函數(shù)的奇偶性(教案)

1、函數(shù)的奇偶性(教案)函數(shù)的奇偶性一、知識回顧1、關(guān)于函數(shù)的奇偶性的定義定義說明：對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個X :f ( x) f(x)f(x)是偶函數(shù)；(2) f( x)f (x)f (x)奇函數(shù)；注意：函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)不一定是奇(偶)函數(shù)，但是反過來一 定成立。2、關(guān)于奇偶函數(shù)的圖像特征奇函數(shù)的圖象關(guān)于對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于對稱。3、函數(shù)的奇偶性的幾個性質(zhì) 、對稱性：奇(偶)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱； 、整體性：奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對定義域內(nèi)任意一個X都必須成立;、可逆性：f(x)f(x)f (x)是偶函數(shù);f(x)f(x)f (x)奇函數(shù)；、等價性:f(x)f(x

2、)f( x) f(x) 0f( x)f(x)f( x) f(x) 0、奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱;、可分性：根據(jù)函數(shù)奇偶性可將函數(shù)分類為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)4、函數(shù)的奇偶性的判斷判斷函數(shù)的奇偶性大致有下列兩種方法：第一種方法：利用奇、偶函數(shù)的定義，主要考查f (x)是否與f(x)、f (x)相等,判斷步驟如下： 、定義域是否關(guān)于原點對稱； 、數(shù)量關(guān)系f ( x)f (x)哪個成立;函數(shù)的奇偶性（教案）第二種方法：利用一些已知函數(shù)的奇偶性及下列準(zhǔn)則（前提條件為兩個函數(shù)的定 義域交集不為空集）：兩個奇函數(shù)的代數(shù)和是奇函數(shù)；兩個偶函數(shù)的和是

3、偶函數(shù)； 奇函數(shù)與偶函數(shù)的和既不非奇函數(shù)也非偶函數(shù)；兩個奇函數(shù)的積為偶函數(shù)；兩個 偶函數(shù)的積為偶函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)的積是奇函數(shù)。5、關(guān)于函數(shù)按奇偶性的分類全體實函數(shù)可按奇偶性分為四類：奇偶數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)也是偶函 數(shù)、非奇非偶函數(shù)。典型例題 考點1:奇偶性的判定例1:判斷下列各函數(shù)是否具有奇偶性、f(x)X32x、f(x) 2x4 3x232、f(x)XX、f (X)X2X1,2X1、f(x)X2、2 X、f (x). X21-1 X2解：為奇函數(shù)為偶函數(shù)為非奇非偶函數(shù)為非奇非偶函數(shù) 為非奇非偶函數(shù)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)注：教材中的解答過程中對定義域的判斷忽略了。例2:判斷函數(shù)f（x）x

4、2 (XX2 (X0）的奇偶性。解:f (0)02 f(x)當(dāng)X 0,即 X 0時,有f ( x) ( X)2 X2f (X)當(dāng)X 0,即 X 0時,有f ( X) ( X)2( X)2 f (X)總有f ( X) f (x),故f (X)為奇函數(shù).練習(xí)：判斷函數(shù)f(X=XI-X) (X<0的單調(diào)性。X1+x) (x>0)考點2:關(guān)于函數(shù)奇偶性的簡單應(yīng)用題型1.利用定義解題 例3.已知函數(shù)f(x) a 丄.，若f X為奇函數(shù)，貝U a2 1題型2、利用奇偶性求函數(shù)值例 4:已知 f (x) X5 ax3 bx 8 且 f ( 2)10 ,那么 f (2)-26.42練習(xí)：已知 g(

5、X) ax bx 6且g(3)27 ,那么 g( 3)27題型3、利用奇偶性比較大小例5:已知偶函數(shù)f(x)在 ,0上為減函數(shù)，比較f( 5) , f(1) , f(3)的大小。解：Q f (X)在 ,0上為減函數(shù)且為偶函數(shù)f (X)在0,上為增函數(shù)。f(1)<f(3) <f( 5)練習(xí)：已知f (x)是定義在(, + 上的偶函數(shù)，且在(, 0上是增函數(shù)，設(shè)a=f (3) , b = f (2) , C = f (1),貝U a , b , C 的大小關(guān)系是 (D )A. c<b<aB.b<c<aC.c>a>bD.a<b<c題型4.利

6、用奇偶性求解析式例6:已知f(x)為偶函數(shù)當(dāng)0 X 1時,f(x) 1 X,當(dāng)1 X 0時，求f(x)的解 析式？練習(xí)：1. f(x)是定義在(，)上的偶函數(shù)，且X 0時，f (x) X3 X2 , 則當(dāng)X 0時，f(x)=.2. 已知函數(shù)f(x)是定義在(一 ,+ )上的偶函數(shù).3 / 7函數(shù)的奇偶性(教案)當(dāng) X ( ,0)時，f(X)=X-X4,貝U 當(dāng) (0.+ )時，f (X)=.題型5、利用奇偶性討論函數(shù)的單調(diào)性例7:若f() (k 2)x2 (k 3)x 3是偶函數(shù)，討論函數(shù)f(X)的單調(diào)區(qū)間?練習(xí)：在R上定義的函數(shù)f X是偶函數(shù)，且f X f 2 X 則函數(shù)f2,2,2,2,若

7、f X在區(qū)間1,2是減函數(shù),A. 在區(qū)間B. 在區(qū)間C. 在區(qū)間D. 在區(qū)間1111X (上是增函數(shù)，區(qū)間 上是增函數(shù)，區(qū)間 上是減函數(shù)，區(qū)間 上是減函數(shù)，區(qū)間3,43,43,43,4上是增函數(shù) 上是減函數(shù) 上是增函數(shù) 上是減函數(shù)7 / 7題型6利用奇偶性求參數(shù)的值例8 :定義在R上的偶函數(shù)f (X)在(，0)是單調(diào)遞減，若f(2a2 a 1) f(3a2 2a 1),則a的取值范圍是如何？練習(xí)、已知奇函數(shù)f (X)是定義在(2,2)上的減函數(shù)，若f(m 1) f(2m 1)0，求實數(shù)m的取值范圍題型7、利用圖像解題例9.設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為-5,5.若當(dāng)X 0,5時, f()的圖象如右

8、圖，則不等式f X 0的解是 (2,0)(2,5)練習(xí) 若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(，0上是減函數(shù)，且f(2)=0 ,則使得f( )<0的X的取值范圍是()A. (-,2) B. (2,+) C. (-,-2)(2,+ ) D. (-2,2)三課后習(xí)題1. 下 列 說 法 中 不 正 確 的 是()A 圖象關(guān)于原點成中心對稱的函數(shù)一定是奇函數(shù)B 奇函數(shù)的圖象一定經(jīng)過原點C.偶函數(shù)的圖象若不經(jīng)過原點，則它與X軸的交點的個數(shù)一定為偶數(shù)D .圖象關(guān)于y軸成軸對稱的函數(shù)一定是偶函數(shù)22LlXl2函數(shù):(1)y 2(x 1)2 3;(2)y2 |x| 4;(3)y x;(4)y,X其

9、中 是 非 奇 非 偶 函 數(shù) 的 是()A. (1)(2)(3) B. C. (1)(3)D.(1)3. 若 f(x) ax2 bx c(a0)是偶函數(shù),貝U g(x) ax3 bx2CX是A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)4. 如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3,7上是增函數(shù)且最小值是5,則 f (x)在-7,-3上()A. 是增函數(shù)，最小值是-5B. 是減函數(shù)，最小值是-5B. 是增函數(shù)，最大值是-5C. 是減函數(shù)，最大值是-55. 若y=f (x)(x R)是奇函數(shù)，則下列各點中，一定在曲線y=f (x)上的是( )A. (a， f ( a)B . ( Sin a,

10、f ( Sin a)C. (一 Ig a,-f (Ig 丄) D . (一 a, f (a)aa 2Xa 26. 已知f(x) a 2x 是R上的奇函數(shù)，貝U a =2 17. 若f(x)為奇函數(shù)，且在(-,0)上是減函數(shù)，又f(-2)=0 ,則Xf(X)<0的解集為8. 已知y=f(x)是偶函數(shù)，且在0,)上是減函數(shù)，則f(1 x2)是增函數(shù)的區(qū)間是9. 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1) f(x) JLr JXr(2) f(x) (1 X)Jg(3) f(x) 2x 1 1 X10. 設(shè)f (x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)X (,0)時，f(x) x(1 x3),求當(dāng)X (0,)時f (x)的解

11、析式11. 已知函數(shù)f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)X 0時，f (x) X2 1, 求f (x)在R上的解析式.12. f (x)是定義在(2,2)上的奇函數(shù),且是單調(diào)遞減函數(shù)，若f (2 a) f(2a 3) O ,求實數(shù)a的取值范圍。2 113. 已 知函數(shù) f(x) ax1 (a,b,c N)是 奇函數(shù)，f(1) 2, f (2)3,且bx Cf(x)在1,)上是增函數(shù), (1)求a,b,c的值； 當(dāng)x-1,0)時,討論函數(shù)的單調(diào)性.解(1) f(x)是奇函數(shù)，則2ax 1bx C2 2ax 1 ax 1 C 0 由 f(1) 2得 a 1 2b, bx Cbx C由 f (2)3L

12、 01 a 2a 1又 a N, a0,1 .當(dāng)a 0時,b1N ,舍去.2k 3x V -3 x+9x+2,32x-(1+ k) 3x+2>0對任意x R都成立令t=3x >0,問題等價于 t2 -(1+ k)t+2>0對任意t >0恒成立.令 f(t)=t2(1 + k)t+2,其對稱軸 X U21 k當(dāng)0,即k1時,f(0)=2>0,符合題意；0時,對任意t >0,f (t)>0恒成立1 k-2-2(1 k) 4 2綜上所述，所求k的取值范圍是(，1 2、X11當(dāng)a=1 時,b=1, f(x) X 一XX14. 定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f

13、(3)=log23且對任意X，y R都有 f (x+y)=f (x)+f (y) (1)求證f (X)為奇函數(shù)； 若f(k 3x)+f(3 x-9 x-2) V0對任意X R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.分析：欲證f (X)為奇函數(shù)即要證對任意X都有f(-x)=-f(x)成立.在式子f (x+y)=f (x)+f (y)中，令y=-X可得f (0)= f (x)+f (- x)于是又提出新的問題，求 f (0)的值.令x=y=0可得f(0)=f(0)+ f (0)即f (0)=0，f (X)是奇函數(shù)得到證明.(1) 證明：f (x+y)=f(x)+f(y)( X，y R)，令 =y=0,代入式，得 f(0+0)= f(0)+f(0),即 f(0)=0 .令 y=-X ,代入式，得 f