電磁場(chǎng)課程設(shè)計(jì)中WLP-FDTD算法探索

1、    電磁場(chǎng)課程設(shè)計(jì)中wlpfdtd算法探索    陳偉軍+劉如軍摘 要時(shí)域有限差分法是電磁場(chǎng)與電磁波中最經(jīng)典的一種數(shù)值仿真方法，應(yīng)用該方法對(duì)電磁場(chǎng)的分布和電磁波的傳輸進(jìn)行計(jì)算和仿真，使得抽象的概念直觀化，有助于學(xué)生對(duì)電磁場(chǎng)與電磁波教學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。本文介紹一種無條件穩(wěn)定的快速時(shí)域方法-基于laguerre多項(xiàng)式的時(shí)域有限差分方法，該方法沒有時(shí)間穩(wěn)定性條件的限制，特別適合于計(jì)算包含有多尺度復(fù)雜結(jié)構(gòu)的電磁特性問題。【關(guān)鍵詞】多尺度 電磁場(chǎng) 加權(quán)l(xiāng)aguerre多項(xiàng)式 時(shí)域有限差分法 無條件穩(wěn)定電磁場(chǎng)與電磁波是電子信息類專業(yè)本科生必修的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，該課程

2、比較抽象、難以理解，并包含大量復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)，尤為復(fù)雜的是電磁場(chǎng)的數(shù)值計(jì)算問題。本科教學(xué)中常介紹的電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算方法有矩量法、有限元法和有限差分法。隨著計(jì)算電磁學(xué)的快速發(fā)展，許多新的數(shù)值計(jì)算方法涌現(xiàn)，為本科階段電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算的教學(xué)帶來了較大的挑戰(zhàn)。本文介紹計(jì)算電磁學(xué)領(lǐng)域中一種新的無條件穩(wěn)定的快速時(shí)域數(shù)值計(jì)算方法基于加權(quán)l(xiāng)aguerre多項(xiàng)式（weighted laguerre polynomials， wlps）的時(shí)域有限差分（finite-difference time-domain， fdtd）方法的基本原理及應(yīng)用。把該方法引入到電磁場(chǎng)課程設(shè)計(jì)中，豐富和發(fā)展了學(xué)生對(duì)電磁場(chǎng)知識(shí)的理解，能

3、有效提高學(xué)生的能力水平。1 wlp-fdtd算法的公式體系利用加權(quán)l(xiāng)aguerre多項(xiàng)式作為時(shí)域基函數(shù)展開電場(chǎng)分量和磁場(chǎng)分量，代入時(shí)域maxwell旋度方程中，在空間域?qū)嵭卸A精度的中心差分，在時(shí)間域采用galerkin方法，并利用加權(quán)l(xiāng)aguerre多項(xiàng)式的正交性消除時(shí)間變量，可以得到wlp-fdtd算法的計(jì)算公式。為了較簡單的把wlp-fdtd算法的公式體系表達(dá)清楚，一維簡單、無耗、均勻媒質(zhì)中，tem波的時(shí)域maxwell方程表示為：其中，表示介電常數(shù)，表示磁導(dǎo)率。使用加權(quán)l(xiāng)aguerre多項(xiàng)式作為時(shí)域基函數(shù)，式（1）和（2）中的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量可以展開為：這樣，原本是與時(shí)間和空間有關(guān)的電磁

4、場(chǎng)分量變換成在與時(shí)間有關(guān)的函數(shù)和與空間有關(guān)的函數(shù)的乘積，有效地實(shí)現(xiàn)了時(shí)間和空間地分離 。電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量對(duì)時(shí)間的一階偏導(dǎo)數(shù)為把式（3）-（6）代入式（1）和（2）中，并在兩邊同時(shí)乘以權(quán)函數(shù)，并在區(qū)間積分，可以得到其中，tf為激勵(lì)源時(shí)域波形可持續(xù)的時(shí)間。按照yee網(wǎng)格劃分把式（7）和（8）離散化，并整理后得到其中，zk表示電場(chǎng)或磁場(chǎng)沿z分量所處網(wǎng)格的邊的長度，一維tem波的電磁場(chǎng)分布如圖1所示。式（9）和（10）中不包含時(shí)間變量，電場(chǎng)和磁場(chǎng)變量之間是隱式關(guān)系。為了消除磁場(chǎng)分量，將式（10）代入式（9）中，可以得到其中a=s2。仔細(xì)觀察式（11），可以發(fā)現(xiàn)每一個(gè)電場(chǎng)分量與其鄰近的2個(gè)電場(chǎng)分量有關(guān)并構(gòu)

5、成隱式關(guān)系，如圖1所示。同時(shí)，等式左邊的電場(chǎng)分量都是q階的，而等式右邊除了激勵(lì)源是q階的以外，電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量都小于q階?？梢园咽剑?1）寫成矩陣方程的形式其中，eq=eayt，jq=jayt，q-1是與電場(chǎng)和磁場(chǎng)有關(guān)的0階到q-1階所有項(xiàng)的求和。wlp-fdtd算法中電場(chǎng)變量之間是成隱式關(guān)系的，并產(chǎn)生了一個(gè)大型稀疏系數(shù)矩陣a。這個(gè)系數(shù)矩陣a與加權(quán)l(xiāng)aguerre多項(xiàng)式的階數(shù)無關(guān)，故矩陣方程（12）的求解可以僅對(duì)系數(shù)矩陣a只進(jìn)行一次求逆或通過lu分解，然后按階數(shù)步進(jìn)求解。通過按照階數(shù)步進(jìn)求解矩陣方程式（12），每一階時(shí)域基函數(shù)的系數(shù)可以計(jì)算出來，即電場(chǎng)和磁場(chǎng)的展開系數(shù)。從式（3）和（4）可以得到

6、時(shí)域電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量的數(shù)值解其中，n表示準(zhǔn)確表征電場(chǎng)和磁場(chǎng)所需要的階數(shù)。2 階數(shù)n選取的方法假設(shè)實(shí)際信號(hào)在頻域上的頻帶寬是b、時(shí)域信號(hào)的持續(xù)時(shí)間是tf，時(shí)域信號(hào)p（t）可以通過傅里葉級(jí)數(shù)表示其中，0=2/tf。由于p（t）是實(shí)數(shù)，*表示共軛轉(zhuǎn)置。如果p（t）的頻域帶寬是b hz，u的值可以表示為：因此，可以得到在式（17）中，p（t）的展開系數(shù)有2btf+1項(xiàng)。這樣，選取加權(quán)時(shí)域基函數(shù)的最大階數(shù)可以是：即，為了完整精確地表征時(shí)域信號(hào)p（t），加權(quán)l(xiāng)aguerre多項(xiàng)式的階數(shù)至少要有2btf+1階。在時(shí)域計(jì)算電磁特性問題時(shí)一般采用調(diào)制高斯脈沖，其表達(dá)式是其中，。若取fc= 5×1010h

7、z，tf=4×10-9s，則式（19）所表示的時(shí)域波形的頻域帶寬可以由傅里葉變換得到b= 5×1010hz。根據(jù)（18）可以計(jì)算出nl=41。3 仿真實(shí)例在這里，采用wlp-fdtd算法模擬計(jì)算電磁波的傳播。傳播距離為4m，傳播時(shí)間tf =3ns。整個(gè)計(jì)算區(qū)域劃分為400個(gè)網(wǎng)格，每個(gè)網(wǎng)格的長度是0.25cm。采用正弦調(diào)制高斯脈沖作為入射電流激勵(lì)源，其表達(dá)式與式（27）相同。其中，td=1/（2fc），tc=3td。我們選擇fc=1ghz，tf=3ns，時(shí)間尺度因子s=3.7699×1010，步進(jìn)階數(shù)n=36。圖2表示分別在源點(diǎn)、距源點(diǎn)5cm處和距源點(diǎn)12.5cm的

8、時(shí)域波形。從圖中可以看出，電磁波在傳播的過程中波形保持一致。4 結(jié)束語本文所表達(dá)的方法作為一種新的無條件穩(wěn)定的快速時(shí)域算法可以作為本科電磁場(chǎng)課程設(shè)計(jì)，能有效幫助學(xué)生充分理解電磁場(chǎng)，提高學(xué)生對(duì)電磁場(chǎng)的知識(shí)水平，并對(duì)幫助本科學(xué)生理解電磁場(chǎng)的數(shù)值計(jì)算具有一定的參考意義。參考文獻(xiàn)1sheng x.-q.and song w.essentials of eomputational electromagneticsm. john wiley&sons singapore pte.ltd.， 2012.2taflove a.and s.c.hagness. computational electro

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