2017年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(浙江卷)

1、2017年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(浙江卷)數(shù)學一、 選擇題:本大題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2017·浙江,1)已知集合p=x|-1<x<1,q=x|0<x<2,那么pq=()a.(-1,2)b.(0,1)c.(-1,0)d.(1,2)解析取p,q所有元素,得pq=x|-1<x<2,故選a.答案a2.(2017·浙江,2)橢圓x29+y24=1的離心率是()a.133b.53c.23d.59解析e=9-43=53,故選b.答案b3.(2017·浙江,3)某幾

2、何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是()a.2+1b.2+3c.32+1d.32+3解析v=13×3×12××12+12×2×1=2+1,故選a.答案a4.(2017·浙江,4)若x,y滿足約束條件x0,x+y-30,x-2y0,則z=x+2y的取值范圍是()a.0,6b.0,4c.6,+)d.4,+)解析畫出約束條件x0,x+y-30,x-2y0所表示的平面區(qū)域為圖中陰影部分,由目標函數(shù)z=x+2y得直線l:y=-12x+12z,當l經(jīng)過點b(2,1)時,z取最小值,zmin=2+2

3、15;1=4.又z無最大值,所以z的取值范圍是4,+),故選d.答案d5.(2017·浙江,5)若函數(shù)f(x)=x2+ax+b在區(qū)間0,1上的最大值是m,最小值是m,則m-m()a.與a有關,且與b有關b.與a有關,但與b無關c.與a無關,且與b無關d.與a無關,但與b有關解析因為最值在f(0)=b,f(1)=1+a+b,f-a2=b-a24中取,所以最值之差一定與a有關,與b無關,故選b.答案b6.(2017·浙江,6)已知等差數(shù)列an的公差為d,前n項和為sn,則“d>0”是“s4+s6>2s5”的()a.充分不必要條件b.必要不充分條件c.充分必要條件d.

4、既不充分也不必要條件解析因為sn=na1+n(n-1)2d,所以s4+s6>2s510a1+21d>10a1+20dd>0,即“d>0”是“s4+s6>2s5”的充分必要條件,選c.答案c7.(2017·浙江,7)函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是()解析設導函數(shù)y=f'(x)的三個零點分別為x1,x2,x3,且x1<0<x2<x3.所以在區(qū)間(-,x1)和(x2,x3)上,f'(x)<0,f(x)是減函數(shù),在區(qū)間(x1,x2)和(x3,+)上,f'

5、(x)>0,f(x)是增函數(shù),所以函數(shù)y=f(x)的圖象可能為d,故選d.答案d8.(2017·浙江,8)已知隨機變量滿足p(i=1)=pi,p(i=0)=1-pi,i=1,2,若0<p1<p2<12,則()a.e(1)<e(2),d(1)<d(2)b.e(1)<e(2),d(1)>d(2)c.e(1)>e(2),d(1)<d(2)d.e(1)>e(2),d(1)>d(2)解析e(1)=p1,e(2)=p2,e(1)<e(2).d(1)=p1(1-p1),d(2)=p2(1-p2),d(1)-d(2)=(p

6、1-p2)(1-p1-p2)<0,故選a.答案a9.(2017·浙江,9)如圖,已知正四面體d-abc(所有棱長均相等的三棱錐),p,q,r分別為ab,bc,ca上的點,ap=pb,bc=crra=2.分別記二面角d-pr-q,d-pq-r,d-qr-p的平面角為,則()a.<<b.<<c.<<d.<<解析設等邊三角形abc的中心為o,o到直線pr,pq,qr的距離分別為d1,d2,d3,正四面體的高do=h,則tan =hd1,tan =hd2,tan =hd3,因為d1>d3>d2,所以hd1<hd3<

7、hd2,所以<<,故選b.答案b10.(2017·浙江,10)如圖,已知平面四邊形abcd,abbc,ab=bc=ad=2,cd=3,ac與bd交于點o,記i1=oa·ob,i2=ob·oc,i3=oc·od,則()a.i1<i2<i3b.i1<i3<i2c.i3<i1<i2d.i2<i1<i3解析由題圖可得oa<12ac<oc,ob<12bd<od,aob=cod>90°,boc<90°,所以i2=ob·oc>0,i1=o

8、a·ob<0,i3=oc·od<0,且|i1|<|i3|,所以i3<i1<0<i2,故選c.答案c二、填空題:本大題共7小題,多空題每題6分,單空題每題4分,共36分.11.(2017·浙江,11)我國古代數(shù)學家劉徽創(chuàng)立的“割圓術”可以估算圓周率,理論上能把的值計算到任意精度.祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術”,將的值精確到小數(shù)點后七位,其結(jié)果領先世界一千多年,“割圓術”的第一步是計算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積s6,s6=. 解析將正六邊形分割為6個等邊三角形,則s6=6×12×1×1×

9、sin60°=332.答案33212.(2017·浙江,12)已知a,br,(a+bi)2=3+4i(i是虛數(shù)單位),則a2+b2=,ab=. 解析由題意可得a2-b2+2abi=3+4i,則a2-b2=3,ab=2,解得a2=4,b2=1,則a2+b2=5,ab=2.答案5213.(2017·浙江,13)已知多項式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,則a4=,a5=. 解析由二項式展開式可得通項公式為c3rx3-rc2mx2-m2m,分別取r=3,m=1和r=2,m=2可得a4=4+12=16,令x=0

10、可得a5=13×22=4.答案16414.(2017·浙江,14)已知abc,ab=ac=4,bc=2.點d為ab延長線上一點,bd=2,連結(jié)cd,則bdc的面積是,cosbdc=. 解析如圖,取bc中點e,dc中點f,由題意知aebc,bfcd.在rtabe中,cosabe=beab=14,cosdbc=-14,sindbc=1-116=154.sbcd=12×bd×bc×sindbc=152.cosdbc=1-2sin2dbf=-14,且dbf為銳角,sindbf=104.在rtbdf中,cosbdf=sindbf=104.綜上可

11、得,bcd的面積是152,cosbdc=104.答案15210415.(2017·浙江,15)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是. 解析設向量a,b的夾角為,由余弦定理得|a-b|=12+22-2×1×2×cos=5-4cos,|a+b|=12+22-2×1×2×cos(-)=5+4cos,則|a+b|+|a-b|=5+4cos+5-4cos.令y=5+4cosx+5-4cosx,則y2=10+225-16cos216,20,據(jù)此可得(|a+b|+|a-b|)ma

12、x=20=25,(|a+b|+|a-b|)min=16=4.即|a+b|+|a-b|的最小值是4,最大值是25.答案42516.(2017·浙江,16)從6男2女共8名學生中選出隊長1人,副隊長1人,普通隊員2人組成4人服務隊,要求服務隊中至少有1名女生,共有種不同的選法.(用數(shù)字作答) 解析由題意可得,總的選擇方法為c84c41c31種方法,其中不滿足題意的選法有c64c41c31種方法,則滿足題意的選法有:c84c41c31-c64c41c31=660種.答案66017.(2017·浙江,17)已知ar,函數(shù)f(x)=x+4x-a+a在區(qū)間1,4上的最大值是5

13、,則a的取值范圍是. 解析x1,4,x+4x4,5,分類討論:當a5時,f(x)=a-x-4x+a=2a-x-4x,函數(shù)的最大值2a-4=5,解得a=92,舍去.當a4時,f(x)=x+4x-a+a=x+4x5,此時命題成立.當4<a<5時,f(x)max=max|4-a|+a,|5-a|+a,則|4-a|+a|5-a|+a,|4-a|+a=5或|4-a|+a<|5-a|+a,|5-a|+a=5,解得a=92或a<92,此時4<a92.綜上可得,實數(shù)a的取值范圍是-,92.答案-,92三、解答題:本大題共5小題,共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演

14、算步驟.18.(2017·浙江,18)已知函數(shù)f(x)=sin2x-cos2x-23sin xcos x(xr).(1)求f23的值;(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.解(1)由sin23=32,cos23=-12,f23=322-122-23×32×-12,得f23=2.(2)由cos 2x=cos2x-sin2x與sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-3sin 2x=-2sin2x+6.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函數(shù)的性質(zhì)得2+2k2x+632+2k,kz,解得6+kx23+k,kz,所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是6

15、+k,23+k(kz).19.(2017·浙江,19)如圖,已知四棱錐p-abcd,pad是以ad為斜邊的等腰直角三角形,bcad,cdad,pc=ad=2dc=2cb,e為pd的中點.(1)證明:ce平面pab;(2)求直線ce與平面pbc所成角的正弦值.解(1)如圖,設pa中點為f,連結(jié)ef,fb.因為e,f分別為pd,pa中點,所以efad且ef=12ad,又因為bcad,bc=12ad,所以efbc且ef=bc,即四邊形bcef為平行四邊形,所以cebf.因此ce平面pab.(2)分別取bc,ad的中點為m,n,連結(jié)pn交ef于點q,連結(jié)mq,因為e,f,n分別是pd,pa,

16、ad的中點,所以q為ef中點.在平行四邊形bcef中,mqce.由pad為等腰直角三角形得pnad.由dcad,n是ad的中點得bnad.所以ad平面pbn.由bcad得bc平面pbn,那么平面pbc平面pbn.過點q作pb的垂線,垂足為h,連結(jié)mh.mh是mq在平面pbc上的射影,所以qmh是直線ce與平面pbc所成的角.設cd=1.在pcd中,由pc=2,cd=1,pd=2得ce=2,在pbn中,由pn=bn=1,pb=3得qh=14,在rtmqh中,qh=14,mq=2,所以sinqmh=28.所以,直線ce與平面pbc所成角的正弦值是28.20.(2017·浙江,20)已知函

17、數(shù)f(x)=(x-2x-1)e-xx12.(1)求f(x)的導函數(shù);(2)求f(x)在區(qū)間12,+上的取值范圍.解(1)因為(x-2x-1)'=1-12x-1,(e-x)'=-e-x,所以f'(x)=1-12x-1e-x-(x-2x-1)e-x=(1-x)(2x-1-2)e-x2x-1x>12.(2)由f'(x)=(1-x)(2x-1-2)e-x2x-1=0,解得x=1或x=52.因為x1212,111,525252,+f'(x)-0+0-f(x)12e-12012e-52又f(x)=12(2x-1-1)2e-x0,所以f(x)在區(qū)間12,+上的取

18、值范圍是0,12e-12.21.(2017·浙江,21)如圖,已知拋物線x2=y,點a-12,14,b32,94,拋物線上的點p(x,y)-12<x<32.過點b作直線ap的垂線,垂足為q.(1)求直線ap斜率的取值范圍;(2)求|pa|·|pq|的最大值.解(1)設直線ap的斜率為k,k=x2-14x+12=x-12,因為-12<x<32,所以直線ap斜率的取值范圍是(-1,1).(2)聯(lián)立直線ap與bq的方程kx-y+12k+14=0,x+ky-94k-32=0,解得點q的橫坐標是xq=-k2+4k+32(k2+1).因為|pa|=1+k2x+12=1+k2(k+1),|pq|=1+k2(xq-x)=-(k-1)(k+1)2k2+1,所以|pa|·|pq|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,因為f'(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在區(qū)間-1,12上單調(diào)遞增,12,1上單調(diào)遞減,因此當k=12時,|pa|·|pq|取得最大值2716.22.(2017·浙江,22)已知數(shù)列xn滿足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(nn*).證明:當n