高等代數(shù)課件(北大版)第七章 線性變換§7.2

1、2021-11-30數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間v的兩個線性變換，定義它們的兩個線性變換，定義它們, 事實(shí)上，事實(shí)上，()()( ()( ( )( ) 的的乘積乘積 為：為： ,v 則則 也是也是v的線性變換的線性變換.( ( )( ( )()( )()( ), ()()( ()( )( ( )()( )kkkkk 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院（1）滿足結(jié)合律：滿足結(jié)合律： （2），e為單位變換為單位變換 ee（3）交換律一般不成立，即一般地，交換律一般不成立，即一般地，. 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例例1. 線性空間中，線性變換線性空間中，線性變換 r x d

2、 fxfx 0,xdjfxdf t dtfx 00 xjdfxjfxft dtfxf 而，而， .djjd 0 xjfxf t dt 即即.dje 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院(),xax 例例2. 設(shè)設(shè)a、b為兩個取定的矩陣，定義變換為兩個取定的矩陣，定義變換n np 則皆為的線性變換，且對有則皆為的線性變換，且對有, n np ,n nxp ()()( ()()(),xxxba xbaxb ()()( ()()().xxaxax baxb (),xxb n nxp .數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院則則 也是也是v的線性變換的線性變換. 設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間v的兩個線性變換，定義它們的兩個線性變換，定義它們,

3、 ,v 的的和和 為：為： 事實(shí)上，事實(shí)上，()()()() ( )( )( )( )()( )()( ), ()()()()( )( )kkkkk ( ( )( )()( ).kk 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院（3） 0為為零變換零變換.00,（4）乘法對加法滿足左、右分配律：乘法對加法滿足左、右分配律： （1）滿足交換律：）滿足交換律：（2）滿足結(jié)合律：）滿足結(jié)合律： 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 ,v 設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間v的線性變換，定義變換為：的線性變換，定義變換為： 則則 也為也為v的線性變換，稱之為的的線性變換，稱之為的負(fù)變換負(fù)變換. 注：注：()0數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 ,kkv 的的數(shù)量乘積數(shù)量

4、乘積 為：為：k 則則 也是也是v的線性變換的線性變換.k 設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間v的線性變換，定義的線性變換，定義 k 與與 ,kp 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院(1) ()()klk l (2) ()klkl(3)()kkk(4) 1 2基本性質(zhì)基本性質(zhì)注：注：線性空間線性空間v上的全體線性變換所成集合對于上的全體線性變換所成集合對于線性變換的加法與數(shù)量乘法構(gòu)成數(shù)域線性變換的加法與數(shù)量乘法構(gòu)成數(shù)域p上的一個線性上的一個線性空間，記作空間，記作( ).l v數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院e則稱則稱為可逆變換，稱為的逆變換，記作為可逆變換，稱為的逆變換，記作 1. 設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間v的線性變換，若有的線性

5、變換，若有v的變換使的變換使 (1) 可逆變換的逆變換也是可逆變換的逆變換也是v的線性變換的線性變換. 1 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 1111 111 11證：對證：對 ,vkp 111 11111kkk 1111kkk是是v的線性變換的線性變換.1 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院(2) 線性變換可逆線性變換是一一對應(yīng)線性變換可逆線性變換是一一對應(yīng). 證：證：設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間v上可逆線性變換上可逆線性變換. 任取任取 若若 則有則有( )( ), ,v 111()( )( ( )( ( ) 1()( ). 為單射為單射.其次，對令則且其次，對令則且,v 1( ), ,v 11( )( )( ). 為滿射

6、為滿射.故為一一對應(yīng)故為一一對應(yīng). 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院若為一一對應(yīng)，易證的逆映射也為若為一一對應(yīng)，易證的逆映射也為v 的線性變換，且的線性變換，且.e故可逆，故可逆，. 1 線性變換，則可逆當(dāng)且僅當(dāng)線性變換，則可逆當(dāng)且僅當(dāng) 12(), (), ()n (3) 設(shè)是線性空間設(shè)是線性空間v的一組基，為的一組基，為v的的 12,n 線性無關(guān)線性無關(guān).證：證： 設(shè)設(shè)1122()()()0.nnkkk 于是于是1 122()0nnkkk因?yàn)榭赡妫梢驗(yàn)榭赡?，?2)，為單射，又，為單射，又 (0)0, 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院1 1220nnkkk而線性無關(guān)，所以而線性無關(guān)，所以12,n 0,1,2, .ik

7、in故線性無關(guān)故線性無關(guān).12(), (), ()n 若線性無關(guān)，則它若線性無關(guān)，則它12(), (), ()n 也為也為v的一組基的一組基.1122()()(),nnkkk 因而，對有因而，對有,v 即有即有1122().nnkkk 為滿射為滿射.數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院12(), (), ()n 線性無關(guān)線性無關(guān),1,2, ,iiabin若若 則有則有( )( ), 其次，任取其次，任取 設(shè)設(shè),v 11,nniiiiiiab11()(),nniiiiiiab 即即. 由由(2)， 為可逆變換為可逆變換. 故為一一對應(yīng)故為一一對應(yīng). 從而，為單射從而，為單射. 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院(4) 可逆線性變

8、換把線性無關(guān)的向量組變成線性無關(guān)可逆線性變換把線性無關(guān)的向量組變成線性無關(guān)的向量組的向量組.線性無關(guān)線性無關(guān).若若 11220.rrkkk 證：設(shè)為線性空間證：設(shè)為線性空間v的可逆變換，的可逆變換， 12,rv 則有，則有，1122()0rrkkk又可逆，于是是一一對應(yīng)，且又可逆，于是是一一對應(yīng)，且 (0)0 11220rrkkk故故 線性無關(guān)線性無關(guān).12(), (), ()r 由由 線性無關(guān)，有線性無關(guān)，有120.rkkk12,r 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,nn 當(dāng)時，規(guī)定（單位變換）當(dāng)時，規(guī)定（單位變換）.0n 0e 設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間v的線性變換，的線性變換，n為自然數(shù)，定義為自然數(shù)，

9、定義 稱之為的稱之為的n次冪次冪. 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 易證易證 ,0nm nmnmmnm n 1nn 當(dāng)為可逆變換時，定義的當(dāng)為可逆變換時，定義的負(fù)整數(shù)冪負(fù)整數(shù)冪為為 一般地，一般地， .nnn 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院設(shè)設(shè) 10 ,mmfxa xa xap x 為為v的一個線性變換，則的一個線性變換，則10( )mmfaaa e多項(xiàng)式多項(xiàng)式.也是也是v的一個線性變換，稱的一個線性變換，稱 為線性變換的為線性變換的 ( )f 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 ,h xfxg xp xfx g x 在在 中，若中，若 p x則有，則有， ,hfg fggf即線性變換的多項(xiàng)式滿足加法和乘法交換律即線性變換的多項(xiàng)式滿足加法和乘法交換律. pfg 對有對有( ), ( ) ,f xg xp x fggf 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院證明：證明：1,1.kkkkk 設(shè)為線性變換，若設(shè)為線性變換，若, ,e證：對證：對k作數(shù)學(xué)歸納法作數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)當(dāng)k=2時，若時，若,e對對兩端左乘，得兩端左乘，得 2, 對對兩端右乘，得兩端右乘，得 2