函數(shù)的奇偶性時一素質(zhì)教育目標知識教實用教案

1、二、教學(xué)的重點、難點、疑點及解決辦法 1教學(xué)的重點和難點：函數(shù)奇偶性的判定2教學(xué)的疑點：判定函數(shù)的奇偶性，必須(bx)先考察其定義域是否關(guān)于原點對稱，同時判定函數(shù)的奇偶性必須(bx)嚴格從定義出發(fā)，不能主觀想象臆斷如判斷函其為偶函數(shù)，而忽視f(x)的定義域-1x1，不關(guān)于原點對稱，因此f(x)不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)3解決辦法：注意概念的引入要淺顯易懂，認清說透奇偶性定義的判定作用和奇偶性的性質(zhì)并適當(dāng)介紹一些判斷函數(shù)奇偶性的方法第1頁/共24頁第一頁，共25頁。三、課時安排 本課題安排2課時 四、教學(xué)過程設(shè)計 教師出示兩道題并讓學(xué)生回答：(1)已知f(X)=3x，求f(-X)；(2)已知g(x)

2、=x2，求g(-x)生：f(-x)=-3xg(-x)=x2師：大家分別觀察以上兩題，說出f(x)、f(-x)和g(x)、g(-x)之間有何關(guān)系(gun x)？生：f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)師：請一學(xué)生用文字簡潔地描述一下上述兩式的含義生：f(-x)=f(x)表明f(x)中自變量取相反數(shù)時，函數(shù)值不變，g(-x)=-g(x)表明g(x)中自變量取相反數(shù)時，函數(shù)值為原函數(shù)值的相反數(shù)第2頁/共24頁第二頁，共25頁。師：-x、x在幾何上有何關(guān)系？生：x，-x對應(yīng)點關(guān)于原點對稱師：這就是說，f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)是對函數(shù)定義域內(nèi)任一個x(不是某些x)而言，由此對

3、函數(shù)的研究就可以從自變量取正值時函數(shù)的變化情況推斷出函數(shù)在整個定義域內(nèi)的變化情況，具有這一特性的函數(shù)在數(shù)學(xué)中大量存在，有必要(byo)對這類函數(shù)作深入的討論(由此引入課題，并在黑板的左上角板書)函數(shù)的奇偶性首先讓學(xué)生打開代數(shù)課本P54，師生一起閱讀函數(shù)的奇偶性的定義即對于f(x)：1如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)2如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)根據(jù)定義，f(x)=x，g(x)=x2分別是什么函數(shù)生：f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)第3頁/共24頁第三頁，共25頁。師：下面通過一些

4、練習(xí)來熟悉函數(shù)的奇偶性定義例1 判斷下列(xili)函數(shù)是否具有奇偶性：(1)f(x)=x3；(2)f(x)=2x4+3x2；(讓四位學(xué)生在黑板上板書，其余學(xué)生作練習(xí))生：(1)f(-x)=(-x)3=-x3即f(-X)=-f(x)，所以f(x)=x3是奇函數(shù)(2)f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2即f(-x)=f(x)，所以f(x)=2x4+3x2是偶函數(shù) 第4頁/共24頁第四頁，共25頁。(4)f(-x)=-x+1，-x+1-f(x)，而且-x+1f(x)所以f(x)=x+1既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)師：初學(xué)函數(shù)的奇偶性應(yīng)注意，書寫格式要規(guī)范，過程不可隨意刪減，上述的描

5、述(mio sh)是完整的對于(4)當(dāng)f(x)不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)時，不能作如下的敘述(1)f(-x)(x)f(x)，f(x)不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)f(-x)f(x)，且f(-x)f(x)，f(x)不是奇偶函數(shù)對函數(shù)的奇偶性概念有了初步了解之后，現(xiàn)在來深人研究一下函數(shù)奇偶性定義我們知道數(shù)學(xué)的定義具有兩面性即它不僅可以作為判定的依據(jù)，同時它還具有性質(zhì)定理的作用，剛才解決例1就是利用定義的判定作用，下面大家探討一下函數(shù)具有奇偶性時它有哪些性質(zhì)呢？注意到函數(shù)奇偶性定義中“對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x”中“任意”的含義，并組合-x，x的幾何意義，可以得到這時函數(shù)的定義域應(yīng)具有什么特性？ 第5頁/

6、共24頁第五頁，共25頁。生：奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱師：反之若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，能否判定函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)呢？生：不行比如y=2x+1，它的定義域xR關(guān)于原點對稱，但顯然f(-x)f(x)，f(-x)f(x)它不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)師：對！一般地說，判定函數(shù)的奇偶性要考慮兩點，一是定義域，二是f(=x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立，初學(xué)(ch xu)時往往比較注意第二點而忽視定義域，如f(x)=x2，xR是偶函數(shù)，而改變定義域為xR+，f(x)=x2是否還是偶函數(shù)呢？為什么？生：因為對于函數(shù)f(x)=x2，xR+，f(1)=1，但-1不在定義域內(nèi)，f(-1

7、)不存在，談不上f(-1)=f(1)，即并不是對于函數(shù)定義域內(nèi)所有x的值，都有f(-x)=-f(x)成立，所以f(x)=x2(xR+)不是偶函數(shù)，顯然也不是奇函數(shù)師：講得好下面大家再來判斷下列函數(shù)的奇偶性第6頁/共24頁第六頁，共25頁。例2 判斷下列函數(shù)的奇偶性：生：它是偶函數(shù)師：為什么？生：因為對于定義域R內(nèi)任意一個x，都有f(x)=f(x)師：大家還有什么不同的看法(kn f)嗎？生：它還是奇函數(shù)師：為什么？生：因為對于任意xR，都有f(-x)=0，-f(x)=0，即f(-x)=-f(x)，所以f(x)還是奇函數(shù)師：對！f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，那么還能不能舉出既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的

8、例子呢？生甲：有！x=0就是生乙：不對！x=0不滿足函數(shù)的定義即一個x值x=0對應(yīng)著無窮多個y值，yR，因此x=0不是函數(shù)第7頁/共24頁第七頁，共25頁。師：言之有理，至于如何找這樣的函數(shù)我們(w men)還應(yīng)從函數(shù)的奇偶性定義出發(fā)生：如果f(x)在定義域M內(nèi)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，必須對M內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，且f(-x)=f(x)，即應(yīng)有-f(x)=f(x)，即f(x)=0，從此看出既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有f(x)=0師：以上回答基本正確，但美中不足的是忽略了函數(shù)的定義域xM，隨著定義域不同函數(shù)也不同，因此既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)有無數(shù)個，不過它們的表達式都是(

9、或可化為)f(x)=0的形式，所不同的只是它們的定義域?qū)τ?2)請一位同學(xué)說出你的判斷第8頁/共24頁第八頁，共25頁。生乙：f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)師：為什么？生：f(-1)=0，但f(1)不存在，事實上，這個函數(shù)的定義域不關(guān)于師：對！如果一個函數(shù)解析式比較復(fù)雜，且未指出其定義域，那么在判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再決定是否需要將解析式化簡，并用函數(shù)奇偶性定義加以判斷，以免導(dǎo)致錯誤課堂練習(xí)P57總結(jié)：這一節(jié)課主要學(xué)習(xí)函數(shù)奇偶性的概念以及奇偶性的判定方法判定函數(shù)的奇偶性時務(wù)必要注意先判定它的定義域是否關(guān)于原點對稱，初學(xué)者最容易忽略(hl)這一點當(dāng)定義域關(guān)于原點對稱時，若函數(shù)

10、式較簡單，可通過計算f(-x)后運用定義判斷；若函數(shù)式較為復(fù)雜，則應(yīng)設(shè)法恒等變形將其化簡為易知其奇偶性的形式來判斷第9頁/共24頁第九頁，共25頁。五、作業(yè)(zuy) 代數(shù)(上)P57中2、3；P59中8、9、12 六、板書設(shè)計第10頁/共24頁第十頁，共25頁。第二課時 一、素質(zhì)教育目標 (一)知識教學(xué)點1函數(shù)奇偶性的性質(zhì)定理2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(二)能力訓(xùn)練點1培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)概念進行判斷、推理的能力2加強化歸轉(zhuǎn)化能力的訓(xùn)練(三)德育滲透點1通過定理的證明培養(yǎng)學(xué)生探索(tn su)問題、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、歸納概括的能力2教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實際和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力 二、教學(xué)的重點、難點、疑點及解決辦法

11、1教學(xué)的重點和難點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)定理的證明和應(yīng)用第11頁/共24頁第十一頁，共25頁。2教學(xué)的疑點：奇函數(shù)或偶函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱或關(guān)于y軸對稱，反之不對奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)定理本質(zhì)是通過局部的函數(shù)性質(zhì)(如自變量取正值)來推斷它在整個定義域內(nèi)的圖象和性質(zhì)這一點對于初學(xué)者往往會認識不夠3解決辦法：熟悉函數(shù)奇偶性的定義，注意貫穿數(shù)形結(jié)合的方法 三、課時安排 本課題(kt)是函數(shù)奇偶性的第2課時 四、教學(xué)過程設(shè)計第12頁/共24頁第十二頁，共25頁。作出它們的示意圖(讓兩位學(xué)生上臺作圖，其余(qy)學(xué)生在練習(xí)本上練習(xí))師：觀察它們的圖象，說明它們具有怎樣的對稱性于y軸對稱師：能否具體說明一下在

12、坐標平面內(nèi)關(guān)于原點(關(guān)于中心對稱)和關(guān)于y軸(軸對稱)的含義第13頁/共24頁第十三頁，共25頁。生：坐標平面內(nèi)任意(rny)一點p(x，y)關(guān)于原點的對稱點p(-x，-y)即點p，點p關(guān)于原點成中心對稱p(x，y)關(guān)于y軸的對稱點的坐標p(-x，y)即1，p關(guān)于y軸成軸對稱師：下面我們一起來嚴格證明一下我們上述觀察得到的結(jié)果，即奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱圖形，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖象首先我們先來證明：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱圖形若在f(x)的圖象上任取一點p(a，f(a)，那么點1關(guān)于原點的對稱點是什么？生：p(-a，-f(a)師：利用奇函數(shù)的條件f(-x)=-f(x)，點

13、p(-a，-f(a)還可以寫成另一種形式嗎？生：可以由于-f(a)=f(-a)，所以p還可以寫為p(-a，f(-a)第14頁/共24頁第十四頁，共25頁。師：點p(-a，f(-a)與f(x)的圖象的位置關(guān)系如何？生：點p(-a，f(-a)恰是f(x)的圖象上的點師：這就是說，函數(shù)f(x)圖象上任意一點(x，y)關(guān)于原點的對稱點(-x，-y)都在f(x)的圖象上在這個定理的證明過程中我們通過點的對稱性推證得圖象的對稱性證明這一定理，大家考慮一下這一定理的作用是什么？(讓大家思考、討論、并請一位同學(xué)回答，其他同學(xué)補充)生：這個定理告訴我們對于奇函數(shù)的研究，可由取正值時(或取負值時)的圖象和性質(zhì)(x

14、ngzh)，來推斷它在整個定義域內(nèi)的圖象和性質(zhì)(xngzh)師：很好，對于數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)，不僅要弄懂它的含義、證明，而且還應(yīng)清楚它的作用或應(yīng)用是什么？用同樣的方法可以證明偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱這一證明請同學(xué)們課后作為作業(yè)證明一下第15頁/共24頁第十五頁，共25頁。例1 已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，它在y軸右邊的圖象如圖1-40所示，請畫出f(x)在y軸左邊的圖象請一位學(xué)生上臺合作示意圖，其他學(xué)生在練習(xí)本上作圖師：針對某些同學(xué)作圖時比較隨意的情況，強調(diào)作圖時應(yīng)注意幾點(1)在y軸右邊的圖象上取幾個(j )點，如A1、A2、A3、A4、A5(這些點一般應(yīng)該包括圖象曲線的最低、最高點等“關(guān)鍵”

15、點)如圖141第16頁/共24頁第十六頁，共25頁。(2)畫出這些點關(guān)于y軸的對稱點如點A1、A2、A3、A4、A5的對稱點分別為A1、A2、A3、A4、A5，如圖142(3)用一條平滑曲線把對稱點連結(jié)起來，例如用平滑曲線連結(jié)點A1、A2、A3、A4、A5后，就得到f(x)在y軸左邊(zu bian)的圖象例2 設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且x0時，f(x)=x2+3求當(dāng)x0時，f(x)的表達式第17頁/共24頁第十七頁，共25頁。師：解題要從圖143和定理兩方面去分析、解答(讓學(xué)生思考若干時間，師生邊議、邊敘、邊寫)設(shè)x0，則-x0f(x)=-f(-x)=-(-x)2+3=-x2-3，即當(dāng)x0時f(

16、x)=-x2-3解答此時要注意幾個問題：(i)求哪一個區(qū)域上的表達式，就應(yīng)在這一區(qū)域上求自變量x(如0，則-x0) (ii)利用f(x)=-f(-x)求得表達式f(x)即為所求，因為這時x已設(shè)x0初學(xué)者往往會從已知函數(shù)表達式的區(qū)域x0上去取自變量x，這會給解答帶來許多麻煩，應(yīng)當(dāng)回避(hub)這種做法第18頁/共24頁第十八頁，共25頁。例3 已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且在(，0)上是增函數(shù)，f(x)在(0，+)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？(讓學(xué)生思考討論若干時間)生：減函數(shù)師：為什么呢？生：因為根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，通過作圖可以(ky)知道這時在(0，+)是減函數(shù)第19頁/共24頁第十九頁，

17、共25頁。師：(在黑板上畫出示意圖1-44)能否根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義(dngy)加以證明呢？(讓學(xué)生思考、討論片刻，教師可作適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo))生：設(shè)x2x10，則-x1-x20f(x)為偶函數(shù)，f(-x1)=f(x1)f(-x2)=f(x2)且f(-x1)f(-x2)f(x2)-f(x1)=f(-x2)-f(-x1)0f(x2)f(x1)即在(0，)上f(x)為減函數(shù)師：正確，通過這一問題的解答可以看出對于函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性要從“形”和“數(shù)”兩方面去把握它，方能深入理解它第20頁/共24頁第二十頁，共25頁。(1)證明(zhngmng)它是偶函數(shù)；(2)求證f(x)0(讓學(xué)生思考若干時間，師生邊議

18、邊敘邊寫)(1)f(x)的定義域為x|x0，當(dāng)x0時，-x0f(-x)=f(x)f(x)為偶函數(shù)f(x)0，又由(1)證知f(x)為偶函數(shù)x0時，-x0且f(-x)0f(x)=f(-x)0針對大家在解答中的問題，提醒大家注意以下幾點第21頁/共24頁第二十一頁，共25頁。針對大家在解答中的問題，提醒大家注意以下幾點(i)判定函數(shù)的奇偶性首先應(yīng)先求定義域，因此先求x0是很重要的(ii)判定函數(shù)的奇偶性要從定義出發(fā)，即從f(-x)=f(x)入手(iv)對于(2)利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱的特點來理解問題就比較明晰了，這種通過自變量取正值的圖象和性質(zhì)來推斷它在整個定義域內(nèi)的圖象和性質(zhì)的方法(fngf)今后要經(jīng)常使用，希望大家切實掌握好總結(jié)：今天我們主要是學(xué)習(xí)函數(shù)奇偶性的圖象性質(zhì)定理和函數(shù)奇偶性的有關(guān)應(yīng)用希望課后認真閱讀一下書本，鞏固今天所學(xué)的內(nèi)容五、作業(yè) 代數(shù)(上)P58中練習(xí)4、5；P59習(xí)題10