六年級奧數(shù)-數(shù)論教師版word

1、第 5講數(shù)論(一)教學目標數(shù)論問題本身范圍很廣，我們考察小學奧數(shù)的內容，完全平方數(shù)等知識點跟基礎課內容結合很緊密，但又是小奧的重難點，我們有必要加以重視本講需要學生掌握的知識點有：平方數(shù)性質、平方差公式、約數(shù)個數(shù)定理、約數(shù)和定理、輾轉相除法等.本講內容中，平方數(shù)部分是數(shù)論中最基本的部分，學生應當學會熟練運用平方差公式，對于約數(shù)和倍數(shù)部分，老師應當更注重其中的邏輯過程，可以適當用一些代數(shù)的方法將題目講的更明白和透徹.專題回顧【例 1】 一個5位數(shù)，它的各位數(shù)字和為43，且能被11整除，求所有滿足條件的5位數(shù)【分析】 現(xiàn)在我們有兩個入手的選擇，可以選擇數(shù)字和，也可以選擇被11整除，但我們發(fā)現(xiàn)被11

2、整除性質的運用要有具體的數(shù)字，而現(xiàn)在沒有，所以我們選擇先從數(shù)字和入手5位數(shù)數(shù)字和最大的為9×5=45，這樣43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8這樣我們接著用11的整除特征，發(fā)現(xiàn)符合條件的有99979，97999，98989【例 2】 已知是一個四位數(shù)，若兩位數(shù)是一個質數(shù)，是一個完全平方數(shù)，是一個質數(shù)與一個不為的完全平方數(shù)之積，則滿足條件的所有四位數(shù)是_.【分析】 本題綜合利用數(shù)論知識，因為是一個質數(shù)，所以不能為偶數(shù)，且同時是一個完全平方數(shù)，則符合條件的數(shù)僅為、，當時，滿足是一個質數(shù)的數(shù)有，時，此時同時保證是一個質數(shù)與一個不為的完全平方數(shù)之積，只有符合；當，滿足是一個

3、質數(shù)的數(shù)有，此時同時保證是一個質數(shù)與一個不為的完全平方數(shù)之積，只有符合專題精講分解質因數(shù)【例 1】 個連續(xù)的自然數(shù)之和為，若、都是質數(shù)，則的最小值是多少？【分析】 遇到等量關系的表述時，先將其轉化為數(shù)學語言設這個連續(xù)自然數(shù)中最小的一個是，則最大的一個是(遇到多個連續(xù)自然數(shù)問題，轉化時一般均采用假設法，自己需要的量，題目中沒有時，可以設未知數(shù))，則它們的和是：，則是質數(shù)，所以的最小值是的最小值是：.拓展 101個連續(xù)的非零自然數(shù)的和恰好是四個不同的質數(shù)的積，那么這個最小的和應該是_分析 設這個自然數(shù)中最小的數(shù)為，則101個連續(xù)自然數(shù)的和為： +(+1)+(+2)+(+100)=(+100)

4、15;1012=(+50)×101因為101是質數(shù)，所以+50必須是3個質數(shù)的乘積，要使和最小經檢驗+50=66=2×3×11最小，所以和最小為66×101=6666鋪墊 已知×××=，其中、分別表示不同的數(shù)字，那么四位數(shù)是多少？分析 因為，所以在題述等式的兩邊同時約去即得××作質因數(shù)分解得，由此可知該數(shù)分解為個兩位數(shù)乘積的方法僅有注意到兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字分別在另外的兩位數(shù)和中出現(xiàn)，所以=，=，=即=，=，=，=，所求的四位數(shù)是【例 2】 為自然數(shù)，且，、與690都有大于l的公約數(shù)的最小值為_【分

5、析】 ，連續(xù)9個數(shù)中，最多有5個是2的倍數(shù)，也有可能有4個是2的倍數(shù)，如果有5個連續(xù)奇數(shù)，這5個連續(xù)奇數(shù)中最多有2個3的倍數(shù)，1個5的倍數(shù)，1個23的倍數(shù)，所以必然有一個數(shù)不是2、3、5、23的倍數(shù)，即與690沒有大于l的公約數(shù)所以9個數(shù)中只有4個奇數(shù)，這個數(shù)中，有2個3的倍數(shù)，1個5的倍數(shù)，1個23的倍數(shù)，則、是偶數(shù)，剩下的4個數(shù)中、是3的倍數(shù)（5個偶數(shù)當中只有是3的倍數(shù)），還有、一個是5的倍數(shù)，一個是23的倍數(shù).剩下的可以用中國剩余定理求解，是2和3的倍數(shù)，且相鄰兩個數(shù)中一個是23的倍數(shù)，另一個是5的倍數(shù)，顯然是最小解，所以的最小值為19約數(shù)、倍數(shù)【例 3】 已知，甲乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是2

6、88，最大公約數(shù)是4，甲乙兩數(shù)不是288和4中的數(shù)，那么甲乙兩數(shù)的乘積為多少?和為多少?【分析】 設甲乙兩個數(shù)為，(和都不等于1或72),則，兩數(shù)互質，于是，的最小公倍數(shù)為，所以，由于，互質，所以或不可能在，的因子中都出現(xiàn)，所以，一個是一個是，所以兩數(shù)的乘積等于，和為.【例 4】 有15位同學，每位同學都有編號，它們是1號到15號1號同學寫了一個自然數(shù)，2號說：“這個數(shù)能被2整除”，3號說“這個數(shù)能被3整除”，依次下去，每位同學都說，這個數(shù)能被他的編號數(shù)整除，1號作了一一驗證，只有編號相鄰的兩位同學說得不對，其余同學都對，問：說得不對的兩位同學，他們的編號是哪兩個連續(xù)自然數(shù)？如果告訴你，1號寫

7、的數(shù)是五位數(shù)，請求出這個數(shù)【分析】 首先可以斷定編號是2，3，4，5，6，7號的同學說的一定都對不然，其中說的不對的編號乘以2后所得編號也將說得不對，這樣就與“只有編號相鄰的兩位同學說的不對”不符合因此，這個數(shù)能被2，3，4，5，6，7都整除其次利用整除性質可知，這個數(shù)也能被2×5，3×4，2×7都整除，即編號為10，12，14的同學說的也對從而可以斷定說的不對的編號只能是8和9這個數(shù)是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍數(shù)，由于上述十二個數(shù)的最小公倍數(shù)是60060，因為60060是一個五位數(shù)，而十二個數(shù)的其他公倍數(shù)均不是五位數(shù)，所以1

8、號同學寫的數(shù)就是60060拓展 一個兩位數(shù)有6個約數(shù)，且這個數(shù)最小的3個約數(shù)和為10，那么此數(shù)為幾？分析 最小的三個約數(shù)中必然包括約數(shù)1，除去1以外另外兩個約數(shù)和是9，由于9是1個奇數(shù)，所以這兩個約數(shù)的奇偶性質一定是相反的，其中一定有一個是偶數(shù)，如果一個數(shù)包含偶約數(shù)，那么它一定是2的倍數(shù)，即2是它的約數(shù)于是顯然的，2是這個數(shù)第二小的約數(shù)，而第三小的約數(shù)是7，所以這個兩位數(shù)是14的倍數(shù)，由于這個兩位數(shù)的約數(shù)中不含3、4、5、6，所以這個數(shù)只能是14或98，其中有6個約數(shù)的是98約數(shù)個數(shù)定理：設自然數(shù)的質因子分解式如.那么的約數(shù)個數(shù)為自然數(shù)的約數(shù)和為【例 5】 兩數(shù)乘積為，而且己知其中一數(shù)的約數(shù)個

9、數(shù)比另一數(shù)的約數(shù)個數(shù)多，那么這兩個數(shù)分別是_、_【分析】 ，由于其中一數(shù)的約數(shù)個數(shù)比另一數(shù)的約數(shù)個數(shù)多，所以這兩個數(shù)中有一個數(shù)的約數(shù)為奇數(shù)個，這個數(shù)為完全平方數(shù)故這個數(shù)只能為、或經檢驗，只有兩數(shù)分別為和時符合條件，所以這兩個數(shù)分別是和鋪墊 在三位數(shù)中，恰好有個約數(shù)的數(shù)有多少個？分析 ，所以個約數(shù)的數(shù)可以表示為一個質數(shù)的次方，或者兩個不同質數(shù)的平方的乘積，前者在三位數(shù)中只有符合條件，后者中符合條件有、,所以符合條件的有個.【例 6】 兩個整數(shù)、的最大公約數(shù)是，最小公倍數(shù)是，并且已知不等于，也不等于或，那么等于多少？【分析】 最大公約數(shù)，當然是最小公倍數(shù)的約數(shù)，因此是的約數(shù)，不等于1，只能是或者如

10、果，那么和都是的約數(shù)，和不能是11，只能是22，44，88，176這四個數(shù)中的兩個，但是這四個數(shù)中任何兩個數(shù)的最大公約數(shù)都不是11，由此得出不能是11現(xiàn)在考慮，那么，和是170的約數(shù)，又要是17的倍數(shù)，有，三個數(shù)，其中只有34和85的最大公約數(shù)是17，因此，和分別是34和85，【例 7】 已知是一個有12個約數(shù)的合數(shù)，、有24個約數(shù)，有40個約數(shù)，求有多少個約數(shù)？【分析】 設，中不含有2、3、5因子，那么的約數(shù)個數(shù)有(其中為的約數(shù)個數(shù))的約數(shù)個數(shù)為，與比較得到,于是，的約數(shù)個數(shù)為，與比較，于是，的約數(shù)個數(shù)為，與比較得到，于是，將、代入得到，的約數(shù)個數(shù)為.鋪墊已知偶數(shù)不是的整數(shù)倍，它的約數(shù)的個數(shù)

11、為，求的約數(shù)的個數(shù).分析 將分解，其中是奇數(shù)，它的約數(shù)的個數(shù)為，(其中為的約數(shù)個數(shù))，則的約數(shù)個數(shù)為.【例 8】 要使這個積是的倍數(shù)，并要使最小，則【分析】 分析題意，為同一個數(shù)可以由兩種乘積的形式表示關于因數(shù)乘積表示形式，類比聯(lián)系我們所學的知識點：質因數(shù)的唯一分解式：則是的倍數(shù)，則得到，使最小，則完全平方數(shù)【例 9】 從到的所有自然數(shù)中，乘以后是完全平方數(shù)的數(shù)共有多少個？【分析】 完全平方數(shù)，所有質因數(shù)必成對出現(xiàn)，所以滿足條件的數(shù)必為某個完全平方數(shù)的倍，共個鋪墊有個連續(xù)自然數(shù)，它們的和為一個平方數(shù)，中間三數(shù)的和為立方數(shù)，則這五個數(shù)中最小數(shù)的最小值為_分析 考查平方數(shù)和立方數(shù)的知識點，同時涉及

12、到數(shù)量較少的連續(xù)自然數(shù)問題，設未知數(shù)的時候有技巧設中間數(shù)是,則它們的和為, 中間三數(shù)的和為是平方數(shù)，設,則是立方數(shù)，所以至少含有和的質因數(shù)各個, 至少是,中間的數(shù)至少是最小數(shù)的最小值為【例10】 志誠小學三四年級的學生人數(shù)比一二年級的學生人數(shù)多人，但比五六年級的學生人數(shù)少人，已知五六年級的學生人數(shù)和一二年級的學生人數(shù)都是完全平方數(shù)，那么志誠中學總的學生人數(shù)有多少人？(請寫出最現(xiàn)實的答案)【分析】 五六年級的人數(shù)和一二年級的學生人數(shù)都是完全平方數(shù)，所以可以設五六年級的學生人數(shù)為，一二年級的學生人數(shù)為，則，而，所以，與可能為和；和；和，由這三個答案得到的和的值分別為：77和76，13和4，27和2

13、4，顯然由前兩組答案得到的學校人數(shù)不符合現(xiàn)實，所以，為最佳結果.此時五六年級的學生人數(shù)為人，一二年級的學生人數(shù)為576人，三四年級的學生人數(shù)為676，學校的總人數(shù)為人.鋪墊能否找到這么一個數(shù)，它加上24，和減去30所得的兩個數(shù)都是完全平方數(shù)？分析 假設能找到，設這兩個完全平方數(shù)分別為、，那么這兩個完全平方數(shù)的差為，由于和的奇偶性質相同，所以不是的倍數(shù)，就是奇數(shù)，所以不可能等于兩個平方數(shù)的差，所以這樣的數(shù)找不到.【例11】 一個正整數(shù)若能表示為兩個正整數(shù)的平方差，則稱這個數(shù)為“智慧數(shù)”，比如16=,16就是一個“智慧數(shù)”，那么從1開始的自然數(shù)列中，第2003個“智慧數(shù)”是_【分析】 =因為與同奇

14、同偶，所以“智慧數(shù)”是奇數(shù)或是4的倍數(shù) 對于任何大于1的奇數(shù)()，當，時，都有=即任何大于1的奇數(shù)都是“智慧數(shù)” 對于任何大于4的4的倍數(shù)()，當，時，都有=即任何大于4的4的倍數(shù)都是“智慧數(shù)”除了1和4以外，非“智慧數(shù)”都是不能被4整除的偶數(shù)，“智慧數(shù)”約占全部正整數(shù)的，為，加上1和4這兩個非“智慧數(shù)”，在12672中共有非“智慧數(shù)”668+2=670(個)，有“智慧數(shù)”2672670=2002(個)所以第2003個“智慧數(shù)”是2673【例12】 （2008年清華附中入學考試題）有兩個兩位數(shù)，它們的差是，將它們分別平方，得到的兩個平方數(shù)的末兩位數(shù)（個位數(shù)和十位數(shù)）相同，那么這兩個兩位數(shù)是 （

15、請寫出所有可能的答案）【分析】 （法一）設這兩個數(shù)分別是和，則與兩個數(shù)的末兩位相同，即與的末兩位相同，所以是的倍數(shù)，個位只能是或先設，則，當，時滿足條件，但時較大的兩位數(shù)大于不合題意再設，可求得，時滿足條件 所以一共有、三組答案 （法二）,是的倍數(shù)，所以是的倍數(shù)，符合條件的只有、鞏固精練1 兩個連續(xù)自然數(shù)的平方和等于，又有三個連續(xù)自然數(shù)的平方和等于，則這兩個連續(xù)自然數(shù)為_，這三個連續(xù)自然數(shù)為_【分析】 ， 所以這兩個連續(xù)自然數(shù)為、，所以這三個連續(xù)自然數(shù)為、2 有個自然數(shù)相加： (和恰好是三個相同數(shù)字組成的三位數(shù))，那么_【分析】 ，由于是個一位數(shù)，與是兩個相鄰的整數(shù)，只有當，時滿足題意，所以所求的為3 已知有個約數(shù)，有個約數(shù)，有個約數(shù)，有多少個約數(shù)？【分析】 設，有個約數(shù)，(為的約數(shù)個數(shù))，于是有個約數(shù)，所以，有個約數(shù)，由此求得，所以有個約數(shù).4 、兩數(shù)都只含有質因數(shù)3和2，它們的最大公約數(shù)是18已知有12個約數(shù)，有8個約數(shù)，那么_【分析】 ，、至少含有兩個3和一個2因為有12個約數(shù)，所以可能是、或，有8個約數(shù)，所以，于是只能是，故5 把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干組，要求每一組