2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(江蘇卷) (2)

1、2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)試題注 意 事 項考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及各題答題要求1本試卷共4頁，均為非選擇題（第1題第20題，共20題）本卷滿分160分，考試時間為120分鐘考試結(jié)束后，請將本卷和答題卡一并交回2答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置3請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與您本人是否相符4作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效5如需作圖，須用2b鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗參考公式：（1）樣本數(shù)據(jù)x1,

2、 x2, ××× , xn的方差s2 = (xi - )2，其中 = xi（2）直棱柱的側(cè)面積s = ch，其中c為底面周長，h為高（3）棱柱的體積v = sh，其中s為底面積，h為高1、 填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上read a, bif a > b then maelse mbend ifprint m（第4題）1已知集合a = -1, 1, 2, 4，b = -1, 0, 2，則ab = 2函數(shù)f(x) = log5(2x + 1)的單調(diào)增區(qū)間是 3設(shè)復(fù)數(shù)i滿足i(z + 1) = -3 + 2i（i是

3、虛數(shù)單位），則z的實部是 4根據(jù)如圖所示的偽代碼，當(dāng)輸入a, b分別為2，3時，最后輸出的m的值是 5從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機(jī)取兩個數(shù)，則其中一個數(shù)是另一個的兩倍的概率是 6某老師從星期一到星期五收到信件數(shù)分別是10，6，8，5，6，則該組數(shù)據(jù)的方差s2 = 7已知tan(x + ) = 2，則的值為 yxo-（第9題）8在平面直角坐標(biāo)系xoy中，過坐標(biāo)原點的一條直線與函數(shù)f(x) = 的圖象交于p，q兩點，則線段pq長的最小值是 9函數(shù)f(x) = asin(wx + j)（a，w，j為常數(shù)，a > 0，w > 0）的部分圖象如圖所示，則f(0) = 10已知e1，e2

4、是夾角為的兩個單位向量，a = e1 - 2e2，b = ke1 + e2若a×b = 0，則實數(shù)k的值為 11已知實數(shù)a ¹ 0，函數(shù)f(x) = 若f(1 - a) = f(1 + a)，則a的值為 12在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點p是函數(shù)f(x) = ex（x > 0）的圖象上的動點，該圖象在p處的切線l交y軸于點m，過點p作l的垂線交y軸于點n設(shè)線段mn的中點的縱坐標(biāo)為t，則t的最大值是 13設(shè)1 = a1a2×××a7，其中a1, a3, a5, a7成公比為q的等比數(shù)列，a2, a4, a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小

5、值是 14設(shè)集合a =(x, y) | (x - 2)2 + y2m2，x, y Î r，b = (x, y) | 2mx + y2m + 1，x, y Î r若ab ¹ Æ，則實數(shù)m的取值范圍是 二、解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分14分）在abc中，角a，b，c所對應(yīng)的邊為a, b, c（1）若sin(a + ) = 2cos a，求a的值；（2）若cos a = ，b = 3c，求sin c的值16（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐p-abcd中，平面pad平面ab

6、cd，ab = ad，bad = 60°，e，f分別是ap，ad的中點求證：abcdefp（第16題）（1）直線ef平面pcd；（2）平面bef平面pad11 / 1117（本小題滿分14分）請你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示，abcd是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得a，b，c，d四個點重合于圖中的點p，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒e，f在ab上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點設(shè)ae = fb = x（cm）（1）某廣告商要求包裝盒側(cè)面積s（cm2）最大，試問x應(yīng)取何值？（2）某廣告商要求包裝盒容積v（cm3）

7、最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值dacbefxx60p（第17題）18（本小題滿分16分）ypbcomna（第18題）x如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，m，n分別是橢圓 + = 1的頂點，過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于p，a兩點，其中p在第一象限，過p作x軸的垂線，垂足為c，連結(jié)ac，并延長交橢圓于點b設(shè)直線pa的斜率為k（1）當(dāng)直線pa平分線段mn，求k的值；（2）當(dāng)k = 2時，求點p到直線ab的距離d；（3）對任意的k > 0，求證：papb19（本小題滿分16分）已知a，b是實數(shù)，函數(shù)f(x) = x3 + ax，g(x) = x2 + bx，f'(x

8、)和g'(x)分別是f(x)和g(x)的導(dǎo)函數(shù)若f'(x)g'(x)0在區(qū)間i上恒成立，則稱f(x)和g(x)在區(qū)間i上單調(diào)性一致（1）設(shè)a > 0若函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間-1, +¥)上單調(diào)性一致，求實數(shù)b的取值范圍；（2）設(shè)a < 0且a ¹ b若函數(shù)f(x)和g(x)在以a，b為端點的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求 | a - b |的最大值20（本小題滿分16分）設(shè)m為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列an的首項a1 = 1，前n項的和為sn，已知對任意的整數(shù)k Î m，當(dāng)整數(shù)n > k時，sn + k + sn - k =

9、 2(sn + sk)都成立（1）設(shè)m = 1，a2 = 2，求a5的值；（2）設(shè)m = 3, 4，求數(shù)列an的通項公式2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)（附加題）注 意 事 項考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及各題答題要求1本試卷共2頁，均為非選擇題（第21題第23題）本卷滿分為40分，考試時間為30分鐘考試結(jié)束后，請將本卷和答題卡一并交回2答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置3請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與您本人是否相符4作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作

10、答，在其他位置作答一律無效5如需作圖，須用2b鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗21【選做題】本題包括a、b、c、d四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答若多做，則按作答的前兩題評分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟a選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）如圖，圓o1與圓o2內(nèi)切于點a，其半徑分別為r1與r2（r1 > r2）圓o1的弦ab交圓o2于點c（o1不在ab上）求證：ab : ac為定值ao1bco2（第21-a題）b選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）已知矩陣a = ，向量b = 求向量a，使a2a = bc選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小

11、題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，求過橢圓（j為參數(shù)）的右焦點，且與直線（t為參數(shù)）平行的直線的普通方程d選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）解不等式x + | 2x - 1 | < 3【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟22（本小題滿分10分）a1abncmdb1d1c1（第22題）如圖，在正四棱柱abcd-a1b1c1d1中，aa1 = 2，ab = 1，點n是bc的中點，點m在cc1上設(shè)二面角a1-dn-m的大小為q（1）當(dāng)q = 90°時，求am的長；（2）當(dāng)cos q = 時

12、，求cm的長23（本小題滿分10分）設(shè)整數(shù)n4，p(a, b)是平面直角坐標(biāo)系xoy中的點，其中a, b Î 1, 2, 3, ××× , n，a > b（1）記an為滿足a - b = 3的點p的個數(shù)，求an；（2）記bn為滿足(a - b)是整數(shù)的點p的個數(shù)，求bn數(shù)學(xué)試題參考答案一、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算和基本思想方法每小題5分，共計70分1-1, 22(-, +¥)3143563.278491011-12(e + e-1)1314, 2 + 二、填空題15本小題主要考查三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和的正弦公式、解三角形，

13、考查運(yùn)算求解能力滿分14分（1）由題設(shè)知sin a cos + cos a sin = 2cos a從而sin a = cos a，所以cos a ¹ 0，tan a = 因為0 < a < p，所以a = . （2）由cos a = ，b = 3c及a2 = b2 + c2 - 2bccos a，和a2 = b2 - c2 故abc是直角三角形，且b = 所以sin c = cos a = 16本小題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力和推理論證能力滿分14分（1）在pad中，因為e，f分別為ap，ad的中點，所以efpdabcdefp（第16題）

14、又因為ef Ë 平面pcd，pd Ì 平面pcd，所以直線ef平面pcd（2）連結(jié)bd因為ab = ad，Ðbad = 60°，所以ab為 正三角形因為f是ad的中點，所以bf ad 因為平面pad 平面abcd，bf Ì 平面abcd， 平面pad平面abcd = ad，所以bf 平面pad 又因為bf Ì 平面bef，所以平面bef 平面pad17本小題主要考查函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)學(xué)建模能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)閱讀能力及解決實際問題的能力滿分14分設(shè)包裝盒的高為h（cm），底面邊長為a（cm）由已知得a = x，h

15、= = (30 - x)，0 < x < 30（1）s = 4ah = 8x(30 - x) = -8(x - 15)2 + 1 800， 所以當(dāng)x = 15時，s取得最大值（2）v = a2h = 2(-x3 + 30x2)，v' = 6x(20 - x) 由v' = 0得x = 0（舍）或x = 20 當(dāng)x Î (0, 20)時，v' > 0；當(dāng)x Î (20, 30)時，v' < 0 所以當(dāng)x = 20時，v取得極大值，也是最大值 此時 = 即包裝盒的高與底邊長的比值為18本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)、

16、直線方程、直線的垂直關(guān)系、點到直線的距離等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力滿分16分（1）由題設(shè)知，a = 2，b = ，故m(-2, 0)，n(0, -)，所以線段mn中點的坐標(biāo)為(-1,)由于直線pa平分線段mn，故直線pa過線段mn的中點，又直線pa過坐標(biāo)原點，所以k = = （2）直線pa的方程為y = 2x，代入橢圓方程得 + = 1，解得x = ±，因此p(, )，a(-, -) 于是c(, 0)，直線ac的斜率為 = 1，故直線ab的方程為x - y - = 0 因此，d = = （2）解法1 將直線pa的方程y = kx代入 + = 1，解得x = ±

17、;記u = ， 則p(u, uk)，a(-u, -uk)于是c(u, 0)故直線ab的斜率為 = ， 其方程為y = (x - u)，代入橢圓方程得(2 + k2)x2 - 2uk2x - u2(3k2 + 2) = 0， 解得x = 或x = -u因此b(, ) 于是直線pb的斜率k1 = = -因此k1k = -1，所以pa pb解法2 設(shè)p(x1, y1), b(x2, y2)，則x1 > 0, x2 > 0, x1 ¹ x2, a(-x1, -y1), c(x1, 0)設(shè)直線pb，ab的斜率分別為k1, k2因為c在直線ab上，所以k2 = = = 從而k1k +

18、 1 = 2k1k2 + 1 = 2×× + 1 = + 1 = = = 0因此k1k = -1，所以pa pb19本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力滿分16分f'(x) = 3x2 + a，g'(x) = 2x + b（1）由題意知f'(x)g'(x)0在-1, +¥)上恒成立因為a > 0，故3x2 + a > 0，進(jìn)而2x + b0，即b-2x在區(qū)間-1, +¥)上恒成立，所以b2因此b的取值范圍是2, +¥

19、)（2）令f'(x) = 0，解得x = ±若b > 0，由a < 0得0 Î (a, b)又因為f'(0)g'(0) = ab < 0，所以函數(shù)f(x)和g(x)在(a, b) 上不是單調(diào)性一致的因此b0現(xiàn)設(shè)b0當(dāng)x Î (-¥, 0)時，g'(x) < 0；當(dāng)x Î (-¥, -)時，f'(x) > 0因此，當(dāng)x Î (-¥, -)時，f'(x)g'(x) < 0故由題設(shè)得a-且b-，從而-a < 0，于是-b0因

20、此 | a - b |，且當(dāng)a = -，b = 0時等號成立又當(dāng)a = -，b = 0時，f'(x)g'(x) = 6x(x2 - )，從而當(dāng)x Î (-, 0)時f'(x)g'(x) > 0，故函數(shù)f(x)和g(x)在(-, 0)上單調(diào)一致因此| a - b |的最大值為20本小題考查數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系、等差數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查考生分析探究及邏輯推理的能力滿分16分（1）由題設(shè)知，當(dāng)n2時，sn + 1 + sn - 1 = 2(sn + s1)，即(sn + 1 - sn) - (sn - sn - 1) = 2s1 從而a

21、n + 1 - an = 2a1 = 2又a2 = 2，故當(dāng)n2時，an = a2 + 2(n - 2) = 2n - 2所以a5的值為8（2）由題設(shè)知，當(dāng)k Î m = 3, 4且n > k時，sn + k + sn - k = 2sn + 2sk且sn + 1 + k + sn + 1 - k = 2sn + 1 + 2sk，兩式相減得an + 1 + k + an + 1 - k = 2ak + 1，即an + 1 + k - an + 1 = an + 1 - an + 1 - k所以當(dāng)n8時，an - 6，an - 3，an，an + 3，an + 6成等差數(shù)列，且a

22、n - 6，an - 2，an + 2，an + 6成等差數(shù)列從而當(dāng)n8時，2an = an + 3 + an - 3 = an + 6 + an - 6，（*）且an + 6 + an - 6 = an + 2 + an - 2所以當(dāng)n8時，2an = an + 2 + an - 2，即an + 2 - an = an - an - 2于是當(dāng)n9時，an - 3，an - 1，an + 1，an + 3成等差數(shù)列，從而an + 3 + an - 3 = an + 1 + an - 1，故由（*）式知2an = an + 1 + an - 1，即an + 1 - an = an - an -

23、1當(dāng)n9時，設(shè)d = an - an - 1當(dāng)2m8時，m + 68，從而由（*）式知2am + 6 = am + am + 12，故2am + 7 = am + 1 + am + 13從而2(am + 7 - am + 6) = am + 1 - am + (am + 13 - am + 12)，于是am + 1 - am = 2d - d = d因此，an + 1 - an = d對任意n2都成立又由sn + k + sn - k - 2sn = 2sk（k Î 3, 4）可知(sn + k - sn) - (sn - sn - k) = 2sk，故9d = 2s3且16d =

24、2s4解得a4 = d，從而a2 = d，a1 = 因此，數(shù)列an為等差數(shù)列由a1 = 1知d = 2所以數(shù)列an的通項公式為an = 2n - 1數(shù)學(xué)（附加題）參考答案21【選做題】a選修4-1：幾何證明選講本小題主要考查兩圓內(nèi)切、相似比等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力滿分10分ao1bco2（第21-a題）de連結(jié)ao1，并延長分別交兩圓于點e和點d連結(jié)bd，ce因為圓o1與圓o2內(nèi)切于點a，所以點o2在ad上故ad，ae分別為圓o1，圓o2的直徑從而Ðabd = Ðace = 所以bdce，于是 = = = 所以ab : ac為定值b選修4-2：矩陣與變換本小題主要考查矩

25、陣運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力滿分10分a2 = = 設(shè)a = 由a2a = b，得 過且過= ，從而解得x = -1，y = 2，所以a = c選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程本小題主要考查橢圓及直線的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識，考查轉(zhuǎn)化問題的能力滿分10分由題設(shè)各，橢圓的長半軸長a = 5，短半軸長b = 3，從而c = = 4，所以右焦點為(4,0)將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程：x - 2y + 2 = 0故所求直線的斜率為，因此其方程為y = (x - 4)，即x - 2y - 4 = 0d選修4-5：不等式選講本小題主要考查解絕對值不等式的基礎(chǔ)知識，考查分類討論、運(yùn)算求解能力滿分10分原不等式可化為或解得 x < 或-2 < x < 所以原不等式的解集是x | -2 < x < 22【必做題】本小題主要考查空間向量的基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用空間向量解決問題的能力滿分10分建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系d-xyz設(shè)cm = t（0t2），則各點的坐標(biāo)為a(1, 0, 0), a1(