2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題(江蘇卷)

1、1 / 15 2015 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 江蘇數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué) 注意事項(xiàng) 考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求 1.本試卷共 4 頁(yè),均為非選擇題(第 1 題第 20 題.共 20 題).本卷滿分為 160 分,考試時(shí)間為 120 分鐘,本試卷結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回. 2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用 0.5 毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置. 3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符. 4.作答試題,必須用 0.5 毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置

2、作答一律無(wú)效. 5.如需作圖,須用 2b 鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗. 參考公式: 圓柱的體積公式:v圓柱=sh,其中 s 是圓柱的底面積,h 為高. 圓錐的體積公式:v圓錐=13sh,其中 s 是圓錐的底面積,h 為高. 一、填空題:本大題共 14 小題,每小題 5 分,共計(jì) 70 分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上. 1.(2015 江蘇,1)已知集合 a=1,2,3,b=2,4,5,則集合 ab 中元素的個(gè)數(shù)為 . 答案:5 解析:ab=1,2,32,4,5=1,2,3,4,5,即 ab中元素的個(gè)數(shù)是 5. 2.(2015 江蘇,2)已知一組數(shù)據(jù) 4,6,5,8,7,6,那

3、么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 . 答案:6 解析:平均數(shù) =4+6+5+8+7+66=6. 3.(2015 江蘇,3)設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 z2=3+4i(i 是虛數(shù)單位),則 z 的模為 . 答案:5 解析:因?yàn)?z2=3+4i,所以|z2|=32+ 42=5,所以|z|=5. 4.(2015 江蘇,4)根據(jù)如圖所示的偽代碼,可知輸出的結(jié)果 s 為 . s1 i1 while i8 ss+2 2 / 15 ii+3 end while print s 答案:7 解析:s=1,i=1; s=s+2=1+2=3,i=i+3=1+3=48; s=s+2=3+2=5,i=i+3=4+3=78. 故 s=7. 5

4、.(2015 江蘇,5)袋中有形狀、大小都相同的 4 只球,其中 1 只白球,1 只紅球,2 只黃球,從中一次隨機(jī)摸出 2 只球,則這 2 只球顏色不同的概率為 . 答案:56 解析:根據(jù)條件得 p=c11c11+c11c21+c11c21c42=56或 p=1-c22c42=56. 6.(2015 江蘇,6)已知向量 a=(2,1),b=(1,-2),若 ma+nb=(9,-8)(m,nr),則 m-n 的值為 . 答案:-3 解析:由 ma+nb=(9,-8)得, m(2,1)+n(1,-2)=(9,-8), 即(2m+n,m-2n)=(9,-8), 所以2 + = 9,-2 = -8,解

5、得 = 2, = 5, 故 m-n=-3. 7.(2015 江蘇,7)不等式22-4 的解集為 . 答案:x|-1x2(或(-1,2) 解析:22-4,即22-22,所以 x2-x2,即 x2-x-20,所以(x-2)(x+1)0. 解得-1x2,故不等式的解集為x|-1x2(或(-1,2). 8.(2015 江蘇,8)已知 tan =-2,tan(+)=17,則 tan 的值為 . 答案:3 解析:tan =tan(+)-=tan(+)-tan1+tantan(+)=17+21-27=3. 9.(2015 江蘇,9)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為 5、高為 4 的圓錐和底面半徑為 2、高為 8

6、的圓柱各一個(gè).若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè),則新的底面半徑為 . 3 / 15 答案:7 解析:設(shè)新的底面半徑為 r,根據(jù)題意得 13524+228=13r24+r28, 即 28r2=196,解得 r=7 . 10.(2015 江蘇,10)在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中,以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線 mx-y-2m-1=0(mr)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 . 答案:(x-1)2+y2=2 解析:(方法一)設(shè) a(1,0).由 mx-y-2m-1=0,得 m(x-2)-(y+1)=0,則直線過(guò)定點(diǎn) p(2,-1),即該方程表示所有過(guò)

7、定點(diǎn) p 的直線系方程. 當(dāng)直線與 ap垂直時(shí),所求圓的半徑最大. 此時(shí),半徑為|ap|=(2-1)2+ (-1-0)2= 2. 故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=2. (方法二)設(shè)圓的半徑為 r,根據(jù)直線與圓相切的關(guān)系得 r=|+1|1+2=2+2+12+1= 1 +22+1, 當(dāng) m0 時(shí),1+22+10 時(shí),m2+12m(當(dāng)且僅當(dāng) m=1 時(shí)取等號(hào)). 所以 r1 + 1 = 2,即 rmax=2, 故半徑最大的圓的方程為(x-1)2+y2=2. 11.(2015 江蘇,11)設(shè)數(shù)列an滿足 a1=1,且 an+1-an=n+1(nn*).則數(shù)列1前 10 項(xiàng)的和為 . 答案:20

8、11 解析:a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,an-an-1=n, 以上 n-1 個(gè)式子相加,得 an-a1=2+3+4+n. a1=1,an=1+2+3+n=(+1)2, 1=2(+1)=2(1-1+1). s10=2(1-12) + (12-13) + (13-14) + + (19-110) + (110-111)=2(1-111) =2011. 12.(2015 江蘇,12)在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中,p為雙曲線 x2-y2=1 右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若點(diǎn) p到直線 x-y+1=0 的距離大于 c 恒成立,則實(shí)數(shù) c 的最大值為 . 答案:22 4 / 15 解析:直線 x

9、-y+1=0 與雙曲線的漸近線 y=x 平行,且兩平行線間的距離為22. 由圖形知,雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn) p到直線 x-y+1=0 的距離的最小值無(wú)限趨近于22,要使距離 d 大于 c 恒成立,只需 c 22即可,故 c 的最大值為22. 13.(2015 江蘇,13)已知函數(shù) f(x)=|ln x|,g(x)=0,0 1,則方程|f(x)+g(x)|=1 實(shí)根的個(gè)數(shù)為 . 答案:4 解析:f(x)=-ln,0 1,g(x)=0,0 1,2-2,1 2,2-6, 2. (1)當(dāng) 0 x1 時(shí),方程化為|-ln x+0|=1, 解得 x=1e或 x=e(舍去). 所以此時(shí)方程只有一個(gè)實(shí)根1e. (

10、2)當(dāng) 1x2 時(shí),方程可化為|ln x+2-x2|=1. 設(shè) h(x)=ln x+2-x2,h(x)=1-2x=1-22. 因?yàn)?1x2,所以 h(x)=1-220, 即函數(shù) h(x)在(1,2)上單調(diào)遞減. 因?yàn)?h(1)=ln 1+2-12=1,h(2)=ln 2+2-22=ln 2-2,所以 h(x)(ln 2-2,1). 又 ln 2-2-1,故當(dāng) 1x2 時(shí)方程只有一解. (3)當(dāng) x2 時(shí),方程可化為|ln x+x2-6|=1. 記函數(shù) p(x)=ln x+x2-6,顯然 p(x)在區(qū)間2,+)上單調(diào)遞增. 故 p(x)p(2)=ln 2+22-6=ln 2-21, 所以方程|p

11、(x)|=1 有兩個(gè)解,即方程|ln x+x2-6|=1 有兩個(gè)解. 綜上可知,方程|f(x)+g(x)|=1 共有 4 個(gè)實(shí)根. 14.(2015 江蘇,14)設(shè)向量 ak=(cos6,sin6+ cos6)(k=0,1,2,12),則 =011(ak ak+1)的值為 . 答案:93 5 / 15 解析:因?yàn)?ak=(cos6,sin6+ cos6), 所以 ak+1=(cos+16,sin+16 + cos+16), 于是 ak ak+1=cos6 cos+16+(sin6+ cos6)(sin+16 + cos+16) =cos6cos(6+6)+sin6sin(6+6)+sin6co

12、s(6+6)+cos6sin(6+6)+cos6cos(6+6) =cos6+sin(3+6)+cos6cos(6+6) =334+ (32-14)sin3+ (34+12)cos3, 則 =011(ak ak+1) = =011334+ (32-14)sin3+ (34+12)cos3 =93 + =011(32-14)sin3+ =011(34+12)cos3 =93 + (32-14)0+(34+12)0 =93. 二、解答題:本大題共 6 小題,共計(jì) 90 分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 15.(本小題滿分 14 分)(2015 江蘇,15)在

13、abc 中,已知 ab=2,ac=3,a=60 . (1)求 bc 的長(zhǎng); (2)求 sin 2c 的值. 解:(1)由余弦定理知,bc2=ab2+ac2-2ab ac cos a=4+9-22312=7,所以 bc=7. (2)由正弦定理知,sin=sin, 所以 sin c= sin a=2sin607=217. 因?yàn)?abbc,所以 c 為銳角, 則 cos c=1-sin2 = 1-37=277. 因此 sin 2c=2sin c cos c=2217277=437. 6 / 15 16.(本小題滿分 14 分)(2015 江蘇,16)如圖,在直三棱柱 abc-a1b1c1中,已知 a

14、cbc,bc=cc1.設(shè) ab1的中點(diǎn)為d,b1cbc1=e. 求證:(1)de平面 aa1c1c; (2)bc1ab1. 證明:(1)由題意知,e為 b1c 的中點(diǎn),又 d 為 ab1的中點(diǎn),因此 deac. 又因?yàn)?de平面 aa1c1c,ac平面 aa1c1c, 所以 de平面 aa1c1c. (2)因?yàn)槔庵?abc-a1b1c1是直三棱柱, 所以 cc1平面 abc. 因?yàn)?ac平面 abc,所以 accc1. 又因?yàn)?acbc,cc1平面 bcc1b1,bc平面 bcc1b1,bccc1=c, 所以 ac平面 bcc1b1. 又因?yàn)?bc1平面 bcc1b1,所以 bc1ac. 因?yàn)?/p>

15、 bc=cc1,所以矩形 bcc1b1是正方形, 因此 bc1b1c. 因?yàn)?ac,b1c平面 b1ac,acb1c=c, 所以 bc1平面 b1ac. 又因?yàn)?ab1平面 b1ac,所以 bc1ab1. 17.(本小題滿分 14 分)(2015 江蘇,17)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路.記兩條相互垂直的公路為 l1,l2,山區(qū)邊界曲線為 c,計(jì)劃修建的公路為 l.如圖所示,m,n 為 c 的兩個(gè)端點(diǎn),測(cè)得點(diǎn) m 到 l1,l2的距離分別為 5 千米和 40 千米,點(diǎn) n 到 l1,l2的距離分別為 20 千米

16、和 2.5 千米.以 l2,l1所在的直線分別為 x,y 軸,建立平面直角坐標(biāo)系 xoy.假設(shè)曲線 c 符合函數(shù)y=2+(其中 a,b 為常數(shù))模型. (1)求 a,b 的值; (2)設(shè)公路 l 與曲線 c 相切于 p點(diǎn),p的橫坐標(biāo)為 t. 請(qǐng)寫出公路 l 長(zhǎng)度的函數(shù)解析式 f(t),并寫出其定義域; 當(dāng) t 為何值時(shí),公路 l 的長(zhǎng)度最短?求出最短長(zhǎng)度. 解:(1)由題意知,點(diǎn) m,n 的坐標(biāo)分別為(5,40),(20,2.5). 7 / 15 將其分別代入 y=2+,得25+= 40,400+= 2.5, 解得 = 1 000, = 0. (2)由(1)知,y=1 0002(5x20),

17、則點(diǎn) p的坐標(biāo)為(,1 0002), 設(shè)在點(diǎn) p處的切線 l 交 x,y 軸分別于 a,b點(diǎn),y=-2 0003, 則 l 的方程為 y-1 0002=-2 0003(x-t), 由此得 a(32,0),b(0,3 0002). 故 f(t)=(32)2+ (3 0002)2=322+41064,t5,20. 設(shè) g(t)=t2+41064,則 g(t)=2t-161065. 令 g(t)=0,解得 t=102. 當(dāng) t(5,102)時(shí),g(t)0,g(t)是增函數(shù). 從而,當(dāng) t=102時(shí),函數(shù) g(t)有極小值,也是最小值, 所以 g(t)min=300,此時(shí) f(t)min=153. 答

18、:當(dāng) t=102時(shí),公路 l 的長(zhǎng)度最短,最短長(zhǎng)度為 153千米. 18.(本小題滿分 16 分)(2015 江蘇,18)如圖,在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中,已知橢圓22+22=1(ab0)的離心率為22,且右焦點(diǎn) f到左準(zhǔn)線 l 的距離為 3. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)過(guò) f的直線與橢圓交于 a,b兩點(diǎn),線段 ab的垂直平分線分別交直線 l 和 ab于點(diǎn) p,c,若 pc=2ab,求直線 ab的方程. 8 / 15 解:(1)由題意,得=22且 c+2=3, 解得 a=2,c=1,則 b=1, 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22+y2=1. (2)當(dāng) abx 軸時(shí),ab=2, 又 cp=3,不

19、合題意. 當(dāng) ab與 x 軸不垂直時(shí),設(shè)直線 ab的方程為 y=k(x-1),a(x1,y1),b(x2,y2),將 ab的方程代入橢圓方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,則 x1,2=222(1+2)1+22,c 的坐標(biāo)為(221+22,-1+22), 且 ab=(2-1)2+ (2-1)2 =(1 + 2)(2-1)2=22(1+2)1+22. 若 k=0,則線段 ab的垂直平分線為 y 軸,與左準(zhǔn)線平行,不合題意. 從而 k0,故直線 pc 的方程為 y+1+22=-1(-221+22), 則 p點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,52+2(1+22), 從而 pc=2(32+1)1

20、+2|(1+22). 因?yàn)?pc=2ab, 所以2(32+1)1+2|(1+22)=42(1+2)1+22,解得 k= 1. 此時(shí)直線 ab方程為 y=x-1 或 y=-x+1. 19.(本小題滿分 16 分)(2015 江蘇,19)已知函數(shù) f(x)=x3+ax2+b(a,br). (1)試討論 f(x)的單調(diào)性; (2)若 b=c-a(實(shí)數(shù) c 是與 a 無(wú)關(guān)的常數(shù)),當(dāng)函數(shù) f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí),a 的取值范圍恰好是(-,-3)(1,32) (32, + ),求 c 的值. 解:(1)f(x)=3x2+2ax, 令 f(x)=0,解得 x1=0,x2=-23. 當(dāng) a=0 時(shí),因?yàn)?/p>

21、 f(x)=3x20(x0), 所以函數(shù) f(x)在(-,+)上單調(diào)遞增; 當(dāng) a0 時(shí),x(-,-23)(0,+)時(shí),f(x)0,x(-23,0)時(shí),f(x)0, 所以函數(shù) f(x)在(-,-23),(0,+)上單調(diào)遞增,在(-23,0)上單調(diào)遞減; 9 / 15 當(dāng) a0,x(0,-23)時(shí),f(x)0, 所以函數(shù) f(x)在(-,0),(-23, + )上單調(diào)遞增,在(0,-23)上單調(diào)遞減. (2)由(1)知,函數(shù) f(x)的兩個(gè)極值為 f(0)=b,f(-23) =427a3+b, 則函數(shù) f(x)有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于 f(0) f(-23)=b(4273+ ) 0,-4273 0或 0

22、,0 0 時(shí),427a3-a+c0 或當(dāng) a0 時(shí),427a3-a+c0. 設(shè) g(a)=427a3-a+c,因?yàn)楹瘮?shù) f(x)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí),a 的取值范圍恰好是(-,-3)(1,32) (32, + ), 則在(-,-3)上 g(a)0 均恒成立, 從而 g(-3)=c-10,且 g(32)=c-10,因此 c=1. 此時(shí),f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)x2+(a-1)x+1-a, 因函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則 x2+(a-1)x+1-a=0 有兩個(gè)異于-1 的不等實(shí)根,所以 =(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-30,且(-1)2-(a-1)+1-a0, 解得 a(-,-3)(1,

23、32) (32, + ). 綜上 c=1. 20.(本小題滿分 16 分)(2015 江蘇,20)設(shè) a1,a2,a3,a4是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為 d(d0)的等差數(shù)列. (1)證明:21,22,23,24依次構(gòu)成等比數(shù)列; (2)是否存在 a1,d 使得 a1,22,33,44依次構(gòu)成等比數(shù)列?并說(shuō)明理由; (3)是否存在 a1,d 及正整數(shù) n,k,使得1,2+,3+2,4+3依次構(gòu)成等比數(shù)列?并說(shuō)明理由. 解:(1)證明:因?yàn)?+12= 2+1-=2d(n=1,2,3)是同一個(gè)常數(shù),所以21,22,23,24依次構(gòu)成等比數(shù)列. (2)令 a1+d=a,則 a1,a2,a3,a4分別為 a-

24、d,a,a+d,a+2d(ad,a-2d,d0). 假設(shè)存在 a1,d,使得 a1,22,33,44依次構(gòu)成等比數(shù)列, 則 a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4. 令 t=,則 1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4(-12 -13, 0), 則(1+2t)n+2k=(1+t)2(n+k), 且(1+t)n+k(1+3t)n+3k=(1+2t)2(n+2k). 將上述兩個(gè)等式兩邊取對(duì)數(shù), 得(n+2k)ln(1+2t)=2(n+k)ln(1+t), 且(n+k)ln(1+t)+(n+3k)ln(1+3t) =2(n+2k)ln(1+2t). 化簡(jiǎn)

25、得 2kln(1+2t)-ln(1+t) =n2ln(1+t)-ln(1+2t), 且 3kln(1+3t)-ln(1+t) =n3ln(1+t)-ln(1+3t). 再將這兩式相除,化簡(jiǎn)得 ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t) =4ln(1+3t)ln(1+t). (*) 令 g(t)=4ln(1+3t)ln(1+t)-ln(1+3t)ln(1+2t)-3ln(1+2t)ln(1+t), 則 g(t)= 2(1+3)2ln(1+3)-3(1+2)2ln(1+2)+3(1+)2ln(1+)(1+)(1+2)(1+3). 令 (t)=(1+3t)2ln(1+3t)-

26、3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t), 則 (t)=6(1+3t)ln(1+3t)-2(1+2t)ln(1+2t)+(1+t)ln(1+t). 令 1(t)=(t),則 1(t)=63ln(1+3t)-4ln(1+2t)+ln(1+t). 令 2(t)=1(t),則 2(t)=12(1+)(1+2)(1+3)0. 由 g(0)=(0)=1(0)=2(0)=0,2(t)0, 知 2(t),1(t),(t),g(t)在(-13,0)和(0,+)上均單調(diào). 故 g(t)只有唯一零點(diǎn) t=0,即方程(*)只有唯一解 t=0,故假設(shè)不成立. 所以不存在 a1,d 及正整數(shù) n,

27、k,使得1,2+,3+2,4+3依次構(gòu)成等比數(shù)列. 數(shù)學(xué)(附加題) 注意事項(xiàng) 11 / 15 考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求. 1.本試卷共 2 頁(yè),均為非選擇題(第 21 題第 23 題),本卷滿分為 40 分,考試時(shí)間為 30 分鐘.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回. 2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名,準(zhǔn)考證號(hào)用 0.5 毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置. 3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符. 4.作答試題,必須用 0.5 毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答.在其他位置作答一律無(wú)效. 5.如需作圖,須用

28、 2b 鉛筆繪,寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗. 21.(2015 江蘇,21) 【選做題】 本題包括 a、b、c、d 四小題,請(qǐng)選定其中兩小題,并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做,則按作答的前兩小題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. a.選修 41:幾何證明選講(本小題滿分 10 分) 如圖,在abc 中,ab=ac,abc 的外接圓o 的弦 ae交 bc 于點(diǎn) d. 求證:abdaeb. 證明:因?yàn)?ab=ac,所以abd=c. 又因?yàn)閏=e,所以abd=e. 又bae 為公共角,可知abdaeb. b.選修 42:矩陣與變換(本小題滿分 10 分) 已知 x,yr,向量 =

29、 1-1是矩陣 a= 1 0的屬于特征值-2 的一個(gè)特征向量,求矩陣 a 以及它的另一個(gè)特征值. 解:由已知,得 a=-2, 即 1 0 1-1 = -1 = -2 2, 則-1 = -2, = 2,即 = -1, = 2, 所以矩陣 a=-1 12 0. 從而矩陣 a 的特征多項(xiàng)式 f()=(+2)(-1), 所以矩陣 a 的另一個(gè)特征值為 1. c.選修 44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本小題滿分 10 分) 12 / 15 已知圓 c 的極坐標(biāo)方程為 2+22sin(-4)-4=0,求圓 c 的半徑. 解:以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) o,以極軸為 x 軸的正半軸,建立直角坐標(biāo)系 xo

30、y. 圓 c 的極坐標(biāo)方程為 2+22(22sin-22cos)-4=0, 化簡(jiǎn),得 2+2sin -2cos -4=0. 則圓 c 的直角坐標(biāo)方程為 x2+y2-2x+2y-4=0, 即(x-1)2+(y+1)2=6, 所以圓 c 的半徑為6. d.選修 45:不等式選講(本小題滿分 10 分) 解不等式 x+|2x+3|2. 解:原不等式可化為 -32,-3 2或 -32,3 + 3 2, 解得 x-5 或 x-13. 綜上,原不等式的解集是 | -5 或 -13. 【必做題】 第 22 題、第 23題,每題 10 分,共計(jì) 20 分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程

31、或演算步驟. 22.(本小題滿分 10 分)(2015 江蘇,22)如圖,在四棱錐 p-abcd 中,已知 pa平面 abcd,且四邊形 abcd 為直角梯形,abc=bad=2,pa=ad=2,ab=bc=1. (1)求平面 pab與平面 pcd 所成二面角的余弦值; (2)點(diǎn) q 是線段 bp上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線 cq 與 dp所成的角最小時(shí),求線段 bq 的長(zhǎng). 解:以 , , 為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 a-xyz,則各點(diǎn)的坐標(biāo)為b(1,0,0),c(1,1,0),d(0,2,0),p(0,0,2). 13 / 15 (1)因?yàn)?ad平面 pab,所以 是平面 pab的一個(gè)法向

32、量, =(0,2,0). 因?yàn)?=(1,1,-2), =(0,2,-2). 設(shè)平面 pcd 的法向量為 m=(x,y,z), 則 m =0,m =0. 即 + -2 = 0,2-2 = 0. 令 y=1,解得 z=1,x=1. 所以 m=(1,1,1)是平面 pcd 的一個(gè)法向量. 從而 cos= | |=33, 所以平面 pab 與平面 pcd 所成二面角的余弦值為33. (2)因?yàn)?=(-1,0,2), 設(shè) = =(-,0,2)(01), 又 =(0,-1,0), 則 = + =(-,-1,2), 又 =(0,-2,2), 從而 cos= | | |=1+2102+2. 設(shè) 1+2=t,t1,3, 則 cos2=2252-10+9 =29(1-59)2+209910. 當(dāng)且僅當(dāng) t=95,即 =25時(shí),|