線性代數(shù)知識點歸納同濟(jì)_第五版

1、v1.0可編輯可修改線性代數(shù)復(fù)習(xí)要點第一部分行列式1. 排列的逆序數(shù)2. 行列式按行（列）展開法則3. 行列式的性質(zhì)及行列式的計算 行列式的定義1行列式的計算:（定義法）Dnai1ai2a21a22iI*HIIan1an2IIIa1na2nxq4ann（1）悶叫禺|阪jripn思考題*用定義計算行列式0 12-1-10 1 2003-2031-1r ' 2134 ） = 1-2（2143） = 2-2 r（24l3） = 31 r I 2431 ） = 4故 Z?=-3 + 2-12 + 9 = -4 （降階法）行列式按行（列）展開定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)

2、余子式的乘積之和.推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零ai1 Aj1 ai2 Aj2ainAjn0, i j.3-521例設(shè)D=1-11301-53,刀的（£力尤的余子式和2-1-3代數(shù)余子式依次記求41 + 4a +乂 Mq + M* + M、+ Mq *0 -51 3M、 + M選 + Mg +=州-4 + 4i - 竝1-5211-521-110-5+-1 i 0 -5I131313 13-1 -4 -1 -34*0 0 （化為三角型行列式）上三角、下三角、主對角行列式等于主對角線上兀素的乘積例計算刀=33I-13-3bii0b220

3、IIIbnnbnn1 -53-31 -53 -31 -53 -3010-550 2-110 111-5-5)0 16 -10 1100-2300-23021-9110 1110 2-111-11-53-30111=(500_ 2300-3-101U0-55LI71 1 1丙+1十+1D =電 + 互- + q» 把第1行的一 1倍加到第2把新的第2行的一I倍加到第3伉以此類推直到把新的第行的一1倍加到第n行，便得范德霄布列式1 1 1所勺丁叩?巧r耳二 n a-號）詰-1_J?-11例計算行列式若A與B都是方陣（不必同階）A OAO BO BO A=AB O=B o,則A OAB(1

4、)mnABB2-100-1300001100-25例計算2-100-1300001100-25解2-111-13-2557 35ai nain關(guān)于副對角線:a2na2n 1n( 1)1)Fama2naMan111 11 1X1X2Xn2X1|iX22 11 XI11n 1X1X1 I1和O范德蒙德行列式:1 jan1XiXji n第9頁3共33頁v1.0可編輯可修改abb III bbabba b型公式：bb*1a 11II bn 1a (n 1)b(a b)pbbb 1.! *1 a（升階法）在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不變的方法f歹I計算H階廿列式.1+ 現(xiàn)'"

5、V戶1 J )（遞推公式法）對n階行列式Dn找出Dn與Dn ,或Dn , Dn 2之間的一種關(guān)系一一稱為遞推公式，其中Dn, Dn 1，Dn 2等結(jié)構(gòu)相同，再由遞推公式求出Dn的方法稱為遞推公式法（拆分法）把某一行（或列）的元素寫成兩數(shù)和的形式，再利用行列式的性質(zhì)將原行列式寫成兩行列式之和，使問題簡化以例計算（列|計算廳列式幾三<7-i第4頁4共33頁 Z7-F 亠 Zt ''12v1.0可編輯可修改0-100000T-1昭 q + .10（數(shù)學(xué)歸納法）例 計算ri階行列式x0A- o用數(shù)學(xué)歸納當(dāng)口二2時第9頁7共33頁Dy =1.r+坷flx&n 二 k 時.有

6、D* - 十坷.十+ -八十玨-1+ 業(yè)則當(dāng)口 = kT時，把刀他按第一列展開，衍D“= xD打 +-班.+ 坷+ + $_丫+ 礙)+ J、-3> 昭“ h -_rr +育詁+ 存巾此，対懺意的正聲教m右2 " + *' + + an2. 對于n階行列式A，恒有：E A n ( 1)$ n k，其中Sk為k階主子式;k 13. 證明A 0的方法： 、A |A ； 、反證法； 、構(gòu)造齊次方程組 Ax 0，證明其有非零解; 、利用秩，證明r(A) n ； 、證明0是其特征值.Aij ( 1)i jM4.代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：Mj (1)Ajv1.0可編輯可修改第二部分

7、矩陣1. 矩陣的運算性質(zhì)2. 矩陣求逆3. 矩陣的秩的性質(zhì)4. 矩陣方程的求解1.矩陣的定義 由m n個數(shù)排成的m行n列的表Aai1ai2a21a22I*a1na2nk稱為m n矩陣.am1am2W amn第7頁洪33頁記作：A aij mn 或 Amn同型矩陣：兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等矩陣相等：兩個矩陣同型，且對應(yīng)元素相等矩陣運算a. 矩陣加（減）法：兩個同型矩陣，對應(yīng)元素相加（減）b. 數(shù)與矩陣相乘：數(shù)與矩陣A的乘積記作 A或A ，規(guī)定為 A （ aj.c.矩陣與矩陣相乘：設(shè)A (aij)ms，B(bij)sn，則 C AB(Cij)mn其中b1ja.Cj(ai1 ai2 | 0 a

8、is )ai1b1 jai2b2j|b2j注：矩陣乘法不滿足：交換律、消去律,即公式ABABBA0 A不成立.0或 B=0分塊對角陣相乘:An,BBnABAi1B1A22B2An陽A：b. 用對角矩陣 乘一個矩陣，相當(dāng)于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的（行行向量;a00a2IIIIII00III00IIIamb22IIfbm2Hlbinb2n4ibmna1b)2a2b211a?b22amm1ambm2Hia1l na2b2nia bmmnv1.0可編輯可修改C.用對角矩陣乘一個矩陣,相當(dāng)于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的(列)向量.d.b11bl2b21b22IIb1na10ajaAia2

9、bl2a2b22Iamb1namb2nibm1血 | bmn00 IIIamIIIambmn兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應(yīng)元素相乘第9頁13共33頁方陣的幕的性質(zhì)：AmAn Am n， (Am)n (A)mna.b.矩陣的轉(zhuǎn)置：把矩陣 A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做對稱矩陣和反對稱矩陣：A是對稱矩陣 A A分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣:伴隨矩陣：A*AjAA A A AE,分塊對角陣的伴隨矩陣:A是反對稱矩陣<=> AatbtCTdtA的轉(zhuǎn)置矩陣，記作at .at .At.AiAI2IAnAnA2iA22A2nIllA1.*BA*ABAj為A 中各個元素的代數(shù)余子式1)mn

10、 A B.mn ”(1) B A矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：(at)t a(AB)T btatat|IA(A1)T (AT)1(at)(A)t矩陣可逆的性質(zhì)：(A1)1 A1 1 1(AB)B AAIA1/n1、k/nk、1. k(A ) (A )A伴隨矩陣的性質(zhì)：(A)|An2A(AB) B AAlIAn1(A1)(A) 1 什(Ak) (A )kn若 r(A)nr(A )1若r(A)n10若 r(A)n1|ab| a|b|Ak|IAkAA A A A E (無條件恒成立)2.逆矩陣的求法 方陣A可逆A 0.伴隨矩陣法 A1a b1 d bc d ad bc c a主換位 副 |變號初等變換法(A：E)

11、初等行變換 (EA 1)1 22例求212的逆矩陣2 21解13r2r12223132122100119999r312120102 2g:99912 b12210011999122121299A9所以212212999221221999p -i -r例3.設(shè)A= 11-2的行最簡酷矩陣為F,求艮 井求一個可逆矩陣FM吏得PA=F,<4 -6 2；2-1-1110L1(g 二1101 0z斤 W4-6厶0° Jfl0-1一J3q號血 、1-13-2 -11。00103丿1*門21 -2 ! 0 -3 m I -44-21 -2 00 L0-rr-33 I >P1-ip=3-

12、2 一 1Io0°JO -8分塊矩陣的逆矩陣：A1A11ABBB 1BA1A1CA11 1A 1CB 1A1OA1OBOBCBB 1CAOBv1.0可編輯可修改第i0頁0共33頁aia2i iai1a；a；a3a3配方法或者待定系數(shù)法iaiia；(逆矩陣的定義AB BA E A i B )ia3例 設(shè)方陣A滿足矩陣方程A2 A 2E 0,證明A及A 2E都可逆，并求A i及A 2E1解由A2 A 2E 0得A E A E ,故A可逆，且A i2-A E .2由 A2 A 2E 0也可得(A 2E)(A 3E) 4E 或(A 2E)i-(A 3E) E,故A 2E可逆，且4i iA 2

13、E (A 3E).43. 行階梯形矩陣 可畫出一條階梯線，線的下方全為0 ;每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素非零當(dāng)非零行的第一個非零元為 i,且這些非零元所在列的其他元素都是0時,稱為行最簡形矩陣4. 初等變換與初等矩陣對換變換、倍乘變換、倍加(或消法)變換初等變換初等矩陣初等矩陣的逆初等矩陣的行列式rirj (G5)E(i, j)iE(i,j)E(i, j)|E(i, j) iri k ( Cik )E(i(k)Ei(k) i Ei(i)|Ei(k)| krirjk( Ci Cj k)E(i,j(k)Ei,j(k) i Ei,j( k)Ei,j(k)|

14、i矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系:對A施行一次初等 變換得到的矩陣，等于用相應(yīng)的初等矩陣 困乘A ;對A施行一次初等0列變換得到的矩陣，等于用相應(yīng)的初等矩陣(右右乘A.注意：初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣5. 矩陣的秩|關(guān)于A矩陣秩的描述： 、r(A) r， A中有r階子式不為0，r i階子式(存在的話)全部為0； 、r(A) r， A的r階子式全部為0; 、r(A) r， A中存在r階子式不為0;矩陣的秩的性質(zhì):v1.0可編輯可修改 AO r(A) > 1; A O r(A) 0; 0 < r(Am n) < min ( m,

15、n) r(A) r(AT) r(ATA) r(kA) r(A)其中 k 0 若Am n,B. s,若r(AB) 0r(A) r(B) nB的列向量全部是Ax 0的解第21頁2共33頁若 r(Am n) nAB O B OAB AC B C若 r(Bns) nr(AB) r(B)B在矩陣乘法中有右消去律 r(AB) w min r(A),r(B) 若P、Q可逆，則r(A) r(PA) r(AQ) r(PAQ); 即：可逆矩陣不影響矩陣的秩Ax 只有零解r(AB) r(B)A在矩陣乘法中有左消去律r(AB) w r(A)r (B), max r(A),r(B) w r(A, B) w r(A) r

16、(B)AOOAACr小r(A)r(B), r cr(A) r(B)OBBOOBO等價稱OrA與唯一的OrO為矩陣A的等價標(biāo)準(zhǔn)型.O若 r(A) r的秋，并求/的一個求矩陣的秩：定義法和行階梯形陣方法最髙階非零子式.解：第一步先用忸等行變換把矩聲化成彳亍階梯形矩陣.32050、rl6-4-14、3-236-10 I31-1A Rte2015-300 04-8第11頁1共33頁6-4-14丿0 000)行階梯形矩陣有3個非零行，故砂 =332 53-2 620 50 11 = -2 611=16 豐 05因此這就是/的一個最高階非零子式.6矩陣方程的解法(|A 0):設(shè)法化成(I) AX B 或

17、(II) XA BA(I)的解法：構(gòu)造(A-B)初等行變換(EX) (II)的解法：構(gòu)造卅初等列變換B(II)的解法：將等式兩邊轉(zhuǎn)置化為atxt Bt，用 的方法求出xt，再轉(zhuǎn)置得Xf =dWi一護(hù)(i-P求解方程AX=B,其中A =12_2B =20434丿5 j(2】-311:fl-29o1 2 -22Q->0-315-1C1 32050 05 Jf 12_22O'(100-42 A->01001->01001r,001一34 J衛(wèi)01#Tl32tli ! A-E t 應(yīng)A從也 II2雞;J第三部分線性方程組1. 向量組的線性表示2. 向量組的線性相關(guān)性3. 向量

18、組的秩4. 向量空間5. 線性方程組的解的判定6. 線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解）（1）齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（基礎(chǔ)解系與通解的關(guān)系）（2 ）非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解）1.線性表示：對于給定向量組1, 2，川，n，若存在一組數(shù) 僉匕,川,k使得k1 1 k2 2kn n ，則稱是1, 2,|, n的線性組合,或稱稱 可由1, 2,川，n的線性表示.線性表示的判別定理：可由1, 2,川，n的線性表示由n個未知數(shù)m個方程的方程組構(gòu)成n元線性方程:、a1 X a2 X2321X1 a?2 X 2%I 32nXb1b2有解3m1 X1am2 X2IIIanm X、31132131232231

19、na2nxiX2b1b2Ax3m 1am2川3mnXmbm、ai日2| anXiX2（全部按列分塊，其中b15 )；Xnbn、ax32 X2III3n Xn（線性表出）<=>、有解的充要條件:r(A)r（A, ） n （ n為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）v1.0可編輯可修改法2證明向量於能由向量組% %盤3線性表示，并求出表示式.解：向量力能由線性表示當(dāng)且僅當(dāng)應(yīng)0 =感£力)因為"="6 =蒼 所以向量力能由務(wù)如碼線性表示* 所以 =(3r + 2)叭 + (2c T)ea3.2.設(shè)Am n，Bn s，A的列向量為 i,2則 AB Cm sb*i1,2, nb

20、22bisb2sIG, G，卅,cs02川bns，(i 1,2 ,|,s)A 1, 2, sA 1, A 2, A sC|,C2 11, CsC|,C2 ,| | ,Cs 可由1, 2 , n線性表示為Ax c的解B為系數(shù)矩陣即：C的列向量能由A的列向量線性表示，同理:C的行向量能由B的行向量線性表示，a11 a12ai n1q即：a21a2214a2n24*C21an1an211 11 1amnnCma11 1ai2 2illain2qa21 1 a22 2a2n 2C2lb lHlam1 1am2 2IIIamn 2CmA為系數(shù)矩陣向量血能由 向量組債 線性表示線性方程組 Ax= b 冇解

21、H爪命=n向量組能 血向量組丄 線性表示審陸方和組AXB有解W崗歷應(yīng)訊Q向暈紐A與 向量組丘 等價皿4 =琨劭=風(fēng)屬助3.線性相關(guān)性定義：給定向量組圧 叭、宀如果徉在不令為零的實 數(shù)甌尙，砥，使得舟町卡焉昭+才“朋=0 (零向量)則禰向重組d是線性用關(guān)的，否則稱它是線性無關(guān)的+向量組朋元齊次線性方程組A. % %,aAx 0匸二爲(wèi) < 無線性相關(guān)有非零斛判別方法:法1對丁向呈殂。2“4” k】+為住+矗 =0 的線性相關(guān)性等價齊次線性方禪組&冶十斫術(shù)上+十斫丿”二。|幻占十日22込卄十如<©=° i A i » « a-lPa必+ 4

22、站+ 十= 0是否有非零解(D齊次線性方程組有非冬解Q向量組線mux；：(2)齊次線性方程組只有寄解o向量紐線性無關(guān)-關(guān)于向量組%, a.，,am,設(shè)矩陣A = (a. g a第15頁5共33頁(l)r(j4) <mo向最組碣心,錢性相關(guān);(/) = m o向量組務(wù),勺,暫纟戈性無關(guān).法3定理3向量紐q a（nZ2）線性相關(guān)的充分必要條件 是該向暈糾中至少有個向暈可由其余向量線性表示.推論設(shè)孑帀個力維向量a,=（毎衛(wèi)門，*務(wù)）（心L2,由住S.心構(gòu)成的打階彳1'列式ZMO o向量組%.耳線性無關(guān);D = 0 u向量組ai9a29,a線性相關(guān)線性相關(guān)性判別法（歸納）向量組線性無關(guān)性

23、的判定（重點、難點）向量組/： % %線性無關(guān)匸如果昴飾+為的+応#0零向呈）,則必有 厠元齊次線性方程組r=0只有零解.輛 矩陣A-阪軌召的秩等于向量的個數(shù)廃. 向量組/中任何一個向量都不能由其余搠一1個向量線 性表示.v1.0可編輯可修改?線性相關(guān)性的性質(zhì) 零向量是任何向量的線性組合 ,零向量與任何同維實向量正交 單個零向量線性相關(guān)；單個非零向量線性無關(guān) 部分相關(guān)，整體必相關(guān)；整體無關(guān)，部分必?zé)o關(guān)（向量個數(shù)變動） 原向量組無關(guān)，接長向量組無關(guān)；接長向量組相關(guān)，原向量組相關(guān) （向量維數(shù)變動） 兩個向量線性相關(guān)對應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān) 向量組1, 2, , n中任一向量i（

24、1 < i < n）都是此向量組的線性組合,則 可由1, 2, n線性表示，且表示法唯一 解法2：轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的問題.q 0 r已知嶺=1 1 0 P記作B=AKW 1 J右1，2， n線性無關(guān)，而 1，2， n，線性相關(guān)例：已知向量組務(wù)嶺的線杵.無關(guān).a試證明向量組%虬鳥級性無關(guān).解法L轉(zhuǎn)代洵齊次線性方程組的問題”1 0 1；已知（4邊血爪*，引砒1 1 °,記作4血1° 1 1 丿設(shè) Jtr-0 ,則- 0 .因為向最組血臨嶼線性無關(guān).所以zt-o.X |K|-2 0.那么Ar-0只有零解x- 0 .從而向量組知外鬲線性無關(guān).4. 最大無關(guān)組相關(guān)知識燧大無

25、關(guān)組薦柱甸量鮒川斗我牛向量嗎-仍.磅楠址竝；硯.旳-雀性怎關(guān)，（2） A中ft一向祁pJtll砧靑示一 喇輛昂即”“足向俎野I*的-1向量空閭的基設(shè)卩均向錄空昧 若卉r牛冋hi旳.亠一切廬氣IL滿足 ar線性無笑; P中任 向暈都町山s七.町繚性衣示 則稱向呈紐齋”廚卽“F就稱為向蜀空的一個基-基礎(chǔ)解系林齊次線性方程紐血=0的 組解向鞍 務(wù)島-生満足 :k-r： >.心（2） Ax = M）任一解都可Hg©& 線性表示“ 則稱 %嗎稱対加=Wj個旱礎(chǔ)解系*向量組的秩|向量組1，2，|，n的極大無關(guān)組所含向量 的個數(shù)，稱為這個向量組的秩記作r（ 1，2，|，n）矩陣等價|

26、 A經(jīng)過有限次初等變換化為B.向量組等價1， 2， ，n 和 1，2，n可以相互線性表/示 ?己作：1， 2，n ”1，2， n矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù)因為prj-2/0,所以z可逆，“=叭、 又向戢組%血線性無關(guān)，財3， 從而州3）氛向暈組%2、線性無關(guān). 矩陣的初等變換不改變矩陣的秩 ，且不改變行（列）向量間的線性關(guān)系 向量組1，2，s可由向量組1，2，n線性表示，且S n，則1，2，s線性相關(guān)第27頁洪33頁向量組1, 2,s線性無關(guān)，且可由1, 2s) r( 1, 2, n),則兩向量組等價;向量組1, 2, , s可由向量組1, 2,

27、 , n線性表示,且r( 1, 2 任一向量組和它的極大無關(guān)組等價向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價 向量組的極大無關(guān)組不唯一，但極大無關(guān)組所含向量個數(shù)唯一確定 若兩個線性無關(guān)的向量組等價，則它們包含的向量個數(shù)相等A的行向量線性無關(guān);設(shè)A是m n矩陣,若r(A) m，5. 線性方程組理論線性方程組的矩陣式Axa11a12illai nX1A a21a22a2nX2A-11111+ ,x11am1am2III+amnx(1)解得判別定理向量式b2其中IbmX1 1X2 2Xn n1j，j 12，川,nImj定理：鱷兀線性方程組 無解的充分必耍條件是冷; 有唯一解的充分必耍條件是巒=2町=“ 有無限多

28、解的充分必要條件是尿筍血4囪<乩(2)線性方程組解的性質(zhì):(1)1, 2 是 Ax的解,12也是它的解是Ax的解,對任意k, k也是它的解1,2,k是Ax的解,對任意k個常數(shù)齊次方程組1 , 2，川，k，1 12 2 k k也是它的解是Ax的解，是其導(dǎo)出組Ax 的解，是Ax的解1, 2 是 Ax的兩個解,12是其導(dǎo)出組Ax的解2是Ax的解,則1也是它的解12是其導(dǎo)出組Ax1, 2,k是Ax的解,則221 11 2的解k k也是Ax的解k k是Ax 0的解III判斷1, 2,|,S線性無關(guān);1, 2川s都是Ax的解;片艇2：克求出基再寫出通解.的基礎(chǔ)解系的條件:422310-1rf 0J1

29、-301-1-S0018頁哄33頁 #二s n r(A)每個解向量中自由未知量的個數(shù)棊礎(chǔ)解系的求解4-1竝+再一 2禺=0例；求齊次線性方稈tn宀旳43書 -彫()的搖礎(chǔ)解驀.斗 一 JT；- S-Tj + 7場=0方法h先求出通解，再從通解或得堆礎(chǔ)解聚.-彌+仁“ 逅=Xr,r巧+ 2_ra - 3jrt = 0'+丿方捏組的任意一個解都可以駛示為亠易的塊性蛆合一 的四牛分毘卞成比例所以d%線性無關(guān)- 所以丄勾是原方程組的基礎(chǔ)解系(4)求非齊次線性方程組Ax = b的通解的步驟(1)將增廣矩陣(A b)通過初等行變換化為 階梯形矩陣； 當(dāng)r(A b) r(A) rn時，把不是首非零元

30、所在列對應(yīng)的n r個變量作為自由元；令所有自由元為零，求得Ax b的一個特解0；(4) 不計最后一列，分別令一個自由元為1,其余自由元為零，得到Ax 0的基礎(chǔ)解系 1, 2,., n-r；(5) 寫出非齊次線性方程組Ax b的通解X 0 k1 1 k2 2 . kn r nr其中k1,k2,.,kn r為任意常數(shù).v1.0可編輯可修改例求下述方程組的解X|x2X3X4X57,3x12x3x4 3X52,第41 520共33頁2x2 x3 2x4 6x5231L i11117解/A (A,b)3121320212623230 0 10原方程組等價于方程組X11X3212X32x5X4X2X43X

31、5X3100令x40 ,1 ,0 .X5001由于r(A) r(A) 25，知線性方程組有無窮多解92232求得等價方程組對應(yīng)的奇次方程組的基礎(chǔ)解系9求特解：令x3 x4 x5 0,得x1-,x221202121311,20,300100019 22323 2故特解為0 .2 .0012029 2121323 2所以方程組的通解為x k111k2 0k300,( k1, k2, k3為任意常數(shù))00000010(5)其他性質(zhì)一個齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一"若 是Ax的一個解，1, ,|, s是Ax的一個解 1, ,|, s,線性無關(guān)AV Ax 與Bx同解（代B列向量個數(shù)相同）rr

32、（A） r（B）,且有結(jié)果：B 它們的極大無關(guān)組相對應(yīng)，從而秩相等； 它們對應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性； 它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系V矩陣Amn與Bl n的行向量組等價齊次方程組 Ax 與Bx 同解 PA B （左乘可逆矩陣 P ）；矩陣Amn與Bl n的列向量組等價AQ B （右乘可逆矩陣 Q ）.第四部分 方陣的特征值及特征向量1. 施密特正交化過程2. 特征值、特征向量的性質(zhì)及計算3. 矩陣的相似對角化，尤其是對稱陣的相似對角化1.標(biāo)準(zhǔn)正交基n個n維線性無關(guān)的向量，兩兩正交，每個向量長度為1.向量a1,a2,T,an 與11, b2,T,bn的內(nèi)積n(,)aha2b2 刑Ob與正交（，）

33、0.記為:向量a，a2,T,an 的長度 n_| | .( , ) a2 ,-ai2a；卅 a；i 1M1是單位向量1 |，）1.即長度為1的向量2.內(nèi)積的性質(zhì)：正定性：(,)0,且 ( , ) 0對稱性：(,)(,)線性性：(12，）（1， ） （2(k)k(,)3. 設(shè)A是一個n階方陣，若存在數(shù) 和n維非零列向量x,使得（）是矩陣A的特征多項式(A) O12|ntr A， tr A稱為矩陣A的跡n各元素.上三角陣、下三角陣、對角陣的特征值就是主對角線上的若A 0,則0為A的特征值，且Ax的基礎(chǔ)解系即為屬于0的線性無關(guān)的特征向量.r(A) 1 A一定可分解為 A= °2 bi,a1

34、b2,川，bn、A2 (a1bi a?b2 川 anbn)A,從而 A的特征值an為：i tr A aQ a?b2 川 and,23 川 n 0.O a1,a2j|,an T為A各行的公比，b，b2J|,bn為A各列的公比.若A的全部特征值1, 2，川，n , f(A)是多項式，則：若A滿足f(A) OA的任何一個特征值必滿足f( i) 0 f(A)的全部特征值為 f( 1), f ( 2),川，f( n) ； I f(A) f ( i)f( 2)|f( n). A與At有相同的特征值，但特征向量不一定相同4. 特征值與特征向量的求法(1) 寫出矩陣A的特征方程 A E 0，求出特征值 根據(jù)(

35、A iE)x 0得到A對應(yīng)于特征值i的特征向量設(shè)(A iE)x 0的基礎(chǔ)解系為 1, 2,| n ri,其中ri r(A iE). 則A對應(yīng)于特征值i的全部特征向量為k1 1 k2 2 | kn r n n , 其中k1, k2, |, kn斤為任意不全為零的數(shù)2 1 1例求A 020的特征值和全部特征向量413解第一步：寫出矩陣 A的特征方程，求出特征值21(2(2)2( 1) 0A E 0241解得特征值為11, 232.第二步：對每個特征值代數(shù)齊次線性方程組(AE)x 0,求其非零解，即對應(yīng)于特征值的全部特征向量當(dāng)1時，齊次線性方程組為(A E)x 0,系數(shù)矩陣111101A E0300

36、104140001得基礎(chǔ)解系:P 0 ，故對應(yīng)于特征值1的全部特征向量為 k1P1 (k 0).12時，齊次線性方程組為(A 2E)x 0,系數(shù)矩陣411411A 2E00000041100001得基礎(chǔ)解系:P21，P3014故對應(yīng)于特征值2的全部特征向量為k2F2 k3F3，其中k2,k3不全為零.5.|A與 B相似| P 1AP B1 1A與B正交相似 P AP BA可以相似對角化A與對角陣(P為可逆矩陣)(P為正交矩陣)相似(稱是A的相似標(biāo)準(zhǔn)形)6. 相似矩陣的性質(zhì): E A E B ,從而 代B有相同的特征值，但特征向量不一定相同.O 是A關(guān)于0的特征向量P1是B關(guān)于0的特征向量 tr

37、 A tr B A B 從而AB同時可逆或不可逆 r(A) r(B)若A與B相似，則A的多項式f (A)與B的多項式f (A)相似.7. 矩陣對角化的判定方法n階矩陣A可對角化(即相似于對角陣)的充分必要條件是 A有n個線性無關(guān)的特征向量這時，P為A的特征向量拼成的矩陣，P 1AP為對角陣，主對角線上的元素為 A的特征值.設(shè)i為對應(yīng)于i的線性無關(guān)的特征向量，則有:A可相似對角化P 1APn r( iE A) ki，其中匕為i的重數(shù) A恰有n個線性無關(guān)的特征向量O：當(dāng)i 0為A的重的特征值時，A可相似對角化i的重數(shù) n r(A) Ax基礎(chǔ)解系的個數(shù).若n階矩陣A有n個互異的特征值A(chǔ)可相似對角化.

38、8.實對稱矩陣的性質(zhì): 特征值全是實數(shù)，特征向量是實向量； 不同特征值對應(yīng)的特征向量必定正交；O：對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)； 一定有n個線性無關(guān)的特征向量若A有重的特征值，該特征值i的重數(shù)=n r( iE A)； 必可用正交矩陣相似對角化，即：任一實二次型可經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形； 與對角矩陣合同，即：任一實二次型可經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形； 兩個實對稱矩陣相似有相同的特征值9.正交矩陣 AAt E正交矩陣的性質(zhì)： A A 1 ； aat ata e ； 正交陣的行列式等于 1或-1 ； A是正交陣，則A , A 1也是正交陣； 兩個正交陣之積仍是正交陣； A的行(列)向量

39、都是單位正交向量組10.求正交矩陣把實對稱絹陣化為對角陣的方法； r解特征方程a-Ae = o,求出對稱陣.4的全部不同的特征值石2,對每個特征值求出對應(yīng)的特征向量即求齊次線性方程組（= 0的基礎(chǔ)解系。3將JH于毎個人的待征向最先正交化'再單位化。這樣共可得到"個兩兩正交的單位待征向量坯，弘,4.以和弘，皿 為列向量構(gòu)成正交矩陣丁 =有 T4T = A1 2 0例實對稱陣A2 22，求正交陣Q ,使得Q 1AQ為對角陣.023120解|aE222(1)(2)(5)023所以A的特征值為1 1， 22，35當(dāng)二 11時,解(AE)x0，得基礎(chǔ)解系為X(2,2,1)T當(dāng)二 22時

40、，解（A2E)x0，得基礎(chǔ)解系為X2(2,1,當(dāng)35時，解（A5E)x0，得基礎(chǔ)解系為X3(1,2,2)令y%2 2("，y2X2(2, 1,y3X30TX22)T12 2 t(3, 3,3)2令Q （%肆2小）-3121T，貝y Q 1AQ Q AQ3311.施密特正交規(guī)范化1 1正交化2 2（2,1）1（1, 1）（3，1）（3，2 ）331 2（1,1） （2,2）單位化：11匚232 - 3 二技巧：取正交的基礎(chǔ)解系，跳過施密特正交化。讓第二個解向量先與第一個解向量正交，再把第二個解向量代入方程，確定其自由變量v1.0可編輯可修改第四部分二次型1.1.2.3.二次型及其矩陣形

41、式二次型向標(biāo)準(zhǔn)形轉(zhuǎn)化的三種方式正定矩陣的判定二次型f (X1,X2J|,Xn)a11 a12CnX1a21 a22a2nX2ID HlIIIan1an2annXnnaijXiXj(X1,X2|,Xn)j 1xtAx其中A為對稱矩陣,(X1,X2|,Xn)TA與B合同ctac b .（A, B為實對稱矩陣，C為可逆矩陣正慣性指數(shù) 二次型的規(guī)范形中正項項數(shù)p負(fù)慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中負(fù)項項數(shù)符號差2 p r （ r為二次型的秩） 兩個矩陣合同它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù)他們的秩與正慣性指數(shù)分別相等 兩個矩陣合同的充分條件是：A與B等價 兩個矩陣合同的必要條件是：r（A） r（B）疋.2. f(X1,

42、X2 ,/正交變換陋） xtAx經(jīng)過（合同變換可逆線性變換Cy化為fd2標(biāo)準(zhǔn)形.1正交變換法用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形（規(guī)范形）的具體 步驟1將一次韭衷成矩師悒式/ =戒出A：2.求出且的所有特征值備® 人：、求出對應(yīng)j；特征值的特江向T二島一點：*將特征向吊環(huán)雜乙匸交化.單位化羯"備皿.記尸=（久洛皿）：彳作上處變換工二/鷺則得/的林準(zhǔn)形f = Aj? + ' + 心'：配方法第28 52哄33頁v1.0可編輯可修改(1) 若二次型含有 Xi的平方項，則先把含有 Xi的乘積項集中，然后配方，再對其余的變量同樣進(jìn)行,直到都配成平方項為止，經(jīng)過非退化線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形(2)若二次型中不含有平方項，但是aj0( i j),則先作可逆線性變換第4