高中數(shù)學(xué)講義微專(zhuān)題02充分條件與必要條件

1、- 1 - / 9 微專(zhuān)題 02 充分條件與必要條件 一、基礎(chǔ)知識(shí) 1、定義： （1）對(duì)于兩個(gè)條件, p q，如果命題“若p則q”是真命題，則稱(chēng)條件p能夠推出條件q，記為pq， （2）充分條件與必要條件：如果條件, p q滿足pq，則稱(chēng)條件p是條件q的充分條件；稱(chēng)條件q是條件p的必要條件 2、對(duì)于兩個(gè)條件而言，往往以其中一個(gè)條件為主角，考慮另一個(gè)條件與它的關(guān)系，這種關(guān)系既包含充分方面，也包含必要方面。所以在判斷時(shí)既要判斷“若p則q”的真假，也要判斷“若q則p”真假 3、兩個(gè)條件之間可能的充分必要關(guān)系： （1）p能推出q，但q推不出p，則稱(chēng)p是q的充分不必要條件 （2）p推不出q，但q能推出p，

2、則稱(chēng)p是q的必要不充分條件 （3）p能推出q，且q能推出p，記為pq，則稱(chēng)p是q的充要條件，也稱(chēng), p q等價(jià) （4）p推不出q，且q推不出p，則稱(chēng)p是q的既不充分也不必要條件 4、如何判斷兩個(gè)條件的充分必要關(guān)系 （1）通過(guò)命題手段，將兩個(gè)條件用“若，則”組成命題，通過(guò)判斷命題的真假來(lái)判斷出條件能否相互推出，進(jìn)而確定充分必要關(guān)系。例如2:1; :10p xq x= =，構(gòu)造命題：“若1x =，則210 x =”為真命題，所以pq，但“若210 x =，則1x =”為假命題（x還有可能為1），所以q不能推出p；綜上，p是q的充分不必要條件 （2）理解“充分”，“必要”詞語(yǔ)的含義并定性的判斷關(guān)系

3、充分：可從日常用語(yǔ)中的“充分”來(lái)理解，比如“小明對(duì)明天的考試做了充分的準(zhǔn)備”，何謂“充分”？這意味著小明不需要再做任何額外的工作，就可以直接考試了。在邏輯中充分也是類(lèi)似的含義，是指僅由p就可以得到結(jié)論q，而不需要再添加任何說(shuō)明與補(bǔ)充。以上題為例，對(duì)于條件:1p x =，不需再做任何說(shuō)明或添加任何條件，就可以得到2:10q x =所以可以說(shuō)p對(duì)q是“充分的”，而反觀q對(duì)p，由2:10q x =，要想得到:1p x =，還要補(bǔ)充一個(gè)前提：x不能取1，那既然還要補(bǔ)充，則說(shuō)明是“不充分的” - 2 - / 9 必要：也可從日常用語(yǔ)中的“必要”來(lái)理解，比如“心臟是人的一個(gè)必要器官”，何謂“必要”？沒(méi)有心

4、臟，人不可活，但是僅有心臟，沒(méi)有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”體現(xiàn)的就是“沒(méi)它不行，但是僅有它也未必行”的含義。仍以上題為例：如果2:10q x =不成立，那么x必然不為 1，但是僅靠2:10q x =想得到:1p x =也是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需要更多的補(bǔ)充條件，所以?xún)H僅是“必要的” （3）運(yùn)用集合作為工具 先看一個(gè)問(wèn)題：已知pq ,那么條件“xp”是“xq”的什么條件？ 由pq可得到：xpxq，且xq推不出xp，所以“xp”是“xq”充分不必要條件。通過(guò)這個(gè)問(wèn)題可以看出，如果兩個(gè)集合存在包含關(guān)系，那么其對(duì)應(yīng)條件之間也存在特定的充分必要關(guān)系。在求解時(shí)可以將滿足條件的元素構(gòu)成對(duì)應(yīng)集合，判斷出

5、兩個(gè)集合間的包含關(guān)系，進(jìn)而就可確定條件間的關(guān)系了。相關(guān)結(jié)論如下： pq：p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件 pq：p是q的充分條件 pq=：p是q的充要條件 此方法適用范圍較廣，尤其涉及到單變量取值范圍的條件時(shí)，不管是判斷充分必要關(guān)系還是利用關(guān)系解參數(shù)范圍，都可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合的包含問(wèn)題，進(jìn)而快捷求解。例如在2:1; :10p xq x= =中，滿足p的x取值集合為 1p =，而滿足q的x取值集合為1,1 所以pq，進(jìn)而判斷出p是q的充分不必要條件 5、關(guān)于“, pq”的充分必要關(guān)系：可從命題的角度進(jìn)行判斷。例如：p是q的充分不必要條件，則命題“若p，則q”為真命題，根據(jù)四類(lèi)命題的

6、真假關(guān)系，可得其逆否命題“若q，則p”也為真命題。所以q是p的充分不必要條件 二、典型例題： 例 1：已知2:31, :60pxq xx+，則p是q的（ ） a. 充要條件 b. 必要不充分條件 c. 充分不必要條件 d. 既不充分也不必要條件 思路：考慮利用集合求解：分別解不等式得到對(duì)應(yīng)集合。31131xx ，解- 3 - / 9 得：24x，即|24pxx=；2603xxx+ 或2x ，即|32qx xx= 或。所以pq，進(jìn)而p是q的充分不必要條件 答案：c 例 2：已知, a br，那么1122loglogab是33ab的（ ） a. 充要條件 b. 必要不充分條件 c. 充分不必要條件

7、 d. 既不充分也不必要條件 思路：本題若覺(jué)得不方便從條件中直接找到聯(lián)系，可先從一個(gè)條件入手推出其等價(jià)條件，再進(jìn)行判斷，比如“33ab”等價(jià)于ab，所以只需判斷1122loglogab與ab的關(guān)系即可。根據(jù)12logyx=的單調(diào)性可得：如果1122loglogab，則ab，但是若ab，在, a b大于零的前提下，才有1122loglogab，而題目中僅說(shuō)明, a br。所以不能推出。綜上可判斷1122loglogab是33ab的充分不必要條件 答案：c 小煉有話說(shuō)：（1）如果所給條件不方便直接判斷，那么可以尋找它們的等價(jià)條件（充要條件），再進(jìn)行判斷即可 （2）在1122loglogab推ab中

8、，因?yàn)?122loglogab是條件，表達(dá)式成立要求,0a b ，但是在ab推1122loglogab中，ab是條件，且對(duì), a b取值沒(méi)有特殊要求，所以, a br，那么作為結(jié)論的1122log,logab就不一定有意義了。在涉及到變量取值時(shí)要首先分清誰(shuí)是條件，誰(shuí)是結(jié)論。作為條件的一方默認(rèn)式子有意義，所以會(huì)對(duì)變量取值有一定的影響。 例 3：已知3:, :11p xk qx+，如果p是q的充分不必要條件，則k的取值范圍是_ 思路：設(shè)3|,|1|121px xkqxx xxx= +或，因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以pq，利用數(shù)軸可而判斷出2k 答案：2k 例 4：下面四個(gè)條件中，使ab成立的充

9、分而不必要的條件是（ ） - 4 - / 9 a. 1ab+ b. 1ab c. 22ab d. 33ab 思路：求ab的充分不必要條件，則這個(gè)條件能夠推出ab，且不能被ab推出?？梢钥紤]驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)。a 選項(xiàng)1ab+可以推出ab，而ab不一定能夠得到1ab+（比如1,1.5ab=），所以 a 符合條件。對(duì)于 b，c 兩個(gè)選項(xiàng)均不能推出 a，所以直接否定。而d 選項(xiàng)雖然可以得到ab，但是ab也能推出33ab，所以 d 是 a 的充要條件，不符題意 答案：a 例 5：（2015 浙江溫州中學(xué)高二期中考試）設(shè)集合1|0 ,|11xaxbx xax=+，則“1a =”是“ab ”的（ ） a. 充分

10、不必要條件 b. 必要不充分條件 c. 充要條件 d. 既不充分也不必要條件 思路：先解出兩個(gè)解集：()1,1a= ，b的解集與a的取值有關(guān)：若0a ，則b = ；若0a ，則()1,1baa=+，觀察條件，若1a =，則()0,2b =，所以ab 成立；若ab ，則通過(guò)數(shù)軸觀察區(qū)間可得a的取值為多個(gè)（比如12a =），所以“1a =”是“ab ”的充分不必要條件 答案：a 例 6：對(duì)于函數(shù)( ),yf x xr=，“( )yf x=的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)”是“( )yf x=是奇函數(shù)”的（ ） a. 充分不必要條件 b. 必要不充分條件 c. 充要條件 d. 既不充分也不必要條件 思路：如果(

11、)yf x=是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則( )yf x=中( )yf x=位于x軸下方的部分沿x軸對(duì)稱(chēng)翻上來(lái)，恰好圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，但( )yf x=的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)未必能得到( )yf x=是奇函數(shù)（例如( )2f xx=），所以“( )yf x=的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)”是“( )yf x=是奇函數(shù)”的必要不充分條件 - 5 - / 9 答案：b 例 7：已知, a br，則“221ab+”是“1ab+”的（ ） a. 充分不必要條件 b. 必要不充分條件 c. 充要條件 d. 既不充分也不必要條件 思路一：可以考慮利用特殊值來(lái)進(jìn)行判斷。比如考慮左右，可以舉出反例0.9,0.4ab=，則1a

12、b+不成立，所以左邊無(wú)法得到右邊。而右左能夠成立，所以“221ab+”是“1ab+”的必要不充分條件 思路二：本題也可以運(yùn)用集合的思想，將, a b視為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(), a b，則條件所對(duì)應(yīng)的集合為()()22,|1 ,|1pa babqa bab=+=+，作出兩個(gè)集合在坐標(biāo)系中的區(qū)域，觀察兩個(gè)區(qū)域可得pq，所以“221ab+”是“1ab+”的必要不充分條件 答案：b 例 8（2015 菏澤高三期中考試）：設(shè)條件p：實(shí)數(shù)x滿足22430(0)xaxaa+；條件q：實(shí)數(shù)x滿足2280 xx+且p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_ 思路：本題如果先將p，q寫(xiě)出，再利用條件關(guān)系運(yùn)算，盡管

13、可行，但p，q容易書(shū)寫(xiě)錯(cuò)誤。所以?xún)?yōu)先考慮使用原條件?！皃是q的必要不充分條件”等價(jià)于“q是p的必要不充分條件”，而, p q為兩個(gè)不等式，所以考慮求出解集再利用集合關(guān)系求解。 解：設(shè)22|430,0px xaxaa=+，可解得：()3 ,pa a=， 設(shè)2|280qx xx=+可解得：()(), 42,q = +， p是q的必要不充分條件 q是p的必要不充分條件 qp 0a 4a 答案：4a 例 9：數(shù)列 na滿足()111,0nnaar ar nnr+=+，則“1r =”是“數(shù)列 na成等差數(shù)列”的（ ） a. 充分不必要條件 b. 必要不充分條件 - 6 - / 9 c. 充要條件 d.

14、既不充分也不必要條件 思路：當(dāng)1r =時(shí)，可得11nnaa+=+，即 na成等差數(shù)列。所以“1r =”是“數(shù)列 na成等差數(shù)列”的充分條件。另一方面，如果 na成等差數(shù)列，則123,a a a 成等差數(shù)列，所以有()()()213121122121aaar arrarr arr rarr=+= += +，代入11a =可得：224212310rrrrr=+ + =，解得1r =或12r =，經(jīng)檢驗(yàn)，12r =時(shí)，2111122aa=+=，32111,22aa=+=利用數(shù)學(xué)歸納法可證得1na =，則 na也為等差數(shù)列（公差為 0），所以12r =符合題意。從而由“數(shù)列 na成等差數(shù)列”無(wú)法推出“

15、1r =”，所以“1r =”是“數(shù)列 na成等差數(shù)列”的不必要條件 答案: a 例 10：設(shè)02x，則2sin1xx 是sin1xx 的（ ） a. 充分不必要條件 b. 必要不充分條件 c. 充要條件 d. 既不充分也不必要條件 思路：因?yàn)?2x，所以0sin1x。故由sin1xx 可得sinsinsin1xxxx，即2sin1xx ，對(duì)于2sin1xx 能否推出sin1xx ，可考慮尋找各自等價(jià)條件：2211sin1sinsinxxxxxx ，1sin1sinxxxx ，通過(guò)數(shù)形結(jié)合可以得到符合1sinxx的x的集合是1sinxx的x集合的子集。所以2sin1xx 是sin1xx 的必要不

16、充分條件 答案：b 2.62.42.221.81.61.41.210.80.60.40.20.20.40.61.510.50.511.522.533.54h x( ) = sin x( )g x( ) = 1xf x( ) = 1x- 7 - / 9 三、近年模擬題題目精選 1、（2014，江西贛州高三摸底考試）若, a br，則“abab=+”是“0ab ”的（ ） a. 充分不必要條件 b. 必要不充分條件 c. 充要條件 d. 既不充分也不必要條件 2、（2014 南昌一模，3）設(shè), a b為向量，則“|= |a ba b”是“/ab”的（ ） a. 充分不必要條件 b. 必要不充分條件

17、 c. 充要條件 d. 既不充分也不必要條件 3、若, a br，則“ab成立”是“22ab成立”的（ ） a. 充分不必要條件 b. 必要不充分條件 c. 充要條件 d. 既不充分也不必要條件 4、（2014，北京）設(shè) na是公比為q的等比數(shù)列，則“1q ”是“ na為遞增數(shù)列”的( ) a. 充分不必要條件 b. 必要不充分條件 c. 充要條件 d. 既不充分也不必要條件 5、（2014 上海 13 校聯(lián)考，15）集合20 ,()()01xaxbx xa xbx=+，若“2a = ”是“ab ”的充分條件，則b的取值范圍是（ ） a. 1b b. 1b c. 1b d. 12b 6、（20

18、15，福建）“對(duì)任意的0,2x，sin coskxxx”是“1k ”的（ ） a. 充分不必要條件 b. 必要不充分條件 c. 充要條件 d. 既不充分也不必要條件 7、（2014 北京朝陽(yáng)一模，5）在abc中，4a=，2bc =，則“3ac =”是“3b =”的（ ） a. 充分不必要條件 b. 必要不充分條件 c. 充要條件 d. 既不充分也不必要條件 8、（2014 湖北黃岡月考，4）已知條件3:4p k =，條件q：直線()21yk x=+與圓224xy+=相切，則p是q的（ ） a充分不必要條件 b必要不充分條件 c充要條件 d既不充分又不必要條件 9、(2014 陜西五校二模，1）

19、命題:p xr且滿足sin21x =.命題:q xr且滿足tan1x =.則p是q的（ ） a. 充分不必要條件 b. 必要不充分條件 c. 充要條件 d. 既不充分也不必要條件 - 8 - / 9 10、（2015 北京理科）設(shè), 是兩個(gè)不同的平面，m是直線且m則“m”是“”的（ ） a. 充分不必要條件 b. 必要不充分條件 c. 充要條件 d. 既不充分也不必要條件 11、（2016，上海交大附中期中）條件“對(duì)任意0, sin cos2xkxxx”是“1k ”的（ ） a. 充分而不必要條件 b. 必要而不充分條件 c. 充分必要條件 d. 既不充分也不必要條件 習(xí)題答案：習(xí)題答案： 1

20、、答案：b 解析：從集合的角度來(lái)看，滿足abab=+條件的(), a b取值范圍是0ab 或0ab =，所以可知“abab=+”是“0ab ”的必要不充分條件 2、答案：c 解析：=,a ba ba ba ba b的夾角為0,，從而等價(jià)于/ab 3、答案：c 解析：由不等式性質(zhì)可知：0ab，則22ab即22ab，反之若22ab，則22ab即ab 4、答案：d 解析：若 na的項(xiàng)均為負(fù)項(xiàng)，則“1q ”，“ na為遞增數(shù)列”之間無(wú)法相互推出，所以?xún)蓷l件既不充分也不必要 5、答案：b 解析：():1,2a，()():20bxxb+，因?yàn)閍b ，由數(shù)軸可得：1b 即可 6、答案：b 解析：左側(cè)條件中恒成立不等式可化為sin202kxx，設(shè)( )sin22kf xxx=，可知( )00f=， 所 以 若( )f x為 減 函 數(shù) ， 則