四邊形綜合復(fù)習(xí)—知識講解及例題解析

1、四邊形綜合復(fù)習(xí)知識講解及例題解析【考綱要求】1.探索并了解多邊形的內(nèi)角和與外角和公式，了解正多邊形的概念.2.掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形的概念和性質(zhì)，了解它們之間的關(guān)系；了解四邊形的不穩(wěn)定性.3.探索并掌握平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)和四邊形是平行四邊形的條件.4.探索并掌握矩形、菱形、正方形的有關(guān)性質(zhì)和四邊形是矩形、菱形、正方形的條件.5.探索并了解等腰梯形的有關(guān)性質(zhì)和四邊形是等腰梯形的條件.6.通過探索平面圖形的鑲嵌，知道任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面，并能運用這幾種圖形進行簡單的鑲嵌設(shè)計.【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點梳理】考點一、四邊形的相關(guān)概念1.多邊形的

2、定義：在平面內(nèi)，由不在同一直線上的一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.2.多邊形的性質(zhì)：(1)多邊形的內(nèi)角和定理：n 邊形的內(nèi)角和等于(n-2)·180°；(2)推論：多邊形的外角和是 360°；(3)對角線條數(shù)公式：n 邊形的對角線有條；(4)正多邊形定義：各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形.3.四邊形的定義：同一平面內(nèi)，由不在同一條直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形.4.四邊形的性質(zhì)：(1)定理：四邊形的內(nèi)角和是 360°； (2)推論：四邊形的外角和是 360&

3、#176;.考點二、特殊的四邊形1.平行四邊形及特殊的平行四邊形的性質(zhì)12. 平行四邊形及特殊的平行四邊形的判定【要點詮釋】面積公式：S 菱形 =12ab=ch（a、b 為菱形的對角線,c 為菱形的邊長，h 為 c 邊上的高）.S 平行四邊形 =ah(a 為平行四邊形的邊，h 為 a 上的高）.考點三、梯形1.梯形的定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形.(1)互相平行的兩邊叫做梯形的底；較短的底叫做上底，較長的底叫做下底.(2)不平行的兩邊

4、叫做梯形的腰.(3)梯形的四個角都叫做底角.2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.3.等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形.4.等腰梯形的性質(zhì)：(1)等腰梯形的兩腰相等； (2)等腰梯形同一底上的兩個底角相等. (3)等腰梯形的對角線相等.5.等腰梯形的判定方法：(1)兩腰相等的梯形是等腰梯形(定義)；(2)同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；(3)對角線相等的梯形是等腰梯形.6.梯形中位線：連接梯形兩腰中點的線段叫梯形的中位線.27.面積公式： S=(a+b)h(a、b 是梯形的上、下底，h 是梯形的高).考點四、平面圖形1.平面圖

5、形的鑲嵌的定義：用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙，不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌，又稱做平面圖形的密鋪.2.平面圖形鑲嵌的條件：(1)同種正多邊形鑲嵌成一個平面的條件：周角是否是這種正多邊形的一個內(nèi)角的整倍數(shù).在正多邊形里只有正三角形、正四邊形、正六邊形可以鑲嵌.(2)n 種正多邊形組合起來鑲嵌成一個平面的條件：n 個正多邊形中的一個內(nèi)角的和的倍數(shù)是 360°；n 個正多邊形的邊長相等，或其中一個或 n 個正多邊形的邊長是另一個或 n 個正多邊形的邊長的整數(shù)倍.【

6、典型例題】類型一、多邊形及其鑲嵌1. 一個同學(xué)在進行多邊形內(nèi)角和計算時，求得的內(nèi)角和為 1125°，當(dāng)發(fā)現(xiàn)錯了之后，重新檢查，發(fā)現(xiàn)少了一個內(nèi)角.少了的這個內(nèi)角是_度，他求的是_邊形的內(nèi)角和.【思路點撥】一個多邊形的內(nèi)角和能被 180°整除，本題內(nèi)角和 1125°除以 180°后有余數(shù)，則少的內(nèi)角應(yīng)和這個余數(shù)互補.【答案】135；九.【解析】 設(shè)這個多邊形邊數(shù)為 n，少算的內(nèi)角度數(shù)為 x，由題意得： (n-2)·180°=1125°+&#

7、160;x°，n=，n 為整數(shù)，0°x180°，符合條件的 x 只有 135°，解得 n=9.【總結(jié)升華】多邊形根據(jù)內(nèi)角或外角求邊數(shù)，或是根據(jù)邊數(shù)求內(nèi)角或?qū)蔷€條數(shù)等題是重點，只需要記住各公式或之間的聯(lián)系，并準(zhǔn)確計算.舉一反三：【變式】一個多邊形的外角和是內(nèi)角和的 ，這個多邊形的邊數(shù)為（）A5B6C7D8【答案】C.【解析】一個多邊形的外角和是內(nèi)角和的 ，且外角和為 360°，這個多邊形的內(nèi)角和為 900°，即（n2）180°=900&

8、#176;，解得：n=7，則這個多邊形的邊數(shù)是 7，故選 C2下列每組多邊形均有若干塊中，其中不能鋪滿地面（鑲嵌）的一組是（）A正三角形和正方形 B正方形和正六邊形C正三角形和正六邊形D正五邊形和正十邊形【思路點撥】正多邊形的組合能否鋪滿地面，關(guān)鍵是看位于同一頂點處的幾個角之和能否為 360°若能，則說明能鋪滿；反之，則說明不能鋪滿【答案】B.【解析】A、正三角形的每個內(nèi)角是 60°，正方形的每個內(nèi)角是 90°，3×60°+2×90°=360°，故能鋪滿，

9、不合題意；3B、正方形和正六邊形內(nèi)角分別為 90°、120°，顯然不能構(gòu)成 360°的周角，故不能鋪滿，符合題意；C、正三角形和正六邊形內(nèi)角分別為 60°、120°，2×60°+2×120°=360°，故能鋪滿，不合題意；D、正五邊形和正十邊形內(nèi)角分別為 108°、144°，2×108°+1×144°=360°，故能鋪滿，不合題意故選：B【總結(jié)升華】幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點拼

10、在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角類型二、特殊的四邊形3如圖，在平行四邊形 ABCD 中，E，F(xiàn) 分別是 AB，CD 的中點，AF 與 DE 相交于點 G，CE 與 BF 相交于點 H.(1)判斷四邊形 EHFG 的形狀；(2)在什么情況下，四邊形 EHFG 為菱形？ íÐABC = ÐDCB ，ï BC = 

11、;BC【思路點撥】（1）通過證明兩組對邊分別平行，可得四邊形 EHFG 是平行四邊形；（2）當(dāng)平行四邊形 ABCD 是矩形時，通過證明有一組鄰邊相等，可得平行四邊形 EHFG 是菱形；【答案與解析】（1）四邊形 ABCD 是平行四邊形，AECF，AB=CD，E 是 AB 中點，F(xiàn) 是 CD 中點，AE=CF，四邊形 AECF 是平行四邊形，AFCE同理可得 DEBF，四邊形 FGEH 是平行四邊形；（2）當(dāng)

12、平行四邊形 ABCD 是矩形時，平行四邊形 EHFG 是菱形四邊形 ABCD 是矩形ABC=DCB=90°，E 是 AB 中點，F(xiàn) 是 CD 中點，BE=CF，在EBC 與FCB 中，ì BE = CFïîEBCFCB，CE=BF，ECB=FBC，BH=CH，EH=FH，平行四邊形 EHFG 是菱形.4【總結(jié)升華】本題屬于綜合題，考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判

13、定和正方形的判定，注意找準(zhǔn)條件，有一定的難度舉一反三：【變式】已知：如圖所示，四邊形 ABCD 中，C90°，ABDCBD，ABCB，P 是 BD 上一點，PEBC，PFCD，垂足分別為 E、F，求證：PAEF【答案】連結(jié) PC因為 PEBC，PFDC，ADBPEFC所以PECPFCECF90°，所以四邊形 PECF 是矩形，所以 PCEF在ABP 和CBP 中，ABCB，ABPCBP，BPBP，所以ABPCBP，所以 APCP所以&#

14、160;APEF4.（1）如圖，ABCD 的對角線 AC，BD 交于點 O，直線 EF 過點 O，分別交 AD，BC 于點 E，F(xiàn)求證：AE=CF（2）如圖，將ABCD（紙片）沿過對角線交點 O 的直線 EF 折疊，點 A 落在點 A1 處，點 B 落在點 B1 處，設(shè) FB1 交 CD 于點 G，A1B1 分別交&#

15、160;CD，DE 于點 H，I求證：EI=FG【思路點撥】（1）由四邊形 ABCD 是平行四邊形，可得 ADBC，OA=OC，又由平行線的性質(zhì)，可得1=2，繼而利用 ASA，即可證得AOECOF，則可證得 AE=CF（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與折疊性質(zhì)，易得 A1E=CF，A1=A=C，B=B=D，繼而可證得A1IECGF，即可證得 EI=FG【答案與解析】（1）四邊形 ABCD 是平行四邊形，ADBC，OA=OC，5íOA = OC ，

16、39;Ð3 = Ð4ïï A E = CFî1=2，在AOE 和COF 中，ìÐ1 = Ð2ïîAOECOF（ASA），AE=CF；（2）四邊形 ABCD 是平行四邊形，A=C，B=D，由（1）得 AE=CF，由折疊的性質(zhì)可得：AE=A1E，A1=A，B1=B，A1E=CF，A1=A=C，B1=B=D，又1=2，3=4，5=3，4=6，5=6，在AIE 與C

17、GF 中，ìÐA = ÐC1íÐ5 = Ð6 ，1AIECGF（AAS），EI=FG【總結(jié)升華】考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用5.如圖，在AOB 中，OA=OB=8，ÐAOB=90°，矩形 CDEF 的頂點 C、D、F 分別在邊 AO、OB、AB 上.（1）若 C、D 恰

18、好是邊 AO，OB 的中點，求矩形 CDEF 的面積；（2）若 tanÐCDO=AFC43，求矩形 CDEF 面積的最大值.EOD            B【思路點撥】（1）因為當(dāng) C、D 是邊 AO，OB 的中點時，點 E、F 都在邊 AB 上，且 CFAB，所以可求出CD 的值，進而求出

19、0;CF 的值，矩形 CDEF 的面積可求出；6（2）設(shè) CD=x，CF=y過 F 作 FHAO 于 H在 RtCOD 中，用含 x 和 y 的代數(shù)式分別表示出 CO、AH 的長，進而表示出矩形 CDEF 的面積，再配方可求出面積的最大值【答案與解析】（1）如圖，當(dāng) C、D 是邊 AO，OB 的中點時，點 E、F 都在邊 AB 

20、上，且 CFABOA=OB=8，OC=AC=OD=4AOB=90°，CD= 4 2 在 RtACF 中，A=45°，CF= 2 2 S 矩形 CDEF= 4 2 × 2 2 =16（2）設(shè) CD=x，CF=y過 F 作 FHAO 于 H在 RtCOD 中，tanCDO=43，43sinCDO=，cosCDO=554CO

21、=x5FCH+OCD=90°，F(xiàn)CH=CDOHC=ycosFCH=35y4FH= CF 2CH 2 =y5AHF 是等腰直角三角形，AH=FH=45yAO=AH+HC+CO易知 S 矩形 CDEF=xy= (40x-4x471y +x =8y=(40-4x)557142)=-(x-5)2-25，77100當(dāng) x=5 時，矩形 CDEF 面積的最大值為7【總結(jié)升華】本題考查了二次函數(shù)與幾何知識（矩形）的綜合應(yīng)用和求二次函數(shù)的最值，將函數(shù)知

22、識與方程、幾何知識有機地結(jié)合在一起這類試題一般難度較大解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為7方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件6 .  ABC 是等邊三角形，點 D 是射線 BC 上的一個動點（點 D 不與點 B、C 重合），ADE是以 AD 為邊的等邊三角形，過點 E 作 BC 的平行線，分別交射線 AB、AC 于點 F、G

23、60;，連接 BE （1）如圖（a）所示，當(dāng)點 D 在線段 BC 上時求證： AEB ADC ；探究四邊形 BCGE 是怎樣特殊的四邊形？并說明理由；（2）如圖（b）所示，當(dāng)點 D 在 BC 的延長線上時，直接寫出（1）中的兩個結(jié)論是否成立？（3）在（2）的情況下，當(dāng)點 D 運動到什么位置時，四邊形 BCGE 是菱形？并說明理由【思路點撥】此題要熟練多方面的知識，特別是全等三角形和平行四邊形和菱形的判定【答

24、案與解析】（1）ABC 和ADE 都是等邊三角形，AE=AD，AB=AC，EAD=BAC=60°又EAB=EAD-BAD，DAC=BAC-BAD，EAB=DAC，AEBADC方法一：由得AEBADC，ABE=C=60°又BAC=C=60°，ABE=BAC，EBGC又EGBC，四邊形 BCGE 是平行四邊形方法二：證出AEGADB，得 EG=AB=BCEGBC，四邊形 BCGE 是平行四邊形（2）都成立（3）當(dāng) CD=CB （CAD=30°或BAD=90°或

25、ADC=30°）時，四邊形 BCGE 是菱形理由：方法一：由得AEBADC，BE=CD又CD=CB，BE=CB由得四邊形 BCGE 是平行四邊形，四邊形 BCGE 是菱形方法二：由得AEBADC，BE=CD又四邊形 BCGE 是菱形，8BE=CB（11 分）CD=CB方法三：四邊形 BCGE 是平行四邊形，BECG，EGBC，F(xiàn)BE=BAC=60°，F(xiàn)=ABC=60°F=FBE=60°，BEF 是等邊三角形又AB=BC，四邊形 BCGE 是菱形，AB=BE=BF，AEFGEAG=30°，EAD=60°，CAD=30 度【總結(jié)升華】本題考查三角形的全等以及菱形的判定舉一反三：【變式】如圖，在邊長為 5 的正方形 ABCD 中，點 E 、 F 分別是 BC 、 DC 邊上的點，且 AE  EF ，BE =