高中數(shù)學(xué)必修2立體幾何專題線面垂直典型例題的判定與性質(zhì)

1、線面垂直知識點1.直線和平面垂直定義.如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，就說這條直線和這個平面垂直2.線面垂直判定定理和性質(zhì)定理.判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面判定定理：如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一平面判定定理：一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行3.三垂線定理和它的逆定理.三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它和這條斜線垂直.逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直

2、，那么它也和這條斜線在該平面上的射影垂直.題型示例【例 1】如圖所示，已知點 S 是平面 ABC 外一點，ABC=90°，SA平面 ABC，點 A 在直線 SB 和 SC 上的射影分別為點 E、F，求證：EFSC.【解前點津】用分析法尋找解決問題的途徑，假設(shè)EFSC 成立，結(jié)合 AFSC 可推證 SC平面 AEF，這樣SCAE，結(jié)合 AESB，可推證 AE平面 SBC，因此證明

3、AE平面 SBC 是解決本題的關(guān)鍵環(huán)節(jié).由題設(shè) SA平面 ABC，ABC=90°，可以推證 BCAE，結(jié)合 AESB 完成 AE平面 SBC 的證明.【規(guī)范解答】例 1 題圖【解后歸納】題設(shè)中條件多，圖形復(fù)雜，結(jié)合題設(shè)理清圖形中基本元素之間的位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.a【例 2】已知：MN=AB,PQM 于 Q，PON 于 O，ORM 于 R，求證：QRAB.【解前點津】 由求證想判定，

4、欲證線線垂直，方法有（1） b,ac Þ bc;(2)a,b Ì  Þ ab;(3)三垂線定理及其逆定理.由已知想性質(zhì)，知線面垂直，可推出線線垂直或線線平行.【解后歸納】處于非常規(guī)位置圖形上的三垂線定理或逆定理的應(yīng)用問題，要抓住“一個面”、“四條線”.所謂“一個面”：就是要確定一個垂面，三條垂線共處于垂面之上.所謂“四條線”：就是垂線、斜線、射影以及平面內(nèi)的第四條線，這四條線中垂線是關(guān)鍵的一條線，牽一發(fā)而動全身，應(yīng)用時一般可按下面程序進(jìn)行操作：確定垂面、抓準(zhǔn)斜線、作出垂線、連結(jié)射影，尋第四條線.

5、【例 3】已知如圖(1)所示，矩形紙片 AAA1A1,B、C、B1、C1 分別為 AA,A1A的三等分點，將矩形紙片沿 BB1,CC1 折成如圖(2)形狀（正三棱柱），若面對角線 AB1BC1，求證:A1CAB1.例 3 題圖解(1)【解前點津】題設(shè)主要條件是 AB 1BC ，而結(jié)論是 AB 1A 1C ，題設(shè)，題斷有對答性，可在ABB 1A 1 上作文章，只要取 A 1B 1

6、 中點 D 1，就把異面直線 AB 1 與 BC 1 垂直關(guān)系轉(zhuǎn)換到 ABB 1A 1 同一平面內(nèi) AB 1 與 BD 1 垂直關(guān)系，這里要感謝三垂線逆定理.自然想到題斷 AB 1 與 A 1C 垂直用同法（對稱原理）轉(zhuǎn)換到同一平面，取 AB 中點 D 即可，只要證得 A 1D 

7、垂直于 AB 1，事實上 DBD 1A 1，為平行四邊形，解題路子清楚了.【解后歸納】證線線垂直主要途徑是：（1）三垂線正逆定理，（2）線面，線線垂直互相轉(zhuǎn)化.利用三垂線正逆定理完成線線歸面工作，在平面內(nèi)完成作解任務(wù).證線線垂直，線面垂直，常常利用線面垂直，線線垂直作為橋梁過渡過來，這種轉(zhuǎn)化思想有普遍意義，利用割補法把幾何圖形規(guī)范化便于應(yīng)用定義定理和公式，也是不容忽視的常用方法.【例 4】空間三條線段 AB ,BC ,CD ,AB BC ,BC CD ,已

8、知 AB =3,BC =4,CD =6,則 AD 的取值范圍是.【解前點津】如圖，在直角梯形 ABCD 1 中,CD 1=6,AD 1 的長是 AD 的最小值,其中 AH CD 1,AH =BC =4,HD 1=3,AD =5;在直角AHD2 中,CD 2=6,AD 2 是 AD 的最大值為2   

9、 AHHD22     (6 3)2  4 2   97例 4 題圖  a / b   ü【解后歸納】 本題出題形式新穎、靈活性大，很多學(xué)生對此類題感到無從入手,其實冷靜分析，找出隱藏的條件很容易得出結(jié)論.對應(yīng)訓(xùn)練分階提升一、基礎(chǔ)夯實1.設(shè) M 表示平面，a、b 表示直線，給出下列四個命題：a  M 

10、;üa  M üa / M üý Þ b  Mý Þ a / bý Þ bMý Þ bM.a  M þb  M þa  b þa  b þ其中正確的命

11、題是()A.B.C.D.2.下列命題中正確的是()A.若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線垂直于這個平面B.若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這條直線垂直于這個平面C.若一條直線平行于一個平面，則垂直于這個平面的直線必定垂直于這條直線D.若一條直線垂直于一個平面，則垂直于這條直線的另一條直線必垂直于這個平面3.如圖所示，在正方形 ABCD 中，E、F 分別是 AB、BC 的中點.現(xiàn)在沿 DE、DF 及 EF 把ADE、CDF 和BEF 折起，使 A、B、C

12、 三點重合，重合后的點記為 P.那么，在四面體 PDEF 中，必有()第 3 題圖A.DP平面 PEFB.DM平面 PEFC.PM平面 DEFD.PF平面 DEF4.設(shè) a、b 是異面直線，下列命題正確的是()A.過不在 a、b 上的一點 P 一定可以作一條直線和 a、b 都相交B.過不在 a、b 上的一點 P 一定可以作一個平面和 a、b 都垂直C.過&#

13、160;a 一定可以作一個平面與 b 垂直D.過 a 一定可以作一個平面與 b 平行5.如果直線 l,m 與平面,滿足:l=,l,m Ì 和 m,那么必有()A.且 lmB.且 mC.m且 lmD.且6.AB 是圓的直徑，C 是圓周上一點，PC 垂直于圓所在平面，若 BC=1,AC=2,PC=1，則 P 到 AB的距離為()A.1   &

14、#160; B.2     C.  2  5其中真命題的序號是   (   )3 5D.557.有三個命題：垂直于同一個平面的兩條直線平行；過平面的一條斜線 l 有且僅有一個平面與垂直；異面直線 a、b 不垂直，那么過 a 的任一個平面與 b 都不垂直其中正確命題的個數(shù)為()A.0B.1C.2D.38.d 是異面直線 a、b&#

15、160;的公垂線，平面、滿足 a，b，則下面正確的結(jié)論是()A.與必相交且交線 md 或 m 與 d 重合B.與必相交且交線 md 但 m 與 d 不重合C.與必相交且交線 m 與 d 一定不平行D.與不一定相交9.設(shè) l、m 為直線，為平面，且 l，給出下列命題 若 m，則 ml；若 ml，則 m；若 m，則 ml；若

16、0;ml，則 m，A.B.C.D.10.已知直線 l平面，直線 m 平面，給出下列四個命題：若，則 lm；若，則 lm；若 lm，則；若 lm，則.其中正確的命題是()A.與B.與C.與D.與二、思維激活11.如圖所示，ABC 是直角三角形，AB 是斜邊，三個頂點在平面的同側(cè)，它們在內(nèi)的射影分別為 A，B，C，如果BC是正三角形，且 AA3cm，BB5cm，CC4cm，則BC的面積是.第 11 題圖第 13 題圖第 12

17、60;題圖12.如圖所示,在直四棱柱 A1B1C1D1ABCD 中,當(dāng)?shù)酌嫠倪呅?#160;ABCD 滿足條件時,有 A1CB1D1(注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形)13.如圖所示，在三棱錐 VABC 中，當(dāng)三條側(cè)棱 VA、VB、VC 之間滿足條件時，有VCAB.(注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可)三、能力提高14.如圖所示,三棱錐 V-ABC 中,AH側(cè)面 VBC,且 H 是VBC 的垂心，BE 是 VC&#

18、160;邊上的高.(1)求證:VCAB;(2)若二面角 EABC 的大小為 30°,求 VC 與平面 ABC所成角的大小.第 14 題圖15.如圖所示，PA矩形 ABCD 所在平面，M、N 分別是 AB、PC 的中點.(1)求證：MN平面 PAD.(2)求證：MNCD.(3)若PDA45°，求證：MN平面 PCD.第 15 題圖16.如圖所示，在四棱錐 PABCD 中，底面 A

19、BCD 是平行四邊形，BAD60°，AB4，AD2，側(cè)棱 PB 15 ，PD 3 .(1)求證：BD平面 PAD.(2)若 PD 與底面 ABCD 成 60°的角，試求二面角 PBCA 的大小.第 16 題圖17.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ACB=90°,BAC=30°,BC=1，AA1= 6 ，M 是 CC1 的

20、中點，求證：AB1A1M18.如圖所示，正方體 ABCDABCD的棱長為 a，M 是 AD 的中點，N 是 BD上一點，且 DNNB12，MC 與 BD 交于 P.(1)求證：NP平面 ABCD.(2)求平面 PNC 與平面 CCDD 所成的角.(3)求點 C 到平面 DMB 的距離.6.D  過 P 作 PDAB 于 

21、;D，連 CD，則 CDAB，AB=AC 2 + BC 2  =   5 ， CD =  AC × BCPD=   PC 2 + CD 2  =   1 +  4第 18 題圖第 4 課線面垂直習(xí)題解答.1.A兩平行中有

22、一條與平面垂直，則另一條也與該平面垂直，垂直于同一平面的兩直線平行2.C由線面垂直的性質(zhì)定理可知.3.A折后 DPPE,DPPF，PEPF.4.D過 a 上任一點作直線 bb,則 a，b確定的平面與直線 b 平行.5.A依題意,m且 m Ì ,則必有,又因為 l=則有 l Ì ,而 m則 lm,故選 A.2=AB53 5=.557.D由定理及性質(zhì)知三個命題均正確.8.A顯然與不平行.9.D垂直于同

23、一平面的兩直線平行，兩條平行線中一條與平面垂直，則另一條也與該平面垂直10.B，l，lm，11.32cm2設(shè)正三角 ABC的邊長為 a.AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB=a2+4，又 AC2+BC2=AB2，a2=2× a 2 =S BC=3 34       2cm212.在直四棱柱 A1B1C1D1ABCD 中當(dāng)?shù)酌嫠倪呅?#160;ABCD 滿足條件 ACBD(或任何能推導(dǎo)出這個條件

24、的其它條件，例如 ABCD 是正方形，菱形等)時,有 A1CB1D1(注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形).則有 ENCDABAM，EN  1點評：本題為探索性題目，由此題開辟了填空題有探索性題的新題型，此題實質(zhì)考查了三垂線定理但答案不惟一,要求思維應(yīng)靈活.13.VCVA，VCAB.由 VCVA，VCAB 知 VC平面 VAB.14.(1)證明:H 為VBC 的垂心,VCBE,又 AH平面 VBC,BE 為斜線 A

25、B 在平面 VBC 上的射影,ABVC.(2)解:由(1)知 VCAB,VCBE,VC平面 ABE,在平面 ABE 上,作 EDAB,又 ABVC,AB面 DEC.ABCD,EDC 為二面角 EABC 的平面角，EDC=30°,AB平面 VCD,VC 在底面 ABC 上的射影為 CD.VCD 為 VC 與底面 ABC 所成角,又 VCAB,VCBE

26、,VC面 ABE,VCDE,CED=90°,故ECD=60°,VC 與面 ABC 所成角為 60°.15.證明：(1)如圖所示，取 PD 的中點 E，連結(jié) AE，EN，1CDABAM，故 AMNE 為平行四邊形.22MNAE.AE 平面 PAD，MN 平面 PAD，MN平面 PAD.(2)PA平面 ABCD，PAAB.又 ADAB，AB平面 PAD.ABAE，即 AB

27、MN.又 CDAB，MNCD.(3)PA平面 ABCD，PAAD.又PDA45°，E 為 PD 的中點.AEPD，即 MNPD.又 MNCD，MN平面 PCD.16.如圖(1)證：由已知 AB4，AD，BAD60°，第 15 題圖解故 BD2AD2+AB2-2AD·ABcos60°4+16-2×2×4×1212.又 AB2AD2+BD2，ABD 是直角三角形，ADB90°，即&

28、#160;ADBD在PDB 中，PD 3 ，PB 15 ，BD 12 ，PB2PD2+BD2，故得 PDBD.又 PDADD，第 16 題圖解BD平面 PAD.(2)由 BD平面 PAD，BD 平面 ABCD.平面 PAD平面 ABCD.作 PEAD 于 E，又 PE 平面 PAD，PE平面 ABCD，PDE 是 PD 

29、;與底面 ABCD 所成的角.PDE60°，PEPDsin60° 3 ´作 EFBC 于 F，連 PF，則 PFBF，PFE 是二面角 PBCA 的平面角.又 EFBD 12 ，在 PEF 中，33  3=  .2   2=   2   =tanPFEPE         3EF  2 3  4.故二面角 PBCA 的大小為 arctan34.17.連結(jié) AC1，   ACMC1=36= 2 =CC1 .C A1 12RtACC1MC1A1，AC1C=MA1C1，A1MC1+AC1C=A1MC1+MA1C1=90°.A1MAC1,又 A