k-2,f 伙 + 5)=儀+5 = 2k + 8,2k+8=2k- 4 一 2無解，:.這樣的k不存在; 若氐為偶數(shù)，則f(k

23、)=2k-29 /仗+5)勻1+3,+3=4氐一4一2， q=3k,班=3(舍去)無解.PR = (n-2 + l,2n - 2) =(Z? -1,2/2 - 2)2.軒可=0 1)2 + 40 1)2=5(711)2=5 卜”1?1 2<5(1 + 1)=>(012+1x2 + 2x3 +(2)(1)三2,一1三1)【例2】已知數(shù)列砒的前項(xiàng)和鯨=22+2兒 數(shù)列Q的前 ”項(xiàng)和爲(wèi)=2九求數(shù)列“/與您的通項(xiàng)公式；設(shè)C尸a：b護(hù)證明：當(dāng)且僅當(dāng)心3時(shí)，+產(chǎn)解歸=比=丄對(duì)于畀N2,有殘=£$滋_丄=2"(+1)2(”一 1)=4仏 綜上他的通項(xiàng)公式礙=也將ttL代入心=2 婦,得。1=2 如，