研究生固體物理-第五章-金屬自由電子論(下)講課教案

1、5.3 功函數(shù)功函數(shù)(hnsh)和接觸電勢和接觸電勢一、熱電子發(fā)射一、熱電子發(fā)射(fsh)和功函數(shù)和功函數(shù)A：常數(shù)：常數(shù)(chngsh)W：功函數(shù)（或脫出功）：功函數(shù)（或脫出功）V0EF0 xVW金屬金屬真空真空熱電子發(fā)射的電流密度為熱電子發(fā)射的電流密度為2expBWjATk T Richardson定律定律0FWVEV0：真空能級（勢阱的深度）：真空能級（勢阱的深度）W 幾個幾個eV第一頁，共38頁。 3328xxyzemv fdv dv dv v033322124exp1xyzxFVmBdvm edvdvvmvEk T 032332expexp42FyzxxBBVmm eEmvdvdvvd

2、vk Tk T mkvxxjev dn 熱電子發(fā)射電流密度熱電子發(fā)射電流密度 2Vxxyzevfdk dk dk kk第二頁，共38頁。2023exp2BFxBme k TVEjk T 2expBWjATk T Richardson定律定律其中其中 2232BmekA 0FWVE222expexp22yzByzBBmvmvk Tdvdvk Tk Tm第三頁，共38頁。0202expexp2xBxxBBVmmvVk Tvdvk Tmk T 不同的金屬有不同的功函數(shù)不同的金屬有不同的功函數(shù)(hnsh)，由于熱膨脹，由于熱膨脹，W是溫度的函數(shù)是溫度的函數(shù)(hnsh)。幾種金屬功函數(shù)的平均值（幾種金屬

3、功函數(shù)的平均值（eV）LiNaKMgAlCuAgAuPt2.482.282.223.674.204.454.464.895.36第四頁，共38頁。二、接觸電勢二、接觸電勢W1W2(EF)2(EF)1金屬金屬1金屬金屬2W1W2EF金屬金屬1金屬金屬2eV121212211VVVWWe接觸接觸(jich)電勢差電勢差:金屬金屬1：帶正電：帶正電(zhngdin)，V1 0，電子的靜電勢能，電子的靜電勢能eV1 0 金屬金屬(jnsh)2：帶負電，：帶負電，V2 0 第五頁，共38頁。5.4 自由電子的輸運自由電子的輸運(sh yn)問題問題一、一、Boltzmann方程方程(fngchng) 有

4、外場（如電場、磁場有外場（如電場、磁場(cchng)或溫度梯度場）時，或溫度梯度場）時，電子的能量電子的能量E = E(r, k, t)，分布函數(shù)：，分布函數(shù)：f(r, k, t) 。 平衡時，電子的分布遵從平衡時，電子的分布遵從FermiDirac統(tǒng)計，統(tǒng)計，f = f(E)，E = E(k)。 f(r, k, t)的物理意義：在的物理意義：在t時刻，電子位置處在時刻，電子位置處在rr+dr體積體積元內(nèi)，狀態(tài)處在元內(nèi)，狀態(tài)處在kk+dk范圍內(nèi)的電子數(shù)為范圍內(nèi)的電子數(shù)為33328d rdNfd kr,k, tr,k, t33xyzd rdxdydzd kdk dk dk第六頁，共38頁。穩(wěn)定時

5、，分布函數(shù)的時間穩(wěn)定時，分布函數(shù)的時間(shjin)變化率來自兩方面：變化率來自兩方面：v 漂移變化：電子在外場漂移變化：電子在外場(wichng)作用下的漂移運動，作用下的漂移運動， 引起分布函數(shù)的變化，引起分布函數(shù)的變化， 是破壞平衡的因素。是破壞平衡的因素。v 碰撞碰撞(pn zhun)變化：電子碰撞變化：電子碰撞(pn zhun)而引而引起分布函數(shù)的變化，起分布函數(shù)的變化， 是建立或恢復平衡的因素。是建立或恢復平衡的因素。第七頁，共38頁。0dcfftt穩(wěn)定時：穩(wěn)定時：0ft0dfdt及及dcdffffdtttt分布分布(fnb)函數(shù)的變化率：函數(shù)的變化率：漂移漂移(pio y)項項碰

6、撞碰撞(pn zhun)項項瞬變項瞬變項第八頁，共38頁。1. 漂移漂移(pio y)項項t, r ktt,rr kk, r k0, , ,limtdftfttfttr kr k0, ,limtfttftttrr kkr kdffft rkrk漂移項漂移項第九頁，共38頁。2. 碰撞碰撞(pn zhun)項項單位體積中，狀態(tài)單位體積中，狀態(tài)(zhungti)處在處在kk+dk中的電中的電子數(shù)子數(shù) 3328dnfd kk單位時間內(nèi)，在單位體積中由于單位時間內(nèi)，在單位體積中由于(yuy)碰撞離開碰撞離開k態(tài)的電子態(tài)的電子數(shù)數(shù) 333321,88d kffd kkkkk k單位時間內(nèi)，在單位體積中由

7、于碰撞進入單位時間內(nèi)，在單位體積中由于碰撞進入k態(tài)的電子數(shù)態(tài)的電子數(shù) 333321,88d kffd kkkkk k第十頁，共38頁。33332288ccnfbattd kd k在單位在單位(dnwi)體積中由于碰撞體積中由于碰撞kk+dk中電子數(shù)的增加中電子數(shù)的增加率：率：碰撞項碰撞項cfbat 331,8d kaffkkkk k 331,8d kbffkkkk kffbarkvk Boltzmann方程(fngchng)第十一頁，共38頁。二、弛豫時間近似二、弛豫時間近似(jn s) 0ffba k 弛豫時間近似弛豫時間近似(jn s)f0：平衡：平衡FermiDirac分布分布(fnb)

8、函數(shù)，函數(shù)，(k)：弛豫：弛豫時間時間在在t = 0時撤去外場時撤去外場 t = 0時時, f = f0+ f(t=0)， 弛豫時間近似的假設認為，碰撞促使分布函數(shù)偏離弛豫時間近似的假設認為，碰撞促使分布函數(shù)偏離平衡分布的部分以指數(shù)的形式消失。平衡分布的部分以指數(shù)的形式消失。第十二頁，共38頁。0ffft 00 expttf tfff t 弛豫時間弛豫時間基本上是系統(tǒng)恢復基本上是系統(tǒng)恢復(huf)平衡所用的時間。平衡所用的時間。Boltzmann方程方程(fngchng)可簡化為可簡化為0ffdffdt rkkv積分積分(jfn)：第十三頁，共38頁。通常采用逐步逼近通常采用逐步逼近(bjn)

9、法求解法求解Boltzmann方程方程0ffdffdt rkkv f0 f1 fn f1 f2 fn+1 第十四頁，共38頁。三、電導三、電導(din do)和熱導和熱導只考慮各向同性的金屬只考慮各向同性的金屬(jnsh)（多晶或立方系單晶）（多晶或立方系單晶）Boltzmann方程方程0ffdffdt rkkv i 電電 場：場：溫度梯度場：溫度梯度場： dTTdxi電流密度：電流密度：3328xejv fd k 熱流熱流(rli)密密度：度：3328xFjvEEfd k第十五頁，共38頁。ffTTrdedt k fffEEEkkv2mEkkv 0ffffTeTE vvk 00FfffEdE

10、TTTE TdTT 0ffEE用用fo代左邊的代左邊的f ：1. 求分布求分布(fnb)函數(shù)函數(shù)f第十六頁，共38頁。 000FxxffffEdEdTTvevE TdTTdxEk 00FxfEdEdTffveTETdTTdxk2. 求電導求電導(din do)3328xejv fd k 022344xFfeEdEdTeTETdTTdkxvdk k第十七頁，共38頁。222212mEm Ek 11221122ddmEEk221212333xEvEmmv 11222mEvk 322834xvk dkmEdEk第十八頁，共38頁。023023FfmedEdTE dTjeTEdEdTTdxTdxE 令

11、令023023fmAEdEE1,2,3023023FmdfEdEdE 222232236FFFBE EmdAEk TEdE Q EE第十九頁，共38頁。121FdEdTdTjeeTAAdTTdxTdx 對于電導，無溫度梯度對于電導，無溫度梯度:0dTdx21je A 2212323FFmeAEe 0212FFEmv112022FFmEv第二十頁，共38頁。3202310223FFEmNnEV202323FFm vE230232FFFEEnm v222323FFFFEmenevmFFFv2Fnem導電率導電率112022FFmEv第二十一頁，共38頁。3. 求熱導率求熱導率K3328xFjvEE

12、fd k023023FFfmdEdTE dTeTEEEdEdTTdxTdxE22FFdEdTE dTeTAAdTTdxT dx311FFdTdEdTAEeTAT dxdTTdx聯(lián)立聯(lián)立121FdEdTdTjeeTAAdTTdxTdx 第二十二頁，共38頁。對于熱導對于熱導(r do)，無宏觀電流：，無宏觀電流：0j 得得1210FdEdTdTeTAAdTTdxTdx121FdEdTdTeTAAdTTdxTdx 2232111FFdTAE dTdTE dTjAAAT dxAT dxT dxT dx 22131AA AdTdTKATdxdx 第二十三頁，共38頁。223BKkTe Wiedeman

13、nFranz定律定律22221313BFAA AnkTKATm熱導率：熱導率：2Fnem電導率：電導率：熱導率：熱導率：223BFnkTKm第二十四頁，共38頁。223BKkLTe Lorenz數(shù)數(shù)2928/5.87 102.45 10/s KLcalV K一些金屬一些金屬Lorenz數(shù)的實驗值數(shù)的實驗值108(V/K)2T( C)AgAuCuCdIrZnPbPtSn02.312.352.232.422.492.312.472.512.521002.372.402.332.432.492.332.562.602.49第二十五頁，共38頁。四、熱電效應四、熱電效應(r din xio yng)1

14、. Seebeck效應效應(xioyng)（1822年）年）VT1T2ABB T1T2BA令令 j = 01210FdEdTdTeTAAdTTdxT dx211FAEdTeATTdx 221122121111TTFFTTAAVdxEdTEdTeTAeTA BA第二十六頁，共38頁。2112TTVSSdTBA 溫差電動勢溫差電動勢211FASEeTA AA211FASEeTA BBSeebeck系數(shù)系數(shù)或熱電勢率或熱電勢率材料材料(cilio)的絕對溫差電動勢的絕對溫差電動勢002T111TTFTTAEdTSdTeTA V第二十七頁，共38頁。溫差熱電勢溫差熱電勢(dinsh)的的性質：性質：v

15、 溫差熱電勢(dinsh)只取決于A、B金屬兩結點的溫度;v 由一對金屬構成的熱電偶所產(chǎn)生的溫差電動勢只 取決于其自身的性質和結點溫度，而與中間(zhngjin)金屬 的存在無關;v 在一熱電偶中接入第三個導體，只要這導體兩端在一熱電偶中接入第三個導體，只要這導體兩端 的溫度相等，原熱電偶的溫差電動勢不變。的溫度相等，原熱電偶的溫差電動勢不變。PtPt10Rh （S型）型）CopperConstantan（T型）型）ChromelAlumel（K型）型）常用熱電偶：常用熱電偶：第二十八頁，共38頁。2. Peltier效應效應(xioyng)（1834年）年）T1T2ABB j 當電流通過不同

16、金屬的結點時，當電流通過不同金屬的結點時，在結點處有吸熱或放熱現(xiàn)象，吸熱在結點處有吸熱或放熱現(xiàn)象，吸熱或放熱取決于電流方向或放熱取決于電流方向(fngxing)。這種現(xiàn)象稱為這種現(xiàn)象稱為Peltier效應。效應。 ABjjAB Peltier系數(shù)系數(shù)211FdTdEjeAeTAT dxdxT 32211FFFdTdEjAE AeTAE AT dxdxT第二十九頁，共38頁。令令0dTdx211FAjEjeA 211FAESTeA Peltier效應可以效應可以(ky)看成是看成是Seebeck效應的逆效應。效應的逆效應。211FASEeTA 第三十頁，共38頁。3. Thomson效應效應(x

17、ioyng)（1854年）年） 當電流在導體中流動時，若導體上有溫度梯度，實當電流在導體中流動時，若導體上有溫度梯度，實驗發(fā)現(xiàn)在導體上除了一般的焦耳熱以及由于熱傳導引起驗發(fā)現(xiàn)在導體上除了一般的焦耳熱以及由于熱傳導引起的熱量外，還有熱量的吸收的熱量外，還有熱量的吸收(xshu)或放出現(xiàn)象，這種或放出現(xiàn)象，這種現(xiàn)象稱為現(xiàn)象稱為Thomson效應。效應。TTdqdTjdtdx T Thomson系數(shù)系數(shù)T 正負號的規(guī)定：若電流從低溫流向高溫處是正負號的規(guī)定：若電流從低溫流向高溫處是吸熱，則吸熱，則 為正，反之為負。為正，反之為負。 T第三十一頁，共38頁。 導體中，單位導體中，單位(dnwi)時間內(nèi)

18、在單位時間內(nèi)在單位(dnwi)體積體積中所產(chǎn)生的熱量由兩部分組成：一部分是來自焦耳熱；中所產(chǎn)生的熱量由兩部分組成：一部分是來自焦耳熱；另一部分來自熱流的聚集。另一部分來自熱流的聚集。v 前兩項代表焦耳熱（電流密度由外電場及前兩項代表焦耳熱（電流密度由外電場及EF隨隨 位置位置(wi zhi)的變化而引起的）。的變化而引起的）。v 第三項是j = 0時由于(yuy)熱傳導而流入的熱量。v 最后一項是最后一項是Thomson熱。熱。TdSdTSdTdTST 由輸運方程得：由輸運方程得：2Fdqjj dEddTdSdTKTjdte dxdxdxdTdx第三十二頁，共38頁。五、五、Hall效應效應(

19、xioyng)jxBqxyz0EH 將一通電的導體放在磁場中，若磁場方向與電流將一通電的導體放在磁場中，若磁場方向與電流(dinli)方向垂直，那么，在第三個方向上會產(chǎn)生電方向垂直，那么，在第三個方向上會產(chǎn)生電位差，這種現(xiàn)象稱為位差，這種現(xiàn)象稱為Hall效應。效應。正電荷正電荷q受的力：受的力：HqFEvB穩(wěn)定穩(wěn)定(wndng)時，時，F(xiàn)00HqEvBHEvB第三十三頁，共38頁。又由于又由于(yuy)xjnqvxjvnq 1HxHxEvBj BR j Bnq1HRnq Hall系數(shù)系數(shù)(xsh)對于對于(duy)自由電子：自由電子：q =e10HRne n：單位體積中的載流子數(shù)，即載流子濃度

20、。：單位體積中的載流子數(shù)，即載流子濃度。由由Hall系數(shù)的測量系數(shù)的測量不僅不僅可以判斷載流子的種類可以判斷載流子的種類（帶正電還是（帶正電還是帶負電），而且?guī)ж撾姡?，而且還是測量載流子濃度的重要手段還是測量載流子濃度的重要手段。第三十四頁，共38頁。載流子濃度越低，載流子濃度越低，Hall系數(shù)系數(shù)(xsh)就越大，就越大，Hall效應就越效應就越明顯。明顯。一些金屬一些金屬Hall系數(shù)的理論值與實驗值系數(shù)的理論值與實驗值LiNaKAlInRH實驗實驗（1024CGS）-1.89-2.619-4.946+1.136+1.774RH理論理論（1024CGS）-1.48-2.603-4.944-1.135-1.780 其中，對其中，對Al和和In的計算時，假設每個原子只貢獻一個的計算時