高等數(shù)學(xué)課件：12-1二重積分的概念與性質(zhì)

1、重積分 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分重積分曲線(xiàn)積分曲線(xiàn)積分曲面積分曲面積分推廣推廣重積分 第一節(jié)第一節(jié) 重積分的概念與性質(zhì)重積分的概念與性質(zhì)第二節(jié)第二節(jié) 二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算第三節(jié)第三節(jié) 三重積分的計(jì)算三重積分的計(jì)算第四節(jié)第四節(jié) 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用重積分的概念與性質(zhì) 二二 、重積分的概念重積分的概念 一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出 三三 、重積分的性質(zhì)重積分的性質(zhì)第一節(jié) 第十二十二章 一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出平頂柱體體積的計(jì)算公式平頂柱體體積的計(jì)算公式:柱體體積柱體體積 = = 底面積底面積高高. .1. . 曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積回顧回

2、顧特點(diǎn)：特點(diǎn)：平頂平頂.曲頂柱體曲頂柱體: :底底為為 xOy 面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域 D ，( , )0zf x y ，曲頂曲頂為為 連續(xù)曲面連續(xù)曲面 側(cè)面?zhèn)让鏋橐詾橐?D 的邊界為準(zhǔn)線(xiàn)的邊界為準(zhǔn)線(xiàn) , 母線(xiàn)平行于母線(xiàn)平行于 軸的柱面軸的柱面.z( , )zf x y xyzoD特點(diǎn)：特點(diǎn)：曲頂曲頂曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 = = ？變高變高解決方法解決方法: 類(lèi)似于定積分解決問(wèn)題的思想類(lèi)似于定積分解決問(wèn)題的思想“分劃分劃, 近似近似, 求和求和, 取取 極限極限”.步驟如下：步驟如下：1 分割分割用用任意任意曲線(xiàn)網(wǎng)劃分曲線(xiàn)網(wǎng)劃分D為為 n 個(gè)小區(qū)域個(gè)小區(qū)域:12,nDDD以它們?yōu)榈装?/p>

3、曲頂柱以它們?yōu)榈装亚斨w分為體分為 n 個(gè)個(gè).小曲頂柱體小曲頂柱體,1, .iVin2 近似近似,),(iiiD ), 2 , 1(),(nifViiii 3 求和求和1niiVV 1(,).niiiif 4 取極限取極限令令01lim(,).niiiiVf 則有則有定義定義iD 的直徑為的直徑為,max2121iiDPPPPd ,max1inid xzyoD),(yxfz iD ),(ii2. 平面薄板的質(zhì)量平面薄板的質(zhì)量12,nDDD設(shè)有一質(zhì)量分布不均勻的平面薄板設(shè)有一質(zhì)量分布不均勻的平面薄板, ( , ),x y 計(jì)算該薄片的質(zhì)量計(jì)算該薄片的質(zhì)量 M .度為非負(fù)連續(xù)函數(shù)度為非負(fù)連續(xù)函數(shù)

4、1 分割分割將將D 任意劃分成任意劃分成 n 個(gè)小區(qū)域個(gè)小區(qū)域D其面密其面密( , )x y 常數(shù)常數(shù) ,回顧回顧: 若若薄板的質(zhì)量薄板的質(zhì)量 = = 薄板的薄板的面積面積面密度面密度. .iD yxO2 近似近似3 求和求和1niiMM 1(,).niiii 4 取極限取極限01lim(,).niiiiM (,)(1,2, ).iiiiMin 則第則第 i 小塊的質(zhì)量小塊的質(zhì)量在每個(gè)在每個(gè)中中任取任取一點(diǎn)一點(diǎn)(,),ii iD 令令則有則有DiD yxO(,)ii ,max1inid 兩個(gè)問(wèn)題的兩個(gè)問(wèn)題的共性共性：(1) 解決問(wèn)題的步驟相同解決問(wèn)題的步驟相同(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同所求量的

5、結(jié)構(gòu)式相同“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 取極限取極限”.01lim(,);niiiiVf 01lim(,).niiiiM 曲頂柱體體積曲頂柱體體積: 平面薄片的質(zhì)量平面薄片的質(zhì)量: 區(qū)域，區(qū)域， i 表示它的面積，在每個(gè)表示它的面積，在每個(gè) Di 上上任取任取一點(diǎn)一點(diǎn)二、重積分的概念二、重積分的概念1. 1. 二重積分的有關(guān)概念二重積分的有關(guān)概念iiiD ),( 設(shè)設(shè) f (x, y)是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)，上的有界函數(shù)， 將閉區(qū)域?qū)㈤]區(qū)域D 任意任意 分成分成 n個(gè)小閉區(qū)域個(gè)小閉區(qū)域 D1，作乘積作乘積并作和并作和 niiiif1),( ), 2 , 1(

6、),(nifiii D2 , , Dn , 其中其中 Di 表示第表示第i個(gè)小閉個(gè)小閉定義定義12.1如果當(dāng)各小閉區(qū)域的如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑直徑中的最大值中的最大值 趨于趨于零時(shí)，這和式的極限存在，則稱(chēng)此極限為零時(shí)，這和式的極限存在，則稱(chēng)此極限為 函數(shù)函數(shù) f (x, y)在閉區(qū)域在閉區(qū)域D上的上的二重積分二重積分，記為，記為 iniiif 10),(lim Dyxf d),(對(duì)二重積分定義的對(duì)二重積分定義的幾點(diǎn)說(shuō)明：幾點(diǎn)說(shuō)明：1 各小閉區(qū)域的各小閉區(qū)域的直徑直徑中的最大值中的最大值 是指：是指：,max1inid .),(max,是歐氏距離是歐氏距離其中其中 QPdDQPi 3 二重積分存

7、在性定理二重積分存在性定理:若函數(shù)若函數(shù)( , )f x y( , )f x y命題命題1在在 D上可積上可積.在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D上連續(xù)上連續(xù), 則則一般地，一般地，.:d),(曲曲頂頂柱柱體體體體積積的的代代數(shù)數(shù)和和 Dyxf 4 二重積分的二重積分的幾何意義幾何意義則則，若若Dyxyxf ),( , 0),(.,),(:d),(為為底底的的曲曲頂頂柱柱體體的的體體積積以以為為頂頂以以曲曲面面DyxfzyxfD 特例特例則則，當(dāng)當(dāng)Dyxyxf ),( , 1),( DD dd1 nii10lim .的的面面積積D 在直角坐標(biāo)系下用平行于在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)坐

8、標(biāo)軸的直線(xiàn)網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域域D， DDyxyxfyxfdd),(d),( yxddd 故二重積分可寫(xiě)為故二重積分可寫(xiě)為xyo則面積元素為則面積元素為D2. 三重積分的定義三重積分的定義 3R定義定義 9.2 任意任意分成分成 n 個(gè)小區(qū)域個(gè)小區(qū)域(1, 2 , ),iin若存在一個(gè)常數(shù)若存在一個(gè)常數(shù) I , 使使在在( , , )f x y z中的空間閉區(qū)域中的空間閉區(qū)域設(shè)設(shè)1(,)(1,2, ),iiifv in 用用 表示第表示第i 個(gè)小閉區(qū)域個(gè)小閉區(qū)域的體積，的體積， iiv (,),iiii 任取任取一點(diǎn)一點(diǎn)并用并用 表示各表示各 小閉區(qū)域直徑的最大者小閉區(qū)域直徑的最大者.并稱(chēng)并稱(chēng)I為為(

9、 , , )f x y z作作乘積乘積在閉區(qū)域在閉區(qū)域( , , )f x y z則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)01lim(,),niiiiiIfv 是是上的有界函上的有界函數(shù)，數(shù)， 將區(qū)域?qū)^(qū)域 上上可積可積 , 上的上的三重積分三重積分. 稱(chēng)為稱(chēng)為體積元素體積元素, dvd d d .x y z在直角坐標(biāo)系下常寫(xiě)作在直角坐標(biāo)系下常寫(xiě)作記作記作01lim(,).niiiiifv ( , , )d ,f x y zv 即即, ,x y z稱(chēng)為積分變量，稱(chēng)為積分變量，( , , )df x y zv 定積分，二重積及三重積分可推廣為定積分，二重積及三重積分可推廣為多重積分多重積分:1212(,)ddd,nnI

10、f xxxxxx 12(,)nf xxx注注.其中其中I 表示積分區(qū)域，表示積分區(qū)域，I 上的有界上的有界 n 元函數(shù)，元函數(shù)，n可取可取1,2,3,.表示定義在表示定義在( , , )f x y z稱(chēng)為被積函數(shù)，稱(chēng)為被積函數(shù)，三、重積分的性質(zhì)三、重積分的性質(zhì)( , )d( , )d,DDf x yg x y( ,)( ,)dDf x yg x y 12( , )d( , )d( , )d,DDDf x yf x yf x y1212,DDDDD 性質(zhì)性質(zhì)1（線(xiàn)性性質(zhì)）（線(xiàn)性性質(zhì)）為常數(shù)為常數(shù)., 性質(zhì)性質(zhì)2（關(guān)于積分區(qū)域的可加性）（關(guān)于積分區(qū)域的可加性）其中其中無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)無(wú)公共內(nèi)點(diǎn).其中其中

11、三重積分具有三重積分具有與二重積分類(lèi)與二重積分類(lèi)似的性質(zhì)似的性質(zhì)D1D2D則則( , )d0Df x y 若在若在 D上上( , )0,f x y 則則( , )d( , )d.DDf x yg x y 推論推論1 若在若在 D上上( , )( , ),f x yg x y ( , )d( , ) d.DDf x yf x y推論推論2特別地特別地, 由于由于( , )( , )( , )f x yf x yf x y性質(zhì)性質(zhì)3（保序性）（保序性）二重積分估值不二重積分估值不等式的等式的幾何意義幾何意義:設(shè)設(shè)max( , ),min( , ),DDMf x ymf x yD 的面積為的面積為

12、( , )d.Dmf x yM 則有則有性質(zhì)性質(zhì)4（估值性質(zhì)）（估值性質(zhì)）, ( , )f x y( , ),D ( , )( ,)Df x y df 證明證明 由性質(zhì)由性質(zhì)4 可知可知,1( , )d.Dmf x yM 由連續(xù)函數(shù)介值定理由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少有一點(diǎn)至少有一點(diǎn)( , ),D 1( ,)( , )d,Dff x y ( , )d( ,).Df x yf 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D上連續(xù)，上連續(xù)， 為為D 的面積的面積 , 則至少存在一點(diǎn)則至少存在一點(diǎn)使得使得即即性質(zhì)性質(zhì)5（中值性質(zhì)）（中值性質(zhì)）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 使得使得二重積分中值定理的幾何意義二重積分中值定理的幾何意義(

13、, )( , )Df x y df 性質(zhì)性質(zhì)6（對(duì)稱(chēng)性的利用）（對(duì)稱(chēng)性的利用）軸軸對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)，則則關(guān)關(guān)于于若若yD)1( Dyxfyxfyxf),(),(0d),(， 0,),(),( 1 xDyxyxD其其中中),(),(yxfyxf 1,d),(2Dyxf DD1xyO軸軸對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)，則則關(guān)關(guān)于于若若xD)2( DDyxfyxfyxfyxfyxfyxf),(),(,d),(2),(),(0d),(2 ，0,),(),( 2 yDyxyxD其其中中DD2xyO軸軸對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)，則則軸軸和和關(guān)關(guān)于于若若yxD)3( DDyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxf),(),(),(),

14、(,d),(4),(),(),(),(0d),(3且且或或， 0, 0,),(),( 3 yxDyxyxD其其中中DD3xyO例例1 比較下列積分的大小比較下列積分的大小:解解 積分域積分域 D 內(nèi)內(nèi)23() d,() d,DDxyxy1xy 1yxO1D所圍成。所圍成。軸和直線(xiàn)軸和直線(xiàn)軸，軸，由由其中其中1 yxyxD10 yx32)()(yxyx DDyxyxd)(d)(32當(dāng)當(dāng)1 yxr時(shí)時(shí), , 1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx; 又又當(dāng)當(dāng) 1 yx時(shí)時(shí), , 0)ln(22 yx于于是是0)ln(122 yxrdxdyyx. 解解例例2 xyO例例3 估計(jì)下列積分之

15、值估計(jì)下列積分之值22ddI,:10.100coscosDxyDxyxy 解解2(10 2)200 由于由于221100coscosxy積分性質(zhì)積分性質(zhì)4200200I,102100即即 1.96 I 2.10 101010 D1,1001102xyoD 的面積為的面積為例例4.:,dd)963(222RyxDyxyxID 其其中中計(jì)計(jì)算算解解 DDDyxyxyyxxIdd9dd6dd3關(guān)于關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于關(guān)于x為為奇函數(shù)奇函數(shù) 00關(guān)于關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于關(guān)于y為為奇函數(shù)奇函數(shù)29R D的面積的面積29 R 思考與練習(xí)思考與練習(xí)被積函數(shù)被積函數(shù)相同相同, 且且非負(fù)非負(fù), 2211dd

16、 ,xyIxyxy 21dd ,xyIxyxy 11311dd .Ixyxy 解解 123,III由它們的積分域范圍可知由它們的積分域范圍可知213.III11xyO1. 比較下列積分值的大小關(guān)系比較下列積分值的大小關(guān)系:2. 設(shè)設(shè)D 是第二象限的一個(gè)有界閉域是第二象限的一個(gè)有界閉域 , 且且 0 y 1, 則則,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小順序?yàn)榈拇笮№樞驗(yàn)?( ).)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示提示: 因因 0 y 1, 故故;212yyyD故在故在D上有上有, 03 x又因又因323321xyxyxyyox1

17、D比比較較積積分分 Ddyx )ln(與與 Ddyx 2)ln( 的的大大小小, 其其中中 D 是是三三角角形形閉閉區(qū)區(qū)域域, 三三頂頂點(diǎn)點(diǎn)各各 為為 (1,0),(1,1), (2,0). 解解2 yx在在 D內(nèi)內(nèi), 有有 eyx 21, 故故 1)ln(0 yx, 于于是是 2)ln()ln(yxyx , 因因此此 Ddyx )ln( Ddyx 2)ln(.備選題備選題例例1-1 三角形斜邊方程：三角形斜邊方程：Oxy121D例例2-1為為其中其中判斷判斷 的符號(hào)，的符號(hào)，2231ddDIxyxy 2222 ( , )4Dx y rxy ，而而 待定待定.21 r其中其中12,DDD 將將

18、 D 分成兩部分分成兩部分:解法解法1 1D,),(222ryxyx .4),(22 yxyxD易知易知 D1的面積為的面積為 r2 的面積的面積2D).4(2r 2DD2D1ryxO因?yàn)橐驗(yàn)?1),(max11 yxfMD3221),(yxyxf 令令D2D1ryxO2 ),(max22yxfMD321r 321 r于是于是 Dyxyxfdd),( 1dd),(Dyxyxf 2dd),(Dyxyxf)4(22rM 21rM 取取 得得,22 r3222(4)1.rrr 232222(4)10.rrrr DyxyxfIdd),()4(22rM 21rM Dyxyxfdd),()4(22rM 21rM 則則原式原式 =12231ddDxyxy 32231d dDxyxy 1ddDxy 3331ddDxy 32 (43)3(12)0. 2221, ( , )xyx yD 分積分域?yàn)榉址e分域?yàn)?23,D DD解法解法2 yxyxDdd12322 22231ddDxyxy 舍去此項(xiàng)舍去此項(xiàng)D22D11yxOD3D23不作計(jì)算，估計(jì)不作計(jì)算，估計(jì) deIDyx )(22的值，其中的值，其中D是橢圓閉區(qū)域：是橢圓閉區(qū)域： 12222 byax )0(ab . 在在D上上, 2220ayx