2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(陜西卷) (2)

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試陜西文科數(shù)學(xué)一、選擇題:在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求(本大題共12小題,每小題5分,共60分).1.(2015陜西,文1)設(shè)集合m=x|x2=x,n=x|lg x0,則mn=()a.0,1b.(0,1c.0,1)d.(-,1答案:a解析:m=0,1,n=x|0<x1,mn=x|0x1,即為0,1.2.(2015陜西,文2)某中學(xué)初中部共有110名教師,高中部共有150名教師,其性別比例如圖所示,則該校女教師的人數(shù)為()a.93b.123c.137d.167答案:c解析:由性別比例圖知,該校女教師的人數(shù)為110×70%+15

2、0×(1-60%)=77+60=137.3.(2015陜西,文3)已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(-1,1),則該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為()a.(-1,0)b.(1,0)c.(0,-1)d.(0,1)答案:b解析:由題意知,該拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1,則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).4.(2015陜西,文4)設(shè)f(x)=1-x,x0,2x,x<0,則f(f(-2)=()a.-1b.14c.12d.32答案:c解析:f(f(-2)=f14=1-14=12.5.(2015陜西,文5)一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()a.3b.4c.2+4d.3+4答案:

3、d解析:由三視圖知,該幾何體為半圓柱,故其表面積為s側(cè)+s上底+s下底=(+2)×2+=3+4.6.(2015陜西,文6)“sin =cos ”是“cos 2=0”的()a.充分不必要條件b.必要不充分條件c.充分必要條件d.既不充分也不必要條件答案:a解析:cos 2=cos2-sin2=(cos +sin )(cos -sin ),cos 2=0cos =-sin 或cos =sin ,故選a.7.(2015陜西,文7)根據(jù)右邊框圖,當(dāng)輸入x為6時,輸出的y=()a.1b.2c.5d.10答案:d解析:由程序框圖可得流程如下:x=6x=3x=0x=-3y=(-3)2+1=10.8

4、.(2015陜西,文8)對任意平面向量a,b,下列關(guān)系式中不恒成立的是()a.|a·b|a|b|b.|a-b|a|-|b|c.(a+b)2=|a+b|2d.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案:b解析:當(dāng)a與b為非零向量且反向時,b顯然錯誤.9.(2015陜西,文9)設(shè)f(x)=x-sin x,則f(x)()a.既是奇函數(shù)又是減函數(shù)b.既是奇函數(shù)又是增函數(shù)c.是有零點(diǎn)的減函數(shù)d.是沒有零點(diǎn)的奇函數(shù)答案:b解析:當(dāng)x=0時,f(x)=0,f(x)存在零點(diǎn).f(-x)=-x-sin(-x)=-(x-sin x)=-f(x),且f'(x)=1-cos x0,f(x)既是

5、奇函數(shù)又是增函數(shù).10.(2015陜西,文10)設(shè)f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(ab),q=fa+b2,r=12(f(a)+f(b),則下列關(guān)系式中正確的是()a.q=r<pb.q=r>pc.p=r<qd.p=r>q答案:c解析:f(x)=ln x,p=f(ab)=lnab=12(ln a+ln b)=r.又0<a<b,a+b2>ab.又y=ln x為遞增函數(shù),lna+b2>lnab,即q>r,綜上p=r<q.11.(2015陜西,文11)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用a,b兩種原料,已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原

6、料及每天原料的可用限額如表所示.如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元,則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為()甲乙原料限額a(噸)3212b(噸)128a.12萬元b.16萬元c.17萬元d.18萬元答案:d解析:設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲、乙兩產(chǎn)品分別為x噸、y噸,由題意知,x,y需滿足約束條件3x+2y12,x+2y8,x0,y0,每天可獲得利潤z=3x+4y.由約束條件畫出可行域,如圖所示,l0:y=-34x,平移l0得點(diǎn)c,使z取得最大值.由3x+2y=12,x+2y=8,得c(2,3),故zmax=6+12=18(萬元).12.(2015陜西,文12)設(shè)復(fù)數(shù)z=(x-1)+yi(x,y

7、r),若|z|1,則yx的概率為()a.34+12b.12+1c.14-12d.12-1答案:c解析:|z|=(x-1)2+y21,(x-1)2+y21,其幾何意義表示為以(1,0)為圓心,1為半徑的圓面,如圖所示,而yx所表示的區(qū)域如圖中陰影部分,故p=4-12=14-12.二、填空題:把答案填寫在答題卡相應(yīng)題號后的橫線上(本大題共4小題,每小題5分,共20分).13.(2015陜西,文13)中位數(shù)為1 010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,其末項為2 015,則該數(shù)列的首項為. 答案:5解析:由等差數(shù)列的性質(zhì),得a1+an2=1 010,故a1=2 020-an=5.14.(2015陜西,

8、文14)如圖,某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin6x+k.據(jù)此函數(shù)可知,這段時間水深(單位:m)的最大值為. 答案:8解析:由題中圖象知,ymin=2=-3+k,k=5.函數(shù)解析式為y=3sin6x+5,故ymax=8.15.(2015陜西,文15)函數(shù)y=xex在其極值點(diǎn)處的切線方程為. 答案:y=-1e解析:令y'=(x+1)ex=0,得x=-1,則切點(diǎn)為-1,-1e.函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0,即切線斜率為0,則切線方程為y=-1e.16.(2015陜西,文16)觀察下列等式1-12=121-12+13-14=13+141-12+13-

9、14+15-16=14+15+16據(jù)此規(guī)律,第n個等式可為. 答案:1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n解析:經(jīng)觀察知,第n個等式的左側(cè)是數(shù)列(-1)n-1·1n的前2n項和,而右側(cè)是數(shù)列1n的第n+1項到第2n項的和,故為1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n.三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟(本大題共6小題,共70分).17.(本小題滿分12分)(2015陜西,文17)abc的內(nèi)角a,b,c所對的邊分別為a,b,c.向量m=(a,3b)與n=(cos a,sin b)平行.(1)求a;(2)

10、若a=7,b=2,求abc的面積.解:(1)因為mn,所以asin b-3bcos a=0.由正弦定理,得sin asin b-3sin bcos a=0.又sin b0,從而tan a=3.由于0<a<,所以a=3.(2)解法一:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos a,而a=7,b=2,a=3,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0.因為c>0,所以c=3.故abc的面積為12bcsin a=332.解法二:由正弦定理,得7sin3=2sinb,從而sin b=217.又由a>b,知a>b,所以cos b=277.故sin c=sin(a+b)=s

11、inb+3=sin bcos3+cos bsin3=32114.所以abc的面積為12absin c=332.18.(本小題滿分12分)(2015陜西,文18)如圖,在直角梯形abcd中,adbc,bad=2,ab=bc=12ad=a,e是ad的中點(diǎn),o是ac與be的交點(diǎn).將abe沿be折起到圖中a1be的位置,得到四棱錐a1-bcde.圖圖(1)證明:cd平面a1oc;(2)當(dāng)平面a1be平面bcde時,四棱錐a1-bcde的體積為362,求a的值.(1)證明:在題圖中,因為ab=bc=12ad=a,e是ad的中點(diǎn),bad=2,所以beac.即在題圖中,bea1o,beoc,從而be平面a1

12、oc,又cdbe,所以cd平面a1oc.(2)解:由已知,平面a1be平面bcde,且平面a1be平面bcde=be,又由(1),a1obe,所以a1o平面bcde,即a1o是四棱錐a1-bcde的高.由題圖知,a1o=22ab=22a,平行四邊形bcde的面積s=bc·ab=a2.從而四棱錐a1-bcde的體積為v=13×s×a1o=13×a2×22a=26a3,由26a3=362,得a=6.19.(本小題滿分12分)(2015陜西,文19)隨機(jī)抽取一個年份,對西安市該年4月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計,結(jié)果如下:日期1234567891011121

13、31415天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴陰晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天氣晴陰雨陰陰晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨(1)在4月份任取一天,估計西安市在該天不下雨的概率;(2)西安市某學(xué)校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續(xù)2天的運(yùn)動會,估計運(yùn)動會期間不下雨的概率.解:(1)在容量為30的樣本中,不下雨的天數(shù)是26,以頻率估計概率,4月份任選一天,西安市不下雨的概率為1315.(2)稱相鄰的兩個日期為“互鄰日期對”(如,1日與2日,2日與3日等).這樣,在4月份中,前一天為晴天的互鄰日期對有16個,其中后一天不下雨的有14個,所以晴天的次日不下雨的頻率為78.以頻率估計概

14、率,運(yùn)動會期間不下雨的概率為78.20.(本小題滿分12分)(2015陜西,文20)如圖,橢圓e:x2a2+y2b2=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)a(0,-1),且離心率為22.(1)求橢圓e的方程;(2)經(jīng)過點(diǎn)(1,1),且斜率為k的直線與橢圓e交于不同的兩點(diǎn)p,q(均異于點(diǎn)a),證明:直線ap與aq的斜率之和為2.解:(1)由題設(shè)知ca=22,b=1,結(jié)合a2=b2+c2,解得a=2.所以橢圓的方程為x22+y2=1.(2)由題設(shè)知,直線pq的方程為y=k(x-1)+1(k2),代入x22+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0.由已知>0.設(shè)p(

15、x1,y1),q(x2,y2),x1x20,則x1+x2=4k(k-1)1+2k2,x1x2=2k(k-2)1+2k2.從而直線ap,aq的斜率之和kap+kaq=y1+1x1+y2+1x2=kx1+2-kx1+kx2+2-kx2=2k+(2-k)1x1+1x2=2k+(2-k)x1+x2x1x2=2k+(2-k)4k(k-1)2k(k-2)=2k-2(k-1)=2.21.(本小題滿分12分)(2015陜西,文21)設(shè)fn(x)=x+x2+xn-1,x0,nn,n2.(1)求fn'(2);(2)證明:fn(x)在0,23內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)(記為an),且0<an-12<13

16、23n.(1)解法一:由題設(shè)fn'(x)=1+2x+nxn-1.所以fn'(2)=1+2×2+(n-1)2n-2+n·2n-1,則2fn'(2)=2+2×22+(n-1)2n-1+n·2n.-得,-fn'(2)=1+2+22+2n-1-n·2n=1-2n1-2-n·2n=(1-n)2n-1.所以fn'(2)=(n-1)2n+1.解法二:當(dāng)x1時,fn(x)=x-xn+11-x-1,則fn'(x)=(1-(n+1)xn)(1-x)+(x-xn+1)(1-x)2,可得fn'(2)=-

17、(1-(n+1)2n)+2-2n+1(1-2)2=(n-1)2n+1.(2)證明:因為f(0)=-1<0,fn23=231-23n1-23-1=1-2×23n1-2×232>0,所以fn(x)在0,23內(nèi)至少存在一個零點(diǎn).又fn'(x)=1+2x+nxx-1>0,所以fn(x)在0,23內(nèi)單調(diào)遞增,因此fn(x)在0,23內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)an.由于fn(x)=x-xn+11-x-1,所以0=fn(an)=an-ann+11-an-1.由此可得an=12+12ann+1>12,故12<an<23.所以0<an-12=12an

18、n+1<12×23n+1=1323n.考生注意:請在22、23、24三題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分,作答時用2b鉛筆在答題卡上把所選題目的題號后的方框涂黑.22.(本小題滿分10分)(2015陜西,文22)選修41:幾何證明選講如圖,ab切o于點(diǎn)b,直線ao交o于d,e兩點(diǎn),bcde,垂足為c.(1)證明:cbd=dba;(2)若ad=3dc,bc=2,求o的直徑.(1)證明:因為de為o直徑,則bed+edb=90°.又bcde,所以cbd+edb=90°.從而cbd=bed.又ab切o于點(diǎn)b,得dba=bed,所以cbd=dba.(2)解:由(1)知bd平分cba,則babc=adcd=3,又bc=2,從而ab=32.所以ac=ab2-bc2=4,所以a