(word完整版)初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線大全,推薦文檔

1、1 人教版北師大初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔 助線大全 人們從來就是用自己的聰明才智創(chuàng)造條件解決問題的，當(dāng)問題的條件 不夠時(shí)，添加輔助線構(gòu)成新圖形，形成新關(guān)系，使分散的條件集中，建立 已知與未知的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化為自己能解決的問題，這是解決問題常用 的策略。 一 添輔助線有二種情況： 1 按定義添輔助線： 如證明二直線垂直可延長(zhǎng)使它們 ,相交后證交角為 90 ；證線段倍半關(guān) 系可倍線段取中點(diǎn)或半線段加倍；證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線。 2 按基本圖形添輔助線： 每個(gè)幾何定理都有與它相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，我們 把它叫做基本圖形， 添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時(shí)補(bǔ)完整基本圖 形，

2、因此“添線”應(yīng)該叫做“補(bǔ)圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有 規(guī)律可循。舉例如下： （1）平行線是個(gè)基本圖形： 當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線時(shí)添輔助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都相交的等 第三條直線 （2）等腰三角形是個(gè)簡(jiǎn)單的基本圖形： 當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線段時(shí)往往要補(bǔ)完整等腰三角 形。 出現(xiàn)角平分線與平行線組合時(shí)可延長(zhǎng)平行線與角的二邊相交得等腰三 角形。 （3）等腰三角形中的重要線段是個(gè)重要的基本圖形： 出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分線與垂線 組合時(shí)可延長(zhǎng)垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段 的基本圖形。 （4）直角三角形斜邊上中線基本圖形 出現(xiàn)直角三角形斜邊上

3、的中點(diǎn)往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)線段倍半關(guān) 系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三 角形斜邊上中線基本圖形。 2 （5）三角形中位線基本圖形 幾何問題中出現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn)時(shí)往往添加三角形中位線基本圖形進(jìn)行證明 當(dāng)有中點(diǎn)沒有中位線時(shí)則添中位線，當(dāng)有中位線三角形不完整時(shí)則需補(bǔ)完 整三角形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與倍線段有公共端點(diǎn)的線段帶一個(gè)中點(diǎn) 則可過這中點(diǎn)添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形； 當(dāng)出現(xiàn)線段倍 半關(guān)系且與半線段的端點(diǎn)是某線段的中點(diǎn)，則可過帶中點(diǎn)線段的端點(diǎn)添半 線段的平行線得三角形中位線基本圖形。 （6）全等三角形： 全等三角形有軸對(duì)稱形，中心對(duì)稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形

4、等；如果出現(xiàn) 兩條相等線段或兩個(gè)檔相等角關(guān)于某一直線成軸對(duì)稱就可以添加軸對(duì)稱形 全等三角形：或添對(duì)稱軸，或?qū)⑷切窝貙?duì)稱軸翻轉(zhuǎn)。 當(dāng)幾何問題中出現(xiàn) 一組或兩組相等線段位于一組對(duì)頂角兩邊且成一直線時(shí)可添加中心對(duì)稱形 全等三角形加以證明，添加方法是將四個(gè)端點(diǎn)兩兩連結(jié)或過二端點(diǎn)添平行 線 （7）相似三角形： 相似三角形有平行線型（帶平行線的相似三角形），相交線型，旋轉(zhuǎn) 型；當(dāng)出現(xiàn)相比線段重疊在一直線上時(shí)（中點(diǎn)可看成比為 1 ）可添加平行線 得平行線型相似三角形。若平行線過端點(diǎn)添則可以分點(diǎn)或另一端點(diǎn)的線段 為平行方向，這類題目中往往有多種淺線方法。 （8）特殊角直角三角形 當(dāng)出現(xiàn) 30，45，60，1

5、35 ，150 度特殊角時(shí)可添加特殊角直角三角形， 利用45角直角三角形三邊比為 1:1:22 ; 30度角直角三角形三邊比為 1 : 2: 23進(jìn)行證明 （9）半圓上的圓周角 出現(xiàn)直徑與半圓上的點(diǎn)，添 90 度的圓周角;出現(xiàn) 90 度的圓周角則添 它所對(duì)弦 - 直徑;平面幾何中總共只有二十多個(gè)基本圖形就像房子不外有 一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一樣。 二基本圖形的輔助線的畫法 1 .三角形問題添加輔助線方法 3 方法 1:有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點(diǎn)的題目，常常利 用三角形的中位線， 通過這種方法， 把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移， 很容易地解決了 問題。 方法 2:含有平分線的題

6、目，常以角平分線為對(duì)稱軸，利用角平分線的性質(zhì) 和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識(shí)解決問題。 方法 3:結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于 平分線段的一些定理。 方法 4:結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采 用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法， 所謂截長(zhǎng)法就是把第三條線段分成兩部分， 證其中的一部分 等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。 2. 平行四邊形中常用輔助線的添法 平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線都具有 某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處， 目的都是造就線段的平行、 垂直，構(gòu)成三角形的全等、

7、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方 形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡(jiǎn)解如下： （1）連對(duì)角線或平移對(duì)角線： （2）過頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)造直角三角形 （3）連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造 線段平行或中位線 （4）連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)這條線段，構(gòu)造三角形相似或等 積三角形。 （5 ）過頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等 . 3. 梯形中常用輔助線的添法 梯形是一種特殊的四邊形。 它是平行四邊形、 三角形知識(shí)的綜合， 通過添加 適當(dāng)?shù)妮o助4 線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。 輔助線的 添加成為問題解決的橋梁

8、，梯形中常用到的輔助線有： （1）在梯形內(nèi)部平移一腰。 （2）梯形外平移一腰 （3）梯形內(nèi)平移兩腰 （4）延長(zhǎng)兩腰 （5）過梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高 （6）平移對(duì)角線 （7）連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。 （8）過一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線。 （9）作中位線 當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計(jì)算中， 添加的輔助線并不一定是固定不變的、 單 一的。通過輔助線這座橋梁， 將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來 解決，這是解決問題的關(guān)鍵。 4. 圓中常用輔助線的添法 在平面幾何中， 解決與圓有關(guān)的問題時(shí)， 常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線， 架起 題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從而使問題化難為易，順其自然地得到解決，因此

9、，靈活 掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見方法， 對(duì)提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力是 大有幫助的。 （1）見弦作弦心距 有關(guān)弦的問題，常作其弦心距（有時(shí)還須作出相應(yīng)的半徑），通過垂徑平分 定理，來溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。 （2）見直徑作圓周角 在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對(duì)的圓周角，利用 直徑所對(duì)的 圓周角是直角 這一特征來證明問題。 （3）見切線作半徑 命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過切點(diǎn)的半徑，利用 切線與半徑 垂直 這一性質(zhì)來證明問題。 5 （4）兩圓相切作公切線 對(duì)兩圓相切的問題， 一般是經(jīng)過切點(diǎn)作兩圓的公切線或作它們的連心線， 通 過公切線可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。 （

10、5）兩圓相交作公共弦 對(duì)兩圓相交的問題， 通常是作出公共弦， 通過公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來， 又可以 把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來。 作輔助線的方法 一：中點(diǎn)、中位線，延線，平行線。 如遇條件中有中點(diǎn)，中線、中位線等，那么過中點(diǎn)，延長(zhǎng)中線或中位線作輔助線，使延 長(zhǎng)的某一段等于中線或中位線； 另一種輔助線是過中點(diǎn)作已知邊或線段的平行線， 以達(dá)到應(yīng) 用某個(gè)定理或造成全等的目的。 二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。 如遇條件中，有垂線或角的平分線， 可以把圖形按軸對(duì)稱的方法， 并借助其他條件，而 旋轉(zhuǎn) 180 度，得到全等形， ，這時(shí)輔助線的做法就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱軸往往是垂線或角的 平分線。

11、三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn)。 如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等， 有時(shí)邊角互相配合， 然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定 的角度，就可以得到全等形，這時(shí)輔助線的做法仍會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱中心，因題而異，有 時(shí)沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉(zhuǎn)兩種。 四:造角、平、相似，和、差、積、商見。 如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等， 欲證線段或角的和差積商， 往往與相似形 有關(guān)。在制造兩個(gè)三角形相似時(shí)，一般地，有兩種方法：第一，造一個(gè)輔助角等于已知角； 第二，是把三角形中的某一線段進(jìn)行平移。故作歌訣： “造角、平、相似，和差積商見。 ” 托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表） 6 五：

12、兩圓若相交，連心公共弦。 如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線往往是連心線或公共弦。 六：兩圓相切、離，連心，公切線。 如條件中出現(xiàn)兩圓相切（外切，內(nèi)切） ，或相離（內(nèi)含、外離） ，那么，輔助線往往是連 心線或內(nèi)外公切線。 七：切線連直徑，直角與半圓。 如果條件中出現(xiàn)圓的切線， 那么輔助線是過切點(diǎn)的直徑或半徑使出現(xiàn)直角； 相反， 條件 中是圓的直徑，半徑，那么輔助線是過直徑（或半徑）端點(diǎn)的切線。即切線與直徑互為輔助 線。 如果條件中有直角三角形，那么作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相反， 條件中有半圓，那么在直徑上找圓周角直角為輔助線。即直角與半圓互為輔助線。 八：弧、弦、弦心距；平行

13、、等距、弦。 如遇弧，則弧上的弦是輔助線；如遇弦，則弦心距為輔助線。 如遇平行線，則平行線間的距離相等，距離為輔助線；反之，亦成立。 如遇平行弦， 則平行線間的距離相等， 所夾的弦亦相等， 距離和所夾的弦都可視為輔助 線，反之，亦成立。 有時(shí)，圓周角，弦切角，圓心角，圓內(nèi)角和圓外角也存在因果關(guān)系互相聯(lián)想作輔助線。 九：面積找底高，多邊變?nèi)叀?如遇求面積，（在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積） ，往往作底或 高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。 如遇多邊形，想法割補(bǔ)成三角形；反之，亦成立。 另外，我國明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理， 其輔助線的做法， 即“割補(bǔ)” 有二

14、百多種， 大多數(shù)為“面積找7 底高，多邊變?nèi)叀?。8 三角形中作輔助線的常用方法舉例 一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)， 若直接證不出來，可連接兩點(diǎn) 或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中， 再運(yùn)用三 角形三邊的不等關(guān)系證明，如： 例1 已知如圖1-1 : D E ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB + AC BD+ DE+ CE. 證明：（法一）將DE兩邊延長(zhǎng)分別交 AB AC于M N 在厶 AMN中, AM- AN MD+ DE+ NE; (1) 在厶 BDM中, MBF MD BD (2) 在厶 CEN中, CW NE CE; ( 3) 由(1) + ( 2) +

15、 ( 3)得： AM + AN+ MB+ MD CN+ NE MD DE+ NE+ BD+ CE （法二：）如圖1-2，延長(zhǎng)BD交AC于F，延長(zhǎng)CE交BF于G 在厶ABF和厶GFCD GDE中有： AB + AF BD+ DGF GF （三角形兩邊之和大于第三邊） （1） GF + FC GE+ CE(同上) . ( 2) DG + GE DE(同上) . ( 3) 由(1) + ( 2) + ( 3)得： AB + AF+ GF+ FC+ DGF GE BD+ D(+ GF+ GH CE+ DE - AB+ AC BD+ DE+ EG 二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證

16、不出來時(shí)， 可連 接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上， 小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：B 圖1 1 C AB+ AC BD+ DE+ EC A 9 例如：如圖 2-1 :已知 D為厶ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：/ BDOZ BAC 因?yàn)?BDC與/BAC不在同一個(gè)三角形中， 沒有直接的聯(lián)系, PBWfWWUWVWWVrWiBWVWWWWWWVWWWvVvaWUaWW*WWWVWWU_WW*W1-WWMaWWWWWVW VMVWWWWUiVWWWVWWHiWWWMM1VWWW* 可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形， 使/BDC處于在外角的位置，/ La

17、e1 l =L”fl Efrr1 v r= v ll mr-Lr WL C -l *f-ar BAC處于在內(nèi)角的位置； 證法一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E,這時(shí)/ BDCA EDCF外角, / BDC/ DEC 同理/ DEO/ BAC/ BDC/ BAC 證法二：連接 AD,并延長(zhǎng)交BC于F / BDF ABD的外角 / BDF/ BAD 同理，/ CDF/ CAD / BDH/ CDF/ BADb/ CAD 即：/ BDC/ BAC 注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角 放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。 三、有角平分線時(shí)，通常在角的兩

18、邊截取相等的線段，構(gòu) 造全等三角形，如： 例如：如圖 3-1 :已知 AD%A ABC的中線，且/ 1 = / 2, / 3=/ 4,求證：BE+ CF EF。 分析：要證 BE+ CF EF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須 把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知/ 1 =/2，/3 = / 4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把 個(gè)三角形中。 A?1_WLIVWIArfVW7_AUIWW-l,W 證明：在DA上截取DN= DB,連接NE, NF,貝U DN= DC 在厶 DBE和 DNE中:分析: 卜7 丁EN，F(xiàn)N，EF移到同一 D 10 DN DB（輔助線

19、的作法） T 1 2（已知） ED ED（公共邊） DBEA DNE （SAS BE= NE （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 同理可得：CF= NF 在AEFN中EN+ FN EF （三角形兩邊之和大于第三邊） BE+ CF EF。 注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后 用全等三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)元素相等。1 11 EF= MF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 在ACM沖，CF+ CM MF （三角形兩邊之和大于第三邊） BE+ CF EF 注：上題也可加倍 FD,證法同上。 注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形, 1

20、- - - - - 1 - = -i. .111. .1 . - -I. 11 11 -11- - - - _ * - - - i” _j _J g ” _ _ -I-.- * BE= CA （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 在 ABE中有：AB+ BE AE（三角形兩邊之和大于第三邊） AB+ AC 2AD （常延長(zhǎng)中線加倍，構(gòu)造全等三角形） AN 等于 AC,得 AB AC = BN , 再連接 PN，貝U PC= PN,又在 PNB 中，PB PN V BN , 即：AB AC PB PC。 證明：（截長(zhǎng)法） 在AB上截取 AN= AC連接PN , 在厶APND APC中 AN AC（輔助線的作

21、法） 1 2（已知） AP AP（公共邊） APNm APC （ SAS PC= PN （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 在 BPN中，有PB PN2ADb 證明：分別延長(zhǎng) DA CB它們的延長(zhǎng)交于 E點(diǎn), / AD丄AC BC丄BD （已知） / CAE=Z DBE = 90 （垂直的定義） 在厶DBE與 CAE中 E E（公共角） DBE CAE（已證） BD AC（已 知） DBEm CAE （ AAS ED= EC EB = EA （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） AD ABC的 中線 （已知） 13 練習(xí)：已知 ABC, AD是BC邊上的中線，分別以 AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰 直角三角形

22、，如圖 5-2， 求證EF= 2AD。 六、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線 例如：已知如圖 6-1 :在 ABC中，AB AC / 1 = Z 2, P為AD上任一點(diǎn)。求證： AB- AC PB- PC, 分析：要證：AB AC PB PC,想到利用三角形三邊關(guān) 系定理證之，因?yàn)橛C的是線段之差，故用兩邊之差小于第 -11- jij .- - - e 三邊，從而想到構(gòu)造第三邊 AB AC,故可在 AB上截取C 2；i M 14 ABPA AMP （ SAS PB= PM （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 又在 PCM中有：CM PM- PC（三角形兩邊之差小于第三邊 ） AB- AC PB- PC 七、延長(zhǎng)已知邊

23、構(gòu)造三角形: 例如：如圖 7-1 :已知 AC= BD, AD丄AC于A , BC丄BD于B, 求證：AD= BC 分析：欲證AD = BC,先證分別含有 AD, BC的三角形全等，有幾種方案：AADC與ABCD , AOD與BOCMBD與ABAC,但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可15 證明：連接AC （或BD /AB/ CD AD/ BC （已知） 1 = Z 2,Z 3=Z 4 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） 在厶 ABC CDA中 1 2（已證） T AC CA（公共邊） 3 4（已證） ABCA CDA （ASA） AB= CD （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 九、有和角平分線垂

24、直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。 例如：如圖 9-1 :在 Rt ABC中，AB= AC, / BAC= 90,/ 1 = Z 2, CE! BD的延長(zhǎng)于 E。 求證：BD= 2CE 分析：要證BD = 2CE，想到要構(gòu)造線段 2CE，同時(shí)CE 卩卩 / 與/ABC的平分線垂直，想到要將其延長(zhǎng)。 A E 證明：分別延長(zhǎng) BA CE交于點(diǎn)F。 D BE! CF （已知） 2 _ 一 B C / BEF=/ BEC= 90 （垂直的定義） 圖9 在厶BEF與厶BEC中， 1 2（已知） BE BE（公共邊） BEF BEC（已證） 1 BEFA BEC（ASA） CE=FE CF （全等三角形對(duì)應(yīng)

25、邊相等） 2 / BAC=90 BE 丄 CF （已知） / BAC=/ CAF= 90 / 1 + / BDA= 90/ 1 + / BFC= 90 / BDA=/ BFC 在厶ABD與 ACF中16 BAC CAF （已證） BDA BFC （已證） AB = AC（已 知） ABDA ACF （AAS 二 BA CF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） / BD= 2CE 十、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形 例如：已知：如圖 10-1 ； AC BD相交于 0點(diǎn)，且 AB= DC AC= BD,求證：/ A=Z D。 分析：要證/ A = ZD，可證它們所在的三角形 ABO和ADCO全等，而只有 AB

26、 = DC和對(duì) 頂角兩個(gè)條件，差一個(gè)條件，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由 AB = DC， AC = BD，若連接 BC，則AABC 和ADCB全等，所以，證得/ A = ZD。 HHi=i FmnmEN nHi=i nmn*aim nBi=wRnRrinai n e*rwm m* * 證明：連接 BC,在 ABCDA DCB中 AB DC （已知） AC DB （已知） BC CB（公共邊） 圖10 1 ABCA DCB （SSS） / A=Z D （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 十一、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。 例如：如圖 11-1 : AB= DC / A=Z D 求證：/ ABC

27、=Z DCB 分析：由AB = DC，ZA = ZD，想到如取 AD的中點(diǎn)N，連接NB，NC，再由SAS公理有 ABN /DCN，故 BN = CN，/ABN =ZDCN。下面只需證/ NBC =ZNCB，再取 BC 的中點(diǎn) M，連接MN，則由SSS公理有 NBM JNCM，所以/ NBC = ZNCB。問題得證。 證明：取 AD, BC的中點(diǎn) N、M連接 NB NM NC貝U AN=DN BM=C皿在厶ABN和厶DCN AN DN （輔助線的作法） A D （已知） AB DC （已知） ABNA DCN （ SAS 圖11 1 17 / ABNkZ DCN NB = NC （全等三角形對(duì)應(yīng)

28、邊、角相等） 在厶 NBMWA NCM中 NB = NC（已證） BM = CM （輔助線的作法） NM = NM （公共邊） NMB2A NCM （SSS） NBC=Z NCB （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等） NBOZ ABN = Z NCBFZ DCN 即/ ABC=Z DCB18 巧求三角形中線段的比值 例 1.如圖 1，在 ABC中，BD: DC= 1 : 3, AE: ED= 2: 3,求 AF: FG 解：過點(diǎn)D作DG/AC,交BF于點(diǎn)G 所以 DG FC= BD BC 因?yàn)?BD DC= 1 : 3 所以 BD BO 1 : 4 即 DG FC= 1: 4, FC= 4DG 因?yàn)?DG

29、 AF= DE AE 又因?yàn)?AE ED= 2 : 3 所以 DG AF= 3 : 2 :4DG= 1 : 6 例 2.如圖 2, BC= CD AF= FC 求 EF : FD以 AF: FC= 19 解：過點(diǎn)C作CG/DE交AB于點(diǎn)G,則有EF: GC= AF: AC 因?yàn)?AF= FC 所以 AF: AO 1: 2 即 EF: GC1: 2, 因?yàn)镃G DE= BC: BD 又因?yàn)锽O CD 所以 BC: BD= 1 : 2 CG : DE= 1 : 2 因?yàn)?FD= ED- EF= 所以EF : FD=即 DE= 20 小結(jié)：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的

30、交點(diǎn) 奧妙！ 例 3.如圖 3, BD DO 1 : 3, AE: EB= 2: 3,求 AF: FDb 解：過點(diǎn)B作BG/AD,交CE延長(zhǎng)線于點(diǎn) G 所以 DF: BG= CD CB 因?yàn)?BD DC= 1 : 3 所以 CD CB= 3 : 4 即 DF: BG= 3 : 4, 因?yàn)?AF: BG= AE: EB處，且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行. 請(qǐng)?jiān)倏磧衫?，又因?yàn)锳E EB= 2 : 3 21 所以AF: DF= 例 4.如圖 4, BD DO 1 : 3, AF= FD,求 EF: FG 解：過點(diǎn)D作DG/CE,交AB于點(diǎn)G 所以 EF: DG= AF: AD 因?yàn)锳F= FD

31、 所以AF: AD= 1: 2 圖4 所以AF: BG= 2: 3 即 22 即 EF: DG= 1: 2 因?yàn)?DG CE= BD BC,又因?yàn)?BD CD-1: 3, 所以 BD B01: 4 即 DG CE= 1: 4, CE= 4DG 因?yàn)?FC- CEEF-23 所以EF: FC= 練習(xí): 1.如圖 5, B DC, AE: ED-1: 5，求 AF: FB。 J - JFJVWfaAUWVl_VaAVWV- 2.如圖 6, AD: DB= 1 : 3, AE: EC- 3: 1,求 BF: FG 答案：1、1: 10; 2. 9 : 1 B D 24 初中幾何輔助線 初中幾何常見輔

32、助線口訣 人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念 還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。 三角形 圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn) 角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看 線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn) 線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線 三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。 四邊形 平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹?平移腰，移對(duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線 上述方法不奏效，過腰中點(diǎn)全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。

33、等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。 斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。 圓形 半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。 切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。 是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。 圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。 要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓 如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點(diǎn)公切線。 若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。 、I 、+: 注意點(diǎn) 輔助線，是虛

34、線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。 基本作圖很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。C 25 切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減 虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線 由角平分線想到的輔助線 口訣: 圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。 角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。 角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相 等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。 從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線； 利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。

35、 通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下 考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。 與角有關(guān)的輔助線 （）、截取構(gòu)全等 幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與 猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能 掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問題中大膽地 去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助線作以 介紹 如圖 1-1，/ AOCM BOC 如取 OE=OF 并連接 DE DF,則有 OEDA OFD 從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。 例 1. 如圖 1-2，AB/CD，BE平分/ BCD CE平分/ BCD 點(diǎn) E 在

36、 AD上,求證：BC=AB+CDA D 26 分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來構(gòu)造全等三角形， 即 利用解平分線來構(gòu)造軸對(duì)稱圖形，同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問題， 在證 明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長(zhǎng)法或截取法來證明， 延長(zhǎng)短的線段 或在長(zhǎng)的線段長(zhǎng)截取一部分使之等于短的線段。 但無論延長(zhǎng)還是截取都要證明線 段的相等，延長(zhǎng)要證明延長(zhǎng)后的線段與某條線段相等， 截取要證明截取后剩下的 線段與某條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。 簡(jiǎn)證：在此題中可在長(zhǎng)線段BC上截取BF=AB再證明CF=CD從而達(dá)到證明 的目的。這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。 另外一個(gè)全等自已證明。

37、此 題的證明也可以延長(zhǎng)BE與CD的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)來證明。自已試一試。 例2. 已知：如圖 1-3，AB=2ACZ BAD2 CAD DA=DB 求證 DCLAC 分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。 構(gòu)造的方法還是截取線段 相等。其它問題自已證明 例3. 已知：如圖1-4，在 ABC中，/ C=2Z B,AD平分/ BAC求證：AB- AC=CD 分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明 中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的 和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長(zhǎng)的 線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的 延長(zhǎng)來證明呢? 練習(xí) 1. 已知在 ABC中, AD平分/ B

38、AC / B= 2 / C,求證：AB+BD=AC 2. 已知：在厶 ABC中，/ CAB=Z B，AE平分/ CAB交 BC于 E，AB=2AC 求證：AE=2CE圖1-4 A 27 3. 已知：在厶ABC中，ABAC,A為/ BAC的平分線，M為AD上任一點(diǎn)。 求證：BM-CMAB-AC 4. 已知：D是厶ABC的/BACK外角的平分線AD上的任一點(diǎn)，連接DB DC 求證：BD+CDAB+AC （二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等 過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線， 利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明 問題。 例 1.如圖 2-1，已知 ABAD, Z BACM FAC,CD=B

39、C 求證：/ ADCZ B=180 分析：可由C向Z BAD的兩邊作垂線。近而證Z ADC 與Z B之和為平角。 例2.如圖 2-2，在 ABC中, Z A=90 ，AB=ACZ ABDZ CBD 求證：BC=AB+AD 分析：過D作DEL BC于E,則AD=DE=CE則構(gòu)造出 全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題， 從中利用了相當(dāng)于截取的方法。 例3.已知如圖2-3， ABC的角平分線 BM CN相交于點(diǎn)P。求證：Z BAC 的平分線也經(jīng)過點(diǎn)P。 分析：連接AP,證AP平分Z BAC即可，也就是證P到AB AC的距離相等。 練習(xí): 1. 如圖 2-4 Z AOPZ BOP=15

40、，PC/OA PDLO A， 女口果 PC=4 貝U PD=( )圖 C P O 圖2-4 D 圖3-2 28 A 4 B 3 C 2 D 1 2. 已知在厶 ABC中， / C=90 , AD平分/ CAB CD=1.5,DB=2.5.求 AC。 3. 已知：如圖 2-5, / BACK CAD,ABAD CEAB 1 AE=2 （AB+AD .求證：/ D+Z B=180。 4. 已知：如圖2-6,在正方形ABCD中, E為CD的中點(diǎn), F為BC 上的點(diǎn)，Z FAEZ DAE 求證：AF=AD+CF 5. 已知：如圖 2-7，在 Rt ABC中, Z ACB=90 ,CD丄AB,垂足為 D

41、, A E平分Z CAB交 CD于 F,過 F 作 FH/AB 交 BC于 H。求證 CF=BH （三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形 從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線， 使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形, 垂足為底邊上的中點(diǎn)， 該角平分線又成為底邊上的中線和高， 以利用中位線的性質(zhì)與等腰三 角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一 邊相交）。 例 1. 已知：如圖 3-1 , Z BADZ DAC ABAC,Ct!AD于 D, H是 BC中點(diǎn)。 1 求證：DHh （AB-AC 2 分析：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E,則可得全等三角形。問題可證 B

42、A 圖3-2 29 例2.已知：如圖 3-2 , AB=ACZ BAC=90 , AD為Z A BC的平分線，CE! BE.求證：BD=2CE30 分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線， 可延長(zhǎng)此垂線 與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。 例3.已知：如圖3-3在厶ABC中，AD AE分別/ BAC的內(nèi)、外角平分線, 過頂點(diǎn)B作BFAD交AD的延長(zhǎng)線于F,連結(jié)FC并延長(zhǎng) 交AE于M 求證：AM=ME 分析：由AD AE是/ BAC內(nèi)外角平分線，可得EA 丄AF,從而有BF/AE，所以想到利用比例線段證相等。 例4.已知：如圖3-4，在 ABC中，AD平分/ BAC AD=AB

43、 CMLAD交AD 1 延長(zhǎng)線于 M 求證：AM= (AB+AC 2 分析：題設(shè)中給出了角平分線AD,自然想到以AD為軸作對(duì)稱變換，作 AB 1 D關(guān)于AD的對(duì)稱 AED然后只需證DM=EC另外 2 1 由求證的結(jié)果AM= (AB+AC，即2AM=AB+AC也可 嘗試作 ACM關(guān)于CM的對(duì)稱 FCM然后只需證DF=C F即可。 練習(xí)： 1. 已知：在厶ABC中, AB=5 AC=3 D是BC中點(diǎn)，AE是/ BAC的平分 線，且CELAE于E,連接DE求DE 2. 已知BE、BF分別是 ABC的/ABC的內(nèi)角與外角的平分線， AFLBF 1 于F, AE1 BE于E,連接EF分別交 AB AC于

44、 M N,求證MN= BC 2 (四) 、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線 有角平分線時(shí)，常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線， 從而構(gòu)造等腰 三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交， 從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。E N 圖 31 圖4-2 例 4 如圖，ABAC, / 仁/2,求證：AB- ACBD-CD 例 5 如圖，BCBA BD平分/ ABC 且 AD=CD 求證：/ A+Z C=18Q AB/ CD AE DE分別平分Z BAD各Z ADE 求證：AD=AB+GD D C 練習(xí)： 1.已知，如圖，Z C=2ZA, AC=2BC求證

45、： ABC是直角三角形如圖, C B E 32 2.已知：如圖，AB=2A(CZ 仁/2, DA=DIB 求證：DC1 AC 3. 已知CE人。人。是厶ABC的角平分線，/ B=60,求證：AC=AE+CD 4. 已知：如圖在厶ABC中, Z A=90 , AB=AC BD是/ ABC的平分線，求證: BC=AB+AD C C 33 三由線段和差想到的輔助線 口訣: 線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。 遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：34 1、 截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等 于另一條； 2、 補(bǔ)短：將一

46、條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線 段等于長(zhǎng)線段。 對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第 三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。 一、 在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來，可 連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中， 再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如： 例 1、 已知如圖 1-1： D、E ABC 內(nèi)兩點(diǎn)，求證:AB+ACBD+DE+CE. 證明：（法一） 將DE兩邊延長(zhǎng)分別交 AB AC于M N, 在厶 AMN中, AM+ANMD+DE+NE；） 在厶 BDM中, MB+MDB

47、（2） 在厶 CEN中, CN+NECE（ 3） 由（1）+（ 2）+（ 3）得： AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE AB+ACBD+DE+EC (法二：圖 1-2) 延長(zhǎng)BD交AC于F,廷長(zhǎng)CE交BF于G 在厶ABF和 GFCffiA GDE中有： AB+AFBD+DG+G三角形兩邊之和大于第三邊) (1) GF+FOGE+C上)(2) DG+GED0同上)(3) 由(1) + (2) + (3)得： AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE AB+ACBD+DE+EC 二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)圖2 1 35 角時(shí)

48、如直接證不出來時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在 某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上， 再利用外角定 理： 例如：如圖2-1 :已知D ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：/ BDC / BAC 分析：因?yàn)? BDC與/ BAC不在同個(gè)三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng) 添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使/ BDC處于在外角的位置，/ BAC處于在內(nèi)角 的位置； 證法一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E,這時(shí)/ BDC EDC勺外角， / BDC2 DEC 同理/ DEC2 BAC :丄 BDC2 BAC 證法二：連接AD并廷長(zhǎng)交BC于F,這時(shí)/ BDFA ABD的 夕卜角，/ BDF

49、2 BAD 同理，/ CDF* CAD BDF+ / CDF* BAD* CAD 即：/ BDC* BAC 注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外 角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明 有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形, 如： 例如：如圖3-1：已知AD ABC的中線，且*仁 * 2* 3= * 4,求證:BE+CFEF。 分析要證BE+CFEF，可利用三角形三邊關(guān)系定 理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由 已知*仁*2， * 3=* 4,可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把 E

50、N，F(xiàn)N，EF移到同個(gè)三角形中。 證明：在DN上截取DN=DB連接NE NF,貝U DN=DC 在厶 DBE?3 NDE中: DN=D（輔助線作法） “ *仁* 2 （已知） ED=E（公共邊）圖3 1 36 DBEA NDE（ SAS BE=NE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 同理可得：CF=NF 在厶EFN中 EN+FNEF三角形兩邊之和大于第三邊） BE+CFEF 注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，常可考慮在角的兩邊截取相等的線段， 構(gòu)造全 等三角形，然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。 四、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。 例如：已知如圖6-1 :在 ABC中, ABACZ仁/ 2, P為AD上 任一點(diǎn) 求

51、證：AB-ACPB-PC 分析:要證：AB-AOPB-PC想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)?欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊 AB-AC，故可 在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN再連接PN貝U PC=PN又在 PNB中, PB-PNvBN 即：AB-ACPB-PC 37 證明：（截長(zhǎng)法） 在AB上截取AN=AC 連接PN,在AAPN和/1APC中 AN二AC （輔助線作法） ,/1二 Z2 （已知） AP=AP （公共邊） ZAPN幻APC （SAS），/PC=PN （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） T在ZBPN中，有PB-PNvBN （三角形兩邊之差小于第三

52、邊） BP-PCvAB-AC 證明：（補(bǔ)短法）C M 38 延長(zhǎng)AC至M，使AM二AB，連接PM , 在AABP和AAMP中 AB二AM （輔助線作法） /仁Z2 （已知） AP=AP （公共邊） /ABPMMP （SAS） PB二PM （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 又.在ZPCM中有：CMPM-PC（三角形兩邊之差小于第三邊） AB-AOPB-PC。 例3已知：如圖，等腰三角形 ABC中，AB=AC A=108 , BD平分 ABC 求證：BC=AB+DC 求證：/ ADC# B=18G0 例1 如圖, 例 2 如圖，在四邊形 ABCD中, AC平分/ BAD, CEAB于 E, AD+AB=2

53、AE 39 例4如圖，已知 Rt ABC中，/ ACB=90 , AD是/ CAB的平分線，DMLAB 1.如圖，AB/ CD AE DE分別平分/ BAD各/ ADE 求證：AD=AB+C。 2.如圖， ABC中，/ BAC=90，AB=AC AE是過 A的一條直線，且 B，C 在AE的異側(cè)， BDL AE于 D, CELAE于 E。求證：BD=DE+CE 四由中點(diǎn)想到的輔助線 口訣: 三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。 在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)， 那么首先應(yīng)該聯(lián)想到 三角形的中線、中位線、加倍延長(zhǎng)中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、

54、 等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。 于 M,且 n r. A 40 一）、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形 即如圖 1 , AD是 ABC的中線，貝U S A ABD=S A ACD = SAABC （因?yàn)锳 ABD與 A ACD是等底同高 的）。 例1.如圖2,A ABC中，AD是中線，延長(zhǎng) AD到E,使DE=AD DF是A DCE 的中線。已知A ABC的面積為2,求：A CDF的面積。41 解：因?yàn)?AD是 ABC的中線，所以 S A ACD X 2=1，又因CD是 A ACE勺中線，故S a CDE=Sa ACD=1 ， 42 因DF是 CDE勺中線

55、，所以SACD= CDE 43 （二）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形勺中位線 例2如圖3,在四邊形ABCD中, AB=CD E、F分別是BC AD的中點(diǎn)，BA CD的延長(zhǎng)線分別交EF的延長(zhǎng)線 G 耳求證：/ BGEM CHE 證明：連結(jié)BD并取BD的中點(diǎn)為 M 連結(jié)ME MF ME是 BCD的中位線，44 CD, / MEFM CHE MF是 ABD勺中位線, 45 AB / MFEM BGE AB=CD： ME=MF / MEFM MFE 從而/ BGEM CHE 46 （三）、由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線 例3.圖4,已知 ABC中，AB=5 AC=3連BC上的中線AD=2求BC的長(zhǎng)。 解：延長(zhǎng) AD至

56、U E,使 DE=AD 貝U AE=2AD=2=4。 在 ACD和 EBD中, AD=ED / ADCh EDB CD=BD ACDA EBD 二 AC=BE 從而 BE=AC=3 47 在 A ABE中，因 AU+BE=42+32=25=AB,故/ E=90 ,45 例4.如圖5,已知 ABC中，AD是/BAC的平分線，AD又是BC邊上的中 線。求證： ABC是等腰三角形。 證明：延長(zhǎng) AD至U E,使DE=AD 仿例3可證： BEDA CAD 故 EB=ACZ E=Z2, 又/仁/2, / 仁/ E, AB=EB從而AB=AC 即卩A ABC是等腰三角形46 （四）、直角三角形斜邊中線的性

57、質(zhì) 例5.如圖6,已知梯形 ABCD中，AB/DC, AC丄BC, ACLBD,求證：AC=BD 證明：取 AB的中點(diǎn)E,連結(jié)DE CE貝U DE CE分別為Rt ABD Rt ABC 斜邊 A B 上的中線，故 D E = C E = AB,因此/ CDE= / DCE AB/DC, / CDEM 1,Z DCEN 2, / 仁/2, 在 ADE和 BCE中, v DE=CEZ 仁/ 2, AE=BE ADEA BCE二AD=BC從而梯形 ABCD是等腰梯形，因此 AC=BD （五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線 例6.如圖7,A ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 ,

58、 BD平分/ ABC交AC 于點(diǎn)D, CE垂直于BD,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE 證明：延長(zhǎng)BA CE交于點(diǎn)F,在A BEF和 A BEC中 , v/ 仁/ 2 , BE=BE / BEF=/ BEC=90 , 47 A BEFA BEC 二 EF=EC 從而 CF=2CE 又/ 1+Z F=Z 3+Z F=90,故/ 仁/3。48 在 ABD和 ACF中，I / 仁/ 3, AB=AC / BAD2 CAF=90, ABDA ACF 二 BD=CF 二 BD=2CE 注：此例中BE是等腰A BCF的底邊CF的中線。 （六）中線延長(zhǎng) 口訣：三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。 題目中

59、如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長(zhǎng)加倍此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可 得到全等三角形 例一：如圖 4-1 : ABC的中線，且/ 1 = / 2，/ 3=/4，求證：BE+CF EF。 證明：廷長(zhǎng)ED至M 使DM=D，連接CM MR 在厶 BDEffiA CDM中, （BD=C（中點(diǎn)定義） “ /仁/5 （對(duì)頂角相等） ED=M（輔助線作法） BDEA CDM（ SAS 又 / 仁/ 2，/ 3=/ 4 （已知） / 1 + / 2+/ 3+/ 4=180（平角的定義） / 3+/ 2=90 即：/ EDF=90 / FDM/ EDF=90 在厶 EDFm MDF中 ED=M（輔助線作法） / EDF/ FDM（已證） DF=DF（公共邊） EDFA MDF（ SAS EF=MF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 在 CMF中, CF+CMMf三角形兩邊之和大于第三邊） 49 BE+CFEF50 上題也可加倍FD,證法同上 注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)， 可通過延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu) 造全等三角形，使題中分散的條件集中。 例二：如圖5-1 : ABC的中線，求證：AB+AC2AD 分析：要證 AB+AC2AD 由