高考數(shù)學一輪復習第4節(jié)　二倍角公式

1、1 / 14 第 4節(jié) 二倍角公式 知 識 梳 理 二倍角公式 sin 22sin_cos_，cos 2cos2sin22cos2112sin2，tan 22tan 1tan2 二倍角公式變形 (1)升降冪公式：cos21cos 22；sin21cos 22； sin cos 12sin 2. (2)配方變形公式：1cos 22cos2；1cos 22sin2；1 2sin cos (sin cos )2. 診 斷 自 測 1判斷下列說法的正誤 (1)二倍角的正弦、余弦公式對任意角都成立( ) (2)二倍角正切公式左右兩端有意義的范圍不完全相同( ) (3)在使左右兩端都有意義的條件下，二倍角

2、正切公式才成立( ) (4)不存在 ，使 tan 22tan .( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 解析 當 0 時，tan 22tan ，(4)不正確，如 0. 2(2020 金華十校期末調研)已知 x2，2，sin x35，則 tan 2x( ) a.724 b724 c.247 d247 答案 d 解析 因為 x2，2，sin x35，所以 cos x 1sin2x45，tan xsin xcos x34，則 tan 2x2tan x1tan2x247，故選 d. 3若 52，72，則 1sin 1sin 的值為( ) 2 / 14 a2cos 2 b2cos 2 c2sin

3、2 d2sin 2 答案 d 解析 52，72，54274， 1sin 1sin sin2cos2sin2cos2 sin2cos2sin2cos22sin2. 4已知函數(shù) f(x)cos24x cos24x ，則 f12的值為( ) a.12 b12 c.32 d32 答案 b 解析 4x 4x 2， cos4x sin4x ， f(x)cos24x cos24x cos24x sin24x cos22x sin 2x， 故 f12sin612. 5已知 tan42，則 cos 2 的值是_ 答案 45 解析 因為 tan42，所以 cos 2sin222sin4cos4sin24cos24

4、2tan4tan24145. 6若 sin 13，tan 0，則 cos _，tan 2_ 3 / 14 答案 2 23 4 27 解析 由題意知，因為 sin 0，tan 0，所以 cos 0，又 sin2cos21，故 cos 2 23， 又由 tan sin cos 24，tan 22tan 1tan2， 可知 tan 24 27. 考點一 二倍角公式的正用 【例 1】 (1)(2019 全國卷)已知 0，2，2sin 2cos 21，則 sin ( ) a.15 b.55 c.33 d.2 55 (2)已知 sin cos 43，則 sin 2( ) a79 b29 c.29 d.79

5、 答案 (1)b (2)a 解析 (1)由 2sin 2cos 21，得 4sin cos 2cos2. 又 0，2，所以 2sin cos ，又 sin2cos21，所以 sin215，所以 sin 55. (2)sin 22sin cos （sin cos ）21179. 感悟升華 二倍角公式與其他公式應用時注意：“化異為同”，即“化異次為同次，化異角為同角” 【訓練 1】 (1)(一題多解)已知 為銳角，且 tan 34，則 sin 2( ) a.35 b.45 c.1225 d.2425 (2)若 cos 22cos4，(0，)，則 sin 2_，tan _ 答案 (1)d (2)1

6、1 4 / 14 解析 (1)法一 sin 22sin cos sin2cos22tan tan2123491612425，故選 d. 法二 由 為銳角，且 tan 34，得 sin 35，cos 45，所以 sin 22sin cos 235452425，故選 d. (2)cos 22cos4，(0，)，得 cos2sin2 2cos 2sin ，(0，)，即(cos sin )(cos sin ) 2(cos sin ) ，(0，)，當 cos sin 0 時，4；當 cos sin 0 時，式化簡為 cos sin 2，(0，)，即 sin41，(0，)，即 4，綜上所述，4，則 sin

7、 2sin21， tan tan41. 考點二 二倍角公式的逆用 【例 2】 (1)4cos 50 tan 40 ( ) a. 2 b.2 32 c. 3 d2 21 (2)cos 20 cos 40 cos 60 cos 80 _ 答案 (1)c (2)116 解析 (1)原式4sin 40 sin 40cos 40 4cos 40 sin 40 sin 40cos 402sin 80 sin 40cos 40 2sin（120 40 ）sin 40cos 403cos 40 sin 40 sin 40cos 40 3cos 40cos 40 3，故選 c. 5 / 14 (2)原式cos

8、20 cos 40 12 cos 80 12sin 20 cos 20 cos 40 cos 80sin 20 14sin 40 cos 40 cos 80sin 20 18sin 80 cos 80sin 20116sin 160sin 20 116. 感悟升華 利用二倍角公式可對形如 cos cos 2cos 4cos 2n 的式子進行化簡和計算 【訓練 2】 (1)化簡：2cos42cos2122tan4 sin24_ (2)計算：3tan 12 3sin 12 （4cos212 2）_ 答案 (1)12cos 2 (2)4 3 解析 (1)原式12（4cos44cos21）2 sin4

9、cos4 cos24 （2cos21）24sin4 cos4cos222sin22 cos222cos 212cos 2. (2)原式3sin 12cos 12 32sin 12 cos 242 312sin 12 32cos 12cos 122sin 12 cos 24 2 3sin（12 60 ）2sin 12 cos 12 cos 242 3sin（48 ）sin 24 cos 24 6 / 14 2 3sin 4812sin 484 3. 考點三 二倍角公式的變形應用 【例 3】 化簡下列各式： (1) 22cos 82 1sin 8_ (2)（1sin cos ）cos2sin222

10、cos (0)_ 答案 (1)2sin 4 (2)cos 解析 (1)原式 4cos242 （sin 4cos 4）2 2|cos 4|2|sin 4cos 4|， 因為54432，所以 cos 40，且 sin 4cos 4， 所以原式2cos 42(sin 4cos 4)2sin 4. (2)原式2cos222sin2cos2cos2sin24cos22 cos2cos22sin22cos2cos2cos cos2. 因為 0，所以 020，所以原式cos . 感悟升華 二倍角公式的常見變形有 1cos 22sin2，1cos 22cos2，1 2sin cos (sin cos )2，及

11、 cos21cos 22，sin21cos 22，sin cos 12sin 2等 【訓練 3】 求值：1cos 202sin 20sin 101tan 5tan 5. 解 原式2cos21022sin 10 cos 10sin 10cos 5sin 5sin 5cos 5 cos 102sin 10sin 10 cos25 sin25sin 5 cos 5 7 / 14 cos 102sin 10sin 10 cos 1012sin 10 cos 102sin 102cos 10 cos 10 4sin 10 cos 102sin 10 cos 10 2sin 202sin 10 cos 1

12、0 2sin（30 10 ）2sin 10 cos 10 212cos 10 32sin 102sin 10 3sin 102sin 1032. 基礎鞏固題組 一、選擇題 1化簡2sin 21cos 2cos2cos 2的結果為( ) atan btan 2 c1 d.12 答案 b 解析 原式2sin 22cos2cos2cos 2sin 2cos 2tan 2. 2若 tan 13，則 cos 2( ) a45 b15 c.15 d.45 答案 d 解析 tan 13，則 cos 2cos2sin2cos2sin2cos2sin21tan21tan245. 3cos9 cos29 cos2

13、39( ) a18 b116 c.116 d.18 答案 a 解析 cos9 cos29 cos239 cos 20 cos 40 cos 100 cos 20 cos 40 cos 80 8 / 14 sin 20 cos 20 cos 40 cos 80sin 20 12sin 40 cos 40 cos 80sin 20 14sin 80 cos 80sin 20 18sin 160sin 2018sin 20sin 2018. 4化簡 sin26sin26sin2 的結果是( ) a.32 b.22 c.12 d.13 答案 c 解析 原式1cos2321cos232sin2 112c

14、os23cos23sin2 1122cos 2cos 31cos 2212. 5設 a12cos 2 32sin 2 ，b2tan 141tan214，c1cos 502，則有( ) aacb babc cbca dcab 答案 d 解析 由題意可知，asin 28 ，btan 28 ，csin 25 ， cab. 6(2019 全國卷)函數(shù) f(x)2sin xsin 2x 在0，2的零點個數(shù)為( ) a2 b3 c4 d5 答案 b 解析 令 f(x)0，得 2sin xsin 2x0， 即 2sin x2sin xcos x0， 2sin x(1cos x)0，sin x0或 cos x

15、1. 又 x0，2， 由 sin x0得 x0，或 2，由 cos x1得 x0或 2. 9 / 14 故函數(shù) f(x)的零點為 0，2，共 3個 故選 b. 二、填空題 7若 cos313，則 sin26的值是_ 答案 79 解析 sin26sin232 cos 232cos231219179. 8已知 0，2，且 sin4210，則 tan 2_ 答案 247 解析 sin4210，得 sin cos 15， 0，2，平方得 2sin cos 2425，可求得 sin cos 75，sin 45，cos 35，tan 43，tan 22tan 1tan2 247. 9已知 cos4sin4

16、23，且 0，2，則 cos23 _ 答案 2 156 解析 cos4sin4(sin2cos2)(cos2sin2)cos 223，又 0，2，2(0，)， sin 2 1cos2253， cos2312cos 232sin 2 122332532 156. 10已知 0，4，且 sin cos 144，則2cos21cos4_ 答案 32 10 / 14 解析 sin cos 144，即 cos sin 144， 2cos4144，即cos474. 0，4，4432，所以 f4f6. (2)因為 f(x)2sin x(12sin2x) 2sin2x2sin x1 2sin x12232，

17、令 tsin x，t1，1，所以 y2t12232， 因為對稱軸 t12， 根據(jù)二次函數(shù)性質知，當 t1時，函數(shù)取得最大值 3. 12(2021 七彩陽光聯(lián)盟三聯(lián))已知角 的頂點與原點重合，始邊與 x 軸的非負半11 / 14 軸重合，終邊在直線 y2x 上 (1)求 cos 2 的值； (2)若角 滿足 tan(2)1，求 tan 的值 解 (1)由已知得 tan 2， 所以 cos 2cos2sin2cos2sin2cos2sin21tan21tan2 35. (2)由(1)知 tan 22tan 1tan243， 而 tan tan2(2)tan 2tan（2）1tan 2tan（2）

18、43114317. 能力提升題組 13(2018 全國卷)已知角 的頂點為坐標原點，始邊與 x 軸的非負半軸重合，終邊上有兩點 a(1，a)，b(2，b)，且 cos 223，則|ab|( ) a.15 b.55 c.2 55 d1 答案 b 解析 由題意知 cos 0.因為 cos 22cos2123，所以 cos 306，sin 66，得|tan |55.由題意知|tan |ab12，所以|ab|55.故選 b. 14已知不等式 f(x)3 2sin x4cos x46cos2x462m0 對于任意的56x6恒成立，則實數(shù) m的取值范圍是( ) a 3，) b(， 3) c(， 3 d 3

19、， 3 答案 c 12 / 14 解析 f(x)3 22sin x262 2cos2x41 m 632sin x212cos x2m0， m 6sin x26，x56，6， 令 g(x) 6sinx26，x56，6， 4x264， g(x)min 3，m(， 3 15(一題多解)(2019 江蘇卷)已知tan tan423，則 sin24的值是_ 答案 210 解析 法一 由tan tan4tan tan 11tan tan （1tan ）tan 123，解得 tan 2 或13. sin2422()sin 2cos 2 22(2sin cos 2cos21) 2(sin cos cos2)22 2sin cos cos2sin2cos222 2tan 1tan2122， 將 tan 2和13分別代入得 sin24210. 法二 tan tan4sin cos4cos sin423， sin cos423cos sin4. 13 / 14 又 sin 4sin4 sin4cos cos4sin 22， 由解得 sin cos425， cos sin43 210. sin24sin4 sin cos4cos sin4210. 16若 4，2，sin 23 78，則 sin _；cos23_ 答案 34 3 21116 解析 因為 sin 23 78，4，2，所以 sin