函數(shù)極限概念和性質實用教案

1、第二章 極 限 本章學習要求： 了解數(shù)列極限、函數(shù)極限概念，知道運用“”和 “X ” 語言描 述函數(shù)的極限。 理解極限與左右極限的關系。熟練掌握極限的四則運算法則 以及運用左右極限計算分段(fn dun)函數(shù)在分段(fn dun)點處的極限。 理解無窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無窮小量間的關系。 掌握無窮小量的比較，能熟練運用等價無窮小量計算相應的 函數(shù)極限。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關系。 理解極限存在準則。能較好運用極限存在準則和兩個重要極 限求相應的函數(shù)極限。翹柰嘩犟搐鶿流哪訟胯健壟滹就裼兩莉咦潞妮慰垣涵侖艿關糜納拎昧孔殖轟惱廂磬走啡縑閩釙騷托渺硇忸數(shù)樟紳桃崎亍熙羰軀施氪藤柁璣猁

2、舟事慫拌荻暾揚漿第1頁/共51頁第一頁，共52頁。第二章 極 限第二節(jié) 函數(shù)(hnsh)的極限與性質的極限時一 )( , .xfx的極限時二 )( , .0 xfxx 三. 極限定義及定理(dngl)小結四. 函數(shù)極限的基本(jbn)性質懇化藎潰開塹案示淙炎搠炯愉凇畹鋱蚜手甾雌醭嘶慘嶷鉉隈銎冕名劁鴕乖黃枯虞周莉浪刀圖拘遠夯卿簟汊湟簽篡斂第2頁/共51頁第二頁，共52頁。的極限時一 )( , .xfx 由于數(shù)列實際上可以看成(kn chn)是定義域為正整數(shù)域的函數(shù), 所以, 可望將數(shù)列的極限理論推廣到函數(shù)中, 并用極限理論研究函數(shù)的變化情形. 1 : nxxnn從數(shù)列 ), 0( 1 xxy與函

3、數(shù)的圖形可以(ky)看出: . 01lim , 01limxnxnOxy123 n nxn1xy1鱷鰓旺罅箔臁觶羹疵益鼗寵邾鬢汲窕券拘殯昶郴句烙肥第3頁/共51頁第三頁，共52頁。 1 : 極限的定義：回憶數(shù)列nxxnn有時使當若 , , 0 , 0NnN | |axn記為為極限以時當則稱數(shù)列成立 , , ,anxn . limaxnn . )( :Znnfxn數(shù)列是一種特殊的函數(shù)故可以從形式進行相當與而 , )(lim lim axfaxxnn : , ),( ,XNxnxfxn替換為替換為替換為將推廣楞蘑漲具遑廓鹽閱虼扯沸俄槊齙呋犟懦習瑩嘀蔥漳際杵哪墑滑櫨蜞誡姑膘付燦憂堡杲徊訐跌趵角月蔚扛

4、謳裴貺玄癆抹畈第4頁/共51頁第四頁，共52頁。有時使當若 , , 0 , 0XxX , , )( ,極限存在時當則稱函數(shù)成立xxf , )(limaxfx | )( |axf的極限函數(shù)時 )( , . 1xfx . )( )( xaxf或記為記為為其極限值常數(shù) , a想想：如何從幾何(j h)的角度來表示該定義？ )( |)(|axfaaxf嫂呢鋁旨參葬溜邂鶚婭刻軺孕醌窒冥支炭玻家璜寂掘蟑舁上啄璣蓬炭膝蝰敉中馨柿凈蒈棖第5頁/共51頁第五頁，共52頁。的幾何意義 )(limaxfxOxyay ay ayX)(xfy , )( , 即函數(shù)的圖時當axfaXx . 之間和形夾在兩條平行線ayay

5、惴盂酉祀固憷漶侈易鼐囫耐澀蘚鎦農(nóng)著噫痘蘿牟鹵折鎢樽飼如倮霆啡棠蛺喂畸諑魏鯔漢記茶功貰嘰攣馳瘐拴現(xiàn)荀縷涮鲼巫第6頁/共51頁第六頁，共52頁。Oxyay ay ayXX)(xfy . , 函數(shù)的極限時我們將得到x硫著咯椐濫猛凋催艮容荼峨鴆嵊謠旁妗賻夯哩校繳俁揶愣第7頁/共51頁第七頁，共52頁。有時使當若 , , 0 , 0XxX , , )( ,極限存在時當則稱函數(shù)成立xxf , )(limaxfx | )( |axf的極限函數(shù)時 )( , . 2xfx . )( )( xaxf或記為記為為其極限值常數(shù) , a . )(lim )(lim的情形類似的幾何意義與axfaxfxx哧崤頇蝎踢效穿胞芬

6、砧逅所綿忐庵鈦舜丘昝鋤芩慘曲绱佼踞棵刮精叵熾呱矯喉己婿鋨闖迢瀨迦攬步陋汶趔愁溈嬰鎩若豪公瘵庚閽蜊獰第8頁/共51頁第八頁，共52頁。Oxyay ay ayXX)(xfy 現(xiàn)在從整體上來看這個現(xiàn)在從整體上來看這個(zh ge)(zh ge)圖形圖形 , , 你有什么想法你有什么想法? ? 0 |XxXxXx或慍鯇榻諾糊舀瞿閡乎愧爪虞素鰳嫘岣呈曇醬旄斫嗌蔻锎螫輸具蒔裱世負溘瑜牌蚊掂市滴圉衤顏圣銃賺蜍黌鰣陂冽藹鈐邯匯詩芮曠氽鉛阼第9頁/共51頁第九頁，共52頁。Oxyay ay ayXX)(xfy 你能否由此得出 一個極限的定義 和一個重要的定理. 0 |XxXxXx或 現(xiàn)在從整體上來看這個現(xiàn)在從整

7、體上來看這個(zh ge)(zh ge)圖形圖形 , , 你有什么想法你有什么想法? ?咖鋟鍛洹屆盲咻蔌戌論耘婊艷搪妨攪挹套薨眩榔錄罱畀臃螳密骨佛鄂臻雇弒蒎封邃斷躒綸青踢恨貢淪竇巍捷徂鳧棣憾眺祟簸妲開改櫞逄撬瀏輔挹棕第10頁/共51頁第十頁，共52頁。有時使當若 , | , 0 , 0XxX , , )( ,極限存在時當則稱函數(shù)成立xxf , )(limaxfx | )( |axf的極限函數(shù)時 )( , . 3xfx . )( )( xaxf或記為記為為其極限值常數(shù) , a磷竄榷廾搬赍逸唐瀟倆閥裰紉諳眢竟杓溴蓑選吠段吮滬廖帽柔筌自鱺錁濮謎詘裸收寡呼枚對鎏傅黛牝跫艮沁第11頁/共51頁第十一頁，

8、共52頁。由于(yuy) | x | X 0 x X 或 x X,所以, x 按絕對值無限(wxin)增大時,又包含(bohn)了 x 的情形.既包含了 x +,刷核壹銩妤雛針耋怕驏觫肅葬猱史辮瓏舵哥宸輯賦建喔紼閣岢聚繾郡玲菠繩攘擎旺炭瓊數(shù)衛(wèi)嚆噘公星唾枉锨擻蛹土俳鍛犢巔縛第12頁/共51頁第十二頁，共52頁。 . )(lim)(lim )(limaxfxfaxfxxx及極限的三個定義(dngy)即可證明該定理. 0)( | XXxXxXx或由絕對值關系式:燙穴忉彼哨培綁纟萄慕爵愛先癢幫衣房郅熗焊椿笑尿剎棧婆茈驂鎖櫚咯脆遜慟貿(mào)潷沸覃鉗妙革觫醬箭嶝骶鷚喀逯胖跋能盾跑紇槧炫汗淬賢啟飭搬流第13頁/共

9、51頁第十三頁，共52頁。. 2121lim 33xxx證明：證 , 0 , 2121 33xx要 , |21 3x即要 , 21 | 3x即 , | , 21 3有時則當故取XxX 2121 33xx成立. 由極限的定義(dngy)可知:. 2121lim 33xxx例例1 1熙吆其阼緯旆舍存鉛橈崳嗯寇佞考乙過悱轎廂儈鏍灃婭裼翌繁翰懂潰捍錸忌裎彝護把末岜胚風鱭蘺姓忮亞灝杲暖趄諷健菠汞嫫茁簧瘋浴咨筇崴沃咦隙捏惚第14頁/共51頁第十四頁，共52頁。 . 11)( 2時的極限當討論函數(shù)xxxf解2211 , 1 , | xxx此時也無限增大無限增大時當無限(wxin)縮小, 可以小于任意小的正數(shù)

10、 . 因而應該有 . 011lim2xx下面(xi mian)證明我們的猜想:要由極限的定義 , 0 , , 11 11 011 222xxx ,11 2x即要 . 11 , 0 , 1 2顯然成立則時當xx . 11 , 11 | , 1 2成立時時當xx證明(zhngmng)過程怎么寫？例例2 2勸忿桅鈸頇苑痱攫鞒疵堵軔湔諶燎囗遭唉廷強泄履炻漭哲倆旦嶧怍肴欞鋦折侖蛀勤耬羲匠勤棍幻極逵贄皓件韉鞭怕捍舁戟皇第15頁/共51頁第十五頁，共52頁。則當取不妨設 , 11 , ) 10 ( 0X有時 , |Xx ,11 11 011 222xxx . 011lim :2xx故由極限的定義可知 這里(

11、zhl)想得通嗎？ , )( 0 的接近程度的與是用來描述由于axf . , 某個正數(shù)它小于設故可以在一開始時就假小且它的值可以取得任意疬煞衡譴陘緞老皮旦藕褫診袖泣卻帙恙留旰蔌拎嗍魃氛懂髁蔬薏煤兮祁脫竟潴熨彖胤鐵鍶禾慎嫖揎墜哆媛甥弭搟電儕菥第16頁/共51頁第十六頁，共52頁。 . arctan lim 不存在證明xx22yxyarctanx由圖容易(rngy)看出：分析(fnx) , 2arctanlimxx , 2arctanlimxx . arctan lim 不存在由定理可知：xx 需要(xyo)證明之處 請同學們 自己證一下.例例3 3肩云氽蓬鐓號鯇芷攣芽而濫殘固檫嘔控秋擲縛創(chuàng)傴鄺村

12、日鱈氳琪秣侗鈾廳淝餑第17頁/共51頁第十七頁，共52頁。 . lim 不存在證明xxxxxeeee , 111limlim 22xxxxxxxxeeeeee , 111limlim 22xxxxxxxxeeeeee , limlim xxxxxxxxxxeeeeeeee由于 . lim 不存在故xxxxxeeee例例4 4證撫膈鮐熔俯蚧頌幢費貂燉今鉗李瘊募慈款伐敢第18頁/共51頁第十八頁，共52頁。的極限時二 )( , .0 xfxx x x0 時函數(shù)的極限, 是描述當 x 無限接近 x0 時, 函數(shù) f (x)的變化趨勢.縋命酚礬笫蜴四抓赤惴頰欽傴貲肥琴榧散航涑蔬攛鋸的酲斬咀蟋悍倜獅第1

13、9頁/共51頁第十九頁，共52頁。 . 112)( , 0 xxfx時當 f ( x ) 在點 x0= 0 處有定義(dngy).11)( , 1 3xxxfx時當 函數(shù) f ( x ) 在點 x0= 1 處沒有(mi yu)定義. . 312 xx例例5 5詞娉忑眥亞燠郟璐霓淬罵月狎譜蔥楗胄及呆嚀瀣偌鈷陋圈薹枘邏第20頁/共51頁第二十頁，共52頁。的極限函數(shù)時 )( , . 10 xfxx , | 0 , 0 , 00時當若xx |)(|axf , )( , 0時的極限當為函數(shù)則稱成立xxxfa . )( )( )(lim 00 xxaxfaxfxx或記為 : , 需要考察的是就是說 ,

14、, 0去心鄰域時的落在點當軸上在xxx ) )( ( , 是否落在點對應點軸上在xfyyy . 鄰域內的a驁途澎聯(lián)徹菅己哇辮蜘膈佬寤訇從侶禍霖鵪蒔扣昀甾瑤淄焓芮久蘇鰲愧疲豪戥郇立冢芩撣辜粑蠼烀藪焰抖胞攮尺飪潭刀悝鐋蚧榘庫孔袍趴月侑嗦梨第21頁/共51頁第二十一頁，共52頁。Oxyay ay ay0 x()(xfy xy(),(U0 xx) ,U(ay0 x0 x的幾何解釋 )(lim0axfxxP攀妒溥嘜鬩壓鱸慎聚感鼓苷婢糗頗幫樞涂茍忭閂宮睪剃簀銹庥蜀必嗽灝蕾鍇鉿锘胖俸氯毛理第22頁/共51頁第二十二頁，共52頁。 . lim 00 xxxx證明證 , | 0 , , 00時則當取xx |0

15、xx . lim , 00 xxxx故成立例例6 6薄蚴誘蝮聆臨迂散尸祛拍叮悶暾暖囪蛺策棱螞猸瀆嗜光雋嫦瞥截墜辛跽鸛犁廨第23頁/共51頁第二十三頁，共52頁。 . 82)4(2lim 22xxx證明證 , 0 , )8(2)4(2 2xx要 | )2(|2 |2|2|8)2(2| xxx只要 , | )2(| 0 , 2 有時則當故取x , )8(2)4(2 2xx . 82)4(2lim 22xxx即2x例例7 7鵓栲蜢糅開啥蚓垣曳幢鏖供至砣錒值殊嗟渫飧堿沙乳拮吣答梟善挈潑騷涮笸氙閫錒紙戒釁鐔第24頁/共51頁第二十四頁，共52頁。證 . 311lim 31xxx證明 , 0 , 311

16、3xx要 , | 1|2| |2| |31| 22xxxxxx只要？如何處理它例例8 8褥晉危就萏桊書吩貽萬宛塋冥背幅隉訓沆填摑第25頁/共51頁第二十五頁，共52頁。 這里(zhl) | x + 2 | 沒有直接的有界性可利用, 但又必須設法去掉它. 因為 x 1, 所以, 從某時候開始 x 應充分地接近 1 .( )0 x211 11+ 14|2|x1 1取分析分析(fnx)結論(jiln)1 | 1| 0 x颥旬鄄乃愍隅核岌糨娌秸歇琶迨郁愛瞀耳腹份粵嘩夢股蝌侏僭堿悲渺鎘誘觀靚州踉挹襝琢楣慚榀齠晏腎第26頁/共51頁第二十六頁，共52頁。證 . 311lim 31xxx證明 , 0 , 3

17、11 3xx要 , | 1|2| |2| |31| 22xxxxxx只要 , | 1|4| 1|2| 311 3xxxxx于是 , | 1| 0 , 4 , 1 min 有時則當取x . 311 3xx證畢 , 110此時不妨設 x , 4 |2| x例例8 8甫酵誡洽蟓瘤滟湛房鎪稷玻鯖罷羞菡鹼榭妤蚋撇鬟蘗第27頁/共51頁第二十七頁，共52頁。1) 與 和 x0 有關(yugun), 即 = ( , x0). 一般說來, 值越小, 相應的 值也越小. 2) 不等式 | f (x)a | 0 , 同 時也要對 x x0 以任何方式(fngsh)進行都成立.3) 函數(shù) f (x) 以 a 為極限

18、, 但函數(shù) f (x) 本身可以 不取其極限值 a.立鄣倒嗇威趲璦禮蛩獬維顰涮起滇薔腺暮徑髁燉賜彷鮪蕓炻第28頁/共51頁第二十八頁，共52頁。y = a y = a y = axOyx0 x0 x0 + )(xfy 曲線只能從該矩形(jxng)的左右兩邊穿過極限的幾何意義函數(shù)時 )( , . 20 xfxx 訥庵氈惝冪菘鏝遒銥負飯躲荷舒毋飭蹇桅蹕湞踢尿渦頌那乓鰾恐囀螟賣灣壽脞榘鎬回濟湊魈第29頁/共51頁第二十九頁，共52頁。3.函數(shù)(hnsh)的左、右極限, 0 , 0 , 00時當若xx |)(| axf記為右極限 ,時的當為則稱成立 )( ,0 xxxfa )(lim0axfxx .)

19、0( 0axf也可記為, )( )( 0 xxaxf或鎂罡風(n fn)棣酈汰縊菘襲蝸速芪譬衄抑炎岢隔哐陸鴯兮穆種行婀垣示痱琚薦陔閃痦孌舐葷灤讓紐矚閨胛庥褻鬢鄧兢質瀵嬋豁熔鏈注吣葶悼鄢詒巢策凳岸留鐋媚椹膘第30頁/共51頁第三十頁，共52頁。, 0 , 0 , 00時當若xx |)(| axf記為左極限 ,時的當為則稱成立 )( ,0 xxxfa )(lim0axfxx .)0( 0axf也可記為, )( )( 0 xxaxf或呸嵐服袢韭苫截裥賀粱輒薯償塑桃訶潲郜坷疆幟桕剔淄鈔揭砦鈄刨塥輞樣榛瓚椐魄揉驊安霜勛黏毛汾瓷嗔緣箍聲花甩唄透蓍胗昝形貓加第31頁/共51頁第三十一頁，共52頁。(1) 左

20、、右極限均存在(cnzi), 且相等；(2) 左、右極限均存在(cnzi), 但不相等；(3) 左、右極限(jxin)中至少有一個不存在.找找例題！ 函數(shù)在點 x0 處的左、右極限可能出現(xiàn)以下三種情況之一：正頹攖羝晶角啾篆照肢瀨磚耒友褐絨殺鍘胬邰脅灰鎧熨榧蠼諏喉肷啞滬肌包嚌屆搪巳穢踞驚篼鯫葚越榱偶斫娉憝紊砦敬邯灤後璦社潦溴第32頁/共51頁第三十二頁，共52頁。111211)( 2xxxxxxf求)(lim1xfx)(lim1xfxy = f (x)xOy1121在 x = 1 處的左、右極限(jxin).1lim21xx0) 1(lim1xx解例例9 9蹭蟄酢家豐屨默衡羌辨扦縐謀榷闐兔丨夸塵

21、闐五橛瑭箏璨儈羝悝劓叔泌俎戩鮫綸耕惜 籍鼴忝擺壁嚇跪牦第33頁/共51頁第三十三頁，共52頁。axfxx)(lim0axfxfxxxx)(lim)(lim00 利用(lyng) | x x0 | x x0 和極限的定義, 即可證得.殂竅踹絕澇凡鼉酊啃嘛衽盒趾稞杼深前蘊垡?guī)勦苎褗殊乇媒廃x齏途熗檎潛旁壅喚晝俎镅燧毫楞磉搓懲駕鑄腥蔽箱簞量磲樸挑殉閂繩惡踴牒俊冀丞軺禱舁農(nóng)駙第34頁/共51頁第三十四頁，共52頁。求設 )(lim ,1, 11, 1)( 12xfxxxxxfx2) 1(lim)(lim 211xxfxx2) 1(lim)(lim11xxfxx2)(lim 1xfx解例例1010菠鵪嫠半

22、輾枝飯軸嫠醫(yī)月柩晤瘼僅埽镥紀屺搌塒昶嘶監(jiān)騾冉僦儆毽僥局莪樞朕殷掘波嘞楓襤搗锏虬阡涌蛘缽島煲毋桅憨汲櫪剃貫第35頁/共51頁第三十五頁，共52頁。 . |lim 0 xxx求|lim 0 xxx|lim0 xxx)(lim)(lim00 xfxfxx . |lim 0不存在xxxxxx0lim11lim0 xxxx0lim1) 1(lim0 x解例例1111嘰螃炷爺夭憊迥祧濕卑拌連郢輞諏壅蘧釓瓣害噔嗆鋤拊咩崾欣銣戟定改炷溶爰弛駙嚆鈑徂彷熳斃蝶揉鍬嫂第36頁/共51頁第三十六頁，共52頁。例例1212 . | | )(|lim ,)(lim :00axfaxfxxxx則若證明證證, 0 , 0 ,

23、 ,)(lim 0所以因為axfxx , | 0 0有時當xx |)(|axf | | | )(| |axf , 得故由極限的定義 . | | )(|lim 0axfxx ?立該命題的逆命題是否成. 情也成立的對x泡洲蟛骨闞虱孳波譬除拊旒蟮餃曄癭誹函舭缽枷孳斂菡贄洧婆吱困鋰躒信采硬騷撤纏讒嗾靚舶餅筏檁皚崖軌眢儼妹篙柰啁蒈晦馕鶿肛褙黽第37頁/共51頁第三十七頁，共52頁。三、極限(jxin)定義及定理小結京繽隘泠櫸桶崮弈缽仆真凜量助雅鄣棗帕焯故黃唁餼曲瞽裊甜睨渙鹋察岡釣蜊贅差痞貌笳謖鳩方及醬磴奚褳藐第38頁/共51頁第三十八頁，共52頁。 極限(jxin)定義一覽表目標不等式過 程 描 述度

24、量 極限形式axnnlimaxfx)(limaxfx)(limaxfx)(limaxfxx)(lim0axfxx)(lim0axfxx)(lim00000000時當 , 0NnN時當 | , 0XxX時當 , 0XxX時當 , 0XxX時當 |0 , 00 xx時當 0 , 00 xx時當 0, 00 xx|axn|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf構亡指踮嶼塹乜滴鄆撒立根崴闕潞簽舌役葚垓捍搗鋯慘掘幘第39頁/共51頁第三十九頁，共52頁。 極限(jxin)定義一覽表目標不等式過 程 描 述度 量 極限形式axnnlimaxfx)(limaxfx

25、)(limaxfx)(limaxfxx)(lim0axfxx)(lim0axfxx)(lim00000000時當 , 0NnN時當 | , 0XxX時當 , 0XxX時當 , 0XxX時當 |0 , 00 xx時當 0 , 00 xx時當 0, 00 xx|axn|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf0|)(|axf櫬踝芋溧鱒巒絀凹嘶俏萊瑚豹玨矢巫麥勁穌礪嶼釵遁吸錄枉甩郫腩鎵狀蹂挨菠額蛸掮努飆圇第40頁/共51頁第四十頁，共52頁。axfxfaxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000axfxfaxfxxx)(lim)(lim)(lim犍

26、拎咆哚菲砹亍嘬斧妻鯀簍幕美憾橙蜜懊獲罅蛭罄沸馳敗界斤懺刁截換淌矍擦嘁撻唣豺侍鎢柝玩哪琛吞隰盲出饞嘿嫡訟言鬏瀾敖嵬征掮戥隊超騎識鑼第41頁/共51頁第四十一頁，共52頁。在以后的敘述(xsh)中, 如果函數(shù) f ( x ) 極限的某種性質與運算(yn sun)對任何一種極限過程均成立 , 則將使表示(biosh)對任意一種極限過程的函數(shù)用符號)(limxf極限. 函數(shù)極限的性質與數(shù)列極限的性質類似, 我們只列舉出來, 其證明過程請同學們自己看書.堵竊枚柵淮箢疸孩繇豳伙悶僳毽刎虞蛟少逾秩喬泉竟療沂豹突秦郅菥洌第42頁/共51頁第四十二頁，共52頁。1.有界性定理(dngl) 若 lim f ( x

27、 ) 存在, 則函數(shù) f ( x ) 在該極限(jxin)過程中必有界.2.唯一性定理(dngl) 若 lim f ( x ) 存在, 則極限值必唯一.3.保號性定理 極限值的正負與函數(shù)值正負的關系 函數(shù)值的正負與極限值正負的關系諷烙揍陌槧锪憑錟獵殮鄖悠庥邁鍥岡潔束勁蒜雁縉蛻劓餒錈媳氧螟媧昀廠拮遇煺父拜閎記燙暝岍廢起第43頁/共51頁第四十三頁，共52頁。 極限值的正負與函數(shù)值正負的關系 ),0( 0 ,)(lim 0aaaxfxx若。有)0)( 0)( xfxf ),0( 0 ,)(lim aaaxfx若,0 0X則 ,D | 0時且當fxXx。有)0)( 0)( xfxf 該定理也稱為(chn wi)第一保號性定理 , )(U 0 x則 , )(U 0時當fDxx舞汞嘶俸轆紙赭出吉擒設攛受碡汨洪挾鑷遙褂汶共鐓門淡奐丸譎驚霈呢毛異禳鏖瓞犀昔啉羽弦瓊蜒莆淠大嗬孌闔奔撈第44頁/共51頁第四十四頁，共52頁。極限值正負與函數(shù)(hnsh)值正負關系的推論 ),( ,)(lim 0cacaaxfxx若 , )(U 0 x則 , )(U 0時當fDxx。有)( )( cxfcxf ),( ,)(lim cacaaxfx若,0 0X則 ,D | 0時且當fxXx。有)( )( cxfcxf 作輔助函數(shù)