(word完整版)雙曲線知識點總結(jié)及練習題,推薦文檔

1、、雙曲線的定義 1、第一定義：到兩個定點 Fi與 F2的距離之差的絕對值等于定長（V|FIF2|）的點的軌跡 （PFJ PF2| 2a F1F2 （ a為常數(shù)）。這兩個定點叫雙曲線的焦點。 要注意兩點：（1）距離之 差的絕對值。（2） 2av|FiF2|。 當|MFi|MF2|=2a 時，曲線僅表示焦點 F2所對應(yīng)的一支； 當|MFi| |MF2|= 2a 時，曲線僅表示焦點 Fi所對應(yīng)的一支； 當 2a=|FiF21 時，軌跡是一直線上以 Fi、F2為端點向外的兩條射線； 用第二定義證明比較簡單 或兩 邊之差小于第三邊 當 2a |FiF2|時，動點軌跡不存在。 a2 2、第二定義：動點到一

2、定點 F 的距離與它到一條定直線 I （準線 ）的距離之比是常數(shù) e（ei）時，這個動 c 點的軌跡是雙曲線。這定點叫做雙曲線的焦點，定直線 I 叫做雙曲線的準線。 二、雙曲線的標準方程 b2 c2 a 2 X 焦點在 x軸上：務(wù) a 2 y b2 (a 0, 2 焦點在 y 軸上：% a (a 0, b 0) （i）如果 x2項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在 X 軸上；如果y2項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在 y 軸上。 a 不一定大于 b。判定焦點在哪條坐標軸上，不像橢圓似的比較X2、y2 的分母的大小，而是X2、y2 的系數(shù)的 符號，焦點在系數(shù)正的那條軸上 2 1共焦點的雙曲線系方程是 二 - a2 k

3、2 2 (2)與雙曲線冷爲 a b 2 bk 1 (3 )雙曲線方程也可設(shè)為: 2 仝 1(mn 0) n 頂點坐標 （a ,0） (a,0) (0, a,) (0, a) 離心率 e C(e a 1)， c2 a2 b2, e 越大則雙曲線開口的開闊度越大 準線方程 X 2 a c 2 a y c 準線垂直于實軸且在兩頂點的內(nèi)側(cè)；兩準線間的距離： 2a2 c 頂點A （A2）到準線 I1 （ I2 ）的距離為 2 a a 頂點到準線的距離 頂點A （A2 ）到準線 12 （ I1 ）的距離為 c 2 a a c 焦點到準線的距離 焦點F-i 焦點F-i （F2）到準線 （F2）到準線 h （

4、 I2 ）的距離為 I2 （ h）的距離為 2 . 2 a b c c c 2 a c c 漸近線方程 b y a x ( .2 1 2 虛、 b b )， c,工 c, 頭 a 和 a b x - y a ( (頭 將右邊的常數(shù)設(shè)為 0， 即可用解二兀二次的方法求出漸近線的解 共漸近線的雙曲線系 方程 x2 y a2 b 2 2 k ( k 0) 2 2 y x 2 , 2 a b k ( k 0) 雙曲線 2 x 2 a 2 爲 1與直線y kx b的位置關(guān)系： b2 2 X 利用07 2 V- 1 .2 1十七 2 斗_.二 、治七壬口 中助口 b2 轉(zhuǎn)化為兀二次力程用判力別式確疋。 直

5、線和雙曲線的位置 y kx b 二次方程二次項系數(shù)為零直線與漸近線平行。 相交弦 AB 的弦長 |AB| Ji k%/(x1 x2)2 4x1x2 通徑： AB y2 y1 2b2 與橢圓一樣 a 過雙曲線上一點的切 線 XoX yy a2 b2 1或利用導數(shù) YoY xx a2 b2 1或利用導數(shù) 四、雙曲線的參數(shù)方程: x a sec x a cos 橢圓為 y b tan y b sin 五、弦長公式 提醒解決直線與橢圓的位置關(guān)系問題時常利用數(shù)形結(jié)合法、根與系數(shù)的關(guān)系、整體代入、設(shè)而不求的 思想方法。 3、特別地，焦點弦的弦長的計算是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解 六、

6、焦半徑公式 2 2 雙曲線 篤 每 1 (a0, b0)上有一動點 M (x0, y0) a b 左焦半徑：r= | ex+a | 右焦半徑：r= | ex-a | 當M（xo,y。）在左支上時|MFi | 當M （x0,y0）在右支上時IMF! | 左支上絕對值加-號，右支上不用變化 雙曲線焦點半徑公式也可用“長加短減”原則： （與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算, 而雙曲線不帶符號）MF1 exo a 構(gòu)成滿足抽尸|MF 2 2a MF 2 ex0 a 注：焦半徑公式是關(guān)于 Xo的一次函數(shù)，具有單調(diào)性，當 M（xo,y。）在左支端點時|MFi| c a , IMF2I c a，當 M

7、(X0,y)在左支端點時 | MR | c a , | MF2 | c a 七、等軸雙曲線 1、直線被雙曲線截得的弦長公式，設(shè)直線與橢圓交于 A （xi,yi）B （X2,y2）兩點，則 AB = 1+k2 為 2 X2 4X-| 2、通徑的定義：過焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線相交于 A、B 兩點，則弦長| AB | 2b2 a exo a ,| MF21 exo eX) a ,| MF21 eX) a 2 X2 k 為直線斜率 2 X 2 a b2 1 （a0, b0）當a b時稱雙曲線為等軸雙曲線 2。 離心率e 2； 3。 兩漸近線互相垂直，分別為 y= x ； 4。 等軸雙曲線的方程

8、 x2 y2 , 0 ； 八、共軛雙曲線 以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線, 通常稱它們 互為共軛雙曲線。 2 2 2 z 仝 與 0 2 . 2 J 2 a b a 2 y_ 2 互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線: 2 y_ o b2 九、點與雙曲線的位置關(guān)系, 直線與雙曲線的位置關(guān)系 1點與雙曲線 占 八、 、 P( Xo, yo)在雙曲線 占 八、 、 P( Xo, yo)在雙曲線 占 八、 、 2 .2 a b 2 2 x y 2 a b2 2 2 x y 2 a b2 P(x, y)在雙曲線 2 x 2 1(a 1(a 1(a 直線與雙曲線 代

9、數(shù)法: 設(shè)直線l : y kx m，雙曲線 2 x 2 a 0,b 0,b 0,b 0)的內(nèi)部 0)的外部 0)上 2 XQ 2 a (b2 a2 k2)x2 2a2mkx a2m2 (1) 0時, (2) m B, k a 0時, k a 或 a k存在時，若 -2 若 b2 a2k2 2 殳 1(a Q,- a2b2 0 -，直線與雙曲線交于兩點 a 2 xo a 2 xo 2 a y0 b2 2 yc b2 2 -計 0)聯(lián)立解得 k 不存在時，直線與雙曲線沒有交點; a2k2 代值驗證，如x2 y2 1 ， 直線與雙曲線漸近線平行， 直線與雙曲線相交于一點; a 2 2 2a mk)

10、4(b2 2 2 a k )( 0 時，m2 b2 a2k2 0 時，m2 b2 a2k2 0,直線與雙曲線相交于兩點; 0,直線與雙曲線相離，沒有交點; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a m a b ) 4a b (m b a k ) k不存在， a m a時，直線與雙曲線沒有交點; a直線與雙曲線相交于兩點; 十、雙曲線與漸近線的關(guān)系 0，焦點在 y 軸上) 卜一、雙曲線與切線方程 2 每 1(a 0,b 0)與直線 b 橢圓與雙曲線共同點歸納 十二、頂點連線斜率 雙曲線一點與兩頂點連線的斜率之積為 K時得到不同的曲線。 橢圓參照選修 2-1P41,雙曲線參照選修 2-1P55

11、1、A、B 兩點在 X 軸上時0時 m2 b2 a2k2 0 , k2 2 ,2 m b 2 a 直線與雙曲線有一個交點；相切 2 2 1、雙曲線 a b2 1(a 0,b 0)上一點P(x0, y0)處的切線方程是-02 卑 a b 1。 2 x 2、過雙曲線 a 2 y 2 1(a 0,b 0)外一點P(x,y)所引兩條切線的切點弦方程是 b xx -2 a Ycy 1、 若雙曲線方程為 1(a 0,b 0) 漸近線方程: 2、 b 0) 漸近線方程: 2 y 2 a 3、 若漸近線方程為 x _y a b 2 x 雙曲線可設(shè)為二 a 2 y b2 4、 2 x 若雙曲線與飛 a 2 y

12、b2 1有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為 2 y b2 0 ,焦點在 x軸上, 2 x 3、雙曲線一 a 2 2 2 2 Ax By C 0相切的條件是A a B b (a 0, 若雙曲線方程為 PF. 2 PF2 2 F1F2 2 2|PF.| PF (1)當斤0時軌跡是雙曲線，除去A, B兩點，與雙曲線 的標準方程4-4=1*比較知八小 所以広卑； a ba b a a (2 )當k k- - - -1 1時軌跡是圓*除去呂兩點； (3) 當時，軌跡是焦點落在調(diào)軸上的橢圓，除去A, B兩點，其中； (4) 當0)的漸近線方程為 3xi2y= 0,貝V a 的值為( ) a 9 A 4 B

13、 3 C 2 D 1 7 從勒 = 1(其中 m, n 1,2,3)所表示的圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)方程中任取一個， 則此方程是焦點在 x軸上的雙曲線方程的概率為 ( ) 14 2 3 A.2 B.7 D.4 y2 x2 8 雙曲線 6 3= 1 的漸近線與圓(x 3)2 + y2= r2(r0)相切，貝U r =( ) A. .6 B 3 C 4 D 6 . n 9 如圖 K51 1,在等腰梯形 ABCD 中，AB / CD 且 AB= 2AD，設(shè)/ DAB = 0,張 0, ?，以 A、 B 為焦點且過點 D 的雙曲線的離心率為 e1，以 C、D 為焦點且過點 A 的橢圓的離心率為

14、 e2,貝 U e1 e = 10 已知雙曲線 二2 = 1(a0 , b0)的右焦點為 F，若過點 F 且傾斜角為 60的直線與雙曲線的 a b 右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是 _ 11 已知雙曲線x x2 y y2 = 1(a0 , b0)的一條漸近線方程為 y= 3x,它的一個焦點為 F(6,0)，則雙 a b 曲線的方程為 _ 12 (13 分)雙曲線 C 與橢圓 2 + 3|= 1 有相同焦點，且經(jīng)過點(.15 , 4) (1) 求雙曲線 C 的方程； (2) 若 F1, F2是雙曲線 C 的兩個焦點，點 P 在雙曲線 C 上，且/ F1PF2= 120 ,求厶

15、F1PF2的面積. 難點突破 x2 v2 和橢圓2+ y y2= 1(a0 , mb0)的離心率互為倒數(shù)，那么以 a, m b b, m 為邊長的三角形是( ) A .銳角三角形 B 直角三角形 13 (1)(6 分)已知雙曲線 x2y2=1 C 鈍角三角形 D 銳角三角形或鈍角三角形 (2)(6 分)已知 Fi、F2為雙曲線 C： x2 y2= 1 的左、 右焦點， 點 P 在雙曲線 C 上， 且/ FIPF2= 60 則 |PFi| |PF2|=( ) A . 2 B . 4 C. 6 D. 81 1 8 .雙曲線的漸近線方程為 x 2y 0,焦距為10，這雙曲線的方程為 O 雙曲線綜合訓

16、練 、選擇題（本大題共 7 小題，每小題 5 分，滿分 35 分） 動點P到點M（1,0）及點N（3,0）的距離之差為2，則點P的軌跡是（ A.雙曲線 設(shè)雙曲線的半焦距為 B .雙曲線的一支 C .兩條射線 D. 一條射線 c，兩條準線間的距離為 d，且c d，那么雙曲線的離心率 e等于（ 過雙曲線的一個焦點 F2作垂直于實軸的弦 PQ， F1是另一焦點，若/ PFQ -，則雙曲線的離心 率e等于（ A. 、2 1 B. 2 C. 2 1 D. 、2 4.雙曲線mx2 1 1的虛軸長是實軸長的 2 倍，則m 5.雙曲線 面積為 1, 1(a,b 且 tan PF1 F2 12x A . 5 3

17、y2 C . 3x2 12y2 5 6.若F1、F2為雙曲線 曲線的右準線上，且滿足 A. .2 2 7 .如果方程 P 2 x A . 2q p 2 y_ q 2 C . y- 2p q q ) 1 D .- 4 0）的左、右焦點分別為 Fi, F2,點 P 為該雙曲線在第一象限的點, !, tan 2 PF2F1 2 1的左、 b2 FQ PM,OP PF1F2 2,則該雙曲線的方程為（ 右焦點, 5x2 12 x2 3y2 1 O 為坐標原點，點 P在雙曲線的左支上，點 (OF1 OM ) OF1 OM （ 0），則該雙曲線的離心率為（ 1 表示曲線，則下列橢圓中與該雙曲線共焦點的是 2

18、 x B . 2q p 二、填空題：（本大題共 M在雙 2 D . x 2p q 2 y_ q 3 小題，每小題 5 分，滿分 15 分） 2 11. (本小題滿分 10 分)雙曲線與橢圓有共同的焦 點Fi(0, 5)冋0,5)，點P(3,4)是雙曲線的漸近線 與橢圓的一個交點，求漸近線與 橢圓的方程。 12. (本小題滿分 20 分)已知三點 P (5, 2)、F1 (- 6, 0)、F? (6, 0)。 (1) 求以 F1、F2為焦點且過點 P 的橢圓的標準方程； (2) 設(shè)點 P、F1、F2關(guān)于直線 y = x 的對稱點分別為P、F；、F?，求以 F；、F?為焦點且過點 P 的雙曲線的標

19、準方程x 9 .若曲線 - 4 1表示雙曲線，則k的取值范圍是 10 若雙曲線 1的漸近線方程為y 丄3x,則雙曲線的焦點坐標是 2 三、解答題: (本大題共 2 小題，滿分 30 分) 【基礎(chǔ)熱身】 1. C 解析雙曲線方程可化為4 8 X2 1 2. B 解析由于直線 x 2y+ 1 = 0 與雙曲線 7 y2= 1 的漸近線 y = -X 平行，所以直線與雙曲線只 有一個交點，所以集合 A 中只有一個元素.故選 B. x2 V2 3. B 解析雙曲線-9 = 1 的一個焦點是 式可得 d= |3X 5 0| = 3.故選 B. 5 4.4 解析雙曲線 79 = 1 的共軛雙曲線是 3 /

20、 9 率 e= 3. 【能力提升】 1(a0, b0),所以其漸近線方程為 y=牛乂，因為點(4, 二 = 1,解得 e2=彳，所以 e=h a 4 4 2 6. C 解析根據(jù)雙曲線x x2 = 1 的漸近線方程得：y=x，即 ayi3x= 0.又已知雙曲線的漸近線 a 9 a 方程為 3x2y = 0 且 a0,所以有 a= 2,故選 C. 7. B 解析若方程表示圓錐曲線，貝 U 數(shù)組(m, n)只有 7 種：(2, 1), (3, 1), ( 1, 1), (2,2), 4 (3,3), (2,3), (3,2)，其中后 4 種對應(yīng)的方程表示焦點在 x 軸上的雙曲線，所以概率為 P =

21、7.故選 B. y = 2x,圓心為(3,0)，所以半徑 r = L L2 243 | |=/6.故選 A. 連接 BD，設(shè) AB= 2，貝 U U DM = sin 0,在 Rt BMD 中，由勾股定理 e*|AC|+ |AD|=5 4cosB+ 1， K 10 . 2 , +8 )解析依題意，雙曲線的漸近線中，傾斜角的范圍是60 90 ,所以 tan60 = . 3, a 即 b23a2, c24a2，所以 e2. = 1 解析b b= 3，即 b= ,3a,而 c= 6,所以 b2 = 3a2= 3(36 b2),得 b2= 27, a2= 9, 2 7 a 所以雙曲線的方程為27= 1

22、. 12 解答(1)橢圓的焦點為 F1(0, 3), F2(0,3). 設(shè)雙曲線的方程為y y2 X X2 = 1,貝U a2 + b2= 32= 9 a b 又雙曲線經(jīng)過點 C.15, 4)，所以 a6 6 15 5 = 1， 解得 a2= 4, b2= 5 或 a2= 36, b2= 27(舍去), 所以所求雙曲線 C 的方程為y X = 1. 4 5 (2)由雙曲線 C 的方程，知 a= 2, b = , 5, c= 3. X X 1，所以 a2 = 4，得 a= 2，所以 2a = 4.故實軸長為 4. 2 (5,0), 一條漸近線是 3x 4y= 0,由點到直線的距離公 9 y7 =

23、 1，所以 a= 3, b = 7，所以 c= 4，所以離心 一 x2 y2 5. D 解析設(shè)雙曲線的標準方程為 孑一2= & A 解析雙曲線的漸近線為 9. 1 解析作 DM 丄 AB 于 M , 得 BD = 5 4cos 0,所以 c _ |AB| = 2 e e1 = |BD|AD|廠5 4cos 0 1 |CD | 2 2cos 所以 ei e2= 1. 11. 設(shè) |PF1|= m, |PF2|= n,貝V |m n|= 2a = 4, 平方得 m2 2mn+ n2= 16. 在厶 中，由余弦定理得(2c)2 = m2+ n2 2mncos120 = m2+ n2+ mn=

24、36 由得 mn = 2020, 所以 F1PF2 的面積為 S= 2mnsin120 = 53. 【難點突破】 13. (1)B (2)B 解析(1)依題意有 a J b 寫 b =，化簡整理得 a2+ b2= m2 在 F1PF2中，由余弦定理得， o |PF1|2+ |PF2|2 IF1F2I2 cos60 = 2|PF1| |PF2| ， |PF1| |PF2| 2 |F1F2|2+ 2|PF1| |PF2| 2|PFi| |PF2| 4a2 4 c2 4b2 = - + 1 = - + 1. 2|PFi| |PF2| 2|PFI| |PF2| 因為 b = 1,所以 |PFi| |P

25、F2|= 4故選 B.故選 B. 2a c 2 又PF2 |PF1 2a PF2 2a c，由雙曲線的第二定義知： e 丄丄 -1 .且 e 1, c e e 2，故選C. 【命題分析】：考查圓錐曲線的第一、二定義及與向量的綜合應(yīng)用，思維的靈活性 由題意知,pq 0若p 0,q 0 ,則雙曲線的焦點在 y軸上,而在選擇7 .D A,C 中，橢圓的焦點都在x 支軸上，而選擇支 B,D 不表示橢圓 選擇支 D 的方程符合題意. 2 X 4y2 2 ,( 0)，焦距 2c 10,c 25 二、填空題 2 2 x y 8. 1 設(shè)雙曲線的方程為 2 2 , , X 當 0時，一 y_ 1, 25, 20; 4 4 0 ,選擇支 A,C 不表示橢圓 ，雙曲線的半焦距平方 2 c 1 . D PM PN 2,而 MN 2, 2 2 2a 2 c -.C c,c 2a2,e2 2 c a P在線段MN的延長線上 PF1 PF2 2a, 2 2c 2c 2a,e A. 【思路分析】：設(shè)p(x,y), yo yo X