辯數(shù)學(xué)解題中的邏輯思維與非邏輯思維

1、辯數(shù)學(xué)解題中的邏輯思維與非邏輯思維摘要:文章首先論述了數(shù)學(xué)解題屮邏輯思維能力的重要性，分析 了數(shù)學(xué)解題中非邏輯思維能力的創(chuàng)新性，探討了邏輯思維與非邏輯 思維的內(nèi)涵以及二者的相互關(guān)系，著重強調(diào)了邏輯思維與非邏輯思 維的辯證統(tǒng)一性在數(shù)學(xué)解題中整體體現(xiàn)，提出了數(shù)學(xué)教師應(yīng)同時注 重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力與非邏輯思維能力的觀點。關(guān)鍵字：數(shù)學(xué)解題邏輯思維非邏輯思維辯證與統(tǒng)一abstract: firstly, thesis states the importance of logical thinking capacity and the innovation of non-logical thinkin

2、g capacity in solving math problem, as wel1 as their connotation and an analysis of the relation between the two. it emphasizes the overall reflection of logical thinking and nonlogical thinking' s dialectical unity in solving math problem, and come up with an opinion that math teachers should f

3、ocus on cultivating students' capability both in logical thinking and non-logical thinkingkeywords:mathproblems-solving, logicalthinking, non- logicalthinking, dialecticalunity數(shù)學(xué)解題強調(diào)數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的緊密結(jié)合與靈活運用，這要求學(xué)生具 備抽象嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力以及自由創(chuàng)新的非邏輯思維能力。數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教 育家g 波利亞曾指出：“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面，一方面它是歐兒里德式的嚴(yán)謹(jǐn)科 學(xué)，從這方面看，數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的演

4、繹科學(xué)，但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù) 學(xué)，看起來卻像是一門實驗性的歸納科學(xué)”。以下筆者從三個方面論述數(shù)學(xué)解 題屮邏輯思維與非邏輯思維運用。數(shù)學(xué)解題中邏輯思維能力的重要性(-)邏輯思維的內(nèi)涵及其重要性邏輯思維，指在思維的過程中按照階梯式嚴(yán)謹(jǐn)周密的遵循思維的邏輯規(guī)律 和規(guī)則，逐步推導(dǎo)得出結(jié)論的思維模式。它是由已知推導(dǎo)求得未知的一種方式, 利用公式、概念、公理、定理等進(jìn)行推理、演算、歸納、總結(jié)，是一種定向思 維。在我們的觀念中，數(shù)學(xué)以其嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性、形式性為根木標(biāo)志，以嚴(yán)謹(jǐn) 周密的演繹思維、邏輯推理為手段充分表達(dá)出人的心智的功能，滿足人們求真、 向善、唯美并樂意承接挑戰(zhàn)、揣摩思考的美好天性，所以數(shù)學(xué)

5、解題離不開嚴(yán)謹(jǐn) 周密的邏輯思維，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力也是至關(guān)重要的，中學(xué)數(shù)學(xué)教師對 學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)尤其放在教學(xué)任務(wù)的首位。(-)邏輯思維在解題中的運用例一：x, y g r,若卜| +卜| +卜一對+卜一w 2a, (g k ()則2x + 3y的取值范圍為(2014年江西卷文科第15題變式)【點撥】木題是一道已知一個含參數(shù)絕對值不等式求變量范圍的題目。從題中已知信息出發(fā)，已知：x + y + x-a + y-a < 2a ,結(jié)合目標(biāo)是求2x + 3y的取值范圍。對于絕對值的處理方法有兩種，一是對兀,y的范圍分類討論，直接 消去絕對值求解；二是利用絕對值不等式的性質(zhì)。因此，木題

6、的解決有兩種方 式：(1)對變量進(jìn)行分類討論，進(jìn)而得到當(dāng)且僅當(dāng)0<x<6/且osy"時有不 等式成立，最后轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題求解；(2)由絕對值不等式的性質(zhì)冇： % + x-a > x-(x-a) = a (等號當(dāng)且僅當(dāng)x與兀一tz異號，即為x(x-a)w0,owxwg時等號成立)，y + y-a>y-(y-a) = a (等號當(dāng)且僅當(dāng)y與y-a異 號即y(y-a)< 0即0 < y< a時等號成立)，從而有:2a < x + y x-a + y-a <2a ,故|a:|+ y + x-a + y-a =2ct 成立，而等號當(dāng) 且

7、僅當(dāng)0 5兀5 d且0 5）v a吋成立，于是轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題求解。由此可見，解決該數(shù)學(xué)題關(guān)鍵在于邏輯思維的嚴(yán)謹(jǐn)與周密，善于利用已知 的公式或概念，結(jié)合需要求解的目標(biāo)，對條件進(jìn)行分析轉(zhuǎn)化求解。對于這一類 型的題冃要求學(xué)生熟練掌握基本的知識點與數(shù)學(xué)方法，并具備嚴(yán)諜縝密的邏輯 思維能力，能根據(jù)已知的條件定位題目考察的知識點是什么，再結(jié)合需耍求解 的目標(biāo)，確定解題方向以及解題的數(shù)學(xué)思想與方法。然而，對于某些題這種途 徑并不能達(dá)到解題的口的，或者說這不是最好、最快速的解題方法，而高考數(shù) 學(xué)屮，即要求做題的準(zhǔn)確性，也要求做題的迅速性，因此需要尋找其他的方法, 也就是下面要介紹的運用非邏輯思維解題的方法

8、。二、數(shù)學(xué)解題中非邏輯思維能力的創(chuàng)新性（-）非邏輯思維的內(nèi)涵及其創(chuàng)新性非邏輯思維，指不遵從特定的邏輯規(guī)則，對思考的對象的木質(zhì)及其相互關(guān) 系做出直觀、快捷的斷定與理解的一種思維模式。它不要求思考對彖的已知條 件的多元性或完整性，側(cè)重利用人腦的直覺與靈感對思考對象進(jìn)行猜測與想像, 是一種變向思維。數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程離不開直覺、靈感、猜測、想象、聯(lián)想、觀 察、實驗、探索等非邏輯思維方法，數(shù)學(xué)的創(chuàng)新也需要運用非邏輯思維方法， 科學(xué)的突破性正是非邏輯思維的體現(xiàn)。在數(shù)學(xué)解題屮往往側(cè)重邏輯思維的運用, 但有的時候非邏輯思維在解題中占據(jù)著更為重要的角色，它以其鮮明的自由性、 發(fā)散性、靈活性為根木特征，在解題的過程

9、中往往給人以“柳暗花明乂一村” 的喜悅感與成就感，解題方法更是具備鮮明的奇異性與創(chuàng)新性。（二）非邏輯思維在解題中的運用例二:(10001丿+/(10001丿10000、,10001丿【點撥】本題是一道已知一個函數(shù)解析式求某些項z和的題目。如果直接 對上述的和式進(jìn)行求和幾乎是不可能求解的，而觀察和式中函數(shù)/（兀）的特點可自變量滿足關(guān)系式需+賂10001 10001(1、“0000、(29999#5000、(5001)+/=f+/b（xx）i；<1(xx)1；u（xx）i；(l(xx)l 丿<1(xx)1?(10001丿2100019999+10001運用非邏輯思維猜測，是否有下述關(guān)系

10、式成立:=常數(shù)10001)二常數(shù)（1 < < 5000）.事實上，可以證明即/+/yioood10001 )10001-k< 10001=1(1 < jt < 5000).從而求得/10001'2<1000110000j 000b=5000.由此可見，非邏輯思維在解數(shù)學(xué)題時是不嚴(yán)格按照常規(guī)解題進(jìn)行的，其思維過程具備跳躍性。所以在運用非邏輯思維解題時，應(yīng)人膽猜測、想象。在數(shù) 學(xué)解題屮，非邏輯思維的運用不單單局限于上面類型的例題，在選擇題、證明 題，甚至是填空題的解題中，所涉及的選項代入法、特殊值法、猜想歸納法等 等均是運用非邏輯思維的體現(xiàn)?？茖W(xué)的創(chuàng)新離

11、不開大膽想象與聯(lián)想的非邏輯思 維，創(chuàng)新是一個民族進(jìn)步的靈魂，是國家繼續(xù)向上發(fā)展的不竭動力。要提高國 家實力，離不開創(chuàng)新，更離不開非邏輯思維的運用。三、數(shù)學(xué)解題中邏輯思維與非邏輯思維的辯證與統(tǒng)一（-）兩種思維的辯證與統(tǒng)一不難看岀，邏輯思維的定向性與非邏輯思維的變向性形成鮮明的對比，但 二者乂存在一定的統(tǒng)一性。正如哲學(xué)中提及到的，任何事物間都具有一定辯證 統(tǒng)一性；量變與質(zhì)變的轉(zhuǎn)化一一非邏輯思維方法在數(shù)學(xué)題解小得到廣泛運用時, 亦可以上升為具有方向的邏輯思維方法；或者說，當(dāng)非邏輯思維述不夠成熟， 不能將題完全解答出來時，需要運用邏輯思維的方式對其結(jié)果進(jìn)行分析綜合、歸納總結(jié)，最終得到準(zhǔn)確有效的結(jié)論?？v

12、觀這一整個思路，顯然這是邏輯思維 與非邏輯思維的一個整合，是密不可分的一個整體。從邏輯思維的角度來說， 這既要求學(xué)牛具備扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，也要熟練掌握數(shù)學(xué)的主體思想與基本 方法。從非邏輯思維的角度來說，這不僅要求個人直覺與靈感的敏銳性，具備 一定的天賦，也與后天的經(jīng)驗積累和對知識間內(nèi)在聯(lián)系的常握冇很大的關(guān)系。（-）邏輯思維與非邏輯思維的結(jié)合在解題中的運用例三：已知數(shù)列色滿足仇=邁,a” = j2 + （n i 2,n w n）,求通項匕?！军c撥】本題是一道已知數(shù)列首項與遞推公式求通項公式的題。數(shù)列從形式 上可以視為是特殊的函數(shù)，運用邏輯思維方式，很顯然可以用函數(shù)思想來分析 研究數(shù)列問題。對a

13、” = 72+7變形可得到a” =+，由已知1 丘丄® =、£丘（0,1）,運用非邏輯思維猜測色丘（0,1）,這一結(jié)論由數(shù)學(xué)歸納法可以2 2證得。進(jìn)而可以引進(jìn)三角函數(shù)扛二cos仇（0仇彳），從而冇an = 2cos0n =（2 + 2cos 粘=zcos-,即 =仏 曲絢=血叫求得 ,所224*以冇乞冷7tt+in,即 =2cos-n+l綜上所述，邏輯思維與非邏輯思維的結(jié)合在數(shù)學(xué)解題中充分體現(xiàn)了解題的 創(chuàng)新性與完美性，其中靈感的爆發(fā)與其有目的、有方向的思考是緊密結(jié)合的。 首先，非邏輯思維的運用是一個出發(fā)點，能否得出的有用的結(jié)論需要用邏輯思 維進(jìn)行演繹推理。其次，任何邏輯方法

14、在解題中的具體運用都必須借助于直覺, 最終能得到結(jié)論才能證明直覺的止確性。最后，多步驟的邏輯思維終將會取得 正確的結(jié)論，這是無疑的，但要獲得數(shù)學(xué)解題的創(chuàng)新就需要依賴靈活、自由的 非邏輯思維。因此，當(dāng)代數(shù)學(xué)教師應(yīng)趨向于綜合培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力與非 邏輯思維能力。參考文獻(xiàn)1 hi詳高，hl爽創(chuàng)新是靈魂創(chuàng)新是追求j.數(shù)學(xué)通訊，2015.04:46-52.2 吳愛莉.淺談非邏輯思維能力的訓(xùn)練與培養(yǎng)j中國校外教育，2011.03： 86.3 曠明非邏輯思維在數(shù)學(xué)解題中的運用j.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考， 2006.8-9:37-38.4 努爾東莫衣丁培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力a.教育研究， 2015.1671-6035 (2015) 02-0257-01.5 王友春.高中生數(shù)學(xué)解